球的表面积与体积.pdf

《球的表面积与体积.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《球的表面积与体积.pdf（8页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、球的表面积与体积 第三课时 球的表面积与体积 （一）教学目标 1知识与技能 （1）了解球的表面积与体积公式（不要求记忆公式）.（2）培养学生空间想象能力和思维能力.2过程与方法 通过作轴截面，寻找旋转体类组合体中量与量之间的关系情感、态度与价值 让学生更好地认识空间几何体的结构特征，培养学生学习的兴趣.（二）教学重点、难点 重点：球的表面积与体积的计算 难点：简单组合体的体积计算 （三）教学方法 讲练结合 教学过程教学内容师生互动设计意图 新课引入复习柱体、锥体、台体的表面积和体积，点出主题.师生共同复习，教师点出点题（板书）复习巩固 探索新知 1球的体积：2球的表面积：师：设球的半径为 R，

2、那么它的体积：，它的面积 现在请大家观察这两个公式，思考它们都有什么特点？生：这两个公式说明球的体积和表面积都由球的半径 R 惟一确定.其中球的体积是半径 R 的三次函数，球的表面积是半径 R 的二次函数.师(肯定)：球的体积公式和球的表面积公式以后可以证明.这节课主要学习它们的应用.加强对公式的认识培养学生理解能力 典例分析例 1 如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径.求证：（1）球的体积等于圆柱体积的；（2）球的表面积等于圆柱的侧面积.证明：（1）设球的半径为 R,则圆柱的底面半径为 R，高为 2R.因为，所以，（2）因为，所以，S 球=S 圆柱侧.例 2 球与圆台的上、下底面及侧面都相

3、切，且球面面积与圆台的侧面积之比为 3:4，则球的体积与圆台的体积之比为（）A6:13 B5:3:4 D7:【解析】如图所示，作圆台的轴截面等腰梯形ABCD，球的大圆O内切于梯形ABCD.设球的半径为 R，圆台的上、下底面半径分别为 r1、r2，由平面几何知识知，圆台的高为 2R，母线长为 r1+r2.AOB=90，OEAB(E 为切点)，R2=OE2=AEBE=r1r2.由已知 S 球S 圆台侧=4 R2(r1+r2)2=34 (r1+r2)2V 球V 圆台故选 A.例3 在球面上有四个点P、A、B、C，如果PA、PB、PC 两两垂直且 PA=PB=PC=a，求这个球的体积.解：PA、PB、

4、PC 两两垂直，PA=PB=PC=a.以 PA、PB、PC 为相邻三条棱可以构造正方体.又P、A、B、C 四点是球面上四点，球是正方体的外接球，正方体的对角线是球的直径.教师投影例 1 并读题，学生先独立完成.教师投影答案并点评（本题联系各有关量的关键性要素是球的半径）教师投影例 2 并读题，师：请大家思考一下这道题中组合体的结构特征.生：球内切于圆台.师：你准备怎样研究这个组合体？生：画出球和圆台的轴截面.师：圆台的高与球的哪一个量相等？生：球的直径.师：根据球和圆台的体积公式，你认为本题解题关键是什么？生：求出球的半径与圆台的上、下底面半径间的关系.师投影轴截面图，边分析边板书有关过程.师

5、：简单几何体的切接问题，包括简单几何体的内外切和内外接，在解决这类问题时要准确地画出它们的图形，一般要通过一些特殊点，如切点，某些顶点，或一些特殊的线，如轴线或高线等，作几何体的截面，在截面上运用平面几何的知识，研究有关元素的位置关系和数量关系，进而把问题解决.教师投影例 3 并读题，学生先思考、讨论，教师视情况控制时间，给予引导，最后由学生分析，教师板书有关过程.师：计算球的体积，首先必须先求出球的半径.由于PA、PB、PC 是两两垂直的而且相等的三条棱，所以 P ABC 可以看成一个正方体的一角，四点 P、A、B、C 在球上，所以此球可视为 PA、PB、PC 为相邻三条棱的正方体的外接球，

6、其直径为正方体的对角线.本题较易，学生独立完成，有利于培养学生问题解决的能力.通过师生讨论，突破问题解决的关键，培养学生空间想象能力和问题解决的能力.本题有两种解题方法，此处采用构造法解题，目标培养学生联想，转化化归的能力.另一种方法，因要应用球的性质，可在以后讨论.随堂练习 1（1）将一个气球的半径扩大 1 倍，它的体积扩大到原来的几倍？（2）一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长是 a cm，求球的体积.（3）一个球的体积是 100 cm2，试计算它的表面积(取 3.14，结果精确到 1cm2，可用计算器).参考答案：1（1）8 倍；（2）（3）104.学生独立完成巩固所学知识 归纳总结 1

7、球的体积和表面积 2等积变换 3轴截面的应用学生独立思考、归纳，然后师生共同交流、完善归纳知识，提高学生自我整合知识的能力.课后作业 1.3 第三课时 习案学生独立完成固化练习 提升能力 备用例题 例1已知过球面上三点A、B、C的截面到球心的距离等于球半径的一半，且 AC=BC=6，AB=4，求球面面积与球的体积 【分析】可以用球的截面性质。即截面小圆的圆心到球心的线段垂直于截面小圆平面 【解析】如图，设球心为O，球半径为R，作OO1平面 ABC 于 O1，由于 OA=OBR，则 O1 是ABC 的外心 设 M 是 AB 的中点，由于 AC=BC，则 O1CM 设 O1M=x，易知 O1MAB

8、，则 O1A=，O1M=x 又 O1A 解得 则 O1A=O1B 在 RtOO1A 中，O1O=，OO1A=90，OA=R，由勾股定理得 解得 故 例 2如图所示棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，边长为 a，PD=a，PA=PC=，且 PD 是四棱锥的高 （1）在这个四棱锥中放入一个球，求球的最大半径；（2）求四棱锥外接球的半径 【分析】（1）当所放的球与四棱锥各面都相切时球的半径最大，即球心到各个面的距离均相等，联想到用体积分割法求解（2）四棱锥的外接球的球心到 P、A、B、C、D 五点的距离均为半径，只要找出球心的位置即可球心 O 在过底面中心 E 且垂直于底面的垂线上 【

9、解析】（1）设此球半径为 R，最大的球应与四棱锥各个面都相切，设球心为 S，连结 SA、SB、SC、SP，则把此四棱锥分为五个棱锥，设它们的高均为 R ，SABCD=a2 VP ABCD=VS PDA+VS PDC+V S ABCD+VS PAB+Vs PBC，所以，即球的最大半径为 （2）法一：设 PB 的中点为 F 因为在 RtPDB 中，FP=FB=FD，在 RtPAB 中，FA=FP=FB，在 RtPBC 中，FP=FB=FC，所以 FP=FB=FA=FC=FD 所以 F 为四棱锥外接球的球心，则 FP 为外接球的半径 法二：球心 O 在如图 EF 上，设 OE=x，EA=，又 即球心 O 在 PB 中点 F 上 【评析】方法二为求多面体（底面正多面边形）外接球半径的通法；求多面体内切球半径经常采用体积分割求和方法