等差数列及其前n项和讲义.pdf

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1、等差数列及其前n项和讲义 一、知识梳理 1等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母 d 表示 2等差数列的通项公式 如果等差数列an的首项为 a1，公差为 d，那么它的通项公式是 ana1(n1)d.3等差中项 由三个数 a，A，b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列这时，A 叫做 a 与 b 的等差中项 4等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：anam(nm)d(n，mN*)(2)若an为等差数列，且 klmn(k，l，m，nN*)，则 akalaman.(3)若an是等

2、差数列，公差为 d，则a2n也是等差数列，公差为 2d.(4)若an，bn是等差数列，则panqbn也是等差数列(5)若an是等差数列，公差为 d，则 ak，akm，ak2m，(k，mN*)是公差为 md 的等差数列(6)数列 Sm，S2mSm，S3mS2m，构成等差数列 5等差数列的前 n 项和公式 设等差数列an的公差为 d，其前 n 项和 Snna1an2 或 Snna1nn12d.6等差数列的前 n 项和公式与函数的关系：Snd2n2)2(1da n.数列an是等差数列SnAn2Bn(A，B 为常数)7等差数列的前 n 项和的最值 在等差数列an中，a10，d0，则 Sn存在最大值；若

3、 a10，则 Sn存在最小值 注意：等差数列的四种判断方法(1)定义法：an1and(d 是常数)an是等差数列(2)等差中项法：2an1anan2(nN*)an是等差数列(3)通项公式：anpnq(p，q 为常数)an是等差数列(4)前 n 项和公式：SnAn2Bn(A，B 为常数)an是等差数列 二、基础检测 题组一：思考辨析 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列()(2)等差数列an的单调性是由公差 d 决定的()(3)等差数列的前 n 项和公式是常数项为 0 的二次函数()(4)已知等差数列an的

4、通项公式 an32n，则它的公差为2.()(5)数列an为等差数列的充要条件是对任意 nN*，都有 2an1anan2.()(6)已知数列an的通项公式是 anpnq(其中 p，q 为常数)，则数列an一定是等差数列()题组二：教材改编 2设数列an是等差数列，其前 n 项和为 Sn，若 a62 且 S530，则 S8等于()A31 B32 C33 D34 3在等差数列an中，若 a3a4a5a6a7450，则 a2a8_.题组三：易错自纠 4一个等差数列的首项为125，从第 10 项起开始比 1 大，则这个等差数列的公差 d 的取值范围是()Ad875 Bd325 C.875d325 D.8

5、750，a7a100，a2 016a2 0170，a2 016a2 0170 成立的最大正整数 n是()A2 016 B2 017 C4 032 D4 033 7若等差数列an的前 n 项和为 Sn，且满足 a2S34，a3S512，则 a4S7的值是_ 8等差数列an中的 a4，a2 016是 3x212x40 的两根，则14loga1 010_.9张丘建算经卷上第 22 题为：“今有女善织，日益功疾初日织五尺，今一月日织九匹三丈”其意思为今有女子善织布，且从第 2 天起，每天比前一天多织相同量的布若第一天织 5 尺布，现在一个月(按30 天计)共织 390 尺布，则该女最后一天织_尺布 1

6、0设数列an的通项公式为 an2n10(nN*)，则|a1|a2|a15|_.11等差数列an中，a3a44，a5a76.(1)求an的通项公式；(2)设 bnan，求数列bn的前 10 项和，其中x表示不超过 x 的最大整数，如0.90，2.62.12已知数列an的各项均为正数，前 n 项和为 Sn，且满足 2Sna2nn4(nN*)(1)求证：数列an为等差数列；(2)求数列an的通项公式 13设数列an满足：a11，a23，且 2nan(n1)an1(n1)an1，则 a20的值是_ 14已知数列an中，a11 且1an11an13(nN*)，则 a10_.15设等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 Sm12，Sm0，Sm13，则 m_.16设等差数列an满足 a11，an0(nN*)，其前 n 项和为 Sn，若数列 Sn也为等差数列，则Sn10a2n的最大值是_