第七章灰色系统综合评价方法.pdf

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1、 326 第七章 灰色系统综合评价方法 将灰色系统方法应用于多指标综合评价，也是目前实践中比较广泛的做法。从最近十多年的应用文献看，这一评价方法被广泛应用于环境质量综合评价、经济效益综合评价、社会发展评价、工农业生产工艺评价、医院管理与卫生统计评价等众多领域。相应的应用文献数量也不逊于其他综合评价方法。本章讨论基于灰色系统有关理论的综合评价方法及其应用。第一节 灰色系统综合评价方法概述 一、灰色系统与综合评价 灰色系统理论是我国邓聚龙教授于 1982 年创立的一种研究“少数据、贫信息不确定性问题”的新方法。“灰色系统理论以部分信息已知，部分信息未知的小样本、贫信息不确定性系统为研究对象，主要通

2、过对部分已知信息的生成、开发，提取有价值的信息，实现对系统运行行为、演化规律的正确描述和有效监控”。经过二十多年的发展，无论是理论水平还是应用层次，灰色系统理论均获得了很大的发展。其内容包括：灰色代数系统、灰色矩阵理论、灰色方程理论等基础理论；灰色序列及其生成方法、灰色关联及其测量方法、灰色模型（GM）及其参数估计方法等基本方法；灰色分析、灰色评估、灰色预测、灰色决策、灰色优化、灰色控制、灰色规划等应用技术。在灰色系统理论中，“灰数”是其基本细胞。所谓“灰数”，是指只知道大概范围而不知道确切数值的数，因此属于“部分信息明确、部分信息不明确”的情况，通常记为。与之相对应，就有“黑”和“白”两种极

3、端：“黑”表示信息完全未知，“白”表示信息完全明确。“灰”显然就是介于“黑”与“白”两个层次之间的中间状态。按照系统理论的表达，基于灰数的信息系统就可称为“灰色系统”。灰数并不是一个数，而是一个数集或者区间。所以，灰数通常表述为：,a b的形式。例如，A 企业资金利润率为 10%左右，B 企业资金周转速度（年）介于 5 至 6 次之间，笔者认为，灰色系统方法应用于综合评价存在许多理论上有待进一步研究的问题。例如灰色系统白化权函数的构造问题，灰色关联系数的定义问题。笔者在对灰色系统综合评价方法的两点认识 载于统计研究，2002 年第 10 期一文中对之作了讨论。考虑到这一评价方法有较广泛的应用情

4、况，故本书仍对之作简要的讨论。对于明显不合理的地方，笔者根据自己的研究作了改进。目前灰色系统理论的研究也有不少新的成果，这些成果如何应用于多指标统计指标评价，还有待于进一步的讨论。但是，必须引起注意的是：灰色系统综合评价方法虽然在形式上看有它一些专门术语或者概念，但从内涵看，它与模糊数学综合评判方法之间存在很大的相似性，这点从后文的讨论中可以看出。包括学术界提出的基于诸如“未确知测度”或者“属性集测度”等新兴学科分支的一些综合评价思路，都没有从本质上跳出模糊评判的思想。1982 年，北荷兰出版公司出版的系统与控制通讯（System&Control Letters）杂志刊载了华中理工大学邓聚龙教

5、授的第一篇灰色系统论文“灰色系统的控制问题”（The Control Problem of Grey System）。同年，华中工学院学报刊载了邓聚龙教授的第一篇中文灰色系统理论论文“灰色控制系统”。这两篇论文被公认为灰色系统理论诞生的标志性成果。刘思峰等灰色系统理论及其应用，科学出版社，2004。327 则可分别用灰数表达为：10%10%,A 和5,6B。显然，这两个灰数所表达的信息是“不完全明确”的。或许是通过非全面调查获得上述“灰数”，或者是通过统计估算推算出上述“灰数”。假设采用全面调查，且没有登记性误差，最后便可获得 A 企业准确的资金利润率数值（假设为 XA）或者 B 企业确切的资

6、金周转速度值（假设为 XB），则最后的确切值就是“白化值”，“灰数”向“白数”转化的过程称为“白化”。如果将灰数的白化过程一起用符号来表示，则通常用()x表示以 x 为白化值的灰数，用或者表示灰数()x的白化值，即()xx。不同的灰数有不同的背景，从而有不同的信息含义。在灰色系统理论中，可以通过对灰数进行白化处理，实现灰数信息描述的清晰化。一般来说，对于区间灰数,a b，其白化值通常定义为：10,1()ab 这实际上是取灰数区间两端的加权算术平均值作为灰数的白化值，称为“等权白化”。特别地，当权重取 1/2 时，称为“等权均值白化”。但在大多数灰色系统中,灰数白化过程并非等权的。因此，对于区间

7、灰数(),xa b，其白化值 x 取值虽然介于区间 a,b，但取不同值的“可能性”却不完全相同。于是，用 f（x）来表示()x（或 x）取不同值的权，称 f（x）为灰数()x的白化权函数（简称白化函数）。白化权函数刻画了灰数在取值区间之内的“偏好”程度。它构成了灰色系统理论的两大基础之一。对于多指标分类综合评价而言，当按单项指标对评价对象的价值水平进行分类时，通常是将各指标按其实际取值情况划分为若干个不同的区间段，不同区间段属于不同的“灰类”。显然，每一区间段实际上就是一个“信息不完全明确”的灰数。例如，一个地区的人均 GDP 低于 3000 美元时，属于“竞争力弱”（记为灰类 1）；当人均

8、GDP 介于 3000 美元至5000 美元之间时，属于“竞争力一般”（记为灰类 2），当人均 GDP 介于 5000 美元至 8000美元时，属于“竞争力较强”（记为灰类 3）；当人均 GDP 超过 8000 美元以上时，属于“竞争力很强”（记为灰类 4）。相应于这四个灰类，就有四个灰数：10,3000)、23000,5000)、35000,8000)、48000,)。对于特定的被评价对象（地区），其人均 GDP 指标的具体取值实际上就是灰类上灰数的一个白化值。计算该白化值的“权”，便可以确定该地区“单项竞争力”偏好于特定灰类的“程度”。通过综合这些程度，便可以判断被评价对象区域竞争力强弱的

9、类型。因此，灰色系统中的灰类划分（或灰色聚类），为多指标综合评价提供了一条新的思路。也就是说，把灰色系统理论与方法应用于多指标综合评价是可行的。二、灰色系统综合评价技术体系的基本归纳 从目前多指标综合评价实践看，应用灰色系统方法进行综合评价，有许多不同的做法。有灰色排序评价，也有灰色聚类评价，还有评价中的因素分析；有单纯应用灰色系统方法进行评价，也有结合模糊数学、物元分析等学科或专家评价、多层次评价等思想进行灰色系统综合评价；有基于灰数的白化权函数进行综合评价，也有基于灰序列关联系数进行综合评价。不同文献在具体方法的阐述上也不完全相同，这一方面体现了不同应用者对灰色系统综合评 328 价方法的

10、不同认识，但另一方面也反映了这类综合评价方法还不够成熟，缺乏统一的提法。因此，理清这一类综合评价方法的基本技术类型，对于正确认识并应用这一类综合评价方法是有积极意义的。根据笔者对所掌握到的有关文献进行归纳，灰色系统排序综合评价与分类综合评价大致分为几种情况：第一种是基于白化函数所作的分类与排序评价，第二种是基于关联分析所作的排序评价，第三种是基于关联分析所作的分类评价（兼排序），第四种是同时基于白化函数与关联系数进行的排序与分类评价，第五种则是灰色系统方法与其他系统科学方法相结合的综合评价。可见，白化权函数与灰关联系数是灰色系统综合评价的两大基本理论支柱。图 7-1 给出了灰色系统综合评价的几

11、种类型。本章只介绍其中 16 灰色系统综合评价方法的基本思路。类型 完全基于灰色系统理论与方法的 灰色系统综合评价方法 混合其他新兴学科的思想与方法的灰色系统综合评价方法 白化权函数 灰色关联分析 白化+关联混合 Delphi 思想 模糊数学 物元分析 排序评价 1.基于白化权函数的排序综合评价 3.基于灰关联分析的排序综合评价 5.同时基于白化权函数与关联系数的排序综合评价 7.Delphi 灰色排序评价 9.灰色模糊排序评价 11.灰色物元排序评价 分类评价 2.基于白化权函数的分类综合评价 4.基于灰关联分析的分类综合评价 6.同时基于白化权函数与关联系数的分类综合评价 8.Delphi

12、 灰色分类评价 10.灰色模糊分类评价 12.灰色物元分类评价 图 7-1 灰色系统综合评价技术体系 第二节 基于灰色系统白化权函数的综合评价技术 一、基于白化权函数的灰色系统评价原理 这是目前应用最多的一种“灰色系统评价方法”，也是邓聚龙教授最初提出的“灰色聚类”过程。其基本步骤是：第一步：建立综合评价指标体系（设有 p 个指标）。同时给出聚类灰类（设有 m 个灰类），灰类相当于模糊综合评价中的“评语等级”。例 物元分析，现更名为“可拓学”，是广东工学院蔡文教授在研究解决不相容问题时提出的一门介于数学、思维科学、系统科学和哲学之间的边缘学科。其最早选题于 1976 年，1983 年发表了首篇

13、论文可拓集合和不相容问题。早期可拓学的主要研究内容有：物元理论、可拓集合、关联函数、问题理论。经过二十多年的发展，目前可拓论（包括可拓元理论、可拓集合、可拓逻辑）、可拓方法（包括发散树、分合链、相关网、蕴含系、共轭对等可拓方法和优度评价、真伪信息判别等评价方法及可拓变换、菱形思维方法、转换桥方法等）、可拓工程（可拓方法在工程技术、社会经济、生物警觉、交通环保等方面的应用）三大方面取得了较多的成果。拙著统计指标理论与方法研究（中国物价出版社，1998）一书曾讨论了物元分析在统计指标构造与评价中应用的可能性：可拓学中的物元与统计总体单位具有相同的含义，可拓变换思想可应用于统计指标变换，可拓学中的质

14、度关联函数可用于对指标取值的变换（笔者曾按质度关联函数推导出“功效系数”公式）。329 如，在对企业财务状态进行灰色系统评价时，可将每一项财务指标所反映的财务效益划分为“很高”、“较高”、“一般”、“较低”、“很低”等五个“灰类”。记第 i 单位第 j 指标的实际值为ijx（1 2,in；1 2,jp）。第二步：确定灰类的白化权函数。将第 k 项指标第 j 灰类的白化权函数记为()kjfx（1 2,kp；1 2,jm）。这是关键的一步。白化权函数一方面表示灰数在指定区域内不同白化值的“可能性”，但另一方面也表明了第 k 指标隶属于第 j 灰类的程度，被称为“灰数j的白化权函数”（许多书中简称为

15、“白化函数”）。因此它相当于模糊数学中的隶属函数。对于灰数,()a dx，其典型的白化权函数如图 7-2 所示。f（x）f（x）1.0 L（x）R（x）L（x）R（x）0 a b c d x a b c d x（a）白化权函数的一般形态 （b）梯形白化权函数 图 7-2 白化权函数的典型形态 对应于图 7-2（a）,白化权函数基本形式是：1(),(),(),L xxa bf xxb cR xxc d L（x）是左增函数，R（x）为右减函数。中间平顶部分为峰区。当 b=c 时，峰区即为一尖点。对应于图 7-2（b）,白化权函数基本形式是（这是最常见的梯形函数）：(),()1 ,(),xaL xx

16、a bbaf xxb cdxR xxc ddc 大多数灰色系统评价方面的应用文献所采用的白化权函数都是梯形或者三角形函数。并且，每一灰类白化函数都是从“原点”出发。这其实是不确切的。笔者在 对灰色系统综合评价方法的两点认识 载于 统计研究，2002。一文中对之作了专门的讨论拙著多指标综合评价理论与方法研究（中国物价出版社，2001）也对此有专门的证明：基于整个定义域来构造所有灰类的白化权函数是不妥当的，同时提出了应该采用模糊数学中隶属函数构造方式来确定白化权函数。刘思峰教授所给出的灰数白化权函数定义基本上符合笔者的意见，只是没有注意到白化值在不同灰类之间的“可能性”之和应该满足“归一化要求”。

17、本书采用了刘教授对白化函数所作的基本定义，同时作了一些修改。330 这是实践中最常见的梯形白化函数。当 b=c 时，即为“三角形白化函数”。由于灰类的划分通常是基于单项指标坐标轴之上的一种不相交的完备划分（任何两个灰类灰数之间的交集为空集，所有灰类灰数的并集为全集）。因此如果直接基于这种灰数区间构造白化函数，将会出现评价中的“断层”现象：相邻两个灰数之间的白化权函数值将为零，呈现出如图 7-3 的不合理情形：f（x）110,)a 212,)a a 323,)aa 43,)a a1 a2 a3 x 图 7-3 不合理的白化权函数图形 笔者认为，灰类白化权函数本质上应该定义为一种“隶属度”，因此应

18、该采用模糊数学中的隶属函数来定义。图 7-4 的白化权函数才是符合要求的。f（x）110,)a 212,)a a 323,)aa 43,)a 0.5 a1/2 a1 （a1+a2）/2 a2 （a2+a3）/2 a3 a3+（a3 a2）/2 x 图 7-4 基于模糊数学思想的灰数白化权函数 按图 7-4 的灰类白化权函数定义，则需要对灰类的灰数表达方式进行改进。笔者认为，灰类灰数一般应该由六个关键点构成。设某单项评价指标的坐标轴上划分为 m 个灰类，记为j（类）（1 2,jm）。除首尾两个灰类，中间各灰类的六个关键点分别为（这里假定每一灰类白化函数的“顶部”是呈“平台”形态的，“尖顶”只是其

19、特例）：123456,jjjjjjaaaaaa 则灰类灰数的完整表达应为：1234561 2(),(),jjjjjjjaaaaaajm类 对于1和m，关键点为三个，则可表述为：1141516(),aaa类和123(),mmmmaaa类 刘思峰教授在讨论“灰色聚类评估”时，给出的白化权函数基本上类似于图 7-4。只是没有注意到“归一化”，但给出了灰类的新的表达形式：用四个转折点描述灰类，同时给出了三角白化权函数的一般公式。这是很大的进步。参见刘思峰等著：灰色系统理论及其应用，第 96124 页，科学出版社，2004。331 当采用三角形函数时，有34jjaa。对于形如图 7-4 的灰类，相应白化

20、权函数（折线型）为：1111111112112112122220.50.52 /()()/()/()/:xaaxaxf xaxaaaaaxaaaaa21122122 ()/xaxaaaa 1121112111121211221222220.502()/()/2()()()/()/()/:fxaaaaxaxfxaaxaaaaaxaaa12112212.52 ()/aaxaxaaaa 212233332333233233122222()()/()/()()()/()/0.5:f xaaxaaaxaxf xaax aaaaaaa 3232333233233223222()/0.5 ()/()/aax

21、aaxax aaaaaaaaa 3123324332412212()()/()/()()/:f xaax aaaf xx aaa 读者在实际的评价问题中，可根据实际情况选择相应的白化权函数形式（可以是非线性的，具体做法与模糊综合评价类似）,也可以根据实际情况分别确定各个“关键点”（图 7-4只是基于“中点对称”或者“均匀分布”的思路确定关键点的一种方式，但不是唯一的方式）。第三步：求出指标的权重。邓聚龙教授最早提出的是“标定聚类权”（又称“可变聚类权”），但从多指标综合评价本身的要求看，指标重要性权数也是非常必要的。因此，实践中除采用“标定权数”或其修正形式之外，也有人直接采用了“重要性权数”

22、（又称“固定聚类权”）。标定聚类权的计算采用下式：1 pijijkjk （1 2,jm）式中，ij是第 j 灰类第 i 指标的“标定权重”，即 1j、2j、3j、pj构成了 p 个指标关于某 j 灰类的权重。显然，1231jjjpj ij为第 i 指标第 j 灰类白化函数取 1 时（即“顶点”）对应的 xij值，它实际上是各灰类 332 灰数中的一个临界点。当白化函数为尖顶形时（如图 7-4），每一指标每一灰类的 ij是唯一确定的（白化函数处于尖顶时的 x 值），但当白化函数为平顶时，通常取平顶区域的上限值作为 ij。显然，在多指标综合评价中，各指标的量纲常常是不完全相同的，这时必须对原始变量

23、先作同度量化处理，根据选定的同度量化方法将 xij转化为同度量值，然后再计算“标定权重”。同度量化方法很多，第三章提到的有关思想都可以使用。笔者认为，也可以采用重要性权重甚至标定权重与重要性权重的组合权重进行灰色系统评价。若记重要性权重为 w1、w2、w3、wp，则组合权重ijw为：乘法组合：*1/pijijikjkkwww（1 21 2,;,ip jm）加法组合：*1()/()pijijikjkkwww（1 21 2,;,ip jm）当重要性权重121pwww时（乘法组合），或者120pwww时（加法组合），上式即为“标定权重”。当标定权重121jjpj时（乘法组合），或者时120jjpj（

24、加法组合），上式即为“固定权重”。第四步：计算聚类系数 bj，确定聚类向量。第 j 类的聚类系数定义为：*1()pjkjkjkbw fx（1 2,jm）即为第 j 灰类各指标的白化权函数值的加权算术平均。若将各指标在各灰类之下的白化权函数值用矩阵表示，记为 R，即 111212122212()()()()()()()()()()mmijp mpppmfxfxfxfxfxfxRfxfxfxfx 且第 j 列元素构成的向量（即各指标在第 j 灰类之下的白化权函数值）记为：1123()()()()()TjijpjjjpjRfxfxfxfxfx 各指标在各灰类之下的灰色聚类权矩阵 W 为：*11121

25、*21222*12mmGpppmwwwwwwWwww 且第 j 列元素构成的向量（即第 j 灰类各指标的灰色聚类权）记为：不难看出，既然灰色系统聚类评估中的基本思想是“模糊数学”，那么 bj的含义与模糊合成中的 B 向量元素之含义是相同的，从而第六章中有关的幂平均合成思想此处同样是适用。另外，“标定权数”的物理含义不够明确，“标定权重”的大小取决于每一指标的1 21 2(,;,)ijip jm值，它既与指标的实际重要性无关，也与指标的区分能力无关，撇开量纲，ij只取决于“峰值”本身的大小，而这一权数含义并不符合综合评价与多目标决策之要求。因此，笔者建议实践中采用“固定权数”进行加权。333 *

26、12()TjjjpjWwww（1 2,jm）于是，灰色聚类系数（即加权合成值）为：TjjjbW R（1 2,jm）第五步：进行灰色系统聚类评价。记12()mBbbb，则与模糊聚类评价类似，可以根据“最大隶属原则”进行聚类。若 1 2max/,cjbbjm 则该单位被判别为“c 灰类”。但当“最大隶属原则”失效时，采用点值进行灰类识别更加合理。第六步：若需要进行综合评价排序，则将 B 转化为点值 y，即 mjjjtby1 式中，tj为第 j 灰类的“灰水平”赋值。根据每个单位的 y 值大小就可以进行综合评价排序，其赋值原则与模糊综合评价类似。二、灰色系统白化权函数在综合评价中的应用 例 7-1在

27、医院管理统计工作中，经常采用各种多指标综合评价技术对各级医院的管理水平进行统计评估。设某地区（市）下辖 5 个县级医院，拟采用四项指标进行评价：人均收入（元/人）、人均门诊服务量（次/人）、百元固定资产收入率（元/百元）、病床使用率（%）。表 7-1 是五个医院四项指标的实际数。同时，将医院效益划分为四个灰类：“高效益”（灰类1）、“较好效益”（灰类 2）、“一般效益”（灰类 3）、“低效益”（灰类 4）。表 7-1 五个县级医院 4 项效益指标白化值及均值化结果 县级医院 人均收入（元/人）x1 人均门诊服务量（次/人）x2 百元固定资产收入率（元/百元）x3 病床使用率（%）x4 实际值

28、均值化 实际值 均值化 实际值 均值化 实际值 均值化 1 2 3 4 5 1680 1120 1180 1250 1420 1.2632 0.8421 0.8872 0.9398 1.0677 810 740 600 770 940 1.0492 0.9585 0.7772 0.9974 1.2176 120 170 175 180 165 0.7407 1.0494 1.0802 1.1111 1.0185 75 78 89 76 82 0.9375 0.9750 1.1125 0.9500 1.0250 平均值 1330 1.0000 772 1.0000 162 1.0000 80 1

29、.0000 各指标各灰类的灰数为：关于“高效益”灰类，各指标的一般灰数（顶点）表达为：本例源自中国医学统计百科全书统计管理与健康统计分册5359 页关于“灰色系统法”条目中的一个例子，笔者作了修改。可参阅苏颀龄主编：统计管理与健康统计分册，人民卫生出版社，2004。334 112131411500,900,180,90,100)关于“效益较高”灰类，各指标的一般灰数（顶点）表达为：122232421400,1400800,800160,16080,80 关于“效益一般”灰类，各指标的一般灰数（顶点）表达为：132333431300,1300700,700140,14070,70 关于“效益低”

30、灰类，各指标的一般灰数（顶点）表达为：142434440,12000,6000,1200,60)要求采用灰色系统评价技术进行综合评价，对五个医院的效益类型进行识别，同时作出排序评价。解答 本例拟采用灰色系统理论中最常用的三角形白化权函数进行评价。如果采用前面提出的灰类灰数六要素表达方式，则上述各灰类灰数表达为：关于“高效益”灰类，各指标灰数表达为：112131411400,1450,1500800,850,900160,170,18080,85,90 关于“效益较高”灰类，各指标灰数表达为：122232421300,1350,1400,1400,1450,1500700,750,800,800

31、,850,900140,150,160,160,170,18070,75,80,80,85,90 关于“效益一般”灰各指标灰数表达为类：132333431200,1250,1300,1300,1350,1400600,650,700,700,750,800120,130,140,140,150,16060,65,70,70,75,80 关于“效益低”灰各指标灰数表达为类：142434441200,1250,1300600,650,700120,130,14060,65,70 各指标白化权函数形式如图 7-5 至图 7-8 所示，相应的白化权函数列于图下方。f1j（x1）14 13 12 11

32、1 0.5 1200 1250 1300 1350 1400 1450 1500 x1 图 7-5 医院人均收入指标的白化权函数 335 111111111500140014001001400150015001400 ()()/xfxxxx 111131111120012001001200130013001200140014001001300140014001300()/()()/xxxfxxxx 1141111112001300100 1200130013001200 ()(1300)/xfxxxx f2j（x2）24 23 22 21 1 0.5 600 650 700 750 800 8

33、50 900 x2 图 7-6 医院人均门诊服务量指标的白化权函数 22122221900800800100800900900800 ()()/xfxxxx 222222222700700100700800800700900900100800900900800()/()()/xxxfxxxx 222232222600600100600700700600800800100700800800700()/()()/xxxfxxxx 22422221600700700100 600700700600 ()()/xfxxxx 3313333118016016020160180180160 ()()/xf

34、xxxx 336 f3j（x3）34 33 32 31 1 0.5 120 130 140 150 160 170 180 图 7-7 百元固定资产收入率指标的白化权函数 3333233331401402014016016014018018020160180180160()/()()/xxxfxxxx 3333333331201202012014014012016016020140160160140()/()()/xxxfxxxx 3343333112014014020120140140120 ()()/xfxxxx F4j（x4）44 43 42 41 1 0.5 60 65 70 75 8

35、0 85 90 x4 图 7-8 病床率指标的白化权函数 44144441901008080 1080909080 ()()/xfxxxx 4444244447070107080807090901080909080()/()()/xxxfxxxx 337 44443444444460601060707060808010708080701()/()()/()xxxfxxxxfx44446070701060707060 ()/xxxx 将表 7-1 中的实际值代入上述白化权函数，可计算各医院四项指标不同灰类的白化权值。结果如表 7-2 所示。表 7-2 五个医院经济效益白化权函数值及聚类权 医院

36、指标 灰类的白化权值 效益高 效益较高 效益一般 效益低 1 X1 X2 X3 X4 1.00 0.10 0.00 0.00 0.00 0.90 0.00 0.50 0.00 0.00 0.00 0.50 0.00 0.00 1.00 0.00 2 X1 X2 X3 X4 0.00 0.00 0.50 0.00 0.00 0.40 0.50 0.80 0.00 0.60 0.00 0.20 1.00 0.00 0.00 0.00 3 X1 X2 X3 X4 0.00 0.00 0.75 0.90 0.00 0.00 0.25 0.10 0.00 0.00 0.00 0.00 1.00 1.00

37、 0.00 0.00 4 X1 X2 X3 X4 0.00 0.00 1.00 0.00 0.00 0.70 0.00 0.60 0.50 0.30 0.00 0.40 0.50 0.00 0.00 0.00 5 X1 X2 X3 X4 0.20 1.00 0.25 0.20 0.80 0.00 0.75 0.80 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 根据各灰类的“阀值”（顶点），可以计算出每一灰类的“标定聚类权”。由于各指标的量纲不同，因此“标定权重”计算需要采用标准化的结果。未经同度量化的灰类阀值矩阵为：1234 1500 1400 1300 1

38、200900 800 700 600180 160 140 12090 80 70 60 xxxx 高效益效益较高效益一般低效益 338 采取均值化处理，即有：124 434 1500/13301400/13301300/13301200/1330900/772 800/772700/772600/772180/162 160/162140/162120/16290/80 80/8070/8060/80()ijxxxx 高效益 效益较高 效益一般 低效益 高效益 效益较高 效益一般 低效益 12341.12781.05260.97740.90231.16581.03630.90670.7772

39、 1.11110.98770.86420.74071.12501.00000.87500.7500 xxxx 按列归一化，即可得到如下的“标定聚类权”。高效益 效益较高 效益一般 低效益 124 4340.24900.25820.26980.28460.25740.25420.25020.24520.24530.24230.23850.23370.24840.24530.24150.2366()ijxxxx 假设各指标的重要性权重 wi（采用第四章的某种权数方法构造，如 AHP 法）依次为：35%、20%、30%、15%，采用加法混合权重，即有*ijw：*4 42()()/iijijijwWw

40、w 高效益 效益较高 效益一般 低效益 12340.29950.30410.30990.31730.22870.22710.22510.22260.27260.27110.26930.26680.19920.19770.19570.1933xxxx 于是，可以计算各个医院灰色系统聚类系数。以第一个医院为例，由表 7-2 知：高效益 效益较高 效益一般 低效益 12344 41.000.000.000.000.100.900.000.000.000.000.001.000.000.500.500.00()ijixxfxxxR 尽管笔者建议不采用“标定聚类权重”，但为了便于读者全面了解实践中灰色系

41、统评估的原貌，本例仍然包括了“标定权”。本例基于均值化处理之后的标定聚类权差异很小，这也在一定程度上从另一个角度说明了标定聚类权并没有太大的加权价值。有兴趣的读者可以对本例数据采用“标定聚类权”进行聚类评价。339 1111.000.10(0.29950.22870.27260.1992)0.3224 0.00 0.00TW Rb 2220.30410.000.22710.900.30320.27110.000.19770.50TTW Rb 3330.30990.000.22510.000.09790.26930.000.19570.50TTW Rb 4440.31730.000.22260.

42、000.26680.26681.000.19330.00TTW Rb 从而，第一个医院的聚类系数向量为：123410.3224 0.3032 0.0979 0.2668 ()B医院 类似地，也可计算出其余四家医院的“聚类系数向量”，分别为：12340.1363 0.3845 0.1742 0.3173 ()B医院2 12340.3837 0.0875 0.0000 0.5399 ()B医院3 12340.2726 0.2776 0.3008 0.1587 ()B医院4 12340.3966 0.6048 0.0000 0.0000 ()B医院5 从上述 5 个聚类系数向量可以看出，由于各医院不

43、同指标方面效益差异很大，导致合成值离中趋势很大，“最大隶属原则”并不合适，故应该转化为点值进行评价。如果将“高效益”灰类量化为 100 分，“效益较高”灰类量化为 80 分，“效益一般”灰类量化为 60 分，“低效益”灰类量化为 30 分，则可计算出各医院经济效益综合得分值：340 120.32241000.3032800.0979600.26683070.3740.1363 1000.3845800.1742600.31733064.3610.38371000.0875800600.53993061.5670.27261000.2776800.3008600.15()()()yyyy 医院医

44、院医院3医院4分分分873072.2770.39661000.60488006003088.044()()y 医院5分分 五个医院效益排序为（第一名至第五名）：医院 5、医院 4、医院 1、医院 2、医院 3。按择近原则判断灰类为：医院 5、医院 4、医院 1 为“效益较高类”，医院 2、医院 3 为“效益一般”类。第三节 基于关联系数的灰色综合评价技术 一、基于灰关联系数的排序评价原理及其应用 1 基于灰关联系数的排序评价原理 这一灰色评价思想是借助于灰色系统理论中的一个重要概念灰色关联系数而独立设计的。假设已经获得被评价对象的有关数据，则这一评价技术的基本步骤为：第一步：构造“参考序列”。

45、所谓参考序列，是指由评价指标体系各指标的标准值所构成的一个序列，是作为判断被评价对象价值水平的一个参照系，可以视为一个虚拟的被评价单位。通常是由样本指标中的极值构成参考序列。若第 i 单位 p 项指标的实际值序列为：123()iiiiipXxxxx（1 2,in）则参考序列记为：00102 030()pXxxxx 其中“标准值”0 jx（1 2,jp）通常是取该项指标的“最优值”（理想值或者最大目标值）。如果参评单位个数较多，也可取样本资料中的最优值。即：0max/1,2,.,min/1,2,.,ijjijxinxxin对于正指标对于逆指标 （1 2,jp）对于适度指标，则需要作“单向化处理”

46、。也有文献提出同时使用两个参考序列，即 最优参考序列：()()()()001020()pXxxx 最劣参考序列：()()()()001020()pXxxx 显然，此时的参考序列值确定方式如下：341 ()01 21 2max/,min/,ijjijxinxxin对于正指标对于逆指标 （1 2,jp）()01 21 2max/,min/,ijjijxinxxin对于 逆指标对于正指标 （1 2,jp）第二步：对指标进行无量纲化处理。本书第三章中大多数当量化函数均可采用。但目前有关灰色系统评价方法文献中较多的是采用“极值化”。我们把经过无量纲化处理的各序列为：*iX（1 2,in）、*0X、()*

47、0X、*iX。每一个评价对象与“参考序列”之间存在着偏差，于是可计算如下的序列差：*0 ikikkxx（1 2,in；1 2,kp）记12()iiiip （1 2,in），它是样本单位实际价值水平离参考水平（通常是最优水平）的绝对距离序列。即：*0iiXX （1 2,in；1 2,kp）对于两个参考序列，则有相应的两个绝对偏差：最优偏差：()*()*0 ikikkxx （1 2,in；1 2,kp）最劣偏差：()*()*0 ikikkxx （1 2,in；1 2,kp）相应的序列为：()()*()()()012()iiiiipXX （1 2,in）()()*()()()012()iiiiipX

48、X （1 2,in）第三步：计算第 i 单位第 k 指标与参考序列相比较的关联系数 i（k）。i（k）是这一类灰色综合评价技术的关键。根据邓聚龙教授的最初定义，也是目前人们应用最多的一个定义：m i nm a xm a x()iikk （1 2,in；1 2,kp）式中，min与max分别为所有单位所有指标与参考序列之间的绝对差距中的最小值与最大值；ik为第 i 单位第 k 指标与参考序列之间的绝对差距；为分辨系数，01，一般取0.5。有关符号写成计算公式为：maxmin11 21 21 22max/,;,min/,;,ikikin kpin kp 刘思峰教授等提出了“序列算子”的概念。把“初

49、值化”、“均值化”、“极差变换”、“逆变换”、“倒数变换”等无量纲化方法分别称为“初值化算子 D1”、“均值化算子 D2”、“区间值化算子 D3”、“逆化算子 D4”、“倒数化算子 D5”，并且把经过无量纲化处理的结果称为“像”。342 显然，关联系数仍然是一个序列，第 i 单位与相应各参考序列的“关联系数序列”可分别记为：12()()()iiiip（1 2,in）()()()()12()()()iiiip（1 2,in）()()()()12()()()iiiip（1 2,in）可见，()ik与ik成反比：i 单位与参考序列水平越接近，ik越小，但()ik越大。第四步：根据关联 系数序列，计算

50、关联度i，并据之进行综合评价排序。很容易看出，关联系数序列反映了一个评价对象在各单项指标上偏离“目标”的相对程度，若将这些相对偏差加以统计综合（合成），即可获得对整个序列“偏离”目标程度的综合测量，因此灰色关联度正是刻画序列“总的相对偏差”程度的指标。由于不同指标在评价体系中的作用不同，因此关联度也可以通过加权的方式计算。通常的关联度定义是采用算术平均方式，即：1()piikkk w（1 2,in）即将第 i 单位全部指标的关联系数进行加权平均，称为“灰色关联度”。其中权数 wk是指标 k 的重要性权重。直接利用i即可进行排序综合评价。i越大，表示该单位与“最优目标值”越接近（关联程度越高），