精品解析北京市海淀区2012届高三上学期期末考试数学(理)试题解析(教师版).pdf

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1、-1-【试题总体说明】本套试卷严格按照 2011年北京卷的高考题进行命制，题目难度适当，创新度较高。所命试卷呈现以下几个特点：（1）注重对基础知识、基本能力和基本方法的考查，严格控制试题难度。如选择题 2,4；（2）知识点覆盖全面，既注重对传统知识的考查，又注重对新增内容的考查，更注重对主干知识的考查；（3）遵循源于教材、高于教材的原则，部分试题根据教材中的典型例题或习题改编而成；如选择题 3,7.（4）深入探究 2011高考试题，精选合适的试题进行改编；如填空题 9,11.（5）题型新颖，创新度高，部分试题是原创题，有较强的时代特色如填空题 13 和解答题 20 等；（6）在知识网络的交汇处

2、命题，强调知识的整合，突出考查学生综合运用数学知识分析问题、解决问题的能力。如 17 题。一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）复数52i=+()（A）2i-（B）21i55+（C）105i-（D）105i33-【答案】A 【解析】55(2)5(2)2.2(2)(2)5iiiiii故选 A.（3）若数列 na满足：119a=，13(*)nnaan N，则数列 na的前n项和数值最大时，n的值是 （A）6 （B）7 （C）8 （D）9 -2-【答案】B 【解析】113,3,nnnnnaaaaa 以 19 为首项，以

3、-3 为公差的等差数列，19(1)(3)223.nann 设前 n 项和最大，故有 1022301922,7.0223(1)033nnannnNnan故答案为 B。（4）已知平面，直线l，若，l=，则 （A）垂直于平面的平面一定平行于平面 （B）垂直于直线l的直线一定垂直于平面（C）垂直于平面的平面一定平行于直线l （D）垂直于直线l的平面一定与平面,都垂直【答案】D 【解析】A 错，如墙角的三个平面不满足；B 错，缺少条件直线应该在平面内；C 错，直线l也可能在平面内。D 正确，因l垂直平面，且l在平面,内，故由面面垂直的判定定理可知命题正确。故选 D。（5）函数()sin(2)(,)fxA

4、xA=+R的部分图象如图所示，那么(0)f=（）（A）12-（B）32-（C）1-（D）3-【答案】C 【解析】由图可知，(,2)3为函数图象的最高点，2,()2,3Af -3-2222 sin()2,sin()1,2()3332kkZ 12(),(0)2 sin2 sin(2)2()1.662kkZfk （6）执行如图所示的程序框图，输出的i值为 （）（A）5 （B）6 （C）7 （D）8【答案】A 【解析】由框架图可知，当1,0is时，1 12 112121011;22145;ssss 3 1322351217;ss4 14324173249;ss 5 154254980129100,5.

5、ssi故答案为 A.（7）已知函数2()cossinfxxx，那么下列命题中假命题是 （）（A）()f x既不是奇函数也不是偶函数 （B）()f x在,0-上恰有一个零点 -4-（C）()f x是周期函数 （D）()f x在(,2 上是增函数 51()2 cos(sin)coscos(12 sin),(,),cos0,sin1,262fxxxxxxxxx()cos(12 sin)0,fxxx故 D 为真命题。故答案为 B.（8）点P到图形C上每一个点的距离的最小值称为点P到图形C的距离，那么平面内到定圆C的 距 离 与 到 定 点A的 距 离 相 等 的 点 的 轨 迹 不 可 能 是 （）（

6、A）圆 （B）椭圆 （C）双曲线的一支 （D）直线【答案】D 【解析】如图，A 点为定圆的圆心，动点 M 为定圆半径 AP 的中点，故 AM=MP，此时 M 的轨迹为以 A 圆心,半径为 AM 的圆。如图，以 F1为定圆的圆心，F1P 为其半径，在 F1P 截得|MP|=|MA|，1111,PFrMFPMMFMArF A设 由椭圆的定义可知，M 的轨迹是以 F1、A 为焦点，-5-过 P点延长使得|MP|=|MA|，则有 11,MFPMrMFMArFA 由双曲线的定义可知，M 的轨迹是以 F1、A 为 焦点的双曲线的右支。若 M 落在以 A 为端点在 x 轴上的射线上，也满足条件 二、填空题：

7、本大题共6 小题，每小题5 分，共30分，把答案填在题中横线上.（9）5(1)x+的展开式中2x的系数是 .（用数字作答）【答案】5 【解析】5521555()1,=21,2rrrrrrrTCxC xr令，2x的系数为155.C -6-（10）若实数,x y满足40,20,250,xyxyxy+-+-则2zxy=+的最大值为 .【答案】7【解析】根据不等式组画出可行域，如图所示为三角形，目标函数12,22zzxyyx 要是目标函数取得最大值，即直线的截距最大，【解析】由已知可得：211,4.4.4aaxy由抛物线的定义可知 A 点到焦点距离为 A 到准线的距离：151.244Apy（12）甲和

8、乙两个城市去年上半年每月的平均气温（单位：C）用茎叶图记录如下，根据茎叶图可知，两城市中平均温度较高的城市是_，气温波动较大的城市是_.-7-【解析】设直线方程为(1),yk x即0,kxyk圆心到直线的距离为2,1kkk因直为 .8,3 说明：“三棱柱绕直线OO旋转”包括逆时针方向和顺时针方向，逆时针方向旋转时，OA旋甲城市 乙城市 9 0 8 7 7 3 1 2 4 7 2 2 0 4 7 -8-转所成的角为正角，顺时针方向旋转时，OA旋转所成的角为负角.【答案】8；.3【解析】由题意可知，要使得俯视图最大，需当三棱锥柱的一个侧面在水平平面内时，此时俯 视 图 面 积 最 大，如 图 所

9、示，俯 视 图 为 矩 形AA CC，且3,4,B DA A则AC 3tan 3022,故面积最大为248.当棱柱在水平面内滚动时，因三角形 ABC为正三角形，当绕着OO旋转60后其中一个侧面恰好在水平面，其俯视图的面积也正在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，2AB，3sin3B.（）求cos A及sin C的值；（）若2b=，求ABC的面积.【命题分析】本题考查解三角形、二倍角公式和正弦定理等内容，考查学生的转化能力和计算能力，第一问中利用二倍角公式和两角和正弦公式进行求解；第二问中利用正弦定理和三角形面积公式求解。解：（）因为2AB，所以2coscos 212 sinABB=

10、-.2 分 因为3sin3B，所以11cos1233A=-?.3 分 -9-所以463a=.11 分 所以1202sin29ABCSabC=.13 分(16)（本小题满分 13 分）为加强大学生实践、创新能力和团队精神的培养，促进高等教育教学改革，教育部门主办了全国大学生智能汽车竞赛.该竞赛分为预赛和决赛两个阶段，参加决赛的队伍按照抽签方式决定出场顺序.通过预赛，选拔出甲、乙等五支队伍参加决赛.（）求决赛中甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率；（）若决赛中甲队和乙队之间间隔的队伍数记为X，求X的分布列和数学期望.【命题分析】本题考查随机事件的概率和期望，考查学生的分析问题能力和计算能力。结合排列

11、知识和随机事件的概率公式进行求解.解：（）设“甲、乙两支队伍恰好排在前两位”为事件A，则 23!15!10PA.4 分 所以 甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率为110.5 分（）随机变量X的可能取值为0,1,2,3.6 分 -10-24!205!5PX，323!315!10PX，22!32!125!5PX，23!135!10PX.10 分 随机变量X的分布列为：X 0 1 2 3 P 25 310 15 110 因为 231101231510510EX，所以 随机变量X的数学期望为1.13 分 (17)（本小题满分 14 分）（）证明：因为 90ABC?，所以 ABBC.1 分 因为 平面P

12、BC 平面ABCD，平面PBC 平面ABCDBC=，AB 平面ABCD，所以 AB 平面PBC.3 分（）解：取BC的中点O，连接PO.因为PBPC=，所以 POBC.因为 平面PBC 平面ABCD，平面PBC 平面ABCDBC=，PO 平面PBC，-11-所以 PO 平面ABCD.4 分 如图，以O为原点，OB所在的直线为x轴，在平面ABCD内过O垂直于BC的直 线为y轴，OP所在的直线为z轴建立空间直角坐标系Oxyz不妨设2BC=.由 直角梯形ABCD中2ABPBPCBCCD=可得(0,0,3)P，(1,1,0)D-，(1,2,0)A.所以(1,1,3)DP=-，(2,1,0)DA=.设平

13、面PAD的法向量(,)=x y zm.因为 0,0.DPDA?mm 所以(,)(1,1,3)0,(,)(2,1,0)0,x y zx y z?=?即30,20.xyzxy-+=+=令1x=，则2,3yz=-=-.所以(1,2,3)=-m.7 分 取平面BCP的一个法向量 n0,1,0.所以 2cos,2 m nm nm n.所以 平面ADP和平面BCP所成的二面角（小于90）的大小为4.9 分（）解：在棱PB上存在点M使得CM平面PAD，此时12PMPB=.理由如 -12-下：10 分 取AB的中点N，连接CM，CN，MN.则 MNPA，12ANAB=.因为 2ABCD=，所以 ANCD=.因

14、为 ABCD，所以 四边形ANCD是平行四边形.所以 CNAD.因为,MNCNNPAADA=，所以 平面MNC平面PAD.13 分 因为 CM 平面MNC，所以 CM平面PAD.14 分(18)（本小题满分 13 分）已知函数2()e()xfxxaxa，其中a是常数.()当1a 时，求曲线()yfx在点(1,(1)f处的切线方程；（）若存在实数k，使得关于x的方程()fxk在0,)上有两个不相等的实数根，求k的取值范围.-13-解得(2)xa 或0 x.6 分 当(2)0a，即2a 时，在区间0,)上，()0fx，所以()fx是0,)上的增函数.所以 方程()fxk在0,)上不可能有两个不相等

15、的实数根.8 分 当(2)0a，即2a 时，(),fxfx随x的变化情况如下表 x 0(0,(2)a(2)a(2),)a()fx 0-0+()fx a 24eaa 由上表可知函数()fx在0,)上的最小值为24(2)eaafa.10 分 因为 函数()fx是(0,(2)a上的减函数，是(2),)a上的增函数，且当xa 时，有()fxe()aaa.11 分 所以 要使方程()fxk在0,)上有两个不相等的实数根，k的取值范围必须是 24(,eaaa.13 分 (19)（本小题满分 14 分）-14-已知焦点在x轴上的椭圆C过点(0,1)，且离心率为32,Q为椭圆C的左顶点.（）求椭圆C的标准方程

16、；（）已知过点6(,0)5的直线l与椭圆C交于A，B两点.（）若直线l垂直于x轴，求AQB的大小;（）若直线l与x轴不垂直，是否存在直线l使得QAB为等腰三角形？如果存在，求出直线l的方程；如果不存在，请说明理由.（）由（）得(2,0)Q.设1122(,),(,)A xyB xy.（）当直线l垂直于x轴时，直线l的方程为65x .-15-（）当直线l与x轴不垂直时，由题意可设直线AB的方程为6()(0)5yk xk.由226(),514yk xxy消去y得：2222(25100)2401441000kxk xk.因为 点6(,0)5-在椭圆C的内部，显然0.21222122240,251001

17、44100.25100kxxkkx xk 8 分 因为 1122(2,),(2,)QAxyQBxy ，116()5yk x，226()5yk x，所以 1212(2)(2)QA QBxxy y 121266(2)(2)()()55xxk xk x 2221212636(1)(2)()4525kx xkxxk 2222222144100624036(1)(2)()402510052510025kkkkkkk.所以 QAQB .-16-所以 QAB为直角三角形.11 分 假设存在直线l使得QAB为等腰三角形，则QAQB.取AB的中点M，连接QM，则QMAB.记点6(,0)5-为N.(20)（本小题

18、满分 14 分）已知集合1,2,3,(*)Mnn=N，若集合12,(*)mAaaaMm=臀N，且对任 意 的bM，存 在,(1)ijaaAijm危，使 得12ijbaa=+（其 中12,1,0,1?），则称集合A为集合M的一个m元基底.（）分别判断下列集合A是否为集合M的一个二元基底，并说明理由；1,5A=，1,2,3,4,5M=；2,3A=，1,2,3,4,5,6M=.（）若集合A是集合M的一个m元基底，证明：(1)m mn+；（）若集合A为集合1,2,3,19M=的一个m元基底，求出m的最小可能值，并写出当m取最小值时M的一个基底A.【命题分析】本题是一道以集合为背景的创新题，考查学生的理

19、解能力和分析能力。读懂题意是解题的前提，解题是注意分类讨论思想的应用。-17-故22mmmmCCn+，即(1)m mn+.8 分（）由（）可知(1)19m m+，所以4m.当4m=时，(1)191m m+-=，即用基底中元素表示出的数最多重复一个.*假设1234,Aaaaa=为1,2,3,19M=的一个 4 元基底，不妨设1234aaaa，则410a.当410a=时，有39a=，这时28a=或7.如果28a=，则由1109,198,1899,18108=-=-=+=+，与结论*矛盾.如 果27a=，则16a=或5.易 知 6,7,9,1A=和5,7,9,10A=都 不 是 1,2,3,1M=的 4 元基底，矛盾.当411a=时，有38a=，这 时27a=，16a=，易 知 6,7,8,1A=不 是-18-1,2,3,19M=的 4 元基底，矛盾.当412a=时，有37a=，这 时26a=，15a=，易 知5,6,7,12A=不 是 1,2,3,1M=的 4 元基底，矛盾.当413a=时，有36a=，25a=，14a=，易 知 4,5,6,A=不 是 1,2,3,M=的 4 元基底，矛盾.