第01讲导数的概念及运算(精讲+精练)(学生版).pdf

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1、第 01 讲 导数的概念及运算(精讲+精练）目录 第一部分：知识点精准记忆 第二部分：课前自我评估测试 第三部分：典型例题剖析 高频考点一：导数的概念 高频考点二：导数的运算 高频考点三：导数的几何意义 求切线方程（在型）求切线方程（过型）已知切线方程（或斜率）求参数 导数与函数图象 共切点的公切线问题 不同切点的公切线问题 与切线有关的转化问题 第四部分：高考真题感悟 第五部分：第 01 讲 导数的概念及运算（精练）第一部分：知 识 点 精 准 记 忆 1、平均变化率（1）变化率 事物的变化率是相关的两个量的“增量的比值”。如气球的平均膨胀率是半径的增量与体积增量的比值.（2）平均变化率 一

2、般地，函数()f x在区间21,xx上的平均变化率为：2121()()f xf xxx.（3）如何求函数的平均变化率 求函数的平均变化率通常用“两步”法：作差：求出21()()yf xf x 和21xxx 作商：对所求得的差作商，即2121()()f xf xyxxx.2、导数的概念（1）定义：函数()f x在0 xx 处瞬时变化率是 xxfxxfxyxx0000limlim，我们称它为函数 xfy 在0 xx 处的导数,记作 或0 xf 即0 xxy xxfxxfxyxfxx00000limlim.（2）定义法求导数步骤：求函数的增量：00()()yf xxf x ；求平均变化率：00()(

3、)f xxf xyxx；求极限，得导数：00000()()()limlimxxf xxf xyfxxx .3、导数的几何意义 函数()yf x在点0 xx处的导数的几何意义，就是曲线()yf x在点00(,)P xy处的切线的斜率k，即0()kfx.4、基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导数()f xc(c为常数)()0fx()nf xx(nR)1()nfxnx()sinf xx()cosfxx()cosf xx()sinfxx ()xf xe()xfxe()xf xa(0a)()lnxfxaa()lnf xx 1()fxx()logxaf x(0a，1a)1()lnfxxa()f xx

4、1()2fxx 1()f xx 21()fxx 5、导数的运算法则 若()fx，()g x存在，则有（1）()()()()f xg xfxg x（2）()()()()()()f xg xfxg xf xg x（3）2()()()()()()()f xfxg xf xg xg xgx 6、复合函数求导 复合函数()yf g x的导数和函数()yf u，()ug x的导数间的关系为xuxyy u，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积 7、曲线的切线问题（1）在型求切线方程 已知：函数)(xf的解析式.计算：函数)(xf在0 xx 或者)(,(00 xfx处的切线方程.步骤：第一步：计

5、算切点的纵坐标)(0 xf（方法：把0 xx 代入原函数)(xf中），切点)(,(00 xfx.第二步：计算切线斜率()kfx.第三步：计算切线方程.切线过切点)(,(00 xfx，切线斜率)(0 xfk。根据直线的点斜式方程得到切线方程：)()(000 xxxfxfy.（2）过型求切线方程 已知：函数)(xf的解析式.计算：过点111(,)P x y（无论该点是否在()yf x上）的切线方程.步骤：第一步：设切点000(,)P xy 第二步：计算切线斜率0()kfx；计算切线斜率1010yykxx；第三步：令：10010()yykfxxx，解出0 x，代入0()kfx求斜率 第三步：计算切线

6、方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：000()()yyfxxx.一、判断题 1（2021全国高二课前预习）函数 yf(x)在 xx0处的导数值就是曲线 yf(x)在 xx0处的切线的斜率()第二部分：课 前 自 我 评 估 测 试 2（2021全国高二课前预习）函数在 xx0处的导数 f(x0)是一个常数()3（2021全国高二课前预习）函数 yf(x)在 xx0处的导数值与 x的正、负无关.()4（2021全国高二课前预习）设 xx0 x，则 xxx0，则 x 趋近于 0 时，x 趋近于 x0，因此，f(x0)0limx 00()f xxf xx0limxx 00()f xf xxx.(

7、)二、单选题 1（2022河北邢台高二阶段练习）函数 27f xxx从 1 到 2 的平均变化率为（）A4 B4 C6 D6 2（2022四川攀枝花七中高二阶段练习（理）已知函数 2exf x，则 011lim2xfxfx （）Ae2 Be2 Ce De 3（2022江西九江二模）曲线 3313f xx在1x 处的切线倾斜角是（）A6 B3 C56 D23 4（2022安徽滁州高二阶段练习）曲线()lnf xxx在1x 处的切线的方程为（）A22yx B1yx C1yx D31yx 高频考点一：导数的概念 1（2022河北邢台高二阶段练习）已知函数()yf x的图象如图所示，()fx是函数()

8、f x的导函数，则（）A(4)(2)(2)(4)2ffff B(4)(2)(4)(2)2ffff C(4)(2)(2)(4)2ffff D(4)(2)(4)(2)2ffff 2（2022安徽芜湖一中高二阶段练习）已知函数 f x在0 xx处的导数为 0fx，则 0003limxf xxf xx （）第三部分：典 型 例 题 剖 析 A 013fx B 03fx C 03fx D 013fx 3（2022陕西西安市阎良区关山中学高二阶段练习（理）已知 02fx，则 000lim2xf xxf xx _.高频考点二：导数的运算 1（多选）（2022河北武安市第三中学高二阶段练习）下列运算正确的是（

9、）A1cos62 B3ln 3131xx C334113xx D eexx 2（2022重庆市青木关中学校高二阶段练习）已知函数3()lnf xxx，则(1)f _.3（2022四川攀枝花七中高二阶段练习（理）求下列函数的导数：(1)2cosxxyx；(2)e1cos2xxyx；(3)3log51yx 4（2022四川棠湖中学高二阶段练习（理）求下列函数的导数(1)f（x）=x3ex；(2)g（x）=cos2x+ln（2x）5（2022甘肃甘南藏族自治州合作第一中学高二期末（文）求下列函数的导数.(1)2()sin2cosf xxxx；(2)e1()e1xxf x.高频考点三：导数的几何意义

10、求切线方程（在型）1（2022内蒙古赤峰二中高二期末（文）曲线 exf xxa在点 0,0f处的切线过点2,-1，则实数a（）A1 B0 C1 D2 2（2022江西临川一中高二期末（文）已知函数 2ln()f xxx，则函数 f x在点(1,(1)f处的切线方程为（）A 10 xy B30 xy C10 xy D0 xy 3（2022 天津市滨海新区塘沽第一中学高二阶段练习）曲线 exf x 在0 x 处的切线l与坐标轴围成的三角形的面积为（）A1 B12 C22e D2e2 4（2022湖南一模）若曲线1lnxyex在点(1,1)处的切线与直线0axy平行，则a（）A1 B1 C2 D2

11、5（2022河南模拟预测（文）函数 ln2f xxxx在1x 处的切线方程为（）A1yx B1yx C22yx D21yx 6（2022河南沈丘县第一高级中学高二期末（文）已知函数 ln3f xxxx，则曲线()yf x在点 e,ef处的切线方程为（）Ae0 xy Be0yx Ce0 xy De0 xy 求切线方程（过型）1（2022江西南昌大学附属中学高二期末（理）曲线 yln x在点 M 处的切线过原点，则该切线的斜率为（）A1 Be C1 D1e 2（2022全国高三专题练习）若曲线yx的一条切线经过点(8，3)，则此切线的斜率为（）A 14 B 12 C14或18 D12或14 3（2

12、022江苏南京航空航天大学苏州附属中学高二阶段练习）已知函数 33f xxx，则过点3,9 可作曲线 yf x的切线的条数为（）A0 B1 C2 D3 4（2022陕西安康高三期末（文）曲线2 ln3yxx过点1,02的切线方程是（）A210 xy B210 xy C2410 xy D2410 xy 5（2022陕西西北工业大学附属中学一模（理）已知 lnf xxx，若过一点,m n可以作出该函数的两条切线，则下列选项一定成立的是（）Alnnmm Blnnmm C2e0en D1m 6（2022江西模拟预测（文）已知曲线()elnxf xx与过点0,1的直线l相切，则l的斜率为_ 7（2022

13、全国高三专题练习）已知函数 f(x)x2ax，若曲线 yf(x)存在两条过(1，0)点的切线，则 a 的取值范围是_.已知切线方程（或斜率）求参数 1（2022北京北理工附中高二阶段练习）如图，函数()yf x的图像在点 P 处的切线方程是8yx ，则(5)(5)ff（）A-2 B2 C3 D无法确定 2（2022湖南长沙县实验中学高二阶段练习）已知函数 1f xaxx在点 1,1f处的切线与直线210 xy 垂直，则a（）A2 B1 C2 D3 3（2022吉林白山一模（理）函数 1 exf xa xx的图象在点 0,0f处的切线斜率为 1，则a（）A1 B1 C2 D2 4（2022江苏省

14、苏州实验中学高二阶段练习）已知直线yaxb是曲线lnyxx的切线，则2ab的取值范围是（）A0,1 B0,e C,2e D,e 5（2022全国高三专题练习）若点 P 是曲线232ln2yxx上任意一点，则点 P到直线3yx的距离的最小值为（）A7 24 B3 32 C2 D5 6（2022四川省绵阳南山中学高二阶段练习（理）若曲线 2lnf xaxxx 存在垂直于 y轴的切线，则 a的取值范围是()A1,8 B10,8 C1,8 D1,8 7（2022全国高三专题练习）点 A在直线 yx 上，点 B在曲线lnyx上，则AB的最小值为（）A22 B1 C2 D2 导数与函数图象 1（2022北

15、京北理工附中高二阶段练习）函数()yf x的图像如图所示，下列不等关系正确的是（）A0(2)(3)(3)(2)ffff B0(2)(3)(2)(3)ffff C0(3)(3)(2)(2)ffff D0(3)(2)(2)(3)ffff 2（2022全国高二单元测试）已知函数 yf x的图象是下列四个图象之一，且其导函数 yfx的图象如图所示，则该函数的图象是（）A B C D 3（2022江苏高二）如图，函数 yf x的图象在点P处的切线方程是8yx ，则 055limxfxfx（）.A1 B3 C3 D1 4（2021全国高二单元测试）如图所示，yf x是可导函数，直线 l：y=kx+3 是曲

16、线 y=f（x）在 x=1 处的切线，令()()f xh xx，h x是 h（x）的导函数，则 1h的值是（）A2 B1 C-1 D-3 共切点的公切线问题 1（2021江西高三阶段练习（理）若曲线1exy与曲线ya x在公共点处有公共切线，则实数a（）A2ee Bee C2e D1e 2（2021重庆高二阶段练习）已知两曲线3yxax和2yxbxc都经过点1,2P，且在点P处有公切线，则当12x 时，2log2baxcx的最小值为（）A1 B2 C12 D0 3（2021云南曲靖一中模拟预测（理）设曲线 xf xaeb和曲线 cos2xg xc在它们的公共点0,2M处有相同的切线，则bca

17、的值为（）A0 B C2 D3 4（2022全国高三专题练习（理）已知函数 22f xxm，3lng xxx，若 yf x与 yg x在公共点处的切线相同，则m（）A3 B1 C2 D5 5（2022全国高三专题练习）若函数 f（x）alnx（aR）与函数 g（x）x在公共点处有共同的切线，则实数a 的值为（）A4 B12 C2e De 不同切点的公切线问题 1（2022河北省唐县第一中学高三阶段练习）已知函数 lnf xax，exg xb，若直线0ykx k与函数 f x，g x的图象都相切，则1ab的最小值为（）A2 B2e C2e De 2（2022重庆市育才中学高三阶段练习）若直线:l

18、 ykxb（1k）为曲线 1xf xe与曲线 lng xex的公切线，则 l的纵截距b（）A0 B1 Ce De 3（2022湖北安陆第一高中高二阶段练习）若存在过点（0，2）的直线与曲线3yx和曲线2yxxa都相切，则实数 a的值是（）A2 B1 C0 D2 4（2022湖南永州二模）若函数2yax与lnyx存在两条公切线，则实数a的取值范围是（）A10,e B10,2e C1,e D1,2e 5（2022山西吕梁高二期末）若直线ykxb是曲线2exy的切线，也是曲线1e1xy的切线，则b _ 6（2022全国高三专题练习）若曲线lnyx与曲线22(0)yxxa x有公切线，则a的取值范围是

19、_.7（2022四川棠湖中学高二阶段练习（文）已知 xf xe（e为自然对数的成数），ln2g xx，直线l是 f x与 g x的公切线，则直线l的方程为_.与切线有关的转化问题 1（2022全国高三专题练习）已知111ln20 xxy，22242ln20 xy，则221212()()xxyy的最小值为（）A105 B2 55 C2 105 D2 155 2（2022江苏泰州中学高二开学考试）若实数a，b，c，d满足ln,1ab cd，则22acbd的最小值为_.3（2022四川成都外国语学校高二阶段练习（文）已知0 x，yR，222()ln2xyxxy的最小值为（）A2 B2 C4 33 D

20、163 4（2022全国高三专题练习）若211212ln21xxxyy，则221212xxyy的最小值是（）A12 B22 C2 D2 5（2022全国高三专题练习）已知点P，Q分别在函数()ln(1)f xx与()2g xx的图象上运动，则PQ的最小值为（）A1 B2 C2 D2 2 1（2021全国高考真题）若过点,a b可以作曲线exy 的两条切线，则（）Aeba Beab C0eba D0eab 2（2020全国高考真题（理）若直线 l 与曲线 y=x和 x2+y2=15都相切，则 l 的方程为（）Ay=2x+1 By=2x+12 Cy=12x+1 Dy=12x+12 3（2019全国

21、高考真题（文）曲线 y=2sinx+cosx 在点(，1)处的切线方程为 A10 xy B2210 xy C2210 xy D10 xy 一、单选题 1（2022重庆市长寿中学校高二阶段练习）设 f x是可导函数，且 0121lim2xfxfx ，则 1f（）A12 B1 C0 D2 2（2022河北武安市第三中学高二阶段练习）若直线eykx与曲线lnyxx相切，则k（）A1e B2 Ce D4 3（2022福建省连城县第一中学高二阶段练习）已知直线0axbyc与曲线11cos222yx 在点 1,4 2P处的切线互相垂直，则ab的值为（）第四部分：高考真题感悟 第五部分：第 01 讲 导数的

22、概念及运算（精练）A22 B2 C-1 D1 4（2022云南昆明一模（文）已知直线2yx与曲线exya相切，则a的值为（）A2 B2 ln2 1 Cln21 D2 ln2 1 5（2022广西柳州三模（理）若曲线 exf xx在点 00,xf x处的切线方程为ykxb，则kb的最大值为（）Ae1 B1 Ce1 De 6（2022河北邢台高二阶段练习）若直线l与函数 exf x，lng xx的图象分别相切于点 11,A x f x，22,B x g x，则1212x xxx（）A2 B1 C1 D2 7（2022河南新蔡县第一高级中学高二阶段练习（理）函数 lnf xxax存在与直线20 xy

23、平行（或重合）的切线，则实数a的取值范围是（）A,2 B2,C,2 D2,8（2022山东潍坊一中模拟预测）已知函数 1lnf xxx，直线ymxn是曲线 yf x的一条切线，则2mn的取值范围是（）A3,B2ln24,C2e3,e D5ln2,4 二、填空题 9（2022北京交通大学附属中学高二阶段练习）设函数()sinf xxx，则2f=_；10（2022四川宜宾二模（理）已知21()2()3f xxxf，则曲线()f x在点13x 处的切线方程为_.11（2022河南温县第一高级中学高三阶段练习（理）已知函数 f x为偶函数，且当 x0 时，21f xxx，则 1f _.12（2022陕

24、西武功县普集高级中学高二阶段练习（理）已知函数 2e0 ln4xffxx，则 0f _ 三、解答题 13（2022湖南高二课时练习）若函数 1232021f xxxxx，求2021f 的值 14（2022江苏高二课时练习）求下列函数的导数：(1)2(2)()1xf xx；(2)23()9f xxxx；(3)ln()xf xx；(4)2()cosf xxx 15（2022北京北理工附中高二阶段练习）已知函数321()33f xxxax(1)若()f x在点(1,(1)f处切线的倾斜角为4，求a的值；16（2022辽宁沈阳市第一二中学高二阶段练习）已知两曲线3yxax和2yxbxc都经过点1,2P，且在点 P处有公切线(1)求 a，b，c的值；(2)求公切线与坐标轴围成的三角形的面积；