高一数学复习考点知识专题讲解4直线的两点式方程.pdf

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1、1/12 高一数学复习考点知识专题讲解 直线的两点式方程 学习目标 1.掌握直线方程两点式的形式、特点及适用范围.2.了解直线方程截距式的形式、特点及适用范围.3.会用中点坐标公式求线段的中点坐标 知识点 直线的两点式方程和截距式方程 名称 两点式 截距式 条件 两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1x2，y1y2)在 x，y 轴上的截距分别为 a，b(a0，b0)示意图 方程 yy1y2y1xx1x2x1 xayb1 适用范围 斜率存在且不为 0 斜率存在且不为 0，不过原点 思考 1 过点(x0，y0)且斜率为 0 的直线有两点式方程吗？答案 没有其方程为 yy0.思考 2 方

2、程x2y31 是直线的截距式方程吗？答案 不是截距式方程的特点有两个，一是中间必须用“”号连接，二是等号右边为 1.1不经过原点的直线都可以用方程xayb1 表示()2/12 2能用截距式方程表示的直线都能用两点式表示()3直线 yx 在 x 轴和 y 轴上的截距均为 0.()4经过任意两个不同的点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(yy1)(x2x1)(xx1)(y2y1)表示()一、直线的两点式方程 例 1 已知 A(3,2)，B(5，4)，C(0，2)，在ABC 中，(1)求 BC 边所在的直线方程；(2)求 BC 边上的中线所在直线的方程 解(1)BC 边过两点

3、 B(5，4)，C(0，2)，由两点式，得y424x505，即 2x5y100，故 BC 边所在的直线方程为 2x5y100.(2)设 BC 的中点为 M(a，b)，则 a50252，b4223，所以 M52，3，又 BC 边的中线过点 A(3,2)，所以y232x3523，即 10 x11y80，所以 BC 边上的中线所在直线的方程为 10 x11y80.延伸探究 若本例条件不变，试求 BC 边的垂直平分线所在的直线方程 解 kBC425025，3/12 则 BC 边的垂直平分线的斜率为52，又 BC 的中点坐标为52，3，由点斜式方程可得 y352x52，即 10 x4y370.反思感悟

4、利用两点式求直线的方程(1)首先要判断是否满足两点式方程的适用条件，然后代入两点式(2)若满足即可考虑用两点式求方程在斜率存在的情况下，也可以先应用斜率公式求出斜率，再用点斜式写方程 跟踪训练 1(1)过点 A(2,1)，B(3，3)的直线方程为_ 答案 4x5y30 解析 因为直线过点(2,1)和(3，3)，所以y131x232，所以y14x25，化简得 4x5y30.(2)已知直线经过点 A(1,0)，B(m，1)，求这条直线的方程 解 由直线经过点 A(1,0)，B(m，1)，因此该直线斜率不可能为零，但有可能不存在(1)当直线斜率不存在，即 m1 时，直线方程为 x1；(2)当直线斜率

5、存在，即 m1 时，利用两点式，可得直线方程为y010 x1m1，即 x(m1)y10.综上可得，当 m1 时，直线方程为 x1；当 m1 时，直线方程为 x(m1)y10.二、直线的截距式方程 例 2 求过点 A(5,2)，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线 l 的方程 解(1)当直线 l 在两坐标轴上的截距均为 0 时，方程为 y25x，即 2x5y0.4/12(2)当直线 l 在两坐标轴上的截距不为 0 时，可设方程为xaya1，即 xya，又l 过点 A(5,2)，52a，解得 a3，l 的方程为 xy30.综上所述，直线 l 的方程是 2x5y0 或 xy30.延伸探究(变条件)若

6、将本例中的条件“在坐标轴上的截距互为相反数”变为：“在 x 轴上的截距是在 y 轴上截距的 2 倍”，其它条件不变，如何求解？解(1)当直线 l 在两坐标轴上的截距均为 0 时，方程为 y25x，即 2x5y0，符合题意(2)当直线 l 在两坐标轴上的截距均不为 0 时，可设方程为x2aya1，又 l 过点(5,2)，52a2a1，解得 a92.l 的方程为 x2y90.综上所述，直线 l 的方程是 2x5y0 或 x2y90.反思感悟 截距式方程应用的注意事项(1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式直线方程，用待定系数法确定其系数即可 (2)选用截距式直线方程时，必须首先考虑

7、直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直(3)要注意截距式直线方程的逆向应用 跟踪训练 2(多选)过点(2,3)，并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为()Ay32xBxy5 Cy32xDxy50 答案 AB 解析 设直线在两坐标轴上的截距分别为 a，b.当 ab0 时，直线方程为xaya1，2a3a1，a5，xy5，5/12 当 ab0 时，k32，y32x，综上所述，y32x 和 xy5.直线方程的灵活应用 典例 已知ABC 的一个顶点是 A(3，1)，ABC，ACB 的平分线方程分别为 x0，yx.(1)求直线 BC 的方程；(2)求直线 AB 的方程 解 如图 (1)因为ABC，ACB 的

8、平分线方程分别是 x0，yx，所以 AB 与 BC 关于 x0 对称，AC 与 BC 关于 yx 对称 A(3，1)关于 x0 的对称点 A(3，1)在直线 BC 上，A 关于 yx 的对称点 A(1,3)也在直线 BC 上 由两点式求得直线 BC 的方程为 y2x5.(2)因为直线 AB 与直线 BC 关于 x0 对称，所以直线 AB 与 BC 的斜率互为相反数，由(1)知直线 BC 的斜率为 2，所以直线 AB 的斜率为2，又因为点 A 的坐标为(3，1)，所以直线 AB 的方程为 y(1)2(x3)，即 2xy50.素养提升(1)理解题目条件，角的两边关于角平分线对称(2)画出图形，借助

9、图形分析 A 关于直线 x0 的对称点 A在 BC 上，A 关于 yx 的对称点 A也在6/12 BC 上，体现了直观想象的数学核心素养(3)分别求出 A，A两点的坐标，再根据两点式求出 BC 边所在直线方程，突出体现了数学运算的数学核心素养 1在 x 轴，y 轴上的截距分别是3,4 的直线方程是()A.x3y41 B.x3y41 C.x3y41 D.x4y31 答案 A 2经过 M(3,2)与 N(6,2)两点的直线方程为()Ax2 By2 Cx3 Dx6 答案 B 解析 由 M，N 两点的坐标可知，直线 MN 与 x 轴平行，所以直线方程为 y2，故选 B.3过坐标平面内两点 P1(2,0

10、)，P2(0,3)的直线方程是()A.x3y21 B.x2y30 C.x2y31 D.x2y31 答案 C 4过点 P(1,2)且在两坐标轴上截距的和为 0 的直线方程为_ 答案 2xy0 或 xy10 解析 当直线过原点时，得直线方程为 2xy0；当在坐标轴上的截距不为零时，可设直线方程为xaya1，将 x1，y2 代入方程可得 a1，7/12 得直线方程为 xy10.直线方程为 2xy0 或 xy10.5已知点 A(3,2)，B(1,4)，则经过点 C(2,5)且经过线段 AB 的中点的直线方程为_ 答案 2xy10 解析 AB 的中点坐标为(1,3)，由直线的两点式方程可得y353x12

11、1，即 2xy10.1知识清单：(1)直线的两点式方程(2)直线的截距式方程 2方法归纳：分类讨论法、数形结合法 3常见误区：利用截距式求直线方程时忽略过原点的情况导致漏解 1(多选)下列说法中不正确的是()A经过定点 P0(x0，y0)的直线都可以用方程 yy0k(xx0)来表示 B经过定点 A(0，b)的直线都可以用方程 ykxb 来表示 C不与坐标轴重合或平行的直线其方程一定可以写成截距式 D不与坐标轴重合或平行的直线其方程一定可以写成两点式 答案 ABC 2过点 A(3,2)，B(4,3)的直线方程是()Axy10 Bxy10 Cxy10 Dxy10 8/12 答案 D 解析 由直线的

12、两点式方程，得y232x343，化简得 xy10.3直线xa2yb21 在 y 轴上的截距是()A|b|Bb2 Cb2Db 答案 B 解析 令 x0，得 yb2.4过两点(1,1)和(3,9)的直线在 x 轴上的截距为()A32 B23 C.25 D2 答案 A 解析 由两点式y191x131，得 y2x3，令 y0，得 x32，即为在 x 轴上的截距 5若直线 l 过点(1，1)和(2,5)，且点(1 010，b)在直线 l 上，则 b 的值为()A2 021 B2 020 C2 019 D2 018 答案 A 解析 由直线的两点式方程得直线 l 的方程为 y151x121，即 y2x1，令

13、 x1 010，则有 b21 0101，即 b2 021.6过点(1,3)且在 x 轴上的截距为 2 的直线方程是_ 答案 3xy60 解析 由题意知直线过点(2,0)，9/12 又直线过点(1,3)，由两点式可得，y030 x212，整理得 3xy60.7过点 P(1,3)的直线 l 分别与两坐标轴交于 A，B 两点，若 P 为 AB 的中点，则直线 l 的截距式方程是_ 答案 x2y61 解析 设 A(m，0)，B(0，n)，由 P(1,3)是 AB 的中点可得 m2，n6，即 A，B 的坐标分别为(2,0)，(0,6)，则 l 的截距式方程是x2y61.8若点 P(3，m)在过点 A(2

14、，1)，B(3,4)的直线上，则 m_.答案 2 解析 由直线方程的两点式，得y141x232，即y15x25.直线 AB 的方程为 y1x2，点 P(3，m)在直线 AB 上，m132，得 m2.9求过点 P(6，2)，且在 x 轴上的截距比在 y 轴上的截距大 1 的直线方程 解 设直线方程的截距式为xa1ya1.则6a12a1，解得 a2 或 a1，则直线方程是x21y21 或x11y11，即 2x3y60 或 x2y20.10/12 10在ABC 中，已知 A(5，2)，B(7,3)，且 AC 边的中点 M 在 y 轴上，BC 边的中点 N 在 x 轴上，求：(1)顶点 C 的坐标；(

15、2)直线 MN 的截距式方程 解(1)设 C(x0，y0)，则 AC 边的中点为 Mx052，y022，BC 边的中点为 Nx072，y032，因为 M 在 y 轴上，所以x0520，解得 x05.又因为 N 在 x 轴上，所以y0320，解得 y03.即 C(5，3)(2)由(1)可得 M0，52，N(1,0)，所以直线 MN 的截距式方程为x1y521.11直线xayb1 过第一、三、四象限，则()Aa0，b0 Ba0，b0 Ca0 Da0，b0，b0)，显然直线 l 只能过第二、三、四象限，而不会过第一象限，且倾斜角为钝角，故选 B.13两条直线 l1：xayb1 和 l2：xbya1

16、在同一直角坐标系中的图象可以是()答案 A 解析 两条直线化为截距式分别为xayb1，xbya1.假定 l1，判断 a，b，确定 l2的位置，知 A符合 14在 y 轴上的截距是3，且经过 A(2，1)，B(6,1)中点的直线方程为()A.x4y31 B.x4y31 C.x3y41 D.x3y61 答案 B 解析 A(2，1)，B(6,1)的中点坐标为(4,0)，即可设直线的截距式方程为xay31，将点(4,0)代入方程得 a4，则该直线的方程为x4y31.15已知 A(3,0)，B(0,4)，直线 AB 上一动点 P(x，y)，则 xy 的最大值是_ 答案 3 12/12 解析 直线 AB

17、的方程为x3y41，设 P(x，y)，则 x334y，xy3y34y234(y24y)34(y2)243.即当 P 点坐标为32，2 时，xy 取得最大值 3.16若直线 l 与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，且此三角形的面积为 18，求直线 l 的方程 解 直线 l 与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，直线 l 在两坐标轴上的截距相等或互为相反数且不为 0，若 l 在两坐标轴上的截距相等，且设为a(a0)，则直线方程为xaya1，即 xya0.12|a|a|18，即 a236，a6，直线方程为 xy60.若 l 在两坐标轴上的截距互为相反数，不妨设在 x 轴上的截距为 a，则在 y 轴上的截距为a(a0)，故直线方程为xaya1，即 xya0.12|a|a|18，即 a236，a6，直线方程为 xy60.综上所述，直线 l 的方程为 xy60 或 xy60.