高考数学一轮复习第10章概率10.2古典概型学案文.pdf

《高考数学一轮复习第10章概率10.2古典概型学案文.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学一轮复习第10章概率10.2古典概型学案文.pdf（18页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、 1 高考数学一轮复习第 10 章概率 10.2 古典概型学案文052218 102 古典概型 知识梳理 1基本事件的特点(1)任何两个基本事件都是互斥的(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和 2古典概型 具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型(1)有限性：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个(2)等可能性：每个基本事件出现的可能性相等 3如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是1n；如果某个事件A包括的结果有m个，那么事件A的概率P(A)mn.4古典概型的概率公式 2 P(A)A包含的基本事件的个数基

2、本事件的总数.诊断自测 1概念思辨(1)在一次试验中，其基本事件的发生一定是等可能的.()(2)事件A，B至少有一个发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率大()(3)在古典概型中，如果事件A中基本事件构成集合A，所有的基本事件构成集合I，那么事件A的概率为cardAcardI.()(4)利用古典概型的概率可求“在边长为 2 的正方形内任取一点，这点到正方形中心距离小于或等于 1”的概率()答案(1)(2)(3)(4)2教材衍化(1)(必修 A3P134A 组 T5)在平面直角坐标系中点(x，y)，其中x，y0,1,2,3,4,5，且xy，则点(x，y)在直线yx的左上方的概率是()A.13

3、 B.12 C.14 D.23 答案 B 解析 在平面直角坐标系中满足x，y0,1,2,3,4,5，且xy的点(x，y)共有 66630 个，而满足在直线yx的左上方，即yx的点(x，y)的基本事件共有 15 个，故所求概率为P153012.故选 B.(2)(必修 A3P134A 组 T4)已知A，B，C，D是球面上的四个点，其中A，B，C在同一圆周上，若D不在A，B，C所在的圆周上，则从这四点中的任意两点的连线中取 2 条，这两条直线是异面直线的概率等于_ 答案 15 解析 A，B，C，D四点可构成一个以D为顶点的三棱锥，共 6 条棱，则所有基本事件有：(AB，BC)，(AB，AC)，(AB

4、，AD)，(AB，BD)，(AB，CD)，(BC，CA)，(BC，BD)，(BC，AD)，(BC，CD)，(AC，AD)，(AC，BD)，(AC，CD)，(AD，BD)，(AD，CD)，(BD，CD)，共 15个，其中满足条件的基本事件有：(AB，CD)，(BC，AD)，(AC，BD)，共 3 个，所以所求概率P31515.3小题热身(1)(2016全国卷)为美化环境，从红、黄、白、紫 4 种颜色的花中任选 2 种花种在一个花坛中，余下的 2 种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是()A.13 B.12 C.23 D.56 答案 C 3 解析 解法一：从红、黄、白、紫 4

5、种颜色的花中任选 2 种有以下选法：(红黄)、(红白)、(红紫)、(黄白)、(黄紫)、(白紫)，共 6 种，其中红色和紫色的花不在同一花坛(亦即黄色和白色的花不在同一花坛)的选法有 4 种，所以所求事件的概率P4623，故选 C.解法二：设红色和紫色的花在同一花坛为事件A，则事件A包含 2 个基本事件：红紫与黄白，黄白与红紫由解法一知共有 6 个基本事件，因此P(A)2613，从而红色和紫色的花不在同一花坛的概率是P(A)1P(A)23.故选 C.(2)(2018山西联考)从(40,30)，(50,10)，(20,30)，(45,5)，(10,10)这 5 个点中任取一个，这个点在圆x2y22

6、016 内部的概率是()A.35 B.25 C.15 D.45 答案 B 解析 从(40,30)，(50,10)，(20,30)，(45,5)，(10,10)这 5 个点中任取一个的基本事件总数为 5，这个点在圆x2y22016 内部包含的基本事件有(20,30)，(10,10)，共 2 个，这个点在圆x2y22016 内部的概率P25，故选 B.题型 1 简单古典概型的求解 典例1 (2016北京高考)从甲、乙等 5 名学生中随机选出 2 人，则甲被选中的概率为()A.15 B.25 C.825 D.925 考虑用树状图表示各种结果或用组合表示各种结果 答案 B 解析 设其他 3 名学生为丙

7、、丁、戊，从中任选 2 人的所有情况有(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(甲，戊)，(乙，丙)，(乙，丁)，(乙，戊)，(丙，丁)，(丙，戊)，(丁，戊)，共 432110 种 其中甲被选中的情况有(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(甲，戊)，共 4 种，故甲被选中的概率为41025.典例2 (2017山西一模)现有 2 名女教师和 1 名男教师参加说题比赛，共有 2 道备选题目，若每位选手从中有放回地随机选出一道题进行说题，其中恰有一男一女抽到同一道 4 题的概率为()A.13 B.23 C.12 D.34 答案 C 解析 记两道题分别为A，B，所有抽取的情况为AAA,AAB，ABA，A

8、BB，BAA，BAB，BBA，BBB(其中第 1 个，第 2 个分别表示两个女教师抽取的题目，第 3 个表示男教师抽取的题目)，共有 8 种；其中满足恰有一男一女抽到同一道题目的情况为ABA，ABB，BAA，BAB，共 4 种 故所求事件的概率为12.故选 C.方法技巧 1基本事件个数的确定方法 列表法 此法适合于从多个元素中选定两个元素的试验，也可看成是坐标法 树状图法 树状图是进行列举的一种常用方法，适合于有顺序的问题及较复杂问题中基本事件数的探求 2.应用古典概型求某事件的步骤 第一步，判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件A；第二步，分别求出基本事件的总数n与所求事件A中所包含

9、的基本事件个数m；第三步，利用公式P(A)mn，求出事件A的概率见典例 1,2.冲关针对训练(2018安徽名校模拟)某车展展出甲、乙两种最新款式的汽车，现从参观人员中随机选取 100 人对这两种汽车均进行评价，评价分为三个等级：优秀、良好、合格，由统计信息可知，甲种汽车被评价为优秀的频率为35，良好的频率为25；乙种汽车被评价为优秀的频率为710，良好的频率是合格的频率的 5 倍(1)求这 100 人中对乙种汽车评价优秀或良好的人数；(2)如果从这 100 人中按甲种汽车的评价等级用分层抽样的方法抽取 5 人，再从其他对乙种汽车评价优秀、良好的人中各选取 1 人进行座谈会，会后从这 7 人中随

10、机抽取 2 人，求选取的 2 人评价都是优秀的概率 解(1)因为对乙种汽车评价优秀的频率为710，故评价良好或合格的频率为 1710310.设评价合格的频率为x，则评价良好的频率为 5x，由题意可得x5x310，解得x120.所以这 100 人中对乙种汽车评价优秀或良好的人数为 100710512095.5(2)因为对甲种汽车评价优秀的频率为35，良好的频率为25，则用分层抽样的方法抽取 5人，其中有 3 人评价优秀，分别记为A，B，C,2 人评价良好，分别记为a，b.记抽取到对乙种汽车评价优秀、良好的 2 人分别为D，d，则从这 7 人中随机抽取 2 人，不同的结果为A，B，A，C，A，a，

11、A，b，A，D，A，d，B，C，B，a，B，b，B，D，B，d，C，a，C，b，C，D，C，d，a，b，a，D，a，d，b，D，b，d，D，d，共 21 种 记“选取的 2 人评价都是优秀”为事件M，则事件M的结果为A，B，A，C，A，D，B，C，B，D，C，D，共 6 种 所以选取的 2 人评价都是优秀的概率P(M)62127.题型 2 复杂古典概型的求解 典例 (2016山东高考)某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动 参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数设两次记录的数分别为x，y.奖励规则如下：若xy3，则奖励玩具一个；若xy

12、8，则奖励水杯一个；其余情况奖励饮料一瓶 假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀小亮准备参加此项活动(1)求小亮获得玩具的概率；(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由 本题采用列表法计算事件数 解 用数对(x，y)表示儿童参加活动先后记录的数，则基本事件空间与点集S(x，6 y)|xN，yN,1x4,1y4一一对应 因为S中元素的个数是 4416，所以基本事件总数n16.(1)记“xy3”为事件A，则事件A包含的基本事件数共 5 个，即(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(3,1)P(A)516，即小亮获得玩具的概率为516.(2)记“xy8”为事件B，“3xy51

13、6，所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率 结论探究 本例中条件不变，试求小亮不能获得玩具的概率 解 由题意知当xy3 时，小亮不能获得玩具，此时包含基本事件共 11 个，即(1,4)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，而基本事件总数共 16 个，所以此事件概率为P1116.或根据对立事件求解：xy3 时包含事件个数为 5 个，故其获得玩具的概率为516，则不能获得玩具的概率为 15161116.方法技巧 复杂古典概型的求解策略 求较复杂事件的概率问题，解题关键是理解题目的实际含义，把实际问题转化为概率模型

14、，必要时将所求事件转化成彼此互斥事件的和，或者先求其对立事件的概率，进而再用互斥事件的概率加法公式或对立事件的概率公式求解 冲关针对训练(2017江西新余一中模拟)某汽车美容公司为吸引顾客，推出优惠活动：对首次消费的顾客，按 200 元/次收费，并注册成为会员，对会员逐次消费给予相应优惠，标准如下表：消费次数 第 1 次 第 2 次 第 3 次 第 4 次 5 次及以上 收费比例 1 0.95 0.90 0.85 0.80 该公司从注册的会员中，随机抽取了 100 位进行统计，得到统计数据如下表：消费次数 第 1 次 第 2次 第 3 次 第 4次 5 次及以上 频数 60 20 10 5 5

15、 假设汽车美容一次，公司成本为 150 元，根据所给数据，解答下列问题：(1)估计该公司一位会员至少消费两次的概率；(2)某会员仅消费两次，求这两次消费中，公司获得的平均利润；7(3)该公司要从这100位里至少消费两次的顾客中按消费次数用分层抽样方法抽出8人，再从这 8 人中抽出 2 人发放纪念品，求抽出的 2 人中恰有 1 人消费两次的概率 解(1)100 位会员中，至少消费两次的会员有 40 位，所以估计一位会员至少消费两次的概率为401000.4.(2)该会员第 1 次消费时，公司获得的利润为 20015050(元)，第 2 次消费时，公司获得的利润为 2000.9515040(元)，所

16、以，公司获得的平均利润为5040245(元)(3)因为 2010554211，所以用分层抽样方法抽出的 8 人中，消费 2 次的有 4 人，分别设为A1，A2，A3，A4，消费 3 次的有 2 人，分别设为B1，B2，消费 4 次和 5 次及以上的各有 1 人，分别设为C，D，从中抽出 2 人，抽到A1的有A1A2，A1A3，A1A4，A1B1，A1B2，A1C，A1D，共 7 种；去掉A1后，抽到A2的有A2A3，A2A4，A2B1，A2B2，A2C，A2D，共 6 种；去掉A1，A2，A3，A4，B1，B2后，抽到C的有：CD，共 1 种，总的抽取方法有 765432128 种，其中恰有

17、1 人消费两次的抽取方法有 444416 种，所以，抽出的 2 人中恰有 1 人消费两次的概率为162847.题型 3 古典概型与统计的综合问题 典例 (2018安徽阶段测试)某校高三期中考试后，数学教师对本次全部数学成绩按120 进行分层抽样，随机抽取了 20 名学生的成绩为样本，成绩用茎叶图记录如图所示，但部分数据不小心丢失，同时得到如下表所示的频率分布表：8 (1)求表中a，b的值及成绩在90,110)范围内的样本数，并估计这次考试全校高三学生数学成绩的及格率(成绩在90,150内为及格)；(2)若从茎叶图中成绩在100,130)范围内的样本中一次性抽取两个，求取出两个样本数字之差的绝对

18、值小于或等于 10 的概率 解(1)由茎叶图知成绩在50,70)范围内的有 2 人，在110,130)范围内的有 3 人，a0.1，b3.成绩在90,110)范围内的频率为 10.10.250.250.4，成绩在90,110)范围内的样本数为 200.48，估计这次考试全校高三学生数学成绩的及格率为 P10.10.250.65.(2)一切可能的结果组成的基本事件空间为(100,102),(100,106)，(100,106)，(100,116)，(100,118)，(100,128)，(102,106)，(102,106)，(102,116)，(102,118)，(102,128)，(106,

19、106)，(106,116)，(106,118)，(106,128)，(106,116)，(106,118)，(106,128)，(116,118)，(116,128)，(118,128)，共 21 个基本事件，设事件A“取出的两个样本中数字之差小于或等于 10”，则A(100,102)，(100,106)，(100,106)，(102,106)，(102,106)，(106,106)，(106,116)，(106,116)，(116,118)，(118,128)，共 10 个基本事件，P(A)1021.方法技巧 求解古典概型与统计交汇问题的思路 1依据题目的直接描述或频率分布表、频率分布直方

20、图、茎叶图等统计图表给出的信息，提炼出需要的信息 2选择恰当的方法找出符合条件的基本事件总数及所求事件包含的基本事件数 3进行统计与古典概型概率的正确计算 冲关针对训练(2018广东五校诊断)某市为庆祝北京夺得 2022 年冬奥会举办权，围绕“全民健身促健康、同心共筑中国梦”主题开展全民健身活动，组织方从参加活动的群众中随机抽取 120名群众，按他们的年龄分组：第1组20,30)，第2组30,40)，第3组40,50)，第4组50,60)，第 5 组60,70，得到的频率分布直方图如图所示 9 (1)若电视台记者要从抽取的群众中选人进行采访，估计被采访人恰好在第 1 组或第 4组的概率；(2)

21、已知第 1 组群众中男性有 3 名，组织方要从第 1 组中随机抽取 2 名群众组成志愿者服务队，求至少有 1 名女性群众的概率 解(1)设第 1 组20,30)的频率为f1，则由题意可知，f11(0.0100.0350.0300.020)100.05.被采访人恰好在第 1 组或第 4 组的频率为 0.050.020100.25.估计被采访人恰好在第 1 组或第 4 组的概率为 0.25.(2)第 1 组20,30)的人数为 0.051206.第 1 组中共有 6 名群众，其中女性群众共 3 名 记第 1 组中的 3 名男性群众分别为A，B，C,3 名女性群众分别为x，y，z，从第 1 组中随机

22、抽取 2 名群众组成志愿者服务队包含(A，B)，(A，C)，(A，x)，(A，y)，(A，z)，(B，C)，(B，x)，(B，y)，(B，z)，(C，x)，(C，y)，(C，z)，(x，y)，(x，z)，(y，z)，共 15 个基本事件 至少有一名女性群众包含(A，x)，(A，y)，(A，z)，(B，x)，(B，y)，(B，z)，(C，x)，(C，y)(C，z)，(x，y)，(x，z)，(y，z)，共 12 个基本事件 从第 1 组中随机抽取 2 名群众组成志愿者服务队，至少有 1 名女性群众的概率为121545.1(2017全国卷)从分别写有 1,2,3,4,5 的 5 张卡片中随机抽取 1

23、 张，放回后再随机抽取 1 张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为()A.110 B.15 C.310 D.25 10 答案 D 解析 从 5 张卡片中随机抽取 1 张，放回后再随机抽取 1 张的情况如图：基本事件总数为 25，第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的事件数为 10，所求概率P102525.故选 D.2(2017山东高考)从分别标有 1,2，9 的 9 张卡片中不放回地随机抽取 2 次，每次抽取 1 张，则抽到的 2 张卡片上的数奇偶性不同的概率是()A.518 B.49 C.59 D.79 答案 C 解析 9 张卡片中有 5 张奇数卡片，4 张偶数卡片，且为不

24、放回地随机抽取，抽取两次共有 9872 种基本事件，其中满足卡片上数字奇偶性不同共有 455440 种基本事件，故抽取到的 2 张卡片上的数奇偶性不同的概率是407259.故选 C.3(2017天津高考)有 5 支彩笔(除颜色外无差别)，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫 从这 5 支彩笔中任取 2 支不同颜色的彩笔，则取出的 2 支彩笔中含有红色彩笔的概率为()A.45 B.35 C.25 D.15 答案 C 解析 从 5 支彩笔中任取 2 支不同颜色彩笔的取法有红黄、红蓝、红绿、红紫、黄蓝、黄绿、黄紫、蓝绿、蓝紫、绿紫，共 10 种，其中取出的 2 支彩笔中含有红色彩笔的取法有红黄、红蓝、红绿、

25、红紫，共 4 种，所以所求概率P41025.故选 C.4(2018洛阳统考)将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数a，b，则直线axby0与圆(x2)2y22 有公共点的概率为_ 答案 712 解析 a1 时，b1,2，6，共 6 种情况；a2 时，b2,3，6，共 5 种情况；a3 时，b3,4,5,6，共 4 种情况；a4 时，b4,5,6，共 3 种情况；a5 时，b5,6，共 2 种情况；a6 时，b6，共 1 种情况 基础送分 提速狂刷练 一、选择题 1 先后抛掷两枚质地均匀的骰子，设出现的点数之和是 12,11,10 的概率依次是P1，P2，11 P3，则()AP1P2P3 BP1P2

26、P3 CP1P2P3 DP3P2P1 答案 B 解析 先后抛掷两枚骰子点数之和共有 36 种可能，而点数之和为 12,11,10 的概率分别为P1136，P2118，P3112.故选 B.2(2017浙江金丽衢十二校联考)4 张卡片上分别写有数字 1,2,3,4，从这 4 张卡片中随机抽取 2 张，则取出的 2 张卡片上的数字之和为偶数的概率为()A.12 B.13 C.23 D.34 答案 B 解析 因为从四张卡片中任取出两张的情况为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共 6 种其中两张卡片上数字和为偶数的情况为(1,3)，(2,4)，共 2 种，所以两张

27、卡片上的数字之和为偶数的概率为13.故选 B.3 从 1,2,3,4 中任取 2 个不同的数，则取出的 2 个数之差的绝对值为 2 的概率是()A.12 B.13 C.14 D.16 答案 B 解析 从 1,2,3,4 中任取 2 个不同的数有以下六种情况：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，满足取出的 2 个数之差的绝对值为 2 的(1,3)，(2,4)，故所求概率是2613.故选 B.4(2018山西朔州模拟)某校食堂使用大小、手感完全一样的餐票，小明口袋里有一元餐票 2 张，两元餐票 2 张，五元餐票 1 张，若他从口袋中随机地摸出 2 张，则其面值之

28、和不少于四元的概率为()A.310 B.25 C.12 D.35 答案 C 解析 小明口袋里共有 5 张餐票，随机地摸出 2 张，基本事件总数n10，其面值之和不少于四元包含的基本事件数m5，故其面值之和不少于四元的概率为mn51012.故选 C.5(2018保定模拟)甲、乙二人玩猜数字游戏，先由甲任想一数字，记为a，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜出的数字记为b，且a，b1,2,3，若|ab|1，则称甲、乙“心有灵犀”，现任意找两个人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为()A.13 B.59 C.23 D.79 答案 D 解析 甲任想一数字有 3 种结果，乙猜数字有 3 种结果，基本条件总数

29、为 339.设“甲、乙心有灵犀”为事件A，则A的对立事件B为“|ab|1”，即|ab|2，12 包含 2 个基本事件，P(B)29.P(A)12979.故选 D.6(2018合肥模拟)从 2 名男生和 2 名女生中任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，每天一人，则星期六安排一名男生、星期日安排一名女生的概率为()A.13 B.512 C.12 D.712 答案 A 解析 设 2 名男生记为A1，A2,2 名女生记为B1，B2，任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，共有A1A2，A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，B1B2，A2A1，B1A1，B2A1，B1A2，B2A2，B2B

30、112种情况，而星期六安排一名男生、星期日安排一名女生共有A1B1，A1B2，A2B1，A2B24 种情况，则发生的概率为P41213，故选 A.7(2017银川模拟)连掷骰子两次得到的点数分别记为a和b，则使直线 3x4y0与圆(xa)2(yb)24 相切的概率为()A.16 B.118 C.19 D.13 答案 B 解析 连掷骰子两次总的试验结果有 36 种，要使直线 3x4y0 与圆(xa)2(yb)24 相切，则|3a4b|52，即满足|3a4b|10，符合题意的(a，b)有(6,2)，(2,4)，共 2种，由古典概型的概率计算公式可得所求概率为P118.故选 B.8抛掷两枚均匀的骰子

31、，得到的点数分别为a，b，那么直线xayb1 的斜率k12的概率为()A.12 B.13 C.34 D.14 答案 D 解析 记a，b的取值为数对(a，b)，由题意知(a，b)的所有可能取值有 36 种由直线xayb1 的斜率kba12，知ba12，那么满足题意的(a，b)可能的取值为(2,1)，(3,1)，(4,1)，(4,2)，(5,1)，(5,2)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，共有 9 种，所以所求概率为93614.故选 D.9(2018太原模拟)记连续投掷两次骰子得到的点数分别为m，n，向量a(m，n)与向量b(1,0)的夹角为，则0，4的概率为()A.518 B.512 C.

32、12 D.712 答案 B 13 解析 解法一：依题意，向量a(m，n)共有 6636(个)，其中满足向量a(m，n)与向量b(1,0)的夹角0，4，即nm的(m，n)可根据n的具体取值：第一类，当n1 时，m有 5 个不同的取值；第二类，当n2 时，m有 4 个不同的取值；第三类，当n3时，m有 3 个不同的取值；第四类，当n4 时，m有 2 个不同的取值；第五类，当n5 时，m有 1 个取值，因此满足向量a(m，n)与向量b(1,0)的夹角0，4的(m，n)共有1234515(个)，所以所求概率为1536512.故选 B.解法二：依题意可得向量a(m，n)共有 6636(个)，其中满足向量

33、a(m，n)与向量b(1,0)的夹角0，4，即nm的向量a(m，n)有366215(个)，所以所求概率为1536512.故选 B.10(2018淄博模拟)将一颗骰子投掷两次，第一次出现的点数记为a，第二次出现的点数记为b，设任意投掷两次使两条不重合直线l1：axby2，l2：x2y2 平行的概率为P1，相交的概率为P2，若点(P1，P2)在圆(xm)2y2137144的内部，则实数m的取值范围是()A.518，B.，718 C.718，518 D.518，718 答案 D 解析 对于a与b各有 6 种情形，故总数为 36 种 两条直线l1：axby2，l2：x2y2 平行的情形有a2，b4 或

34、a3，b6，故概率为P1236118.两条直线l1：axby2，l2：x2y2 相交的情形除平行与重合(a1，b2)即可，P233361112.点(P1，P2)在圆(xm)2y2137144的内部，118m211122137144，解得518m 5的概率是_ 答案 16 解析 由e 1b2a2 5，得b2a.当a1 时，b3,4,5,6 四种情况；当a2 时，b5,6 两种情况，总共有 6 种情况 又同时掷两颗骰子，得到的点数(a，b)共有 36 种结果 所求事件的概率P63616.13(2018湖南长沙模拟)抛掷两枚质地均匀的骰子，得到的点数分别为a，b，则使得直线bxay1 与圆x2y21

35、 相交且所得弦长不超过4 23的概率为_ 答案 19 解析 根据题意，得到的点数所形成的数组(a，b)共有 6636 种，其中满足直线bxay1 与圆x2y21 相交且所得弦长不超过4 23，则圆心到直线的距离不小于13，即 11a2b213，即 1a2b29 的有(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)四种，故直线bxay1 与圆x2y21 相交且所得弦长不超过4 23的概率为43619.14(2017宿迁模拟)已知kZ，AB(k,1)，AC(2,4)，若|AB|4，则ABC是直角三角形的概率是_ 答案 37 15 解析 因为|AB|k214，所以 15k 15，因为kZ，所以k3，2

36、，1,0,1,2,3，当ABC为直角三角形时，应有ABAC，或ABBC，或ACBC，由ABAC0，得 2k40，所以k2，因为BCACAB(2k,3)，由ABBC0，得k(2k)30，所以k1 或 3，由ACBC0，得 2(2k)120，所以k8(舍去)，故使ABC为直角三角形的k值为2，1 或 3，所以所求概率P37.三、解答题 15为了解收购的每只小龙虾的重量，某批发商在刚从甲、乙两个水产养殖场收购的小龙虾中分别随机抽取了 40 只，得到小龙虾的重量的频数分布表如下 从甲水产养殖场中抽取的 40 只小龙虾的重量的频数分布表 重量/克 5,15)15,25)25,35)35,45)45,55

37、 频数 2 8 16 10 4 从乙水产养殖场中抽取的 40 只小龙虾的重量的频数分布表 重量/克 5,15)15,25)25,35)35,45)45,55 频数 2 6 18 10 4 (1)试根据上述表格中的数据，完成从甲水产养殖场中抽取的 40 只小龙虾的重量的频率分布直方图；(2)依据小龙虾的重量，将小龙虾划分为三个等级：16 重量/克 5,25)25,45)45,55 等级 三级 二级 一级 若规定二级以上(包括二级)的小龙虾为优质小龙虾，估计甲、乙两个水产养殖场的小龙虾哪个的“优质率”高？并说明理由(3)从乙水产养殖场抽取的重量在5,15)，15,25)，45,55内的小龙虾中利用

38、分层抽样的方法抽取 6 只，再从这 6 只中随机抽取 2 只，求至少有 1 只的重量在15,25)内的概率 解(1)(2)若把频率看作相应的概率，则“甲水产养殖场的小龙虾为优质小龙虾”的概率为16104400.75，“乙水产养殖场的小龙虾为优质小龙虾”的概率为18104400.8，所以乙水产养殖场的小龙虾“优质率”高(3)用分层抽样的方法从乙水产养殖场重量在5,15)，15,25)，45,55内的小龙虾中抽取 6 只，则重量在5,15)内的有 1 只，在15,25)内的有 3 只，在45,55内的有 2 只，记重量在5,15)内的 1 只为x，在15,25)内的 3 只分别为y1，y2，y3，

39、在45,55内的 2只分别为z1，z2，从中任取 2 只，可能的情况有(x，y1)，(x，y2)，(x，y3)，(x，z1)，(x，z2)，(y1，y2)，(y1，y3)，(y1，z1)，(y1，z2)，(y2，y3)，(y2，z1)，(y2，z2)，(y3，z1)，(y3，z2)，(z1，z2)，共 15 种；记“任取 2 只，至少有 1 只的重量在15,25)内”为事件A，则事件A包含的情况有(x，y1)，(x，y2)，(x，y3)，(y1，y2)，(y1，y3)，(y1，z1)，(y1，z2)，(y2，y3)，(y2，z1)，(y2，z2)，(y3，z1)，(y3，z2)，共 12 种

40、所以P(A)121545.16(2017石景山区一模)“累积净化量(CCM)”是空气净化器质量的一个重要衡量指 17 标，它是指空气净化器从开始使用到净化效率为 50%时对颗粒物的累积净化量，以克表示 根据 GB/T188012015空气净化器国家标准，对空气净化器的累积净化量(CCM)有如下等级划分：累积净化量(克)(3,5(5,8(8,12 12 以上 等级 P1 P2 P3 P4 为了了解一批空气净化器(共 2000 台)的质量，随机抽取n台机器作为样本进行估计，已知这n台机器的累积净化量都分布在区间(4,14中，按照(4,6，(6,8，(8,10，(10,12，(12,14，均匀分组，

41、其中累积净化量在(4,6的所有数据有：4.5,4.6,5.2,5.3,5.7 和 5.9，并绘制了如下频率分布直方图 (1)求n的值及频率分布直方图中的x值；(2)以样本估计总体，试估计这批空气净化器(共 2000 台)中等级为P2的空气净化器有多少台？(3)从累积净化量在(4,6的样本中随机抽取 2 台，求恰好有 1 台等级为P2的概率 解(1)在(4,6之间的数据一共有 6 个，再由频率分布直方图得：落在(4,6之间的频率为 0.0320.06，n60.06100，由频率分布直方图的性质得：(0.03x0.120.140.15)21，解得x0.06.(2)由频率分布直方图可知：落在(6,8

42、之间共：0.12210024 台，又在(5,6之间共 4 台，落在(5,8之间共 28 台，估计这批空气净化器(共 2000 台)中等级为P2的空气净化器有 560 台(3)设“恰好有 1 台等级为P2”为事件B，18 依题意落在(4,6之间共 6 台，属于国标P2级的有 4 台，分别设为a1，a2，b1，b2，b3，b4，则从(4,6中随机抽取 2 台，基本事件为(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a1，b4)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(a2，b4)，(b1，b2)，(b1，b3)，(b1，b4)，(b2，b3)，(b2，b4)，(b3，b4)，共 15 种 事件B包含的基本事件为(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a1，b4)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(a2，b4)，共 8 种 恰好有 1 台等级为P2的概率P(B)mn815.