鸡兔同笼问题(教师版).pdf

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1、 鸡兔同笼问题（假设法）（第一讲）我国古代数学名着孙子算经中有这样的一道应用题：今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各有几何？意思是说:鸡和兔同关在一个笼子里，已知鸡与兔共有 35只,鸡脚与兔脚共有94只，问鸡、兔各有多少只？这就是着名的鸡兔同笼问题。怎样解决这个问题呢？我们通常把题中相当于“鸡”和“兔”的两种量，全部假设看作“鸡”或“兔”，然后找出与实际数量的差，由此求出“鸡”或“兔”这种解决问题的方法就是假设法。鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题，就是把假设错的 那部分置出来。解鸡兔同笼问题的基本关系式是：解法1:鸡的只数=（每只兔脚数X 兔总数一实际脚数）-（每只兔子脚数一

2、每只鸡的脚 数）兔的只数=总只数一鸡的只数 解法2:兔的只数=（总脚数一鸡的脚数 总、只数）十（兔的脚数一鸡的脚数）只数=总只数一兔的只数 例1、鸡兔同笼，头共46,足共128,鸡兔各几只？分析：假设46只都是兔，一共应有 4X 46=184只脚，这和已知的128只脚相比多了 184-128=56只脚。如果用一只鸡来置换一只兔，就要减少 4-2=2（只）脚。那么，46只兔里应 该换进几只鸡才能使56只脚的差数就没有了呢？显然，56十2=28,只要用28只鸡去置换28 只兔就行了。所以，鸡的只数就是 28,兔的只数是46-28=18。例2、小梅数她家的鸡与兔，数头有16个，数脚有44只。问：小梅

3、家的鸡与兔各有多少只？分析：假设16只都是鸡，那么就应该有2X16=32（只）脚，但实际上有44只脚，比假设 的情况多了 44-32=12（只）脚，出现这种情况的原因是把兔当作鸡了。因此只要算出 有几个2，就可以求出兔的只数。解：有兔（44-2X 16）-（4-2）=6（只），有鸡 16-6=10（只）。答：有 6 只兔，我们也可以假设16只都是兔子，那么就应该有 4X16=64（只）脚，但实际上有 比假设的情况少了 64-44=20（只）脚，这是因为把鸡当作兔了。因此只要算出 个2,就可以求出鸡的只数。有鸡（4X 16-44）-（4-2）=10（只），有兔1610=6（只）。、鸡、兔共有头1

4、00个，脚350只，鸡、兔各有多少只？鸡兔同笼，共有头100个，足316只，那么鸡有多少只？兔有多少只?鸡兔同笼，共有30个头，88只脚。笼子中鸡、兔各有多少只?鸡的 12里面 10只鸡。44只脚，20里面有几 鸡与兔共40只，鸡的脚数与兔的脚数共有 90只。问鸡、兔各多少只?、在同一个笼子中，有若干只鸡和兔，从笼子上看有 40头，从笼子下数有130只脚，那 么这个笼子中装有兔、鸡各多少只？、动物园里有一群鸵鸟和长颈鹿，它们共有 30只眼睛和44只脚，问鸵鸟和长颈鹿各有 多少只？、现在有大小油桶 50个，每个大桶可装油 4千克，每个小桶可装油 2千克，大桶比小桶 共多装油 20千克，问大、小油

5、桶各多少个?、大油瓶一瓶装 4 千克,小油瓶 2 瓶装 1 千克。现有 100 千克油装了共 60 个瓶子.问大、小油瓶各多少个?、面值为 5 角和 8 角的邮票共 30 张，总价值 18 元，那么面值为 5 角的邮票有多少张。探、30枚硬币，由2角和5角组成，共值9元9角,2角硬币有多少个？5角有多少个?、某人领得工资 240元,有 2元,5元,10元三种人民币共 50张,其中 2元和 5元的张数一 样多,那么 10元的有多少张？、买一些 4分与 8分的邮票共花 6元 8角,已知8分的邮票比 4分的多 40张,那么8分的 邮票有多少张？、小华买了 2 元和 5 元的纪念邮票一共 34 枚，用

6、去 98 元钱。小华买了 2 元和 5 元的纪 念邮票各多少枚？、四（6）班42个同学向2008年北京奥运会捐款。其中12人每人捐2元，其余同学每 人捐 5 元或 10 元，一共捐了 229 元。求捐 5 元和 10 元的同学各有多少人？、小强爱好集邮,他用 1 元钱买了 4分和 8分的两种邮票,共20张.那么他买了 4分邮票多 少张？鸡兔同笼问题（假设法）（第二讲）例 3、100 个和尚 140 个馍，大和尚 1 人吃 3 个馍，小和尚 1 人吃 1 个馍。问：大、小和 尚 各有多少人？分析：本题由中国古算名题“百僧分馍问题”演变而得。如果将大和尚、小和尚分别看作鸡 和兔，馍看作腿，那么就成

7、了鸡兔同笼问题，可以用假设法来解。假设100人全是大和尚，那么共需馍 300个，比实际多 300-140=160（个）。现在以小 和尚去换大和尚，每换一个总人数不变，而馍就要减少 3-1=2（个），因为160-2=80,故 小和尚有 80人，大和尚有 100-80=20（人）。同样，也可以假设 100人都是小和尚。、100 个馒头 100个和尚吃,大和尚每人吃 3个,小和尚 3人吃一个,则大和尚有多少个？小 和尚有多少个？例 4、乐乐百货商店委托搬运站运送 500 只花瓶，双方商定每只运费 0.24 元，但如果发生损 坏，那么每打破一只不仅不给运费，而且还要赔偿 1.26 元，结果搬运站共得运

8、费 115.5元。问：搬运过程中共打破了几只花瓶？分析：假设500只花瓶在搬运过程中一只也没有打破，那么应得运费0.24 X 500=120（元）。实际上只得到 115.5元，少得 120-115.5=4.5（元）。搬运站每打破一只花瓶要损失 0.241.26=1.5（元）。因此共打破花瓶 4.5宁1.5=3（只）。解：（0.24X 500-115.5）-（0.24+1.26）=3（只）。答：共打破 3 只花瓶。、有一辆货车运输 2000 只玻璃瓶，运费按到达时完好的瓶子数目计算,每只 2 角，如有破损,破损瓶子不给运费，还要每只赔偿 1 元。结果得到运费 379.6 元,问这次搬运中 玻璃瓶

9、破损了几只？、运输队为商店运送花瓶 500箱，每箱 6个花瓶，已知每 10个花瓶的运费 5.5 元，损坏 一个花瓶要赔偿成本 11.5 元（这个花瓶的运费当然也得不到了）。结果这个运输队共得到运费 1553.6 元。问共损坏了多少个花瓶？、工人运青瓷花瓶 250个,规定完整运一个到目的地给运费 20 元,损坏一个倒赔 100元，运完这批花瓶后，工人共得 4400 元,则损坏了多少只？、灯泡厂生产灯泡的工人，按得分的多少给工资。每生产一个合格品记 4分，每生产一 个不合格品不仅不记分，还要扣除 15 分。某工人生产了 1000 只灯泡，共得 3525分，问其中 有多少个灯泡不合格？、运输衬衫 4

10、00 箱，规定每箱运费 30 元，若损失一箱，不但不给运费，并要赔偿 100 元。运后运费为 8880 元，损失了几箱？例题5、某学校举行数学竞赛，每做对一题得 9分，做错一题倒扣3分。共有12道题，王 刚得了 84分。王刚做错了几题？思路导航：假设全做对，应得9 X 12=108分，现在少了 108-84=24分。而做错一题，不 但得不到9分，反而需要倒扣3分，相差了 12分，所以错了 24十12=2题。探、某次数学竞赛共20道题，评分标准是：每做对一题得 5分，每做错或不做一题扣1 分。小华参加了这次竞赛，得了 64分。问：小华做对几道题？探、某次数学测验共20题，做对一题得5分,做错一题

11、倒扣1分，不做得0分。小华得了 76 分，问他做对几题？探、希望月报编辑部组织了一次“迎奥运，爱我中华”知识抢答竞赛，比赛规定：每位 参赛选手起点都为100分，之后每答对一题加10分，每答错一题倒扣8分。小音抢答了 12道 题，最后得分148分，请问小音答对了多少题？、一次数学竞赛共20道题，每答对一道题得6分，每答错一道题倒扣4分。小明答完了 全部的题目却得了零分，那么他一共答错了多少道题？、振兴小学六年级举行数学竞赛，共有 20道试题。做对一题得5分，没做或做错一题都 要扣3分。小建得了 60分，那么他做对了几道题？探、小毛参加数学竞赛,共做20道题，得64分，已知做对一道得5分,不做得0

12、分，错一题扣2 分,又知道他做错的题和没做的一样多。问小毛做对几道题?、开心辞典智力竞赛中，开心队抢答了 10道题，如果以100分开始算分，答对一题加10 分，答错一题减10分，最后开心队得了 140分，开心队答错了几题？、一张数学试卷，共有25道选择题，做对一题得4分，做错一题扣1分。如不做，不得 分也不扣分。若某同学得了 78分，那么，他做对了多少题？做错多少题？不做多少题？探、某次数学考试考五道题，全班52人参加，共做对181道题，已知每人至少做对1道题,做对1道的有7人，5道全对的有6人，做对2道和3道的人数一样多，那么做对 4道的人数 有多少人？探、有两次自然测验，第一次24道题，答

13、对1题得5分，答错（包含不答）1题倒扣1分;第二次15道题，答对1题8分，答错或不答1题倒扣2分，小明两次测验共答对30道题，但 第一次测验得分比第二次测验得分多10分，问小明两次测验各得多少分？（第三讲）10条船，每条大船坐6人，每条小 实际人数多了 60（41+1）=18（人），多的原因是把小船坐的4人都假设成坐6人。条小船当成大船多出2人，多出的18人是把18-2=9（条）小船当成大船。探、三年级老师和同学223人去春游，共乘8辆车，其中每辆大巴坐35人，中巴坐16人。问大巴、中巴各多少辆？、全班46人去划船，共乘12条船。其中大船每船坐5人，小船每船坐3人。问大、小 船各有几条？、某校

14、现有12间宿舍，住着80个学生（正好住满）。宿舍的大小有三种：大号房间住 8 个学生，中号房间住7个学生，小号房间住5个学生。其中中号房间的宿舍最多，问中号房间 的宿舍有几间？、小蕾花40元钱买了 14张贺年卡与明信片。贺年卡每张 3元5角，明信片每张2元5 角。问：贺年卡、明信片各买了几张？探、红铅笔每支0.19元，蓝铅笔每支0.11元，两种铅笔共买了 16支，花了 2.80元。问红、蓝铅笔各买几支？、学校有象棋、跳棋共26畐2人下一副象棋，6人下一副跳棋，恰好可供120个学生 进行鸡兔同笼问题（假设法）例&刘老师带了 41名同学去北海公园划船，共租了 船坐4人，问大船、小船各租几条？分析：

15、假设租的10条船都是大船，那么船上应该坐 6X 10=60（人）。假设后的总人数比 例7、彩色文化用品每套19元，普通文化用品每套11元，用钱280元。问：两种文化用品各买了多少套？分析：假设买了 16套彩色文化用品，则共需 24（元），现在用普通文化用品去换彩色文化用品，普通文化用品24-8=3（套），买彩色文化用品 这两种文化用品共买了 16套,19X 16=304 每换一套少用 16 3=13（元），比实际多 304 280=1911=8（元），所以买 活动。问：象棋与跳棋各有多少副？、某玩具店新购进飞机和汽车模型 30个，其中飞机模型每个有 3 个轮子，汽车模型每个 有 4 个轮子，这

16、些玩具模型车共有 110 个轮子，那么新购进的飞机模型有多少辆？、在一个停车场上，停放的车辆（汽车和三轮摩托车）总数恰好是 24。其中每辆汽车有 4 个轮子，每辆摩托车有 3 个轮子。这些车共有 86 个轮子。那么，三轮摩托车有多少辆？探、100名学生参加社会实践，高年级学生 2人一组，低年级学生3人一组，共有41组。高、低年级学生各有多少人？、老师和学生一共 44人参加义务植树活动。老师每人植 5棵，学生每人植 2棵，正好一 共植了 100棵。参加植树的老师和学生各有多少人？、滨湖小学的教师和学生共 100 人去植树。教师每人栽 3 棵树，学生平均每 3个人栽 棵树，一共栽 100 棵，问教

17、师和学生各有多少人？、有钢笔和铅笔共 铅笔有多少盒？27盒,共计 300 支。钢笔每盒 10 支,铅笔每盒 12 支,则钢笔有多少盒,、松鼠妈妈采松球，个松球，平均每天 14 个。晴天每天可以采 20个，雨天每天只能采 12 个，它一连几天才了 112 问这些天当中有几天是雨天？、松鼠妈妈采松子，天，也有雨天，其中雨天比晴天多 3天，但采的个数却比晴天采的个数少 27个，问一共采了多 少天？晴天每天可采 16 个，雨天每天可采 11 个，一连采了若干天，有晴、学校购买每支价格为 4 角和 8 角两种铅笔。共花了 68 元。已知 8 角一支的铅笔比 4 角一支的铅笔多 40 支，那么，两种铅笔各

18、买了多少支？、学生买回 4 个篮球 5个排球一共用 185元,一个篮球比一个排球贵 8 元,篮球的单价是多 少元？、班主任张老师带五年级（2）班 50名同学栽树,张老师一人栽 5棵,男生一人栽 3棵,女生一 人栽 2 棵,总共栽树 120棵,问几名男生，几名女生？鸡兔同笼问题（假设法）（第四讲）例 8、有蜘蛛、蜻蜓、蝉三种动物共 18 只，共有腿 118条，翅膀 20 对（蜘蛛 8 条腿；蜻 蜓 6 条腿，两对翅膀；蝉 6 条腿，一对翅膀），求蜻蜓有多少只？分析：这是在鸡兔同笼基础上发展变化的问题.观察数字特点，蜻蜓、蝉都是 6 条腿，只有 蜘蛛 8 条腿。因此，可先从腿数入手，求出蜘蛛的只数

19、.我们假设三种动物都是 6 条腿，则总腿 数为6X 18=108（条）,所差118108=10（条），必然是由于少算了蜘蛛的腿数而造成的.所以，应有（118-108）-（8-6）=5（只）蜘蛛。这样剩下的18 5=13（只）便是蜻蜓和蝉的只数，再从翅膀数入手，假设13只都是蝉，则总翅膀数1X13=13（对），比实际数少20-13=7（对），这是由于蜻蜓有两对翅膀，而我们只按一对翅膀计算所差，这样蜻蜓只数可求 7-（2-1）=7（只）.、蜘蛛有 8 条腿，蜻蜓有 6 条腿和 2 对翅膀，蝉有 6 条腿和 1 对翅膀。现有三种小虫共 36只，有 236条腿和 40对翅膀。问：每种小虫各有几只？、大

20、院里养了三种动物，每只小山羊戴着 3个铃铛，每只狮子狗戴着一个铃铛，大白鹅 不戴铃铛。小明数了数，一共 9 个脑袋、28条腿、11 个铃铛，三种动物各有多少只？王老师用了 117元买了 18本书，其中科技书和故事书共 17 本，字典一本（一本字典 已知科技书每本 8 元，故事书每本 4 元。问科技书、故事书各买了多少本？某工厂共有 27位师傅带 40 名徒弟。每位师傅可以带一名徒弟、两名徒弟或三名徒弟。如果带一名徒弟的师傅人数是其他师傅（即带两名和三名徒弟的师傅）人数的两倍，请问带两 名徒弟的师傅有多少人？、甲乙两人射击,若命中,甲得 4分,乙得 5分;若不中,甲失 2分,乙失 3分,每人各射

21、 10发,共命中 14 发,结算分数时,甲比乙多 10 分,问甲、乙各中几发?、17、例 9、一批钢材，用小卡车装载要 45 辆，用大卡车装载只要 36 辆。已知每辆大卡车比 每辆小卡车多装 4 吨，那么这批钢材有多少吨？分析：要算出这批钢材有多少吨，需要知道每辆大卡车或小卡车能装多少吨。假设只用 36 辆小卡车来装载这批钢材，因为每辆大卡车比每辆小卡车多装 X 36=144（吨）。根据条件，要装完这 144吨钢材还需要45-36=9（辆）卡车能装144-9=16（吨）。由此可求出这批钢材有多少吨。解：4 X 36-（45-36）X 45=720（吨）。答：这批钢材有 720 吨。探、有一批水

22、果，用大筐80只可装运完，用小筐120只也可装运完。小筐多装运 20千克，那么这批水果有多少千克？、某校有 100 名学生参加数学竞赛,平均分是 63 分，其中男生平均分是 60 分，女生平均 分是 70 分,男同学比女同学多多少人?、自行车越野赛全程 220 千米，全程被分为 20 个路段，其中一部分路段长 14 千米，其余的长 9 千米问：长 9 千米的路段有多少个？例 10、小乐与小喜一起跳绳，小喜先跳了 2 分钟，然后两人各跳了 3 分钟，一共跳了 780 下。已知小喜比小乐每分钟多跳 12下，那么小喜比小乐共多跳了多少下？分析与解：利用假设法，假设小喜的跳绳速度减少到与小乐一样，那么

23、两人跳的总数减少 了 12X（2+3）=60（下）。可求出小乐每分钟跳（780-60）-（2+3+3）=90（下），小 乐一共跳了 90X 3=270（下），因此小喜比小乐共多跳 780270X 2=240（下）。、甲乙两个工程队共同修筑一段长 4200 米的公路，乙工程队每天比甲工程队多修 100 米。现由甲工程队先修 3 天，余下的路段由甲、乙两队合修，正好花 6 天时间修完。问：甲、乙两个工程队每天各修路多少米？、古诗中，五言绝句是四句诗，每句都是五个字；七言绝句是四句诗，每句都是七 个字。有一诗选集,其中五言绝句比七言绝句多 13首，总字数却反而少了 20个字.问两种 诗各多少首？利用

24、假设法，4 吨，所以要剩下 4 小卡车。这样每辆小 已知每只大筐比每只 、小宇去游山，他从东坡上山，每小时行 2千米，到山顶上玩1个小时，又从西坡下山,每小时行3千米，全程共行19千米，共用9小时，求上山、下山的路各几千米？鸡兔同笼问题（假设法）（第五讲）例11、鸡、兔共100只，鸡脚比兔脚多20只。问：鸡、兔各多少只？分析：假设100只都是鸡，没有兔，那么就有鸡脚 200只，而兔的脚数为零。这样鸡脚比 兔脚多200只，而实际上只多20只，这说明假设的鸡脚比兔脚多的数比实际上多 200 20=180（只）。现在以兔换鸡，每换一只，鸡脚减少 2只，兔脚增加4只，即鸡脚比兔脚多的脚数中 就会减少4

25、+2=6（只），而180-6=30，因此有兔子30只，鸡100 30=70（只）。解：有兔（2 X 100 20）-（2+4）=30（只），有鸡 100 30=70（只）。探、鸡与兔共有100只，鸡的脚比兔的脚多80只，问鸡与兔各多少只？、龟、鹤共有100个头，鹤腿比龟腿多20只。问：龟、鹤各几只?、鸡与兔共有100只，鸡的脚比兔的脚多80只，问鸡与兔各多少只?例12、鸡兔共200只，鸡的脚比兔的脚少56只，则鸡有几只，兔有几只？分析：如果200只都是兔，兔脚：200X 4=800只，鸡脚：0只，鸡脚比兔脚少：800只，把 1只兔换成鸡，兔脚减少4只，鸡脚增加2只，鸡脚与兔脚的差，减少：4+2

26、=6只，一共需要减 少：800-56=744只，鸡：744-6=124只，兔：200-124=76只。、鸡与兔共100只，鸡的脚数比兔的脚数少28。问鸡与兔各几只？、在一棵松树上有百灵鸟和松鼠共15只，松鼠比百灵鸟少24条腿，百灵鸟和松鼠各有 多少只？例13、鸡、兔共笼，鸡比兔多30只，一共有脚168只，鸡、兔各多少只？思路：因为鸡比兔多30只，则可以把30只鸡的脚从总数中去掉，剩下的鸡兔就同样多了。每一对鸡和兔共4+2=6只脚，用6去除剩下的鸡兔总脚数，就可求出兔的只数。兔的只数：（168-2 X30）-（4+2）=18 只；鸡的只数：18+30=48只。、鸡兔共笼，鸡比兔多25只，一共有脚

27、170只。鸡、兔各几只？、鸡、兔同笼，鸡比兔多26只，足数共274只，问鸡、兔各几只?、鸡兔同笼,共有足 248 只,兔比鸡少 52只,那么兔有多少只,鸡有多少只？例14、水果糖的块数是巧克力糖的 3倍，如果小红每天吃 2块水果糖，1块巧克力糖，若 干天后，水果糖还剩下 7 块，巧克力糖正好吃完。原来水果糖有几块？思路：水果糖的块数是巧克力糖的 3倍，如果小红每天吃 1 块巧克力糖，3块水果糖，几 天后，两种糖同时吃完。现在小红每天吃 2 块水果糖，少吃 32=1 块，若干天后水果糖还剩下 7块。所以共吃了 7-(3-2)=7天，水果糖有2X 7+7=21块。、某商店有些红气球和黄气球，红气球

28、的只数是黄气球的 4倍。每天卖出 2只红气球和 1 只黄气球，若干天后，红气球剩下 12只，黄气球刚好卖完。红气球原来有多少只？例 15、鸡、兔共有脚 100只，若将鸡换成兔，兔换成鸡，则共有脚 92 只。问：鸡、兔各 几只？思路：一只鸡换成一只兔子,增加两只脚,一只兔子换成一只鸡,减少两只脚，中间有抵消,最后少了 100-92=8只脚，证明兔子比鸡多8宁2=4只，去掉这4只兔子，也就是92-4 X 2=8只脚.剩 下的兔子和鸡一样多，有84只脚，所以鸡有84十(4+2)=1姒，兔子有14+4=18只。或：鸡兔一共有：(100+92)-(4+2)=32只，如果这32只都是兔,有脚：32X4=1

29、28只，多了：128-100=28只，每只鸡比兔的脚少 42=2只,鸡有：28-2=14R，兔有：32-14=18只。、鸡兔共有 110 只脚，若鸡数和兔数互换，则有脚 100只，鸡和兔各有多少只？、鸡、兔共有脚100只，若将鸡换成兔，兔换成鸡，则共有脚 86只.问：鸡、兔各有几 只？、鸡和兔共有脚 190只，若将鸡的数量和兔的数量互换，则共有脚 140只。问：原来鸡 和兔各有多少只？、鸡兔共有脚 92只，若将鸡换成兔，兔换成鸡，则共有脚 100 只，则鸡、兔各有多少只？例 1 6、学校买来 8 张办公桌和 6 把椅子，共花去 1650 元。每张办公桌的价钱是每把椅子 的 2 倍，每张办公桌和每把椅子各多少元？思路：假设学校买的全部是办公桌，根据“每张办公桌的价钱是每把椅子的 2倍”，则买 6把椅 子的价钱只能买6十2=3张办公桌，那么1650元就相当于8+3=11张办公桌的价钱。所以，每 张办公桌：1650-11=150元，每把椅子：、一件工程，甲单独做12天完成，乙单独做18天完成，现在甲做了若干天后，再由乙 接着单独做完余下的部分，这样前后共用了 16天。甲先做了多少天？150-2=75 元。探、一份稿件，甲单独打字需6小时完成，乙单独打字需10小时完成，现在甲单独打若干 小时后，因有事由乙接着打完，共用了 7小时。甲打字用了多少小时？