高中数学《等差数列的前n项和公式》教学设计学情分析教材分析课后反思.pdf

《高中数学《等差数列的前n项和公式》教学设计学情分析教材分析课后反思.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学《等差数列的前n项和公式》教学设计学情分析教材分析课后反思.pdf（11页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、等差数列的前n项和公式教学设计【教学目标】知识技能：1.了解等差数列的前n项和公式的推导过程.2.掌握等差数列的前n项和公式及其应用.过程与方法：通过对等差数列的前n项和公式的推导过程，渗透倒序相加法求和的教学方法，并培养学生运用公式提高学生类比化归、数形结合的能力。情感、态度与价值观：结合具体模型，将教材知识和实际生活联系起来，使学生感受数学的实用性，有效激发学习兴趣，并体验从特殊到一般，又到特殊的认识事物的规律，培养学生勇于创新的科学精神。核心素养：1.通过等差数列的前 n 项和的有关计算及na 与nS 关系的应用，培养数学运算素养.2.借助等差数列的前 n 项和公式的应用，培养学生数学建

2、模及数学运算素养.【教学重点】等差数列的前n项和公式推导和应用。【教学难点】探究等差数列的前n项和公式的推导方法及公式应用。【教学方法与手段】1.通过对具体问题的抽象，将实际问题化归为数学问题，让学生体会化归思想。2.采用由特殊到一般的教学策略.利用类比、化归、数形结合、方程的思想，层层深入，通过学生自主探究、分析、整理出推导公式的思路。3.借助多媒体课件、视频、几何画板软件，帮助学生理解，师生互动。【教学过程】一情境引入：1.视频引入 设计意图：针对掌握等差数列前n项和公式的推导和应用的目标，将实际问题简单化，凸显解决问题的一般方法；营造出轻松愉悦的学习氛围，学生自然合理地提出问题解决的思路

3、；经历实际问题中抽象出数学问题的过程，学生体会数学与生活的关联、提升数学抽象核心素养，渗透数学文化。2.图片引入 （一）观察大桥拉绳，猜想这些等距离的平行线段长度有何联系？（二）1.用初中相似三角形的知识推理得出其长度成等差数列；2.通过几何画板动画演示，从变与不变的数据中模拟分析出线段长成等差数列的特征。（三）因工程造价预算时需估算出绳索的总长度，即数学上的数列求和问题。引出本课课题等差数列的前n项和 设计意图：通过图片展示正式导入本节课课题。第一，拉近了教师与学生之间的距离，体现了情境引入的人文价值；第二，培养学生用数学的眼光观察世界的良好品质；第三，以青岛跨海大桥模型为背景正式导入新课，

4、大桥模型成为本课教学的主要载体,贯穿始终，在展开本课内容时起到了很好的辅助作用；第四，培养学生的理性思维，体现数学的应用价值。3.问题引入 问题 1.分别给出 10 根、100 根长度为连续正整数的绳索的总长度问题，即总项数为偶数的特殊等差数列求和.（1）1094321_；（2）1004321_.解：（1）1094321)65()74()83()92()101(51155（2）100994321)5150()5249()983()902()1001(501015050 以上两个问题，因绝大部分学生有“首尾配对”的方法基础，因而可以轻易地解决问题。第二个问题中引出“首尾配对”的另一个名称：“高斯

5、求和”，让学生简单了解数学史及数学文化。思考：1011004321的和 分析：法 1.1011004321 101)10021(法 2.1011004321)1002()1011(51)5250(法 3：1+2+3+4+101=1+2+3+4+101+102-102(1102)(2101)(5152)1025151 1014012100101S 方法：(0101)(1 100)(5051)101 515151.【设计意图】高斯算法的再应用.通过类比对一个连续偶数项和的求和，引导学生对连续奇数项和的求解问题的思考.通过学生提出的多种配对方案让学生更进一步理解首尾配对的思想，为问题 3 需要对n的

6、奇偶的讨论埋下伏笔，也为后面倒序相加法的使用做出铺垫.问题 2.计算123(1)nSnn 分析：1、奇偶分析法 解：n 为偶数，nS(1)(1)2(1)2n nnn；11(1)(2)(1)(1)22nnnnnn nnSSan为奇数，。2、倒序相加法 123(1)(1)321nnSnnSnn 2(1)2(1)(1)nSnnn共n项(1)2nn nS 【设计意图】强化倒序相加法的理解和运用，由特殊到一般，为等差数列求和打下基础.问题 3：等差数列 na中，如何计算123nnSaaaa 二实验探究 探究路径 推导等差数列的前n项和公式.过程如下：，则，公差为的首项为设等差数列daan1 由nnnna

7、aaaaaS12321 12321aaaaaaSnnnn 即)1()2()2()(11111dnadnadadaaSn )1()2()2()(dnadnadadaaSnnnnnn 得)()()()(21111nnnnnaaaaaaaaS)(1naan 因此2)(1nnaanS 根据等差数列的性质，还可以 12 (1)nnSaaa 21 (2)nnSaaa 12112()()()nnnnSaaaaaa 1121aaaaaannn 由（1）+（2）可得)(21nnaanS 即2)(1nnaanS -公式 1 将1(1)naand代入公式 1 即可得：1(1)2nn nSnad -公式 2 设计意图

8、：进一步考察学生的观察、联想、归纳、分析和逻辑推理能力，培养学生良好的解答习惯。解决刚才猜想的问题“n4321？”，体现“从一般回到特殊”的思想方法。设计意图：进一步巩固公式、加深对公式的印象，体现公式的应用价值。思考：能否避开公式 1，直接推导出公式 2 呢？我们回到nS最初始的表示：nnaaaS21.请大家从这里出发在练习本上试试看.（最多 2 分钟.）1111()(2)(1)nSaadadand 1112(1)(1)2nandn nnad 设计意图：意图 1：从问题 1 到问题 3，是从特殊到一般的具体表现。教师在问题过渡时设置障碍，引发思考，激发学生探究兴趣；培养学生发现问题、提出问题

9、、分析问题和解决问题的能力。意图 2：培养学生归纳猜想的能力，从归纳猜想到推理证明这一方式符合数学的认知规律。公式的再认识：公式 1 的文字语言：项数（首项+末项）2 公式 2 的文字语言：项数首项+12项数（项数-）公差.这个公式 2 不仅可以由首项，公差直接求得前n项和，也揭示了nS与n的函数关系，当0d时，常数列，每一项都相等，此时naSn1；当0d时，ndandSn)2(212.nS是一个开口方向由d确定的没有常数项的二次函数，它也有着一定的应用。设计意图：1.完整构建本课核心知识框架；2.体现“转化与划归”思想；3.图形辅助记忆，降低记忆难度，加深对公式的理解，进一步培养学生从归纳猜

10、想到推理证明的数学获得能力，更加理性的分析问题和解决问题，体现数学学科的严谨性，帮助学生类比联想，拓展思维，增加兴趣，强化记忆 三数学应用 例题演练：例 1.在等差数列 na中，（1）已知31a，199a，求9S；（2）已知31a，2d，求9S.解：（1）根据等差数列前n项和公式，得 999219392919aaS（2）根据等差数列前n项和公式，得 99228939289919daS 设计意图：通过两道基本题熟悉两个公式，引导学生对公式的选择作出正确的判断，作为典型例题，是“知三求二”这一基本道理的体现和“方程思想”的体现。自由变式：1.在等差数列 na中，已知_，求_.此题表面看起来就是一个

11、简单的“知三求二”题型的变式，但实质上，在解答时，学生不难发现结果上发生了微妙的变化，进一步说明部分变式之间不仅仅是一种“逆运算”，需通过问题的解决来巩固两个公式，加深对公式的记忆、理解，提高学生对知识的应用能力。总而言之：变化的是数字，不变的是知三求二的基本方法和方程（组）基本思想。设计意图 1：等差数列中的基本量共有五个，分别为nnSdaan、1，常规的“知三求二”的题型组合一共有十个，其中运用的都是方程或方程组思想。变式可以灵活的设置题目，而不是教师规定好题型，这样才是真正意义上的变式，才能更好的展示学生的能力和素养。而由于基本题型只有十种，所以这样的变式也是在一定的框架下进行，这样的课

12、堂才能显得张弛有度，不仅要放得开，还要收得回。设计意图 2：学生自主命题过程中更能发现自身存在的问题，尤其是各个题型之间的对比，也正是这样，学生才更能深刻感受题目与题目之间联系与区别。2.在等差数列 na中，已知22aa，求9S.解答：条件可变为“2291aa”等，结果同例 1（1）.设计意图：精简条件，更好的发掘等差数列求和的关键和本质；培养学生观察能力和归纳猜想的能力，激发学生独立思考及主动探究的激情和求知欲望。在实际操作中体会背后蕴含的一般性结论：等差数列 na的前n项和为nS，则),(2)(*1nmNnNmaanSmnmn 3.在等差数列 na中，已知11a，求9S.设计意图：进一步精

13、简条件，发现简单且常用的性质，实质上也有利于学生更加深刻地理解公式，更加灵活的运用公式。在实际操作中体会背后蕴含的一般性结论：等差数列 na的前n项和为nS，则)()12(*12NmamSmm.拓展应用：在等差数列 na中，已知第1项到第10项的和为310，第11项到第20项的和为910，求第21项到第30项的和.解：设等差数列的首项为1a，公差为d，由题意，得，910310102010SSS 即，910310219202031029101011dada 解得，641da 所以124620421a，于是，15106291012410302221aaa 即第21项到第30项的和为 1510.设计

14、意图：进一步巩固新知，适当的加以变式，由浅入深、由易到难、各有侧重，体现新课标提出的让不同的学生在数学上得到不同的发展的教学理念。进一步拓展学生的思维空间，使得方法得以升华，思想得以体现，经验得以形成，让学生对知识的把握更加游刃有余。猜想结论：若等差数列 na的前n项和为nS，则有10S、1020-SS、2030-SS也为等差数列.（能力强的学生有可能提前想到）猜想一般性结论：若等差数列 na的前n项和为nS，对于任意的正整数m有mS、mmSS-2、mmSS23-也为等差数列.设计意图：一方面，培养学生善于观察、归纳、猜想的能力，优化学生的认知结构，提升学生的思维品质。另一方面，鼓励优秀学生展

15、示个人能力，带动更多的人养成爱动脑筋的好习惯和追求卓越的好品质。四课堂小结：1.基本公式 等差数列的前n项和公式：2)(1nnaanS dnnna2)1(1.2.基本方法 首尾配对（高斯求和）、归纳猜想、倒序相加法。3.基本思想 特殊到一般、方程（组）思想（共五个基本量nnSdaan、1，知三求二）。设计意图：梳理本课“四基”结构，理清脉络，突出重点，巩固成果。五课后作业：课本 22 页第 1 题和第 3 题【板书设计】等差数列的前n项和公式 例题板演 2)(1nnaanS dnnna2)1(1 PPT.等差数列的前n项和公式学情分析 知识基础：本节课之前，同学们已经掌握了函数、数列等有关基础

16、知识，并且在初中已经了解特殊的数列求和，同时，学习了等差数列的概念、通项公式及基本性质。大部分学生对高斯算法有一定的认识，甚至有些同学对此算法原理比较熟练，然而熟练的只是高斯算法中的“?1004321”这样一种特殊数列的求和，对于一般等差数列的求和方法和公式，学生却没有详细了解。认知水平与能力：学生已初步具有抽象逻辑思维能力，能在教师的引导下独立解决问题，部分学生基础知识不扎实，问题解决能力有待进一步提高。本节课采取层层深入、逐步递进的教学方法，以发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的形式展开教学。通过合作、探究、分析、归纳等手段获得知识，为学生积极思考搭建平台，帮助学生更好的感悟数学方法，

17、领会数学思想，得到数学真理。等差数列的前n项和公式效果分析 新课程标准与旧大纲比较，更加重视过程。因此，本节课的一大重点在于如何引导学生探究并推导出等差数列的前n项和公式，而不是由教师包办到底。通过本节课学习，不仅要是学生会利用公式解决实际问题，更重要的意义在于让学生经历公式的形成和发展过程，提高学生分析问题、解决问题的能力，这正是课标下教师传授的、学生应该掌握的知识。因此，在注重上述问题的前提下，本节课的课堂实施的过程中，教学思路清晰、明确，学生对问题的回答也比较踊跃，并能对问题的解法提出自己不同的观点，找出最简单、最有效的解决方法。因此，对等差数列的前n项和公式的推导有一个科学的分析过程，

18、学生对公式的获取思路明确，理解深刻，较好的完成了课前预设的目标。但由于内容紧凑，过于追求教学的量，在教学、练习中侧重于方法的指导而忽略了过程的详解，对学生的计算能力、变形能力产生不利影响，同时，过多的解题方法，提高了学生的解题能力，但学生课后思维空间提升不足，对学生创新思维的培养就显得不足。等差数列的前n项和公式教材分析 本节课是 2019 年人民教育出版社 A 版选择性必修第二册第四章第 2 节等差数列第2 课时等差数列的前n项和公式是数列求和的最基本公式。不论是公式的获取过程，还是公式推导及方法的发现过程，都是数学家们发现数学结论和数学方法的重要过程。等差数列的前n项和既是对前面所学的等差

19、数列的概念及通项公式的延伸、巩固和应用，也是进一步学习数列其他知识的基础，更是为类比学习等比数列的有关知识作了思想方法上的铺垫 同时，在推导等差数列的前n项和公式的过程中，所采用的“倒序相加法”是数列求和的一种重要的方法掌握等差数列的前n和公式及证明方法，无论在知识层面还是能力层面上，都起到了承上启下的重要作用 等差数列的前n项和公式评测练习 1、【2019 年高考全国 I 卷理数】记nS为等差数列 na的前 n 项和已知4505Sa，则 A25nan B 310nan C228nSnn D2122nSnn 2、【2019 年高考北京卷理数】设等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 a2=3，

20、S5=10，则 a5=_ 3、【2018年高考全国I卷理数】设nS为等差数列 na的前n项和，若3243SSS，12a，则5a A12 B10 C10 D12 4、【2019年高考全国III卷理数】记Sn为等差数列an的前n项和，12103aaa，则105SS_ 5、【2019 年高考江苏卷】已知数列*()nanN是等差数列，nS是其前 n 项和.若25890,27a aaS，则8S的值是_ 1、【答案】A【解析】由题知，415144 30245dSaaad ，解得132ad，25nan，24nSnn,故选 A 2、【答案】0，10.【解 析】等 差 数 列 na中,53510Sa,得32,a

21、 又23a ,所 以 公 差321daa,5320aad,【名师点睛】本题考查等差数列的通项公式求和公式等差数列的性质,难度不大,注重重要知识基础知识基本运算能力的考查.3、【答案】B【解析】设等差数列的公差为d，根据题中的条件可得3 24 33 3 22 24 222ddd，整理解得3d ，所以5142 1210aad，故选 B 4、【答案】4 【解析】设等差数列an的公差为 d,因213aa，所以113ada，即12ad，所以105SS111110 910100245 42552adaaad 5、【答案】16【解析】由题意可得：258111914709 89272a aaadadadSad

22、，解得：152ad，则818 7840282162Sad.【名师点睛】等差数列、等比数列的基本计算问题，是高考必考内容，解题过程中要注意应用函数方程思想，灵活应用通项公式、求和公式等，构建方程（组），如本题，从已知出发，构建1a d,的方程组.等差数列的前n项和公式课后反思 针对本节课的教学目标和设计理念，我采用了教师启发式引导，学生自主动脑探究、动手探究、师生合作探究、生生合作探究及多媒体演示辅助教学等多种手段，逐步把握重点、突破难点，使得不同层次的学生获得不同程度的收获。本节课通过视频引入把实际问题转化为数学问题，提高学生数学建模能力。本节课的难点在于如何获得推导公式的“倒序相加法”这一思

23、路。为了突破这一难点，教学中采用了以问题驱动的教学方法，设计的三个问题体现了分析问题、解决问题的一般思路，即从特殊问题的解决中提炼方法，再试图运用这一方法解决一般问题，在教学过程中，通过教师的层层引导、学生的合作学习和自主探究，尤其是几个实例的讲解，“倒序相加法”方法的获得就水到渠成了。针对本节课的第二个难点，也是重点，即公式的应用，我采取了内化的方式解决问题，即：不再是一味地教师出题或变式，学生来解决的方式。而是先设置了“自由变式”这一环节让学生在预先设定好的框架下自主命题（其实难度不小），然后再根据学生的掌握情况决定教师是否有必要变式或给出什么样的变式。这样，即增加了课堂的趣味性，又让学生

24、通过出题、比较、反思、总结而深层次的应用公式。同时，也有利于教师随时把握学生知识的掌握情况，随机应变的开展下一环节的教学，使得课堂效果更佳。等差数列的前n项和公式课标分析 教学目标：知识技能：1.了解等差数列的前n项和公式的推导过程.2.掌握等差数列的前n项和公式及其应用.过程与方法：通过对等差数列的前n项和公式的推导过程，渗透倒序相加法求和的教学方法，并培养学生运用公式提高学生类比化归、数形结合的能力。情感、态度与价值观：结合具体模型，将教材知识和实际生活联系起来，使学生感受数学的实用性，有效激发学习兴趣，并体验从特殊到一般，又到特殊的认识事物的规律，培养学生勇于创新的科学精神。核心素养：1.通过等差数列的前 n 项和的有关计算及na 与nS 关系的应用，培养数学运算素养.2.借助等差数列的前 n 项和公式的应用，培养学生数学建模及数学运算素养.