高中数学立体几何3.(第二次修订版)八个有趣模型搞定空间几何体的外接球与内切球(学生版).pdf

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1、 1 八个有趣模型搞定空间几何体的外接球与内切球 当讲到付雨楼老师于 2018 年 1 月 14 日 总第 539 期微文章，我如获至宝.为有了教学的实施，我以付老师的文章主基石、框架，增加了我个人的理解及例题，形成此文，仍用文原名，与各位同行分享.不当之处，敬请大家批评指正.一、有关定义 1球的定义：空间中到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫球面，简称球.2外接球的定义：若一个多面体的各个顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球.3 内切球的定义：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的

2、内切球.二、外接球的有关知识与方法 1性质：性质 1：过球心的平面截球面所得圆是大圆，大圆的半径与球的半径相等；性质 2：经过小圆的直径与小圆面垂直的平面必过球心，该平面截球所得圆是大圆；性质 3：过球心与小圆圆心的直线垂直于小圆所在的平面（类比：圆的垂径定理）；性质 4：球心在大圆面和小圆面上的射影是相应圆的圆心；性质 5：在同一球中，过两相交圆的圆心垂直于相应的圆面的直线相交，交点是球心（类比：在同圆中，两相交弦的中垂线交点是圆心）.cab初图2初图1NOO1PEFOO1D1C1B1DCA1O2ABM 2结论：结论 1：长方体的外接球的球心在体对角线的交点处，即长方体的体对角线的中点是球心

3、；结论 2：若由长方体切得的多面体的所有顶点是原长方体的顶点，则所得多面体与原长方体的外接球相同；结论 3：长方体的外接球直径就是面对角线及与此面垂直的棱构成的直角三角形的外接圆圆心，换言之，就是：底面的一条对角线与一条高（棱）构成的直角三角形的外接圆是大圆；结论 4：圆柱体的外接球球心在上下两底面圆的圆心连一段中点处；结论 5：圆柱体轴截面矩形的外接圆是大圆，该矩形的对角线（外接圆直径）是球的直径；结论 6：直棱柱的外接球与该棱柱外接圆柱体有相同的外接球；结论 7：圆锥体的外接球球心在圆锥的高所在的直线上；结论 8：圆锥体轴截面等腰三角形的外接圆是大圆，该三角形的外接圆直径是球的直径；结论

4、9：侧棱相等的棱锥的外接球与该棱锥外接圆锥有相同的外接球.3终极利器：勾股定理、正定理及余弦定理（解三角形求线段长度）；三、内切球的有关知识与方法 1若球与平面相切，则切点与球心连线与切面垂直.（与直线切圆的结论有一致性）.2内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等.（类比：与多边形的内切圆）.3正多面体的内切球和外接球的球心重合.4正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不一定重合.5基本方法：2（1）构造三角形利用相似比和勾股定理；（2）体积分割是求内切球半径的通用做法（等体积法）.四、与台体相关的，此略.五、八大模型 第一讲 柱体背景的模型 类型一、墙角模

5、型（三条棱两两垂直，不找球心的位置即可求出球半径）cab图1-1CPAB abc图1-2PCBA abc图1-3CBPA abc图1-4PCBA 方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式2222)2(cbaR，即2222cbaR，求出R 例 1（1）已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是（）A16 B20 C24 D32（2）若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是 （3）在正三棱锥SABC中，MN、分别是棱SCBC、的中点，且MNAM,若侧棱2 3SA,则正三棱锥ABCS 外接球的表面积是 .解：引理：正三棱锥的对棱互相垂直.证明如下

6、：如图（3）-1，取BCAB,的中点ED,，连接CDAE,，CDAE,交于H，连接SH，则H是底面正三角形ABC的中心，SH平面ABC，ABSH，BCAC，BDAD，ABCD，AB平面SCD，SCAB，同理：SABC，SBAC，即正三棱锥的对棱互垂直，本题图如图（3）-2，MNAM，MNSB/，SBAM，SBAC，SB平面SAC，SASB，SCSB，SASB，SABC，SA平面SBC，SCSA，故三棱锥ABCS 的三棱条侧棱两两互相垂直，36)32()32()32()2(2222R，即3642R，正三棱锥ABCS 外接球的表面积是36.(3)题-1(引理）HEDBACS(3)题-2（解答图）M

7、NABCS 3（4）在四面体SABC中，ABCSA平面，,1,2,120ABACSABAC则该四面体的外接球的表面积为（）11.A 7.B 310.C 340.D（5）如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为6、4、3，那么它的外接球的表面积是 （6）已知某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，则该几何体外接球的体积为 类型二、对棱相等模型（补形为长方体）题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（CDAB，BCAD，BDAC）第一步：画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱；第二步：设出长方体的长宽高分别为cba,，xBCAD

8、，yCDAB，zBDAC，列方程组，222222222zacycbxba2)2(2222222zyxcbaR，补充：图 2-1 中，abcabcabcVBCDA31461.第三步：根据墙角模型，22222222zyxcbaR，82222zyxR，8222zyxR，求出R.例 2（1）如下图所示三棱锥ABCD，其中5,6,7,ABCDACBDADBC则该三棱锥外接球的表面积为 .(6)题图yxabczzyx图2-1DCAB 4(1)题图BCDA（2）在三棱锥BCDA中，2CDAB，3 BCAD，4 BDAC，则三棱锥BCDA外接球的表面积为 .（3）正四面体的各条棱长都为2，则该正面体外接球的体

9、积为 （4）棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如下图，则图中三 角形(正四面体的截面)的面积是 .(4)题 类型三、汉堡模型（直棱柱的外接球、圆柱的外接球）图3-1C1B1AEFA1O1OO2BC 图3-2C1B1AA1O1OO2BC 图3-3C1B1AEFA1O1OO2BC 题设：如图 3-1，图 3-2，图 3-3,直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）第一步：确定球心O的位置，1O是ABC的外心，则1OO平面ABC；第二步：算出小圆1O的半径rAO 1，hAAOO212111（hAA 1也是圆柱的高）；第三步：勾股定理

10、：21212OOAOOA222)2(rhR22)2(hrR，解出R.例 3（1）一个正六棱柱的底面上正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为89，底面周长为3，则这个球的体积为 5（2）直三棱柱111ABCABC的各顶点都在同一球面上，若12ABACAA,120BAC，则此球的表面积等于 .（3）已知EAB所在的平面与矩形ABCD所在的平面互相垂直，60,2,3AEBADEBEA，则多面体ABCDE 的外接球的表面积为 .（4）在直三棱柱111CBAABC 中，4,3,6,41AAAACAB，则直三棱柱111CBAABC 的外接球的表面积为 .第二讲

11、锥体背景的模型 类型四、切瓜模型（两个大小圆面互相垂直且交于小圆直径正弦定理求大圆直径是通法）图4-1PAO1OCB图4-2AO1OCBP图4-3OO1ACBP 图4-4ACBP 1如图 4-1，平面PAC平面ABC，且BCAB（即AC为小圆的直径），且P的射影是ABC的外心三棱锥ABCP 的三条侧棱相等三棱ABCP 的底面ABC在圆锥的底上，顶点P点也是圆锥的顶点.解题步骤：第一步：确定球心O的位置，取ABC的外心1O，则1,OOP三点共线；第二步：先算出小圆1O的半径rAO 1，再算出棱锥的高hPO 1（也是圆锥的高）；第三步：勾股定理：21212OOAOOA222)(rRhR，解出R；事

12、实上，ACP的外接圆就是大圆，直接用正弦定理也可求解出R.2如图 4-2，平面PAC平面ABC，且BCAB（即AC为小圆的直径），且ACPA，则 利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：222)2()2(rPAR22)2(2rPAR；2122OOrR212OOrR 3如图 4-3，平面PAC平面ABC，且BCAB（即AC为小圆的直径）21212OOCOOC2122OOrR2122OORAC 4题设：如图 4-4，平面PAC平面ABC，且BCAB（即AC为小圆的直径）第一步：易知球心O必是PAC的外心，即PAC的外接圆是大圆，先求出小圆的直径rAC2；第二步：在PAC中，可根据正弦定理RCcBbAa2

13、sinsinsin，求出R.例 4（1）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为1，底面边长为32，则该球的表面积为 .6（2）正四棱锥ABCDS 的底面边长和各侧棱长都为2，各顶点都在同一球面上，则此球体积为 （3）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（）A433 B33 C43 D123 （4）在三棱锥ABCP中，3PCPBPA,侧棱PA与底面ABC所成的角为60，则该三棱锥外接球的体积为（）A B.3 C.4 D.43（5）已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的求面上,ABC是边长为1的正三角形,SC为球O的直径,且2

14、SC，则此棱锥的体积为（）A26 B36 C23 D22 类型五、垂面模型（一条直线垂直于一个平面）1题设：如图 5，PA平面ABC，求外接球半径.解题步骤：第一步：将ABC画在小圆面上，A为小圆直径的一个端点，作小圆的直径AD，连接PD，则PD必过球心O；第二步：1O为ABC的外心，所以1OO平面ABC，算出小圆1O的半径rDO1（三角形的外接圆直图5ADPO1OCB 7 径算法：利用正弦定理，得rCcBbAa2sinsinsin），PAOO211；第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：222)2()2(rPAR22)2(2rPAR；2122OOrR212OOrR.2题设：如图 5-1

15、至 5-8 这七个图形，P的射影是ABC的外心三棱锥ABCP 的 三条侧棱相等三棱锥ABCP 的底面ABC在圆锥的底上，顶点P点也是圆锥的 顶点.图5-1PAO1OCB 图5-2PAO1OCB 图5-3PAO1OCB 图5-4PADO1OCB 图5-6DPOO2ABC 图5-7POO2ABC 图5-8DPOO2AB 解题步骤：第一步：确定球心O的位置，取ABC的外心1O，则1,OOP三点共线；第二步：先算出小圆1O的半径rAO 1，再算出棱锥的高hPO 1（也是圆锥的高）；第三步：勾股定理：21212OOAOOA222)(rRhR，解出R 方法二：小圆直径参与构造大圆，用正弦定理求大圆直径得球

16、的直径.例 5 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为()A3 B2 C316 D以上都不对 222222俯视图侧视图正视图 8 第三讲 二面角背景的模型 类型六、折叠模型 题设：两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折叠(如图 6)图6H1EACOBDAH2 第一步：先画出如图 6 所示的图形，将BCD画在小圆上，找出BCD和BDA的外心1H和2H；第二步：过1H和2H分别作平面BCD和平面BDA的垂线，两垂线的交点即为球心O，连接OCOE,；第三步：解1OEH，算出1OH，在1OCHRt中，勾股定理：22121OCCHOH 注：易知21,HEHO四点共面且四点共圆，证略

17、.例 6（1）三棱锥ABCP中，平面PAC平面ABC，PAC和ABC均为边长为2的正三角形，则三棱锥ABCP外接球的半径为 .（2）在直角梯形ABCD中，CDAB/，90A，45C，1 ADAB，沿对角线BD折成四面体BCDA，使平面BDA平面BCD，若四面体BCDA 的顶点在同一个球面上，则该项球的表面积为 （3）在四面体ABCS 中，BCAB，2 BCAB，二面角BACS的余弦值为33，则四面体ABCS 的外接球表面积为 （4）在边长为32的菱形ABCD中，60BAD，沿对角线BD折成二面角CBDA为120的四面体ABCD，则此四面体的外接球表面积为 （5）在四棱锥ABCD中，120BDA

18、，150BDC，2 BDAD，3CD，二面角CBDA 的平面角的大小为120，则此四面体的外接球的体积为 9 类型七、两直角三角形拼接在一起(斜边相同,也可看作矩形沿对角线折起所得三棱锥)模型 图7OACBP 题设：如图 7，90ACBAPB，求三棱锥ABCP外接球半径（分析：取公共的斜边的中点O，连接OCOP,，则ABOPOCOBOA21，O为三棱锥ABCP外接球球心，然后在OCP中求出半径），当看作矩形沿对角线折起所得三棱锥时与折起成的二面角大小无关，只要不是平角球半径都为定值.例 7（1）在矩形ABCD中，4AB，3BC，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角DACB，则四面体ABCD的外

19、接球的体积为（）A12125 B9125 C6125 D3125 （2）在矩形ABCD中，2AB，3BC，沿BD将矩形ABCD折叠，连接AC，所得三棱锥BCDA 的外接球的表面积为 第四讲 多面体的内切球问题模型 类型八、锥体的内切球问题 1题设：如图 8-1，三棱锥ABCP上正三棱锥，求其内切球的半径.第一步：先现出内切球的截面图，HE,分别是两个三角形的外心；第二步：求BDDH31，rPHPO，PD是侧面ABP的高；第三步：由POE相似于PDH，建立等式：PDPODHOE，解出r 2题设：如图 8-2，四棱锥ABCP是正四棱锥，求其内切球的半径 第一步：先现出内切球的截面图，HOP,三点共

20、线；图8-1HDABCPOE图8-2FEHDBACPOG 10 第二步：求BCFH21，rPHPO，PF是侧面PCD的高；第三步：由POG相似于PFH，建立等式：PFPOHFOG，解出 3题设：三棱锥ABCP是任意三棱锥，求其的内切球半径 方法：等体积法，即内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和相等 第一步：先画出四个表面的面积和整个锥体体积；第二步：设内切球的半径为r，建立等式：PBCOPACOPABOABCOABCPVVVVV rSSSSrSrSrSrSVPBCPACPABABCPBCPACPABABCABCP)(3131313131 第三步：解出PBCOPACOPABOABCOAB

21、CPSSSSVr3 例 8（1）棱长为a的正四面体的内切球表面积是 （2）正四棱锥ABCDS 的底面边长为2，侧棱长为3，则其内切球的半径为 （3）三棱锥ABCP中，底面ABC是边长为2的正三角形，PA底面ABC，2PA，则该三棱锥的内切球半径为 习题：1 若三棱锥ABCS 的三条侧棱两两垂直，且2SA，4 SCSB，则该三棱锥的外接球半径为（）A.3 B.6 C.36 D.9 2 三棱锥ABCS 中，侧棱SA平面ABC，底面ABC是边长为3的正三角形，32SA，则该三棱锥的外接球体积等于 .3正三棱锥ABCS 中，底面ABC是边长为3的正三角形，侧棱长为2，则该三棱锥的外接球体积等于 .4三棱锥ABCP中，平面PAC平面ABC，PAC边长为2的正三角形，BCAB，则三棱锥ABCP外接球的半径为 .5 三棱锥ABCP中，平面PAC平面ABC，2AC，3 PCPA，BCAB，则三棱锥ABCP外接球的半径为 .6 三棱锥ABCP中，平面PAC平面ABC，2AC，PCPA，BCAB，则三棱锥ABCP外接球的半径为 .