2016中考数学第二轮复习专题(10个专题)解读.pdf

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1、祝博士教育 1 2016 年中考数学第二轮专题复习 专题一 选择题解题方法 一、中考专题诠释 选择题是各地中考必考题型之一，2013 年各地命题设置上，选择题的数目稳定在 814 题，这说明选择题有它不可替代的重要性.选择题具有题目小巧，答案简明；适应性强，解法灵活；概念性强、知识覆盖面宽等特征，它有利于考核学生的基础知识，有利于强化分析判断能力和解决实际问题的能力的培养.二、解题策略与解法精讲 选择题解题的基本原则是：充分利用选择题的特点，小题小做，小题巧做，切忌小题大做.解选择题的基本思想是既要看到各类常规题的解题思想，但更应看到选择题的特殊性，数学选择题的四个选择支中有且仅有一个是正确的

2、，又不要求写出解题过程.因而，在解答时应该突出一个“选”字，尽量减少书写解题过程，要充分利用题干和选择支两方面提供的信息，依据题目的具体特点，灵活、巧妙、快速地选择解法，以便快速智取，这是解选择题的基本策略.具体求解时，一是从题干出发考虑，探求结果；二是题干和选择支联合考虑或从选择支出发探求是否满足题干条件.事实上，后者在解答选择题时更常用、更有效.三、中考典例剖析 考点一：直接法 从题设条件出发，通过正确的运算、推理或判断，直接得出结论再与选择支对照，从而作出选择的一种方法。运用此种方法解题需要扎实的数学基础.例 1 （2013陕西）根据表中一次函数的自变量 x 与函数 y 的对应值，可得

3、p 的值为（）x-2 0 1 y 3 p 0 A1 B-1 C3 D-3 思路分析：设一次函数的解析式为 y=kx+b（k0），再把 x=-2，y=3；x=1 时，y=0 代入即可得出 kb的值，故可得出一次函数的解析式，再把 x=0 代入即可求出 p 的值 解：一次函数的解析式为 y=kx+b（k0），x=-2 时 y=3；x=1 时 y=0，230kbkb，解得11kb，一次函数的解析式为 y=-x+1，当 x=0 时，y=1，即 p=1 故选 A 点评：本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，即一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式 对应训练 1（2013安顺）若 y=(a+1)

4、xa2-2是反比例函数，则 a 的取值为（）A1 B-l Cl D任意实数 祝博士教育 2 1A 考点二：筛选法（也叫排除法、淘汰法）分运用选择题中单选题的特征，即有且只有一个正确选择支这一信息，从选择支入手，根据题设条件与各选择支的关系，通过分析、推理、计算、判断，对选择支进行筛选，将其中与题设相矛盾的干扰支逐一排除，从而获得正确结论的方法。使用筛选法的前提是“答案唯一”，即四个选项中有且只有一个答案正确.例 2 （2013莱芜）如图，等边三角形 ABC 的边长为 3，N 为 AC 的三等分点，三角形边上的动点M 从点 A 出发，沿 ABC 的方向运动，到达点 C 时停止设点 M 运动的路程

5、为 x，MN2=y，则y 关于 x 的函数图象大致为（）A B C D 思路分析：注意分析 y 随 x 的变化而变化的趋势，而不一定要通过求解析式来解决 解：等边三角形 ABC 的边长为 3，N 为 AC 的三等分点，AN=1 当点 M 位于点 A 处时，x=0，y=1 当动点 M 从 A 点出发到 AM=1 的过程中，y 随 x 的增大而减小，故排除 D；当动点 M 到达 C 点时，x=6，y=3-1=2，即此时 y 的值与点 M 在点 A 处时的值不相等故排除 A、C 故选 B 点评：本题考查了动点问题的函数图象，解决本题应首先看清横轴和纵轴表示的量，然后根据动点的行程判断 y 的变化情况

6、 对应训练 2（2013自贡）如图，已知 A、B 是反比例函数 y=kx(k0，x0)上的两点，BCx 轴，交 y 轴于 C，动点 P 从坐标原点 O 出发，沿 OABC 匀速运动，终点为 C，过运动路线上任意一点 P作 PMx 轴于 M，PNy 轴于 N，设四边形 OMPN 的面积为 S，P 点运动的时间为 t，则 S 关于 t的函数图象大致是（）A B C D 2A 考点三：逆推代入法 祝博士教育 3 将选择支中给出的答案或其特殊值，代入题干逐一去验证是否满足题设条件，然后选择符合题设条件的选择支的一种方法.在运用验证法解题时，若能据题意确定代入顺序，则能较大提高解题速度.例 3（2013

7、邵阳）下列四个点中，在反比例函数 y6x的图象上的是（）A（3，-2）B（3，2）C（2，3）D（-2，-3）思路分析：根据反比例函数中 k=xy 的特点进行解答即可 解：A、3（-2）=-6，此点在反比例函数的图象上，故本选项正确；B、32=6-6，此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误；C、23=6-6，此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误；D、（-2）（-3）=6-6，此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误 故选 A 点评：本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数 y=kx中，k=xy 为定值是解答此题的关键 对应训练 3（2013重庆）已知正比例函数 y=kx（

8、k0）的图象经过点（1，-2），则这个正比例函数的解析式为（）Ay=2x By=-2x Cy12x Dy12 x 3B 考点四：直观选择法 利用函数图像或数学结果的几何意义，将数的问题(如解方程、解不等式、求最值，求取值范围等)与某些图形结合起来，利用直观几性，再辅以简单计算，确定正确答案的方法。这种解法贯穿数形结合思想，每年中考均有很多选择题(也有填空题、解答题)都可以用数形结合思想解决，既简捷又迅速.例 4（2013鄂州）一个大烧杯中装有一个小烧杯，在小烧杯中放入一个浮子（质量非常轻的空心小圆球）后再往小烧杯中注水，水流的速度恒定不变，小烧杯被注满后水溢出到大烧杯中，浮子始终保持在容器的正

9、中间用 x 表示注水时间，用 y 表示浮子的高度，则用来表示 y 与 x 之间关系的选项是（）A B C D 思路分析：分三段考虑，小烧杯未被注满，这段时间，浮子的高度快速增加；小烧杯被注满，大烧杯内水面的高度还未达到小烧杯的高度，此时浮子高度不变；大烧杯内的水面高于小烧杯，此时浮子高度缓慢增加 解：小烧杯未被注满，这段时间，浮子的高度快速增加；小烧杯被注满，大烧杯内水面的高度还未达到小烧杯的高度，此时浮子高度不变；大烧杯内的水面高于小烧杯，此时浮子高度缓慢增加 结合图象可得 B 选项的图象符合 故选 B 点评：本题考查了函数的图象，解答本题需要分段讨论，另外本题重要的一点在于：浮子始终保持祝

10、博士教育 4 在容器的正中间 对应训练 4（2013巴中）在物理实验课上，小明用弹簧称将铁块 A 悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起（不考虑水的阻力），直至铁块完全露出水面一定高度，则下图能反映弹簧称的读数 y（单位 N）与铁块被提起的高度 x（单位 cm）之间的函数关系的大致图象是（）ABCD 4D 考点五：特征分析法 对有关概念进行全面、正确、深刻的理解或根据题目所提供的信息，如数值特征、结构特征、位置特征等，提取、分析和加工有效信息后而迅速作出判断和选择的方法 例 5 （2013三明）如图，已知直线 y=mx 与双曲线kyx的一个交点坐标为（3，4），则它们的另一个交点坐标是（）A（-

11、3，4）B（-4，-3）C（-3，-4）D（4，3）思路分析：反比例函数的图象是中心对称图形，则与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称 解：因为直线 y=mx 过原点，双曲线kyx的两个分支关于原点对称，所以其交点坐标关于原点对称，一个交点坐标为（3，4），另一个交点的坐标为（-3，-4）故选：C 点评：此题考查了函数交点的对称性，通过数形结合和中心对称的定义很容易解决 对应训练 5（2013宁波）已知一个函数的图象与 y=6x的图象关于 y 轴成轴对称，则该函数的解析式为 5y=-6x 考点六：动手操作法 与剪、折操作有关或者有些关于图形变换的试题是各地中考热点题型，只凭想象不好确定，处

12、理时要根据剪、折顺序动手实践操作一下，动手可以直观得到答案，往往能达到快速求解的目的.例 6 （2013宁波）下列四张正方形硬纸片，剪去阴影部分后，如果沿虚线折叠，可以围成一个封闭的长方形包装盒的是（）祝博士教育 5 A B C D 思路分析：严格按照图中的方法亲自动手操作一下，即可很直观地呈现出来 解：A、剪去阴影部分后，组成无盖的正方体，故此选项不合题意；B、剪去阴影部分后，无法组成长方体，故此选项不合题意；C、剪去阴影部分后，能组成长方体，故此选项正确；D、剪去阴影部分后，组成无盖的正方体，故此选项不合题意；故选：C 点评：此题主要考查了展开图折叠成几何体，培养了学生的动手操作能力和空间

13、想象能力 对应训练 6（2013菏泽）如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个钝角为 120 的菱形，剪口与第二次折痕所成角的度数应为（）A15 或 30 B30 或 45 C45 或 60 D30 或 60 6D 四、中考真题演练 1（2013邵阳）下列四个图形中，不是轴对称图形的是（）A B C D 1B 2（2013湖州）若正比例函数 y=kx 的图象经过点（1，2），则 k 的值为（）A-12 B-2 C12 D2 2D 3（2013天门）下列事件中，是必然事件的为（）A抛掷一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上 B江汉平原 7 月份某一天的最低气温是-2 C通常加热

14、到 100时，水沸腾 D打开电视，正在播放节目男生女生向前冲 3C 4（2013徐州）下列函数中，y 随 x 的增大而减少的函数是（）Ay=2x+8 By=-2+4x Cy=-2x+8 Dy=4x 4C 祝博士教育 6 5（2013盐城）下面的几何体中，主视图不是矩形的是（）A B C D 5C 6（2013达州）下列说法正确的是（）A一个游戏中奖的概率是 1100，则做 100 次这样的游戏一定会中奖 B为了了解全国中学生的心理健康状况，应采用普查的方式 C一组数据 0，1，2，1，1 的众数和中位数都是 1 D若甲组数据的方差2S甲0.2，乙组数据的方差2S乙0.5，则乙组数据比甲组数据稳

15、定 6C 7（2013贵阳）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的位置是（）A B C D 7A 8（2013三明）如图，已知直线 y=mx 与双曲线 y=kx的一个交点坐标为（3，4），则它们的另一个交点坐标是（）A（-3，4）B（-4，-3）C（-3，-4）D（4，3）8C 9（2013天津）下列标志中，可以看作是中心对称图形的是（）祝博士教育 7 A B C D 9D 10（2013义乌）为支援雅安灾区，小慧准备通过爱心热线捐款，她只记得号码的前 5 位，后三位由 5，1，2，这三个数字组成，但具体顺序忘记了，他第一次就拨通电话的概率是（）A12 B 14 C16 D18 10C 1

16、1（2013南宁）小乐用一块长方形硬纸板在阳光下做投影实验，通过观察，发现这块长方形硬纸板在平整的地面上不可能出现的投影是（）A三角形 B线段 C矩形 D正方形 11A 12（2013泰州）下列标志图中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A B C D 12B 13（2013台州）有一篮球如图放置，其主视图为（）A B C D 13B 14（2013长沙）在下列某品牌 T 恤的四个洗涤说明图案的设计中，没有运用旋转或轴对称知识的是（）A B C D 14C 15（2013达州）下面是一天中四个不同时刻两座建筑物的影子，将它们按时间先后顺序正确的是（）祝博士教育 8 A（3）（1）（4）（

17、2）B（3）（2）（1）（4）C（3）（4）（1）（2）D（2）（4）（1）（3）15C 16（2013陕西）如图，下面的几何体是由一个圆柱和一个长方体组成的，则它的俯视图是（）A B C D 16D 17（2013广州）在 66 方格中，将图 1 中的图形 N 平移后位置如图 2 所示，则图形 N 的平移方法中，正确的是（）A向下移动 1 格 B向上移动 1 格 C向上移动 2 格 D向下移动 2 格 17D 18（2013玉林）若=30，则 的补角是（）A30 B60 C120 D150 18D 19（2013襄阳）如图，在ABC 中，D 是 BC 延长线上一点，B=40，ACD=120，

18、则A等于（）A60 B70 C80 D90 19C 20（2013宜昌）某几何体的三种视图如图所示，则该几何体是（）祝博士教育 9 A三棱柱 B长方体 C圆柱 D圆锥 20C 21（2013遂宁）已知反比例函数kyx的图象经过点（2，-2），则 k 的值为（）A4 B-12 C-4 D-2 21C 22（2013钦州）下列四个图形中，是三棱柱的平面展开图的是（）A B C D 22B 23（2013锦州）为响应“节约用水”的号召，小刚随机调查了班级 35 名同学中 5 名同学家庭一年的平均用水量（单位：吨），记录如下：8，9，8，7，10，这组数据的平均数和中位数分别是（）A8，8 B8.4，

19、8 C8.4，8.4 D8，8.4 23B 24（2013恩施州）如图所示，下列四个选项中，不是正方体表面展开图的是（）A B C D 24C 25（2013巴中）如图，是一个正方体的表面展开图，则原正方体中“梦”字所在的面相对的面上标的字是（）A大 B伟 C国 D的 祝博士教育 1 0 25D 26（2013怀化）如图，在方格纸上上建立的平面直角坐标系中，将 OA 绕原点 O 按顺时针方向旋转 180 得到 OA，则点 A的坐标为（）A（3，1）B（3，-1）C（1，-3）D（1，3）26B 27（2013宜昌）如图，点 B 在反比例函数 y=2x（x0）的图象上，横坐标为 1，过点 B 分

20、别向 x轴，y 轴作垂线，垂足分别为 A，C，则矩形 OABC 的面积为（）A1 B2 C3 D4 27B 28（2013吉林）端午节期间，某市一周每天最高气温（单位：）情况如图所示，则这组表示最高气温数据的中位数是（）A22 B24 C25 D27 28B 29（2013黑龙江）如图，爸爸从家（点 O）出发，沿着扇形 AOB 上 OAABBO 的路径去匀速散步，设爸爸距家（点 O）的距离为 S，散步的时间为 t，则下列图形中能大致刻画 S 与 t 之间函数关系的图象是（）祝博士教育 1 1 ABCD 29C 30（2013北京）如图，为估算某河的宽度，在河对岸选定一个目标点 A，在近岸取点

21、B，C，D，使得 ABBC，CDBC，点 E 在 BC 上，并且点 A，E，D 在同一条直线上若测得 BE=20m，CE=10m，CD=20m，则河的宽度 AB 等于（）A60m B40m C30m D20m 30 31（2013荆门）在平面直角坐标系中，线段 OP 的两个端点坐标分别是 O（0，0），P（4，3），将线段 OP 绕点 O 逆时针旋转 90 到 OP位置，则点 P的坐标为（）A（3，4）B（-4，3）C（-3，4）D（4，-3）31C 32（2013盐城）如图是 33 正方形方格，将其中两个方格涂黑，并且使涂黑后的整个图案是轴对称图形，约定绕正方形 ABCD 的中心旋转能重合的

22、图案都视为同一种图案，例如图中的四幅图就视为同一种图案，则得到的不同图案共有（）A4 种 B5 种 C6 种 D7 种 32C 33（2013咸宁）如图，正方形 ABCD 是一块绿化带，其中阴影部分 EOFB，GHMN 都是正方形的花圃已知自由飞翔的小鸟，将随机落在这块绿化带上，则小鸟在花圃上的概率为（）A1732 B12 C1736 D 1738 33C 祝博士教育 1 2 34（2013雅安）如图，AB 是O 的直径，C、D 是O 上的点，CDB=30，过点 C 作O 的切线交 AB 的延长线于 E，则 sinE 的值为（）A12 B32 C22 D33 34A 35（2013衢州）如图，

23、正方形 ABCD 的边长为 4，P 为正方形边上一动点，沿 ADCBA 的路径匀速移动，设 P 点经过的路径长为 x，APD 的面积是 y，则下列图象能大致反映 y 与 x 的函数关系的是（）ABCD 35B 36（2013柳州）如图，点 P（a，a）是反比例函数 y=16x在第一象限内的图象上的一个点，以点P 为顶点作等边PAB，使 A、B 落在 x 轴上，则POA 的面积是（）A3 B4 C124 33 D128 33 36D 37（2013苏州）已知二次函数 y=x2-3x+m（m 为常数）的图象与 x 轴的一个交点为（1，0），则关于 x 的一元二次方程 x2-3x+m=0 的两实数根

24、是（）Ax1=1，x2=-1 Bx1=1，x2=2 Cx1=1，x2=0 Dx1=1，x2=3 37B 38（2013贺州）直线 AB 与O 相切于 B 点，C 是O 与 OA 的交点，点 D 是O 上的动点（D与 B，C 不重合），若A=40，则BDC 的度数是（）A25 或 155 B50 或 155 C25 或 130 D50 或 130 38A 39（2013莱芜）下列说法错误的是（）祝博士教育 1 3 A若两圆相交，则它们公共弦的垂直平分线必过两圆的圆心 B2+3与 2-3互为倒数 C若 a|b|，则 ab D梯形的面积等于梯形的中位线与高的乘积的一半 39D 40（2013无锡）已

25、知点 A（0，0），B（0，4），C（3，t+4），D（3，t）记 N（t）为ABCD 内部（不含边界）整点的个数，其中整点是指横坐标和纵坐标都是整数的点，则 N（t）所有可能的值为（）A6、7 B7、8 C6、7、8 D6、8、9 40C 412013南充）下列图形中，21 的是（）A B C D 41C 42（2013贵阳）在矩形 ABCD 中，AB=6，BC=4，有一个半径为 1 的硬币与边 AB、AD 相切，硬币从如图所示的位置开始，在矩形内沿着边 AB、BC、CD、DA 滚动到开始的位置为止，硬币自身滚动的圈数大约是（）A1 圈 B2 圈 C3 圈 D4 圈 42B 43（2013钦

26、州）如图，图 1、图 2、图 3 分别表示甲、乙、丙三人由甲 A 地到 B 地的路线图（箭头表示行进的方向）其中 E 为 AB 的中点，AHHB，判断三人行进路线长度的大小关系为（）祝博士教育 1 4 A甲乙丙 B乙丙甲 C丙乙甲 D甲=乙=丙 43D 44（2013福州）如图，已知ABC，以点 B 为圆心，AC 长为半径画弧；以点 C 为圆心，AB 长为半径画弧，两弧交于点 D，且点 A，点 D 在 BC 异侧，连结 AD，量一量线段 AD 的长，约为（）A2.5cm B3.0cm C3.5cm D4.0cm 44B 45（2013佛山）半径为 3 的圆中，一条弦长为 4，则圆心到这条弦的距

27、离是（）A3 B4 C5 D7 45C 46（2013达州）如图，一条公路的转变处是一段圆弧（即图中弧 CD，点 O 是弧 CD 的圆心），其中 CD=600 米，E 为弧 CD 上一点，且 OECD，垂足为 F，OF=3003米，则这段弯路的长度为（）A200 米 B100 米 C400 米 D300 米 46A 47（2013绥化）如图，点 A，B，C，D 为O 上的四个点，AC 平分BAD，AC 交 BD 于点 E，CE=4，CD=6，则 AE 的长为（）A4 B5 C6 D7 47B 48（2013红河州）如图，AB 是O 的直径，点 C 在O 上，弦 BD 平分ABC，则下列结论错误

28、的是（）AAD=DC BADDC CADB=ACB DDAB=CBA 祝博士教育 1 5 48D 49（2013邗江区一模）一张圆形纸片，小芳进行了如下连续操作：（1）将圆形纸片左右对折，折痕为 AB，如图（2）所示（2）将圆形纸片上下折叠，使 A、B 两点重合，折痕 CD 与 AB 相交于 M，如图（3）所示（3）将圆形纸片沿 EF 折叠，使 B、M 两点重合，折痕 EF 与 AB 相交于 N，如图（4）所示（4）连结 AE、AF，如图（5）所示 经过以上操作小芳得到了以下结论：CDEF；四边形 MEBF 是菱形；AEF 为等边三角形；SAEF：S圆=33：4，以上结论正确的有（）A1 个

29、B2 个 C3 个 D4 个 49D 50（2013恩施州）如甲、乙两图所示，恩施州统计局对 2009 年恩施州各县市的固定资产投资情况进行了统计，并绘成了以下图表，请根据相关信息解答下列问题：2009 年恩施州各县市的固定资产投资情况表：（单位：亿元）单位 恩施市 利川县 建始县 巴东县 宜恩县 咸丰县 来凤县 鹤峰县 州直 投资额 60 28 24 23 14 16 15 5 下列结论不正确的是（）A2009 年恩施州固定资产投资总额为 200 亿元 B2009 年恩施州各单位固定资产投资额的中位数是 16 亿元 C2009 年来凤县固定资产投资额为 15 亿元 D2009 年固定资产投资

30、扇形统计图中表示恩施市的扇形的圆心角为 110 50D 祝博士教育 1 6 专题二 新定义型问题 一、中考专题诠释 所谓“新定义”型问题，主要是指在问题中定义了中学数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型.“新定义”型问题成为近年来中考数学压轴题的新亮点.在复习中应重视学生应用新的知识解决问题的能力 二、解题策略和解法精讲“新定义型专题”关键要把握两点：一是掌握问题原型的特点及其问题解决的思想方法；二是根据问题情景的变化，通过认真思考，合理进行思想方法的迁移 三、中考典例剖析 考点一：规律题型中的新定义 例

31、 1 （2013湛江）阅读下面的材料，先完成阅读填空，再按要求答题：sin30=12，cos30=32，则 sin230+cos230=；sin45=22，cos45=22，则 sin245+cos245=；sin60=32，cos60=12，则 sin260+cos260=观察上述等式，猜想：对任意锐角 A，都有 sin2A+cos2A=（1）如图，在锐角三角形 ABC 中，利用三角函数的定义及勾股定理对A 证明你的猜想；（2）已知：A 为锐角（cosA0）且 sinA=35，求 cosA 思路分析：将特殊角的三角函数值代入计算即可求出其值；由前面的结论，即可猜想出：对任意锐角 A，都有 s

32、in2A+cos2A=1；（1）如图，过点 B 作 BDAC 于 D，则ADB=90 利用锐角三角函数的定义得出 sinA=BDAB，cosA=ADAB，则 sin2A+cos2A=222BDADAB，再根据勾股定理得到 BD2+AD2=AB2，从而证明 sin2A+cos2A=1；祝博士教育 1 7（2）利用关系式 sin2A+cos2A=1，结合已知条件 cosA0 且 sinA=35，进行求解 解：sin30=12，cos30=32，sin230+cos230=（12）2+（32）2=14+34=1；sin45=22，cos45=22，sin245+cos245=（22）2+（22）2=

33、12+12=1；sin60=32，cos60=12，sin260+cos260=（32）2+（12）2=34+14=1 观察上述等式，猜想：对任意锐角 A，都有 sin2A+cos2A=1（1）如图，过点 B 作 BDAC 于 D，则ADB=90 sinA=BDAB，cosA=ADAB，sin2A+cos2A=（BDAB）2+（ADAB）2=222BDADAB，ADB=90，BD2+AD2=AB2，sin2A+cos2A=1 （2）sinA=35，sin2A+cos2A=1，A 为锐角，cosA=2341()55 点评：本题考查了同角三角函数的关系，勾股定理，锐角三角函数的定义，比较简单 对应

34、训练 1（2013绵阳）我们知道，三角形的三条中线一定会交于一点，这一点就叫做三角形的重心重心有很多美妙的性质，如关于线段比面积比就有一些“漂亮”结论，利用这些性质可以解决三角形中的祝博士教育 1 8 若干问题请你利用重心的概念完成如下问题：（1）若 O 是ABC 的重心（如图 1），连结 AO 并延长交 BC 于 D，证明：23AOAD；（2）若 AD 是ABC 的一条中线（如图 2），O 是 AD 上一点，且满足23AOAD，试判断 O 是ABC的重心吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由；（3）若 O 是ABC 的重心，过 O 的一条直线分别与 AB、AC 相交于 G、H（均不与ABC

35、 的顶点重合）（如图 3），S四边形BCHG，SAGH分别表示四边形 BCHG 和AGH 的面积，试探究 BCHGAGHSS四边形的最大值 2.（1）证明：如答图 1 所示，连接 CO 并延长，交 AB 于点 E 点 O 是ABC 的重心，CE 是中线，点 E 是 AB 的中点 DE 是中位线，DEAC，且 DE=12AC DEAC，AOCDOE，AOACODDE=2，AD=AO+OD，AOAD=23 （2）答：点 O 是ABC 的重心 证明：如答图 2，作ABC 的中线 CE，与 AD 交于点 Q，则点 Q 为ABC 的重心 祝博士教育 1 9 由（1）可知，AOAD=23，而AOAD=23

36、，点 Q 与点 O 重合（是同一个点），点 O 是ABC 的重心 （3）解：如答图 3 所示，连接 DG 设 SGOD=S，由（1）知AOAD=23，即 OA=2OD，SAOG=2S，SAGD=SGOD+SAGO=3S 为简便起见，不妨设 AG=1，BG=x，则 SBGD=3xS SABD=SAGD+SBGD=3S+3xS=（3x+3）S，SABC=2SABD=（6x+6）S 设 OH=kOG，由 SAGO=2S，得 SAOH=2kS，SAGH=SAGO+SAOH=（2k+2）S S四边形BCHG=SABC-SAGH=（6x+6）S-（2k+2）S=（6x-2k+4）S BCHGAGHSS四边

37、形=(6-24)(22)xkSkS=3-21x kk 如答图 3，过点 O 作 OFBC 交 AC 于点 F，过点 G 作 GEBC 交 AC 于点 E，则 OFGE OFBC，23OFAOCDAD，OF=23CD=13BC；GEBC，祝博士教育 2 0 11GEAGBCABx，GE=1BCx；131BCOFBCGEx=13x，13(1)OFxGEOFx=12xx OFGE，OHOFGHGE，1-2-OHOFxOGGE OFx，k=12-xx，代入式得：BCHGAGHSS四边形=13-23-22-1112-xxx kxxkx=-x2+x+1=-（x-12）2+54，当 x=12时，BCHGAG

38、HSS四边形有最大值，最大值为54 考点二：运算题型中的新定义 例 2 （2013河北）定义新运算：对于任意实数 a，b，都有 ab=a（a-b）+1，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如：25=2（2-5）+1=2（-3）+1=-6+1=-5。（1）求（-2）3 的值；（2）若 3x 的值小于 13，求 x 的取值范围，并在图所示的数轴上表示出来 思路分析：（1）按照定义新运算 ab=a（a-b）+1，求解即可；（2）先按照定义新运算 ab=a（a-b）+1，得出 3x，再令其小于 13，得到一元一次不等式，解不等式求出 x 的取值范围，即可在数轴上表示 解：（1）ab=a（a-b）+

39、1，（-2）3=-2（-2-3）+1=10+1=11；（2）3x13，3（3-x）+113，9-3x+113，-3x3，x-1 在数轴上表示如下：祝博士教育 2 1 点评：本题考查了有理数的混合运算及一元一次不等式的解法，属于基础题，理解新定义法则是解题的关键 对应训练 2（2013十堰）定义：对于实数 a，符号a表示不大于 a 的最大整数 例如：5.7=5，5=5，-=-4 （1）如果a=-2，那么 a 的取值范围是 （2）如果12x=3，求满足条件的所有正整数 x 2解：（1）a=-2，a 的取值范围是-2a-1；（2）根据题意得：312x4，解得：5x7，则满足条件的所有正整数为 5，6

40、 考点三：探索题型中的新定义 例 3 （2013钦州）定义：直线 l1与 l2相交于点 O，对于平面内任意一点 M，点 M 到直线 l1、l2的距离分别为 p、q，则称有序实数对（p，q）是点 M 的“距离坐标”，根据上述定义，“距离坐标”是（1，2）的点的个数是（）A2 B3 C4 D5 思路分析：“距离坐标”是（1，2）的点表示的含义是该点到直线 l1、l2的距离分别为 1、2由于到直线 l1的距离是 1 的点在与直线 l1平行且与 l1的距离是 1 的两条平行线 a1、a2上，到直线 l2的距离是 2 的点在与直线 l2平行且与 l2的距离是 2 的两条平行线 b1、b2上，它们有 4

41、个交点，即为所求 解：如图，到直线 l1的距离是 1 的点在与直线 l1平行且与 l1的距离是 1 的两条平行线 a1、a2上，到直线 l2的距离是 2 的点在与直线 l2平行且与 l2的距离是 2 的两条平行线 b1、b2上，“距离坐标”是（1，2）的点是 M1、M2、M3、M4，一共 4 个 故选 C 点评：本题考查了点到直线的距离，两平行线之间的距离的定义，理解新定义，掌握到一条直线的距离等于定长 k 的点在与已知直线相距 k 的两条平行线上是解题的关键 对应训练 3.（2013台州）如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”（1）请用直尺和圆规画一个“

42、好玩三角形”；祝博士教育 2 2（2）如图在 RtABC 中，C=90，tanA=32，求证：ABC 是“好玩三角形”；（3）如图 2，已知菱形 ABCD 的边长为 a，ABC=2，点 P，Q 从点 A 同时出发，以相同速度分别沿折线 AB-BC 和 AD-DC 向终点 C 运动，记点 P 经过的路程为 s 当=45时，若APQ 是“好玩三角形”，试求as的值；当 tan的取值在什么范围内，点 P，Q在运动过程中，有且只有一个APQ能成为“好玩三角形”请直接写出 tan 的取值范围（4）（本小题为选做题，作对另加 2 分，但全卷满分不超过 150 分）依据（3）的条件，提出一个关于“在点 P，

43、Q 的运动过程中，tan 的取值范围与APQ 是好玩三角形的个数关系”的真命题（“好玩三角形”的个数限定不能为 1）3解：（1）如图 1，作一条线段 AB，作线段 AB 的中点 O，作线段 OC，使 OC=AB，连接 AC、BC，ABC 是所求作的三角形 （2）如图 2，取 AC 的中点 D，连接 BD C=90，tanA=32，BCAC=32，设 BC=3x，则 AC=2x，D 是 AC 的中点，CD=12AC=x 祝博士教育 2 3 BD=22223CDBCxx=2x，AC=BD ABC 是“好玩三角形”；（3）如图 3，当=45，点 P 在 AB 上时，ABC=2=90，APQ 是等腰直

44、角三角形，不可能是“好玩三角形”，当 P 在 BC 上时，连接 AC 交 PQ 于点 E，延长 AB 交 QP 的延长线于点 F，PC=CQ，CAB=ACP，AEF=CEP，AEFCEP，2AEAFABBPsCEPCPCas PE=CE，2AEsPEas 当底边 PQ 与它的中线 AE 相等时，即 AE=PQ 时，2AEsPEas=2，as=34，当腰 AP 与它的中线 QM 相等，即 AP=QM 时，作 QNAP 于 N，如图 4 MN=AN=12MP QN=15MN，tanAPQ=153QNMNPNMN=153，tanAPE=2AEsPEas=153，as=1510+12。祝博士教育 2

45、4 由可知，当 AE=PQ 和 AP=QM 时，有且只有一个APQ 能成为“好玩三角形”，153tan2 时，有且只有一个APQ 能成为“好玩三角形”（4）由（3）可以知道 0tan153，则在 P、Q 的运动过程中，使得APQ 成为“好玩三角形”的个数为 2 考点四：开放题型中的新定义 例 4 （2013宁波）若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，我们把这条对角线叫这个四边形的和谐线，这个四边形叫做和谐四边形如菱形就是和谐四边形（1）如图 1，在梯形 ABCD 中，ADBC，BAD=120，C=75，BD 平分ABC求证：BD是梯形 ABCD 的和谐线；（2）如图 2，在 12

46、16 的网格图上（每个小正方形的边长为 1）有一个扇形 BAC，点 ABC 均在格点上，请在答题卷给出的两个网格图上各找一个点 D，使得以 A、B、C、D 为顶点的四边形的两条对角线都是和谐线，并画出相应的和谐四边形；（3）四边形 ABCD 中，AB=AD=BC，BAD=90，AC 是四边形 ABCD 的和谐线，求BCD 的度数 思路分析：（1）要证明 BD 是四边形 ABCD 的和谐线，只需要证明ABD 和BDC 是等腰三角形就可以；（2）根据扇形的性质弧上的点到顶点的距离相等，只要 D 在BC上任意一点构成的四边形 ABDC就是和谐四边形；连接 BC，在BAC 外作一个以 AC 为腰的等腰

47、三角形 ACD，构成的四边形 ABCD就是和谐四边形，（3）由 AC 是四边形 ABCD 的和谐线，可以得出ACD 是等腰三角形，从图 4，图 5，图 6 三种情况运用等边三角形的性质，正方形的性质和 30 的直角三角形性质就可以求出BCD 的度数 解：（1）ADBC，ABC+BAD=180，ADB=DBC BAD=120，ABC=60 BD 平分ABC，ABD=DBC=30，ABD=ADB，ADB 是等腰三角形 在BCD 中，C=75，DBC=30，BDC=C=75，祝博士教育 2 5 BCD 为等腰三角形，BD 是梯形 ABCD 的和谐线；（2）由题意作图为：图 2，图 3 （3）AC 是

48、四边形 ABCD 的和谐线，ACD 是等腰三角形 AB=AD=BC，如图 4，当 AD=AC 时，AB=AC=BC，ACD=ADC ABC 是正三角形，BAC=BCA=60 BAD=90，CAD=30，ACD=ADC=75，BCD=60+75=135 如图 5，当 AD=CD 时，AB=AD=BC=CD BAD=90，四边形 ABCD 是正方形，BCD=90 如图 6，当 AC=CD 时，过点 C 作 CEAD 于 E，过点 B 作 BFCE 于 F，祝博士教育 2 6 AC=CDCEAD，AE=12AD，ACE=DCE BAD=AEF=BFE=90，四边形 ABFE 是矩形 BF=AE AB

49、=AD=BC，BF=12BC，BCF=30 AB=BC，ACB=BAC ABCE，BAC=ACE，ACB=ACE=12BCF=15，BCD=15 3=45 点评：本题是一道四边形的综合试题，考查了和谐四边形的性质的运用，和谐四边形的判定，等边三角形的性质的运用，正方形的性质的运用，30 的直角三角形的性质的运用解答如图 6 这种情况容易忽略，解答时合理运用分类讨论思想是关键 对应训练 4（2013常州）用水平线和竖起线将平面分成若干个边长为 1 的小正方形格子，小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的多边形称为格点多边形设格点多边形的面积为 S，该多边形各边上的格点个数和为 a，内部的格点个数为

50、 b，则 S=12a+b-1（史称“皮克公式”）小明认真研究了“皮克公式”，并受此启发对正三角开形网格中的类似问题进行探究：正三角形网格中每个小正三角形面积为 1，小正三角形的顶点为格点，以格点为顶点的多边形称为格点多边形，下图是该正三角形格点中的两个多边形：根据图中提供的信息填表：祝博士教育 2 7 格点多边形各边上的格点的个数 格点边多边形内部的格点个数 格点多边形的面积 多边形 1 8 1 多边形 2 7 3 一般格点多边形 a b S 则 S 与 a、b 之间的关系为 S=（用含 a、b 的代数式表示）4解：填表如下：格点多边形各边上的格点的个数 格点边多边形内部的格点个数 格点多边形