概率论与数理统计习题答案-第二版-修订版-复旦大学.pdf

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1、概率论与数理统计习题及答案 习题 一 1略.见教材习题参考答案.2.设A，B，C为三个事件，试用A，B，C的运算关系式表示下列事件：（1）A发生，B，C都不发生；（2）A与B发生，C不发生；（3）A，B，C都发生；（4）A，B，C至少有一个发生；（5）A，B，C都不发生；（6）A，B，C不都发生；（7）A，B，C至多有 2 个发生；（8）A，B，C至少有 2 个发生.【解】（1）ABC（2）ABC（3）ABC（4）ABC=ABCABCABCABCABCABCABC=ABC(5)ABC=ABC (6)ABC(7)ABCABCABCABCABCABCABC=ABC=ABC(8)ABBCCA=ABC

2、ABCABCABC 3.略.见教材习题参考答案 4.设A，B为随机事件，且P（A）=,P(AB)=，求P（AB）.【解】P（AB）=1P（AB）=1P(A)P(AB)=1=5.设A，B是两事件，且P（A）=,P(B)=,求：（1）在什么条件下P（AB）取到最大值（2）在什么条件下P（AB）取到最小值 【解】（1）当AB=A时，P（AB）取到最大值为.（2）当AB=时，P（AB）取到最小值为.6.设A，B，C为三事件，且P（A）=P（B）=1/4，P（C）=1/3 且P（AB）=P（BC）=0，P（AC）=1/12，求A，B，C至少有一事件发生的概率.【解】P（ABC）=P(A)+P(B)+P(

3、C)P(AB)P(BC)P(AC)+P(ABC)=14+14+13112=34 23.设P（A）=,P(B)=,P(AB)=，求P（BAB）【解】()()()()()()()()P ABP AP ABP B ABP ABP AP BP AB 0.70.510.70.60.54 33.三人独立地破译一个密码，他们能破译的概率分别为15，13，14，求将此密码破译出的概率.【解】设Ai=第i人能破译（i=1,2,3），则 31231231()1()1()()()iiPAP A A AP A P A P A 42310.6534 34.甲、乙、丙三人独立地向同一飞机射击，设击中的概率分别是,，若只有

4、一人击中，则飞机被击落的概率为；若有两人击中，则飞机被击落的概率为；若三人都击中，则飞机一定被击落，求：飞机被击落的概率.【解】设A=飞机被击落，Bi=恰有i人击中飞机，i=0,1,2,3 由全概率公式，得 30()(|)()iiiP AP A B P B=+=.习题二 1.一袋中有 5 只乒乓球，编号为 1，2，3，4，5，在其中同时取 3 只，以X表示取出的 3 只球中的最大号码，写出随机变量X的分布律.【解】353524353,4,51(3)0.1C3(4)0.3CC(5)0.6CXP XP XP X 故所求分布律为 X 3 4 5 P 2.设在 15 只同类型零件中有 2 只为次品，在

5、其中取 3 次，每次任取 1 只，作不放回抽样，以X表示取出的次品个数，求：（1）X的分布律；（2）X的分布函数并作图；(3)133,1,1,12222P XPXPXPX.【解】313315122133151133150,1,2.C22(0).C35C C12(1).C35C1(2).C35XP XP XP X 故 X 的分布律为 X 0 1 2 P 2235 1235 135 （2）当x0 时，F（x）=P（Xx）=0 当 0 x1 时，F（x）=P（Xx）=P(X=0)=2235 当 1x2 时，F（x）=P（Xx）=P(X=0)+P(X=1)=3435 当x2 时，F（x）=P（Xx）=

6、1 故X的分布函数 0,022,0135()34,12351,2xxF xxx(3)1122()(),2235333434(1)()(1)02235353312(1)(1)(1)2235341(12)(2)(1)(2)10.3535P XFPXFFPXP XPXPXFFP X 3.射手向目标独立地进行了 3 次射击，每次击中率为，求 3 次射击中击中目标的次数的分布律及分布函数，并求 3 次射击中至少击中 2 次的概率.【解】设X表示击中目标的次数.则X=0，1，2，3.31232233(0)(0.2)0.008(1)C 0.8(0.2)0.096(2)C(0.8)0.20.384(3)(0.

7、8)0.512P XP XP XP X 故 X 的分布律为 X 0 1 2 3 P 分布函数 0,00.008,01()0.104,120.488,231,3xxF xxxx(2)(2)(3)0.896P XP XP X 4.（1）设随机变量X的分布律为 PX=k=!kak，其中k=0，1，2，0 为常数，试确定常数a.（2）设随机变量X的分布律为 PX=k=a/N，k=1，2，N，试确定常数a.【解】（1）由分布律的性质知 001()e!kkkP Xkaak 故 ea (2)由分布律的性质知 111()NNkkaP XkaN 即 1a.5.甲、乙两人投篮，投中的概率分别为,今各投 3 次，求

8、：（1）两人投中次数相等的概率;（2）甲比乙投中次数多的概率.【解】分别令X、Y表示甲、乙投中次数，则Xb（3，）,Yb(3,(1)()(0,0)(1,1)(2,2)P XYP XYP XYP XY(3,3)P XY 33121233(0.4)(0.3)C 0.6(0.4)C 0.7(0.3)+22223333C(0.6)0.4C(0.7)0.3(0.6)(0.7)0.32076(2)()(1,0)(2,0)(3,0)P XYP XYP XYP XY (2,1)(3,1)(3,2)P XYP XYP XY 12322333C 0.6(0.4)(0.3)C(0.6)0.4(0.3)3322123

9、3(0.6)(0.3)C(0.6)0.4C 0.7(0.3)31232233(0.6)C 0.7(0.3)(0.6)C(0.7)0.3=6.设某机场每天有 200 架飞机在此降落，任一飞机在某一时刻降落的概率设为，且设各飞机降落是相互独立的.试问该机场需配备多少条跑道，才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道的概率小于(每条跑道只能允许一架飞机降落)【解】设X为某一时刻需立即降落的飞机数，则Xb(200,，设机场需配备N条跑道，则有()0.01P XN 即 2002002001C(0.02)(0.98)0.01kkkk N 利用泊松近似 2000.024.np 41e 4()0.01!kk

10、 NP XNk 查表得N9.故机场至少应配备 9 条跑道.7.有一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设每辆车在一天的某时段出事故的概率为,在某天的该时段内有 1000 辆汽车通过，问出事故的次数不小于 2 的概率是多少（利用泊松定理）【解】设X表示出事故的次数，则Xb（1000，）(2)1(0)(1)P XP XP X 0.10.11 e0.1 e 8.已知在五重贝努里试验中成功的次数X满足PX=1=PX=2，求概率PX=4.【解】设在每次试验中成功的概率为p，则 1422355C(1)C(1)pppp 故 13p 所以 4451210(4)C()33243P X.9.设事件A在每一次试验中发

11、生的概率为，当A发生不少于 3 次时，指示灯发出信号，（1）进行了 5 次独立试验，试求指示灯发出信号的概率；（2）进行了 7 次独立试验，试求指示灯发出信号的概率.【解】（1）设X表示 5 次独立试验中A发生的次数，则X6（5，）5553(3)C(0.3)(0.7)0.16308kkkkP X(2)令Y表示 7 次独立试验中A发生的次数，则Yb（7，）7773(3)C(0.3)(0.7)0.35293kkkkP Y 10.某公安局在长度为t的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X服从参数为（1/2）t的泊松分布，而与时间间隔起点无关（时间以小时计）.（1）求某一天中午 12 时至下午 3 时没收到

12、呼救的概率；（2）求某一天中午 12 时至下午 5 时至少收到 1 次呼救的概率.【解】（1）32(0)eP X (2)52(1)1(0)1 eP XP X 11.设PX=k=kkkpp22)1(C,k=0,1,2 PY=m=mmmpp44)1(C,m=0,1,2,3,4 分别为随机变量X，Y的概率分布，如果已知PX1=59，试求PY1.【解】因为5(1)9P X，故4(1)9P X.而 2(1)(0)(1)P XP Xp 故得 24(1),9p 即 1.3p 从而 465(1)1(0)1(1)0.8024781P YP Yp 12.某教科书出版了 2000 册，因装订等原因造成错误的概率为，

13、试求在这 2000 册书中恰有5 册错误的概率.【解】令X为 2000 册书中错误的册数，则Xb(2000,.利用泊松近似计算,20000.0012np 得 25e 2(5)0.00185!P X 13.进行某种试验，成功的概率为34，失败的概率为14.以X表示试验首次成功所需试验的次数，试写出X的分布律，并计算X取偶数的概率.【解】1,2,Xk 113()()44kP Xk(2)(4)(2)P XP XP Xk 3211 31313()()4 44444k 213141451()4 14.有 2500 名同一年龄和同社会阶层的人参加了保险公司的人寿保险.在一年中每个人死亡的概率为，每个参加保

14、险的人在 1 月 1 日须交 12 元保险费，而在死亡时家属可从保险公司领取 2000 元赔偿金.求：（1）保险公司亏本的概率;（2）保险公司获利分别不少于 10000 元、20000 元的概率.【解】以“年”为单位来考虑.（1）在 1 月 1 日，保险公司总收入为 250012=30000 元.设 1 年中死亡人数为X，则Xb(2500,，则所求概率为(200030000)(15)1(14)PXP XP X 由于n很大，p很小，=np=5，故用泊松近似，有 5140e 5(15)10.000069!kkP Xk (2)P(保险公司获利不少于 10000)(30000200010000)(10

15、)PXP X 5100e 50.986305!kkk 即保险公司获利不少于 10000 元的概率在 98%以上 P（保险公司获利不少于 20000）(30000200020000)(5)PXP X 550e 50.615961!kkk 即保险公司获利不少于 20000 元的概率约为 62%15.已知随机变量X的密度函数为 f(x)=Ae|x|,x+,求：（1）A值；（2）P0X1;(3)F(x).【解】（1）由()d1f xx得|01ed2e d2xxAxAxA 故 12A.(2)11011(01)e d(1 e)22xpXx(3)当x0 时，11()e de22xxxF xx 当x0 时，0

16、|0111()ede de d222xxxxxF xxxx 11e2x 故 1e,02()11e02xxxF xx 16.设某种仪器内装有三只同样的电子管，电子管使用寿命X的密度函数为 f(x)=.100,0,100,1002xxx 求：（1）在开始 150 小时内没有电子管损坏的概率；（2）在这段时间内有一只电子管损坏的概率；（3）F（x）.【解】（1）15021001001(150)d.3P Xxx 33128(150)()327pP X(2)12231 24C()3 39p (3)当x100 时F（x）=0 当x100 时()()dxF xf tt 100100()d()dxf ttf

17、tt 2100100100d1xttx 故 1001,100()0,0 xF xxx 17.在区间0，a上任意投掷一个质点，以X表示这质点的坐标，设这质点落在0，a中任意小区间内的概率与这小区间长度成正比例，试求X的分布函数.【解】由题意知X0,a，密度函数为 1,0()0,xaf xa其他 故当xa时，F（x）=1 即分布函数 0,0(),01,xxF xxaaxa 18.设随机变量X在2，5上服从均匀分布.现对X进行三次独立观测，求至少有两次的观测值大于 3 的概率.【解】XU2,5，即 1,25()30,xf x其他 5312(3)d33P Xx 故所求概率为 22333321220C(

18、)C()33327p 19.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X（以分钟计）服从指数分布1()5E.某顾客在窗口等待服务，若超过 10 分钟他就离开.他一个月要到银行 5 次，以Y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，试写出Y的分布律，并求PY1.【解】依题意知1()5XE，即其密度函数为 51e,0()50,xxf xx0 该顾客未等到服务而离开的概率为 25101(10)ede5xP Xx 2(5,e)Yb,即其分布律为 22 552 5()C(e)(1 e),0,1,2,3,4,5(1)1(0)1(1 e)0.5167kkkP YkkP YP Y 20.某人乘汽车去火车站乘火车，有两

19、条路可走.第一条路程较短但交通拥挤，所需时间X服从N（40，102）；第二条路程较长，但阻塞少，所需时间X服从N（50，42）.（1）若动身时离火车开车只有 1 小时，问应走哪条路能乘上火车的把握大些（2）又若离火车开车时间只有 45 分钟，问应走哪条路赶上火车把握大些【解】（1）若走第一条路，XN（40，102），则 406040(60)(2)0.977271010 xP XP 若走第二条路，XN（50，42），则 506050(60)(2.5)0.993844XP XP+故走第二条路乘上火车的把握大些.（2）若XN（40，102），则 404540(45)(0.5)0.69151010XP

20、 XP 若XN（50，42），则 504550(45)(1.25)44XP XP 1(1.25)0.1056 故走第一条路乘上火车的把握大些.21.设XN（3，22），（1）求P2X5，P4X10，PX2，PX3;（2）确定c使PXc=PXc.【解】（1）23353(25)222XPXP 11(1)(1)1220.8413 10.69150.5328 433103(410)222XPXP 770.999622(|2)(2)(2)PXP XP X 323323222215151122220.6915 1 0.99380.6977XXPP 33 3(3)()1(0)0.522XP XP-(2)c=

21、3 22.由某机器生产的螺栓长度（cm）XN（,）,规定长度在内为合格品,求一螺栓为不合格品的概率.【解】10.050.12(|10.05|0.12)0.060.06XPXP 1(2)(2)21(2)0.0456 23.一工厂生产的电子管寿命X（小时）服从正态分布N（160，2），若要求P120X200，允许最大不超过多少【解】120160160200160(120200)XPXP 404040210.8 故 4031.251.29 24.设随机变量X分布函数为 F（x）=e,0,(0),00.xtABx,x（1）求常数A，B；（2）求PX2，PX3；（3）求分布密度f（x）.【解】（1）由0

22、0lim()1lim()lim()xxxF xF xF x 得11AB （2）2(2)(2)1eP XF 33(3)1(3)1(1e)eP XF (3)e,0()()0,0 xxf xF xx 25.设随机变量X的概率密度为 f（x）=.,0,21,2,10,其他xxxx 求X的分布函数F（x），并画出f（x）及F（x）.【解】当x0 时F（x）=0 当 0 x1 时00()()d()d()dxxF xf ttf ttf tt 20d2xxt t 当 1x0;(2)f(x)=.,0,21,1,10,2其他xxxbx 试确定常数a,b，并求其分布函数F（x）.【解】（1）由()d1f xx知|0

23、21ed2edxxaaxax 故 2a 即密度函数为 e,02()e02xxxf xx 当x0 时1()()de de22xxxxF xf xxx 当x0 时00()()de ded22xxxxF xf xxxx 11e2x 故其分布函数 11e,02()1e,02xxxF xx(2)由12201111()ddd22bf xxbx xxx 得 b=1 即X的密度函数为 2,011(),120,xxf xxx其他 当x0 时F（x）=0 当 0 x1 时00()()d()d()dxxF xf xxf xxf xx 20d2xxx x 当 1x0 时，()()(e)(ln)xYFyP YyPyP

24、Xy ln()dyXfxx 故 2/2lnd()111()(ln)e,0d2yYYxFyfyfyyyyy(2)2(211)1P YX 当y1 时()()0YFyP Yy 当y1 时2()()(21)YFyP YyPXy 2111222yyyP XPX (1)/2(1)/2()dyXyfxx 故 d1211()()d4122YYXXyyfyFyffyy (1)/4121e,1212yyy(3)(0)1P Y 当y0 时()()0YFyP Yy 当y0 时()(|)()YFyPXyPyXy ()dyXyfxx 故d()()()()dYYXXfyFyfyfyy 2/22e,02yy 31.设随机变量

25、XU（0,1），试求：（1）Y=eX的分布函数及密度函数；（2）Z=2lnX的分布函数及密度函数.【解】（1）(01)1PX 故 (1ee)1XPY 当1y 时()()0YFyP Yy 当 1ye 时()(e)(ln)XYFyPyP Xy ln0dlnyxy 当ye 时()(e)1XYFyPy 即分布函数 0,1()ln,1e1,eYyFyyyy 故Y的密度函数为 11e,()0,Yyyfy其他（2）由P（0X0 时，()()(2ln)ZFzP ZzPXz /2(ln)(e)2zzPXP X /21/2ed1 ezzx 即分布函数-/20,0()1-e,ZzzFzz0 故Z的密度函数为/21e

26、,0()20,zZzfzz0 32.设随机变量X的密度函数为 f(x)=22,0,0,.xx其他 试求Y=sinX的密度函数.【解】(01)1PY 当y0 时，()()0YFyP Yy 当 0y1 时，()()(sin)YFyP YyPXy (0arcsin)(arcsin)PXyPyX arcsin220 arcsin22ddyyxxxx 222211arcsin1arcsinyy-（）（）2arcsiny 当y1 时，()1YFy 故Y的密度函数为 221,01()10,Yyfyy其他 33.设随机变量 X 的分布函数如下：.)3(,)2(,)1(,11)(2xxxxF 试填上(1),(2

27、),(3)项.【解】由lim()1xF x知填 1。由右连续性+00lim()()1xxF xF x知00 x，故为 0。从而亦为 0。即 21,0()11,0 xF xxx 34.同时掷两枚骰子，直到一枚骰子出现 6 点为止，求抛掷次数X的分布律.【解】设Ai=第 i 枚骰子出现 6 点。（i=1,2）,P(Ai)=16.且A1与A2相互独立。再设C=每次抛掷出现 6 点。则 121212()()()()()()P CP AAP AP AP A P A 111111666636 故抛掷次数X服从参数为1136的几何分布。35.随机数字序列要多长才能使数字 0 至少出现一次的概率不小于【解】令

28、X为 0 出现的次数，设数字序列中要包含n个数字，则 Xb(n,00(1)1(0)1C(0.1)(0.9)0.9nnP XP X 即 (0.9)0.1n 得 n22 即随机数字序列至少要有 22 个数字。36.已知 F（x）=.21,1,210,21,0,0 xxxx 则F（x）是（）随机变量的分布函数.（A）连续型；（B）离散型；（C）非连续亦非离散型.【解】因为F（x）在（,+）上单调不减右连续，且lim()0 xF x lim()1xF x,所以F（x）是一个分布函数。但是F（x）在x=0 处不连续，也不是阶梯状曲线，故F（x）是非连续亦非离散型随机变量的分布函数。选（C）37.设在区间

29、a,b上，随机变量X的密度函数为f(x)=sinx，而在a,b外，f(x)=0，则区间 a,b等于（）(A)0,/2;(B)0,;(C)/2,0;(D)0,23.【解】在0,2上 sinx0，且/20sin d1x x.故f(x)是密度函数。在0,上0sin d21x x.故f(x)不是密度函数。在,02上sin0 x，故f(x)不是密度函数。在30,2上，当32x时，sinx0）=1，故 01e2X1，即P（0Y1）=1 当y0 时，FY（y）=0 当y1 时，FY（y）=1 当 0y1 时，2()()(e1)xYFyP YyPy 1ln(1)2201(ln(1)22edyxP Xyxy 即

30、Y的密度函数为 1,01()0,Yyfy其他 即YU（0，1）41.设随机变量X的密度函数为 f(x)=.,0,63,92,10,31其他xx 若k使得PXk=2/3，求k的取值范围.(2000 研考)【解】由P（Xk）=23知P（Xk）=13 若k0,P(Xk)=0 若 0k1,P(Xk)=011d333kkx 当k=1 时P（Xk）=13 若 1k3 时P（Xk）=10111d0d33kxx 若 3k6，则P（X6,则P（Xk）=1 故只有当 1k3 时满足P（Xk）=23.42.设随机变量X的分布函数为 F(x)=.3,1,31,8.0,11,4.0,1,0 xxxx 求X的概率分布.（

31、1991 研考）【解】由离散型随机变量 X 分布律与分布函数之间的关系，可知 X 的概率分布为 X 1 1 3 P 43.设三次独立试验中，事件A出现的概率相等.若已知A至少出现一次的概率为 19/27，求A在一次试验中出现的概率.【解】令X为三次独立试验中A出现的次数，若设P（A）=p,则 Xb(3,p)由P（X1）=1927知P（X=0）=（1p）3=827 故p=13 44.若随机变量X在（1，6）上服从均匀分布，则方程y2+Xy+1=0 有实根的概率是多少 【解】1,16()50,xf x其他 24(40)(2)(2)(2)5P XP XP XP X 45.若随机变量XN（2，2），且

32、P2X4=，则 PX0=.【解】222420.3(24)()XPXP 22()(0)()0.5 故 2()0.8 因此 2022(0)()()XP XP 21()0.2 46.假设一厂家生产的每台仪器，以概率可以直接出厂；以概率需进一步调试，经调试后以概率可以出厂，以概率定为不合格品不能出厂.现该厂新生产了n(n2)台仪器（假设各台仪器的生产过程相互独立）.求（1）全部能出厂的概率；（2）其中恰好有两台不能出厂的概率；（3）其中至少有两台不能出厂的概率.【解】设A=需进一步调试，B=仪器能出厂，则 A=能直接出厂，AB=经调试后能出厂 由题意知B=AAB，且()0.3,(|)0.8()()(|

33、)0.3 0.80.24()()()0.70.240.94P AP B AP ABP A P B AP BP AP AB 令X为新生产的n台仪器中能出厂的台数，则X6（n，）,故 222()(0.94)(2)C(0.94)(0.06)(2)1(1)()nnnP XnP XnP XnP XnP Xn 11(0.94)0.06(0.94)nnn 47.某地抽样调查结果表明，考生的外语成绩（百分制）近似服从正态分布，平均成绩为 72分，96 分以上的占考生总数的%，试求考生的外语成绩在 60 分至 84 分之间的概率.【解】设X为考生的外语成绩，则XN（72，2）729672240.023(96)1

34、()XP XP 故 24()0.977 查表知 242,即=12 从而 XN（72，122）故 6072728472(6084)121212XPXP (1)(1)2(1)10.682 48.在电源电压不超过 200V、200V240V 和超过 240V 三种情形下，某种电子元件损坏的概率分别为，和（假设电源电压X服从正态分布N（220，252）.试求：（1）该电子元件损坏的概率;(2)该电子元件损坏时，电源电压在 200240V 的概率【解】设A1=电压不超过 200V，A2=电压在 200240V，A3=电压超过 240V，B=元件损坏。由XN（220，252）知 1()(200)P AP

35、X 2202002202525(0.8)1(0.8)0.212XP 2()(200240)P APX 200220220240220252525(0.8)(0.8)0.576XP 3()(240)10.2120.5760.212P AP X 由全概率公式有 31()()(|)0.0642iiiP BP A P B A 由贝叶斯公式有 222()(|)(|)0.009()P A P B AP ABP B 49.设随机变量X在区间（1，2）上服从均匀分布，试求随机变量Y=e2X的概率密度fY(y).【解】1,12()0,Xxfx其他 因为P（1X2）=1,故P（e2Ye4）=1 当ye2时FY（y

36、）=P(Yy)=0.当 e2y1 时，()()(e)(ln)XYFyP YyPyP Xy ln01e d1yxxy 即 11,1()0,1YyyFyy 故 21,1()0,1Yyyfyy 51.设随机变量X的密度函数为 fX(x)=)1(12x,求Y=13x的密度函数fY(y).【解】33()()(1)(1)YFyP YyPXyP Xy 332(1)(1)311darctg(1)1 arctg(1)2yyxxxy 故 263(1)()1(1)Yyfyy 52.假设一大型设备在任何长为t的时间内发生故障的次数N（t）服从参数为 t的泊松分布.（1）求相继两次故障之间时间间隔T的概率分布；（2）求

37、在设备已经无故障工作 8 小时的情形下，再无故障运行 8 小时的概率Q.（1993研考）【解】（1）当tt与N(t)=0等价，有()()1()1()0)1etTF tP TtP TtP N t 即 1 e,0()0,0tTtF tt 即间隔时间T服从参数为的指数分布。（2）1688e(16|8)(16)/(8)eeQP TTP TP T 53.设随机变量X的绝对值不大于 1，PX=1=1/8，PX=1=1/4.在事件1X1出现的条件下，X在1，1内任一子区间上取值的条件概率与该子区间长度成正比，试求X的分布函数F（x）=PXx.(1997 研考)【解】显然当x1 时F（x）=0；而x1 时F（

38、x）=1 由题知115(11)1848PX 当1x1 时，1(|11)2xP XxX 此时()()F xP Xx (,11)(,1)(,1)(,11)(,1)(|11)(11)(1)1 5151(1)288168P XXP Xx XP Xx XP XxXP Xx xP XxXPXP Xxx 当x=1 时，1()()(1)8F xP XxP X 故X的分布函数 0,151()(1),-1x11681,1xF xxx 54.设随机变量X服从正态分N（1,12),Y 服从正态分布N(2,22)，且P|X-1|P|Y-2|1，试比较1与2的大小.(2006 研考)解：依题意 11(0,1)XN，22(

39、0,1)YN，则 111111XP XP，222211YP YP.因为1211P XP Y，即 11112211XYPP，所以有 1211，即12.习题三 1.将一硬币抛掷三次，以X表示在三次中出现正面的次数，以Y表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值.试写出X和Y的联合分布律.【解】X和Y的联合分布律如表：0 1 2 3 1 0 131113C2228 23111C3/8222 0 3 18 0 0 11112228 2.盒子里装有 3 只黑球、2 只红球、2 只白球，在其中任取 4 只球，以X表示取到黑球的只数，以Y表示取到红球的只数.求X和Y的联合分布律.【解】X和Y的联合分布

40、律如表：0 1 2 3 0 0 0 223247C C3C35 313247C C2C35 1 0 11232247C C C6C35 21132247C C C12C35 313247C C2C35 2 P(0 黑,2 红,2 白)=2242271C C/C35 12132247C C C6C35 223247C C3C35 0 3.设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为 F（x，y）=.,020,20,sinsin其他yxyx 求二维随机变量（X，Y）在长方形域36,40yx内的概率.【解】如图 0,(3.2)4 63PXY公式 (,)(,)(0,)(0,)4 34 636FFFF si

41、nsinsinsinsin0 sinsin0 sin4346362(31).4 X Y X Y 题 3 图 说明：也可先求出密度函数，再求概率。4.设随机变量（X，Y）的分布密度 f（x，y）=.,0,0,0,)43(其他yxAyxe 求：（1）常数A；（2）随机变量（X，Y）的分布函数；（3）P0X1，0Y2.【解】（1）由-(34)00(,)d ded d112xyAf x yx yAx y 得 A=12（2）由定义，有 (,)(,)d dyxF x yf u vu v (34)340012ed d(1 e)(1 e)0,0,0,0,yyuvxyu vyx 其他(3)01,02PXY 12

42、(34)380001,0212ed d(1 e)(1 e)0.9499.xyPXYx y 5.设随机变量（X，Y）的概率密度为 f（x，y）=.,0,42,20),6(其他yxyxk（1）确定常数 k；（2）求PX1，Y3；（3）求PX；（4）求PX+Y4.【解】（1）由性质有 2402(,)d d(6)d d81,f x yx ykxyy xk 故 18R （2）131,3(,)d dP XYf x yy x 130213(6)d d88kxyy x (3)11.51.5(,)d da(,)d dxDP Xf x yx yf x yx y如图 1.5402127d(6)d.832xxyy(4

43、)244(,)d d(,)d dX YDP XYf x yx yf x yx y 如图b 240212d(6)d.83xxxyy 题 5 图 6.设X和Y是两个相互独立的随机变量，X在（0，）上服从均匀分布，Y的密度函数为 fY（y）=.,0,0,55其他yye 求：（1）X与Y的联合分布密度；（2）PYX.题 6 图【解】（1）因X在（0，）上服从均匀分布，所以 X 的密度函数为 1,00.2,()0.20,.Xxfx其他 而 55e,0,()0,.yYyfy其他 所以 (,),()()XYf x y X Yfxfy独立 5515e25e,00.20,0.20,0,yyxy且其他.(2)5(

44、)(,)d d25ed dyy xDP YXf x yx yx y如图 0.20.2-55000-1d25ed(5e5)d=e0.3679.xyxxyx 7.设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为 F（x，y）=.,0,0,0),1)(1(24其他yxyxee 求（X，Y）的联合分布密度.【解】(42)28e,0,0,(,)(,)0,xyxyF x yf x yx y 其他.8.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为 f（x，y）=4.8(2),01,0,0,.yxxyx其他 求边缘概率密度.【解】()(,)dXfxf x yy x204.8(2)d2.4(2),01,=0,.0,yxyxxx

45、其他 ()(,)dYfyf x yx 12y4.8(2)d2.4(34),01,=0,.0,yxxyyyy其他 题 8 图 题 9 图 9.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为 f（x，y）=.,0,0,其他eyxy 求边缘概率密度.【解】()(,)dXfxf x yy e de,0,=0,.0,yxxyx其他()(,)dYfyf x yx 0e de,0,=0,.0,yyxxyy其他 题 10 图 10.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为 f（x，y）=.,0,1,22其他yxycx（1）试确定常数c；（2）求边缘概率密度.【解】（1）(,)d d(,)d dDf x yx yf x yx

46、 y 如图 2112-14=dd1.21xxcx y yc 得214c.(2)()(,)dXfxf x yy 212422121(1),11,d840,0,.xxxxx y y 其他()(,)dYfyf x yx 522217d,01,420,0,.yyx y xyy其他 11.设随机变量（X，Y）的概率密度为 f（x，y）=.,0,10,1其他xxy 求条件概率密度fYX（yx），fXY（xy）.题 11 图【解】()(,)dXfxf x yy 1d2,01,0,.xxyxx其他 111d1,10,()(,)d1d1,01,0,.yYyxyyfyf x yxxyy 其他 所以|1,|1,(,

47、)(|)2()0,.Y XXyxf x yfy xxfx其他|1,1,1(,)1(|),1,()10,.X YYyxyf x yfx yyxfyy其他 12.袋中有五个号码 1，2，3，4，5，从中任取三个，记这三个号码中最小的号码为X，最大的号码为Y.（1）求X与Y的联合概率分布；（2）X与Y是否相互独立【解】（1）X与Y的联合分布律如下表 3 4 5 iP Xx 1 3511C10 3522C10 3533C10 610 2 0 3511C10 3522C10 310 3 0 0 2511C10 110 iP Yy 110 310 610 (2)因6161131,3,101010010P

48、XP YP XY Y X 故X与Y不独立 13.设二维随机变量（X，Y）的联合分布律为 2 5 8 （1）求关于X和关于Y的边缘分布；（2）X与Y是否相互独立【解】（1）X和Y的边缘分布如下表 2 5 8 PY=yi iP Xx (2)因20.40.20.8P XP Y0.160.15(2,0.4),P XY 故X与Y不独立.14.设X和Y是两个相互独立的随机变量，X在（0，1）上服从均匀分布，Y的概率密度为 fY（y）=.,0,0,212/其他yye（1）求X和Y的联合概率密度；（2）设含有a的二次方程为a2+2Xa+Y=0，试求a有实根的概率.【解】（1）因1,01,()0,Xxfx其他;

49、21e,1,()20,yYyfy其他.故/21e01,0,(,),()()20,.yXYxyf x y X Yfxfy独立其他 X Y X Y 题 14 图(2)方程220aXaY有实根的条件是 2(2)40XY 故 X2Y，从而方程有实根的概率为：22(,)d dxyP XYf x yx y 21/2001ded212(1)(0)0.1445.xyxy 15.设X和Y分别表示两个不同电子器件的寿命（以小时计），并设X和Y相互独立，且服从同一分布，其概率密度为 f（x）=.,0,1000,10002其他xx 求Z=X/Y的概率密度.【解】如图,Z的分布函数()ZXFzP ZzPzY(1)当z0

50、 时，()0ZFz （2）当 0z0)的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为p（0p1），且中途下车与否相互独立，以Y表示在中途下车的人数，求：（1）在发车时有n个乘客的条件下，中途有m人下车的概率；（2）二维随机变量（X，Y）的概率分布.【解】(1)|C(1),0,0,1,2,mmn mnP Ym Xnppmn n.(2),|P Xn YmP Xn P Ym Xn eC(1),0,1,2,.!mmn mnnppnmn nn 24.设随机变量X和Y独立，其中X的概率分布为X7.03.021，而Y的概率密度为f(y)，求随机变量U=X+Y的概率密度g(u).【解】设F（y）是Y的分布函数，则由全