数据结构考研讲义.pdf

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1、 1 目录 绪论.3 0.1 基本概念.3 第一章 线性表.4 1.1 线性表的定义.4 1.2 线性表的实现.4 1.2.2 线性表的链式存储结构.6 第二章 栈、队列和数组.11 2.1 栈.11 2.2 队列.15 2.3 特殊矩阵的压缩存储.17 2.3.1 数组.17 2.3.2 特殊矩阵.17 第三章 树与二叉树.20 3.1 树的概念.20 1.树的定义.20 2相关术语.20 3.2 二叉树.21 3.2.1 定义与性质.21 3.2.2 二叉树的存储.22 3.2.3 二叉树的遍历.23 3.2.4 线索二叉树.25 3.3 树和森林.29 3.3.1 树的存储结构.29 3

2、.3.2 森林和二叉树的转换.30 1 3.3.3 树和森林的遍历.30 3.4 哈夫曼（Huffman）树和哈夫曼编码.31 第四章 图.32 4.1 图的概念.32 4.2 图的存储及基本操作.33 4.2.1 邻接矩阵.33 4.2.2 邻接表.33 4.3 图的遍历.35 4.3.1 深度优先搜索.35 4.3.2 广度优先搜索.35 4.4 图的基本应用.37 4.4.1 最小生成树.37 4.4.2 最短路径.37 4.4.3 拓扑排序.39 4.4.4 关键路径.40 第五章 查找.42 5.1 查找的基本概念.42 5.2 顺序查找法.43 5.3 折半查找法.44 5.4 动

3、态查找树表.45 5.4.1 二叉排序树.45 5.4.2 平衡二叉树.47 5.4.3 B 树及其基本操作、B+树的基本概念.49 5.5 散列表.51 5.5.2 常用的散列函数.51 1 5.5.3 处理冲突的方法.52 5.5.4 散列表的查找.52 5.5.5 散列表的查找分析.53 第六章 排序.54 6.1 插入排序.54 6.1.1 直接插入排序.54 6.1.2 折半插入排序.54 6.2 冒泡排序.55 6.3 简单选择排序.56 6.4 希尔排序.57 6.5 快速排序.58 6.6 堆排序.60 6.7 二路归并排序.62 6.8 基数排序.63 6.9 各种内部排序算

4、法的比较.64 1 绪论 0.1 基本概念 1、数据结构 数据结构是指互相之间存在着一种或多种关系的数据元素的集合。数据结构是一个二元组 Data_Structure（D，R），其中，D 是数据元素的有限集，R 是 D 上关系的有限集。2、逻辑结构：是指数据之间的相互关系。通常分为四类结构：（1）集合：结构中的数据元素除了同属于一种类型外，别无其它关系。（2）线性结构：结构中的数据元素之间存在一对一的关系。（3）树型结构：结构中的数据元素之间存在一对多的关系。（4）图状结构：结构中的数据元素之间存在多对多的关系。3、存储结构：是指数据结构在计算机中的表示，又称为数据的物理结构。通常由四种基本的

5、存储方法实现：（1）顺序存储方式。数据元素顺序存放，每个存储结点只含一个元素。存储位置反映数据元素间的逻辑关系。存储密度大。但有些操作（如插入、删除）效率较差。（2）链式存储方式。每个存储结点除包含数据元素信息外还包含一组（至少一个）指针。指针反映数据元素间的逻辑关系。这种方式不要求存储空间连续，便于动态操作（如插入、删除等），但存储空间开销大（用于指针），另外不能折半查找等。（3）索引存储方式。除数据元素存储在一组地址连续的内存空间外，还需建立一个索引表，索引表中索引指示存储结点的存储位置（下标）或存储区间端点（下标）。（4）散列存储方式。通过散列函数和解决冲突的方法，将关键字散列在连续的有

6、限的地址空间内，并将散列函数的值解释成关键字所在元素的存储地址。其特点是存取速度快，只能按关键字随机存取，不能顺序存取，也不能折半存取。2 算法和算法的衡量 1、算法是对特定问题求解步骤的一种描述，是指令的有限序列。其中每一条指令表示一个或多个操作。算法具有下列特性：有穷性确定性可行性输入输出。1 算法和程序十分相似，但又有区别。程序不一定具有有穷性，程序中的指令必须是机器可执行的，而算法中的指令则无此限制。算法代表了对问题的解，而程序则是算法在计算机上的特定的实现。一个算法若用程序设计语言来描述，则它就是一个程序。2、算法的时间复杂度：以基本运算的原操作重复执行的次数作为算法的时间度量。一般

7、情况下，算法中基本运算次数 T(n)是问题规模 n（输入量的多少，称之为问题规模）的某个函数 f(n)，记作：T(n)(f(n)；也可表示 T(n)m(f(n)，其中 m 为常量。记号“O”读作“大 O”，它表示随问题规模 n 的增大，算法执行时间 T(n)的增长率和 f(n)的增长率相同。注意：有的情况下，算法中基本操作重复执行的次数还随问题的输入数据集不同而不同。常见的渐进时间复杂度有：(1)(log2n)(n)(nlog2n)(n2)(n3)(2n)O(n!)O(nn)。3、算法的空间复杂度：是对一个算法在运行过程中临时占用的存储空间大小的量度。只需要 分析除输入和程序之外的辅助变量所占

8、额外空间。原地工作：若所需额外空间相对于输入数据量来说是常数，则称此算法为原地工作，空 间复杂度为 O(1)。1 第一章 线性表 1.1 线性表的定义 线性表是一种线性结构，在一个线性表中数据元素的类型是相同的，或者说线性表是由同一类型的数据元素构成的线性结构，定义如下：线性表是具有相同数据类型的 n(n0)个数据元素的有限序列，通常记为：(a1，a2，ai-1，ai，ai+1，an)其中 n 为表长，n0 时称为空表。需要说明的是：ai 为序号为 i 的数据元素（i=1,2,n），通常将它的数据类型抽象为 ElemType，ElemType 根据具体问题而定。1.2 线性表的实现 1.2.1

9、 线性表的顺序存储结构 1.顺序表 线性表的顺序存储是指在内存中用地址连续的一块存储空间顺序存放线性表的各元素，用这种存储形式存储的线性表称其为顺序表。因为内存中的地址空间是线性的，因此，用物理上的相邻实现数据元素之间的逻辑相邻关系是既简单又自然的。设 a的存储地址为 Loc(a)，每个数据元素占 d 个存储地址，则第 i 个数据元素的地址为：Loc(ai)=Loc(a)+(i-1)*d 1in 这就是说只要知道顺序表首地址和每个数据元素所占地址单元的个数就可求出第 i 个数据元素的地址来，这也是顺序表具有按数据元素的序号随机存取的特点。线性表的动态分配顺序存储结构：#define LIST_

10、INIT_SIZE 100/存储空间的初始分配量#define LISTINCREMENT 10/存储空间的分配增量 typedef struct ElemType*elem;/线性表的存储空间基址 1 int length;/当前长度 int listsize;/当前已分配的存储空间 SqList;2.顺序表上基本运算的实现（1）顺序表的初始化 顺序表的初始化即构造一个空表，这对表是一个加工型的运算，因此，将 L 设为引用参数，首先动态分配存储空间，然后，将 length 置为 0，表示表中没有数据元素。int Init_SqList(SqList&L)L.elem=(ElemType*)m

11、alloc(LIST_INIT_SIZE*sizeof(ElemType);if(!L.elem)exit(OVERFLOW);/存储分配失败 L.length=0;L.listsize=LIST_INIT_SIZE;/初始存储容量 return OK;（2）插入运算 线性表的插入是指在表的第 i(i 的取值范围：1in+1)个位置上插入一个值为 x 的新元素，插入后使原表长为 n 的表:(a1，a2，.，ai-1，ai，ai+1，.，an)成为表长为 n+1 表:(a1，a2，.，ai-1，x，ai，ai+1，.，an)。顺序表上完成这一运算则通过以下步骤进行：将 aian 顺序向下移动，为

12、新元素让出位置；（注意数据的移动方向：从后往前依次后移一个元素）将 x 置入空出的第 i 个位置；修改表长。1 int Insert_SqList(SqList&L，int i，ElemType x)if(i L.length+1)return ERROR;/插入位置不合法 if(L.length=L.listsize)return OVERFLOW;/当前存储空间已满,不能插入/需注意的是，若是采用动态分配的顺序表，当存储空间已满时也可增加分配 q=&(L.elemi-1);/q 指示插入位置 for(p=&(L.elemL.length-1);p=q;-p)*(p+1)=*p;/插入位置及

13、之后的元素右移*q=e;/插入 e+L.length;/表长增 1 return OK;顺序表上的插入运算，时间主要消耗在了数据的移动上，在第 i 个位置上插入 x，从 ai 到 an 都要向下移动一个位置，共需要移动 ni1 个元素。（3）删除运算 线性表的删除运算是指将表中第 i（i 的取值范围为：1 in）个元素从线性表中去掉，删除后使原表长为 n 的线性表：(a1，a2，.，ai-1，ai，ai+1，.，an)成为表长为 n1 的线性表：(a1，a2，.，ai-1，ai+1，.，an)。顺序表上完成这一运算的步骤如下：将 ai+1an 顺序向上移动；（注意数据的移动方向：从前往后依次前

14、移一个元素）修改表长。int Delete_SqList(SqList&L;int i)if(i L.length)return ERROR;/删除位置不合法 1 p=&(L.elemi-1);/p 为被删除元素的位置 e=*p;/被删除元素的值赋给 e q=L.elem+L.length-1;/表尾元素的位置 for(+p;p data=x;s-next=L;L=s;scanf(%d,&x);return L;1 尾插法在单链表的尾部插入结点建立单链表 头插入建立单链表简单，但读入的数据元素的顺序与生成的链表中元素的顺序是相反的，若希望次序一致，则用尾插入的方法。因为每次是将新结点插入到链表

15、的尾部，所以需加入一个指针 r 用来始终指向链表中的尾结点，以便能够将新结点插入到链表的尾部。初始状态，头指针 L=NULL，尾指针 r=NULL;按线性表中元素的顺序依次读入数据元素，不是结束标志时，申请结点，将新结点插入到 r 所指结点的后面，然后 r 指向新结点（注意第一个结点有所不同）。LinkList CreateListR1()LinkList L=NULL;LNode*s,*r=NULL;int x;/设数据元素的类型为 int scanf(%d,&x);while(x!=flag)s=(LNode*)malloc(sizeof(LNode);s-data=x;if(L=NULL

16、)L=s;/第一个结点的处理 else r-next=s;/其它结点的处理 r=s;/r 指向新的尾结点 scanf(%d,&x);if(r!=NULL)r-next=NULL;/对于非空表，最后结点的指针域放空指针 return L;在算法 CreateListR1 中，第一个结点的处理和其它结点是不同的，原因是第一个结点加入时链表为空，它没有直接前驱结点，它的地址就是整个链表的指针，需要放在链表的头指针变量中；而其它结点有直接前驱结点，其地址放入直接前驱结点的指针域。“第一个结点”的问题在很多操作中都会遇到，如在链表中插入结点时，将结点插在第一个位置和其它位置是不同的，在链表中删除结点时，

17、删除第一个结点和其它结点的处理也是不同的，等等。1 为了方便操作，有时在链表的头部加入一个“头结点”，头结点的类型与数据结点一致，标识链表的头指针变量 L 中存放该结点的地址，这样即使是空表，头指针变量 L 也不为空了。头结点的加入使得“第一个结点”的问题不再存在，也使得“空表”和“非空表”的处理成为一致。头结点的加入完全是为了运算的方便，它的数据域无定义，指针域中存放的是第一个数据结点的地址，空表时为空。尾插法建立带头结点的单链表，将算法 CreateListR1 改写成算法 CreateListR2 形式。LinkList CreateListR2()LinkList L=(LNode*)

18、malloc(sizeof(LNode);L-next=NULL；/空表 LNode*s,*r=L;int x;/设数据元素的类型为 int scanf(%d,&x);while(x!=flag)s=(LNode*)malloc(sizeof(LNode);s-data=x;r-next=s;r=s;/r 指向新的尾结点 scanf(%d,&x);r-next=NULL;return L;因此，头结点的加入会带来以下两个优点：第一个优点：由于开始结点的位置被存放在头结点的指针域中，所以在链表的第一个位置上的操作就和在表的其它位置上的操作一致，无需进行特殊处理；第二个优点：无论链表是否为空，其头

19、指针是指向头结点在的非空指针（空表中头结点的指针域为空），1 因此空表和非空表的处理也就统一了。在以后的算法中不加说明则认为单链表是带头结点的。(2)查找操作 按序号查找 Get_LinkList(L,i)从链表的第一个元素结点起，判断当前结点是否是第 i 个，若是，则返回该结点的指针，否则继续后一个，表结束为止，没有第个结点时返回空。LNode*Get_LinkList(LinkList L,int i);LNode*p=L;int j=0;while(p-next!=NULL&jnext;j+;if(j=i)return p;else return NULL;(3)插入运算 后插结点：设

20、p 指向单链表中某结点，s 指向待插入的值为 x 的新结点，将*s 插入到*p 的后面，插入示意图如图所示。操作如下：s-next=p-next;p-next=s;注意：两个指针的操作顺序不能交换。1(4)删除运算 删除结点 设 p 指向单链表中某结点，删除*p。操作过程如图。要实现对结点*p 的删除，首先要找到*p 的前驱结点*q，然后完成指针的操作即可。操作如下：q=L;while(q-next!=p)q=q-next;/找*p 的直接前驱 q-next=p-next;free(p);因为找*p 前驱的时间复杂度为 O(n)，所以该操作的时间复杂度为 O(n)通过上面的基本操作我们得知：(

21、1)单链表上插入、删除一个结点，必须知道其前驱结点。(2)单链表不具有按序号随机访问的特点，只能从头指针开始一个个顺序进行。1.2.2.2 循环链表 对于单链表而言，最后一个结点的指针域是空指针，如果将该链表头指针置入该指针域，则使得链表头尾结点相连，就构成了单循环链表。在单循环链表上的操作基本上与非循环链表相同，只是将原来判断指针是否为 NULL 变为是否是头指针而已，没有其它较大的变化。对于单链表只能从头结点开始遍历整个链表，而对于单循环链表则可以从表中任意结点开始遍历整个链表，不仅如此，有时对链表常做的操作是在表尾、表头进行，此时可以改变一下链表的标识方法，不用头指针而用一个指向尾结点的

22、指针 R 来标识，可以使得操作效率得以提高。1.2.2.3 双向链表 1 单链表的结点中只有一个指向其后继结点的指针域 next，因此若已知某结点的指针为 p，其后继结点的指针则为 p-next，而找其前驱则只能从该链表的头指针开始，顺着各结点的 next 域进行，也就是说找后继的时间性能是 O(1)，找前驱的时间性能是 O(n)，如果也希望找前驱的时间性能达到 O(1)，则只能付出空间的代价：每个结点再加一个指向前驱的指针域，结点的结构为如图所示，用这种结点组成的链表称为双向链表。线性表的双向链表存储结构 C 语言描述下：typedef struct DuLNode ElemType dat

23、a;struct DuLNode*prior,*next;DuLNode,*DuLinkList;和单链表类似，双向链表通常也是用头指针标识，也可以带头结点。（1）双向链表中结点的插入：设 p 指向双向链表中某结点，s 指向待插入的值为 x 的新结点，将*s 插入到*p 的前面，插入示意图如所示。操作如下：s-prior=p-prior;p-prior-next=s;s-next=p;p-prior=s;指针操作的顺序不是唯一的，但也不是任意的，操作必须要放到操作的前面完成，否则*p 的前驱结点的指针就丢掉了。（2）双向链表中结点的删除：设 p 指向双向链表中某结点，删除*p。操作示意图如图所

24、示。1 1.2.2.4 顺序表和链表的比较 总之，两种存储结构各有长短，选择那一种由实际问题中的主要因素决定。通常“较稳定”的线性表选择顺序存储，而频繁做插入删除的即动态性较强的线性表宜选择链式存储。操作如下：p-prior-next=p-next;p-next-prior=p-prior;1 第二章 栈、队列和数组 2.1 栈 2.1.1 栈的定义 栈是限制在表的一端进行插入和删除的线性表。允许插入、删除的这一端称为栈顶，另一个固定端称为栈底。当表中没有元素时称为空栈。2.1.2 栈的存储实现和运算实现 栈是运算受限的线性表，线性表的存储结构对栈也是适用的，只是操作不同而已。利用顺序存储方式

25、实现的栈称为顺序栈。与线性表类似，栈的动态分配顺序存储结构如下：#define STACK_INIT_SIZE 100/存储空间的初始分配量#define STACKINCREMENT 10/存储空间的分配增量 typedef struct SElemType*base;/在栈构造之前和销毁之后，base 的值为 NULL SElemType*top;/栈顶指针 int stacksize;/当前已分配的存储空间 SqStack;需要注意，在栈的动态分配顺序存储结构中，base 始终指向栈底元素，非空栈中的 top 始终在栈顶元素的下一个位置。下面是顺序栈上常用的基本操作的实现。（1）入栈：若

26、栈不满，则将 e 插入栈顶。int Push(SqStack&S,SElemType e)if(S.top-S.base=S.stacksize)/栈满，追加存储空间*S.top+=e;/top 始终在栈顶元素的下一个位置 return OK;1（2）出栈：若栈不空，则删除 S 的栈顶元素，用 e 返回其值，并返回 OK，否则返回 ERROR。int Pop(SqStack&S,SElemType&e)if(S.top=S.base)return ERROR;e=*-S.top;return OK;出栈和读栈顶元素操作，先判栈是否为空，为空时不能操作，否则产生错误。通常栈空常作为一种控制转移的

27、条件。2.1.3 栈的应用举例 由于栈的“先进先出”特点，在很多实际问题中都利用栈做一个辅助的数据结构来进行求解，下面通过几个例子进行说明。1数制转换 十进制数 N 和其他 d 进制数的转换是计算机实现计算的基本问题，其解决方法很多，其中一个简单算法基于下列原理：假设现要编制一个满足下列要求的程序：对于输入的任意一个非负十进制整数，打印输出与其等值的八进制数。由于上述计算过程是从低位到高位顺序产生八进制数的各个数位，而打印输出，一般来说应从高位到低位进行，恰好和计算过程相反。因此，若将计算过程中得到的八进制数的各位顺序进栈，则按出栈序列打印输出的即为与输入对应的八进制数。算法思想：当 N0 时

28、重复（1），（2）（1）若 N0，则将 N%r 压入栈 s 中，执行（2）;若 N=0，将栈 s 的内容依次出栈，算法结束。（2）用 N/r 代替 N。1 void conversion()InitStack(S);/构造空栈 scanf(%d,N);while(N)Push(S,N%8);N=N/8;while(!StackEmpty(S)Pop(S,e);printf(%d,e);2.表达式求值 表达式求值是程序设计语言编译中一个最基本的问题，它的实现也是需要栈的加入。下面的算法是由运算符优先法对表达式求值。在此仅限于讨论只含二目运算符的算术表达式。（1）中缀表达式求值：中缀表达式：每个二

29、目运算符在两个运算量的中间，假设所讨论的算术运算符包括：+、-、*、/、%、（乘方）和括号（）。设运算规则为：运算符的优先级为：（）、/、%+、-；有括号出现时先算括号内的，后算括号外的，多层括号，由内向外进行；乘方连续出现时先算最右面的。表达式作为一个满足表达式语法规则的串存储，如表达式“3*2（4+2*2-*3）-5”,它的的求值过程为：自左向右扫描表达式，当扫描到 3*2 时不能马上计算，因为后面可能还有更高的运算，正确的处理过程是：需要两个栈：对象栈 s1 和运算符栈 s2。当自左至右扫描表达式的每一个字符时，若当前字符是运算对象，入对象栈，是运算符时，若这个运算符比栈顶运算符高则入栈

30、，继续向后处理，若这个运算符比栈顶运算符低则从对象栈出栈两个运算量，从运算符栈出栈一个运算符进行运算，1 并将其运算结果入对象栈，继续处理当前字符，直到遇到结束符。中缀表达式表达式“3*2（4+2*2-*3）-5”求值过程中两个栈的状态情况见图所示。图 中缀表达式 3*2（4+2*2-1*3）-5 的求值过程 为了处理方便，编译程序常把中缀表达式首先转换成等价的后缀表达式，后缀表达式的运算符在运算对象之后。在后缀表达式中，不在引入括号，所有的计算按运算符出现的顺序，严格从左向右进行，而不用再考虑运算规则和级别。中缀表达式“3*2（4+2*2-1*3）-5”的后缀表达式为：“32422*+13*

31、-*5-”。1（2）后缀表达式求值 计算一个后缀表达式，算法上比计算一个中缀表达式简单的多。这是因为表达式中即无括号又无优先级的约束。具体做法：只使用一个对象栈，当从左向右扫描表达式时，每遇到一个操作数就送入栈中保存，每遇到一个运算符就从栈中取出两个操作数进行当前的计算，然后把结果再入栈，直到整个表达式结束，这时送入栈顶的值就是结果。（3）中缀表达式转换成后缀表达式：将中缀表达式转化为后缀表达示和前述对中缀表达式求值的方法完全类似，但只需要运算符栈，遇到运算对象时直接放后缀表达式的存储区，假设中缀表达式本身合法且在字符数组 A 中，转换后的后缀表达式存储在字符数组 B 中。具体做法：遇到运算对

32、象顺序向存储后缀表达式的 B 数组中存放，遇到运算符时类似于中缀表达式求值时对运算符的处理过程，但运算符出栈后不是进行相应的运算，而是将其送入 B 中存放。具体算法在此不再赘述。3栈与递归 在高级语言编制的程序中，调用函数与被调用函数之间的链接和信息交换必须通过栈进行。当在一个函数的运行期间调用另一个函数时，在运行该被调用函数之前，需先完成三件事:（1）将所有的实在参数、返回地址等信息传递给被调用函数保存;（2）为被调用函数的局部变量分配存储区;（3）将控制转移到被调用函数的入口。从被调用函数返回调用函数之前，应该完成:（1）保存被调函数的计算结果;（2）释放被调函数的数据区;（3）依照被调函

33、数保存的返回地址将控制转移到调用函数。多个函数嵌套调用的规则是：后调用先返回，此时的内存管理实行“栈式管理”。递归函数的调用类似于多层函数的嵌套调用，只是调用单位和被调用单位是同一个函数而已。在每次调用时系统将属于各个递归层次的信息组成一个活动记录（ActivaTion Record），这个记录中包含着本层调用的实参、返回地址、局部变量等信息，并将这个活动记录保存在系统的“递归工作栈”中，每当递归调用一次，就要在栈顶为过程建立一个新的活动记录，一旦本次调用结束，则将栈顶活动记录出栈，根据获得的返回地址信息返回到本次的调用处。1 将递归程序转化为非递归程序时常使用栈来实现。1 2.2 队列 2.

34、2.1 队列的定义及基本运算 栈是一种后进先出的数据结构，在实际问题中还经常使用一种“先进先出”的数据结构：即插入在表一端进行，而删除在表的另一端进行，将这种数据结构称为队或队列，把允许插入的一端叫队尾(rear)；把允许删除的一端叫队头(front)。2.2.2 队列的存储实现及运算实现 与线性表、栈类似，队列也有顺序存储和链式存储两种存储方法。1顺序队列 循环队列的类型定义如下：#define MAXQSIZE 100 /最大队列长度 typedef struct QElemType*base;/动态分配存储空间 int front;/头指针，若队列不空，指向队列头元素 int rear;

35、/尾指针，若队列不空，指向队列尾元素的下一个位置 SqQueue;下面是循环队列上基本操作的实现。（3）求循环队列元素个数：int QueueLength（SqQueue Q）return(Q.rear-Q.front+MAXQSIZE)%MAXQSIZE；1 2链队列 链式存储的队称为链队列。和链栈类似，用单链表来实现链队列，根据队的先进先出原 则，为了操作上的方便，分别需要一个头指针和尾指针。定义一个指向链队列的指针：LinkQueue Q;下面是链队列的基本运算的实现。（1）入队 int EnQueue(LinkQueue&Q,QElemType e)QNode*p;p=（QNode*）

36、malloc（sizeof（QNode）;p-data=e;p-next=NULL;Q.rear-next=p;Q.rear=p;return OK;（2）出队 int DeQueue(LinkQueue&Q,QElemType&e)if(Q.front=Q.rear)return ERROR;/队空，出队失败 p=Q.front-next;1 e=p-data;/队头元素放 e 中 Q.front-next=p-next;if(Q.rear=p)Q.rear=Q.front;/只有一个元素时，此时还要修改队尾指针 free(p);return OK;3除了栈和队列之外，还有一种限定性数据结构

37、是双端队列。（1）双端队列：可以在双端进行插入和删除操作的线性表。（2）输入受限的双端队列：线性表的两端都可以输出数据元素，但是只能在一端输入数据元素。（3）输出受限的双端队列：线性表的两端都可以输入数据元素，但是只能在一端输出数据元素。1 2.3 特殊矩阵的压缩存储 2.3.1 数组 数组可以看作线性表的推广。数组作为一种数据结构其特点是结构中的元素本身可以是具有某种结构的数据，但属于同一数据类型，数组是一个具有固定格式和数量的数据有序集，每一个数据元素有唯一的一组下标来标识，因此，在数组上不能做插入、删除数据元素的操作。通常在各种高级语言中数组一旦被定义，每一维的大小及上下界都不能改变。现

38、在来讨论数组在计算机中的存储表示。通常，数组在内存被映象为向量，即用向量作为数组的一种存储结构，这是因为内存的地址空间是一维的，数组的行列固定后，通过一个映象函数，则可根据数组元素的下标得到它的存储地址。对于一维数组按下标顺序分配即可。对多维数组分配时，要把它的元素映象存储在一维存储器中，一般有两种存储方式：一是以行为主序（或先行后列）的顺序存放，即一行分配完了接着分配下一行。另一种是以列为主序（先列后行）的顺序存放，即一列一列地分配。以行为主序的分配规律是：最右边的下标先变化，即最右下标从小到大，循环一遍后，右边第二个下标再变，从右向左，最后是左下标。以列为主序分配的规律恰好相反：最左边的下

39、标先变化，即最左下标从小到大，循环一遍后，左边第二个下标再变，从左向右，最后是右下标。设有 mn 二维数组 Amn，下面我们看按元素的下标求其地址的计算：以“以行为主序”的分配为例：设数组的基址为 LOC(a11)，每个数组元素占据 d 个地址单元，那么 aij 的物理地址可用一线性寻址函数计算：LOC(aij)=LOC(a11)+(i-1)*n+j-1)*d 这是因为数组元素 aij 的前面有 i-1 行，每一行的元素个数为 n，在第 i 行中它的前面还有 j-1 个数组元素。在 C 语言中，数组中每一维的下界定义为 0，则：LOC(aij)=LOC(a00)+(i*n+j)*d 推广到一般

40、的二维数组：Ac1.d1 c2.d2，则 aij 的物理地址计算函数为：LOC(aij)=LOC(a c1 c2)+(i-c1)*(d2-c2+1)+(j-c2)d 2.3.2 特殊矩阵 对于一个矩阵结构显然用一个二维数组来表示是非常恰当的，矩阵在这种存储表示之下，可以对 1 其元素进行随机存取，各种矩阵运算也非常简单，并且存储的密度为 1。但是在矩阵中非零元素呈某种规律分布或者矩阵中出现大量的零元素的情况下，比如常见的一些特殊矩阵，如三角矩阵、对称矩阵、对角矩阵、稀疏矩阵等，从节约存储空间的角度考虑，这种存储是不太合适的，看起来存储密度仍为 1，但实际上占用了许多单元去存储重复的非零元素或零

41、元素，这对高阶矩阵会造成极大的浪费，为了节省存储空间，我们可以对这类矩阵进行压缩存储：即为多个相同的非零元素只分配一个存储空间；对零元素不分配空间。1.对称矩阵 对称矩阵的特点是：在一个 n 阶方阵中，有 aij=aji，其中 1i,jn，对称矩阵关于主对角线对称，因此只需存储上三角或下三角部分即可，比如，我们只存储下三角中的元素 aij，其特点是中 ji 且 1in，对于上三角中的元素 aij，它和对应的 aji 相等，因此当访问的元素在上三角时，直接去访问和它对应的下三角元素即可，这样，原来需要 n*n 个存储单元，现在只需要 n(n+1)/2 个存储单元了，节约了 n(n-1)/2 个存

42、储单元。对下三角部分以行为主序顺序存储到一个向量中去，在下三角中共有 n*(n+1)/2 个元素，因此，不失一般性，设存储到向量 SAn(n+1)/2中，存储顺序可用图示意，这样，原矩阵下三角中的某一个元素 aij 则具体对应一个 sak，下面的问题是要找到 k 与 i、j 之间的关系。对于下三角中的元素 aij，其特点是：ij 且 1in，存储到 SA 中后，根据存储原则，它前面有 i-1 行，共有 1+2+i-1=i*(i-1)/2 个元素，而 aij 又是它所在的行中的第 j 个，所以在上面的排列顺序中，aij 是第 i*(i-1)/2+j 个元素，因此它在 SA 中的下标 k 与 i、

43、j 的关系为：k=i*(i-1)/2+j-1(kn*(n+1)/2)若 ij，则 aij 是上三角中的元素，因为 aij=aji，这样，访问上三角中的元素 aij 时则去访问和它对应的下三角中的 aji 即可，因此将上式中的行列下标交换就是上三角中的元素在 SA 中的对应关系：k=j*(j-1)/2+i-1(k1，除根结点之外的其余数据元素被分成 m（m0）个互不相交的集合 T1，T2，Tm，其中每一个集合 Ti（1im）本身又是一棵树。树 T1，T2，Tm 称为这个根结点的子 树。2相关术语（1）结点的度：结点所拥有的子树的个数称为该结点的度。（2）叶结点：度为 0 的结点称为叶结点，或者称

44、为终端结点。（3）分支结点：度不为 0 的结点称为分支结点，或者称为非终端结点。一棵树的结点除叶结点外，其余的都是分支结点。（4）孩子、双亲、兄弟：树中一个结点的子树的根结点称为这个结点的孩子。这个结点称为它孩子结点的双亲。具有同一个双亲的孩子结点互称为兄弟。（5）路径、路径长度：如果一棵树的一串结点 n1,n2,nk 有如下关系：结点 ni 是 ni+1 的父结点（1i1，则序号为 i 的结点的双亲结点的序号为i/2；如果 i1，则序号为 i 的结点是根结点，无双亲结点。（2）如果 2in，则序号为 i 的结点的左孩子结点的序号为 2i；如果 2in，则序号为 i 的结点无左孩子。（3）如果

45、 2i1n，则序号为 i 的结点的右孩子结点的序号为 2i1；如果 2i1n，则序号为 i 的结点无右孩子。此外，若对二叉树的根结点从 0 开始编号，则相应的 i 号结点的双亲结点的编号为，左孩子的编号为 2i1，右孩子的编号为 2i2。3.2.2 二叉树的存储 1顺序存储结构 所谓二叉树的顺序存储，就是用一组连续的存储单元存放二叉树中的结点。一般是按照二叉树结点从上至下、从左到右的顺序存储。这样结点在存储位置上的前驱后继关系并不一定就是它们在逻辑上的邻接关系，然而只有通过一些方法确定某结点在逻辑上的前驱结点和后继结点，这种存储才有意义。依据二叉树的性质，完全二叉树和满二叉树采用顺序存储比较合

46、适，树中结点的序号可以唯一地反映出结点之间的逻辑关系，这样既能够最大可能地节省存储空间，又可以利用数组元素的下标值确 1 定结点在二叉树中的位置，以及结点之间的关系。对于一般的二叉树，如果仍按从上至下和从左到右的顺序将树中的结点顺序存储在一维数组中，则数组元素下标之间的关系不能够反映二叉树中结点之间的逻辑关系，只有增添一些并不存在的空结点，使之成为一棵完全二叉树的形式，然后再用一维数组顺序存储。显然，这种存储对于需增加许空结点才能将一棵二叉树改造成为一棵完全二叉树的存储时，会造成空间的大量浪费，不宜用顺序存储结构。最坏的情况是右单支树，一棵深度为 k 的右单支树，只有 k 个结点，却需分配 2

47、k1 个存储单元。二叉树的顺序存储表示可描述为：#define MAX_TREE_SIZE 100 /二叉树的最大结点数 typedef TElemType SqBiTreeMAX_TREE_SIZE /0 号单元存放根结点 SqBiTree b;/将 b 定义为含有 MAX_TREE_SIZE 个 TElemType 类型元素的一维数组 2链式存储结构 所谓二叉树的链式存储结构是指，用链表来表示一棵二叉树，即用链来指示着元素的逻辑关系。通常有下面两种形式。（1）二叉链表 链表中每个结点由三个域组成，除了数据域外，还有两个指针域，分别用来给出该结点左孩子和右孩子所在的链结点的存储地址。结点的存

48、储的结构为：其中，data 域存放某结点的数据信息；lchild 与 rchild 分别存放指向左孩子和右孩子的指针，当左孩子或右孩子不存在时，相应指针域值为空。二叉树的二叉链表存储表示可描述为：typedef struct BiTNode TElemType data;struct BiTNode*lchild;*rchild;/左右孩子指针 BiTNode,*BiTree;BiTree b；/即将 b 定义为指向二叉链表结点结构的指针类型。1（2）三叉链表 每个结点由四个域组成，结点的存储的结构为：其中，data、lchild 以及 rchild 三个域的意义与二叉链表结构相同；paren

49、t 域为指向该结点双亲结点的指针。这种存储结构既便于查找孩子结点，又便于查找双亲结点；但是，相对于二叉链表存储结构而言，它增加了空间开销。尽管在二叉链表中无法由结点直接找到其双亲，但由于二叉链表结构灵活，操作方便，因此，二叉链表是最常用的二叉树存储方式，本书后面所涉及到的二叉树的链式存储结构不加特别说明的都是指二叉链表结构。3.2.3 二叉树的遍历 二叉树的遍历是指按照某种顺序访问二叉树中的每个结点，使每个结点被访问一次且仅被访问一次。遍历是二叉树中经常要用到的一种操作。因为在实际应用问题中，常常需要按一定顺序对二叉树中的每个结点逐个进行访问，查找具有某一特点的结点，然后对这些满足条件的结点进

50、行处理。通过一次完整的遍历，可使二叉树中结点信息由非线性排列变为某种意义上的线性序列。也就是说，遍历操作实质是对一个非线性结构进行线性化操作。1先序遍历 先序遍历的递归过程为：若二叉树为空，遍历结束。否则，（1）访问根结点；（2）先序遍历根结点的左子树；（3）先序遍历根结点的右子树。void PreOrder（BiTree b）if(b!=NULL)Visit（b-data）;/访问结点的数据域 PreOrder（b-lchild）;/先序递归遍历 b 的左子树 lchild data rchild lchild data rchild parent PreOrder（b-rchild）;/先