应用时间序列分析实验手册.pdf

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1、 应用时间序列分析 实验手册 目 录 目 录.错误!未定义书签。第一章 Eviews 的基本操作.错误!未定义书签。第二章 时间序列的预解决.错误!未定义书签。一、平稳性检查.错误!未定义书签。二、纯随机性检查.错误!未定义书签。第三章 平稳时间序列建模实验教程.错误!未定义书签。一、模型辨认.错误!未定义书签。二、模型参数估计.错误!未定义书签。三、模型的显著性检查.错误!未定义书签。四、模型优化.错误!未定义书签。第四章 非平稳时间序列的拟定性分析.错误!未定义书签。一、趋势分析.错误!未定义书签。二、季节效应分析.错误!未定义书签。三、综合分析.错误!未定义书签。第五章 非平稳序列的随机

2、分析.错误!未定义书签。一、差分法提取拟定性信息.错误!未定义书签。二、ARIMA 模型.错误!未定义书签。三、季节模型.错误!未定义书签。第一章 Eviews 的基本操作 The Workfile（工作簿）Workfile 就像你的一个桌面，上面放有许多 Objects，在使用 Eviews 时一方面应当打开该桌面，假如想永久保存 Workfile 及其中的内容，关机时必须将该Workfile 存到硬盘或软盘上，否则会丢失。（一）、创建一个新的 Workfile 打开 Eviews 后，点击 file/new/workfile，弹出一个 workfile range 对话框（图 1）。图 1

3、 该对话框是定义 workfile 的频率，该频率规定了 workfile 中包含的所有objects 频率。也就是说，假如 workfile 的频率是年度数据，则其中的 objects 也是年度数据，并且 objects 数据范围小于等于 workfile 的范围。例如我们选择年度数据（Annual），在起始日（Start date）、终止日（End date）分别键入 1970、1998，然后点击 OK，一个新的 workfile 就建立了（图 2）。图2 在workfile 窗口顶部，有一些重要的工具按钮，使用这些按钮可以存储workfile、改变 样本范围、存取object、生成新的变

4、量等操作，稍后我们会具体介绍这些按钮的功能。在新建的 workfile 中已经存在两个 objects，即 c 和 residual。c 是系数向量、residual 是残差序列，当估计完一个模型后，该模型的系数、残差就分别保存在c 和 residual 中。workfile窗口中重要按钮的功能：1.PROCS（解决）：Procs按钮包含sample（样本）、change workfile range（改变工作簿范围）、generate series（生成序列）、sort series（对序列排序）、import（导入数据）、export（导出数据）六个功能，其中sample和generate

5、已出现在workfile窗口顶部。sample（样本）的功能是改变样本的范围，但不能超过工作簿范围（workfile range）。假如样本范围需要超过工作簿范围，先修改工作簿范围，然后再改变样本范围。例如点击proc/sample/OK，弹出一个对话框（图3），在上面空白处键入新的样本范围1980至1990，注意中间要空格，点击OK，这样样本范围改变了。图3 change workfile range（改变工作簿范围）功能是改变当前workfile的范围，其操作与样本范围的改变相似。一般是在模型建好后，外推预测时需要改变样本或工作薄范围。generate series功能是在现有变量的基础上

6、，生成新的变量。如点击proc/generate/OK或直接点击窗口顶部的GENR，弹出一个对话框。sort series 功能是对序列排序。Import 功能是从其他软件中（如 EXCEL）导入数据。Export功能与Import相反，是将Eviews数据输出到其他软件中，具体操作与Import相似。2、OBJECTS(对象)：该按钮功能重要是对Objects进行操作，涉及新建、存取、删除、重新命名、复制等。点击Objects，出现下拉菜单，菜单中包含很多功能，其中一些功能以按钮形式出现在workfile窗口顶部，如fetch（取出）、store(存储)、delete(删除)。3、SAVE(

7、保存)：功能是将当前workfile保存在硬盘或软盘。假如是新建的workfile，会弹出一个对话框，需要指明存放的位置及文献名。假如是原有的workfile,不会出现对话框，点击SAVE，作用是随时保存该workfile。建议在使用Eviews时，应经常点击SAVE按钮，避免电脑出现故障，而丢失未能保存的内容。这里需要提醒的是，SAVE按钮与STORE按钮的区别。SAVE按钮保存的是整个workfile，而STORE存储的是个别Object。（二）、打开已经存在的workfile 双击Eviews图标，进入Eviews主画面。点击File/New/Workfile/click，弹出对话框，给

8、出要打开的workfile所在途径及文献名，点击OK，则所需的workfile就被打开。（三）、workfile频率的设定 各种频率的输入方法如下：1、Annual：直接输入年份，如1998；若是20世纪内，则可只输入年份的后两个字，如98表达1998年。2、Semi-Annual：格式与Annual同样。3、Quarterly：年份全称或后两个字接冒号（或空格），再接季度，如1992:1（或1992 1），表达1992年第一季度。4、Monthly：年份全称或后面两个字接冒号（或空格），再接月度序号，如1990:1（或1990 1）。5、Daily：格式为“月度序号：日期：年份”，如9:2:

9、2023表达2023年9月2日。6、Weekly：格式与Daily相似，也是“月度序号：日期：年份”，但这里的日期是某个星期的某一天，当给定起始日时，系统会自动推算终止日期。第二章 时间序列的预解决 一、平稳性检查 时序图检查和自相关图检查（一）时序图检查 根据平稳时间序列均值、方差为常数的性质，平稳序列的时序图应当显示出该序列 始终在一个常数值附近随机波动，并且波动的范围有界、无明显趋势及周期特性。例 2.1 检查 1949 年1998 年北京市每年最高气温的平稳性 1.在 Eviews 软件中打开案例数据 图 1：打开外来数据 图 2：打开数据文献夹中案例数据文献夹中数据 文献中序列的名称

10、可以在打开的时候输入，或者在打开的数据中输入 图 3：打开过程中给序列命名 图 4：打开数据 2.绘制时序图 可以如下图所示选择序列然后点 Quick 选择 Scatter 或者 XYline；绘制好后可以双击图片对其进行修饰，如颜色、线条、点等 图 1：绘制散点图 图 2：年份和气温的散点图 33343536373839404150556065707580859095QW 图 3：年份和气温的散点图（二）自相关图检查 例 2.2 导入数据，方式同上；在 Quick 菜单下选择自相关图，对 QW 原列进行分析；可以看出自相关系数始终在零周边波动，鉴定该序列为平稳时间序列。图 1：序列的相关分析

11、 图 2：输入序列名称 图 3：选择相关分析的对象 图 4：序列的相关分析结果:1.可以看出自相关系数始终在零周边波动，鉴定该序列为平稳时间序列 2.看 Q 记录量的 P 值：该记录量的原假设为 X 的 1 期，2 期k 期的自相关系数均等于 0，备择假设为自相关系数中至少有一个不等于 0，因此如图知，该 P 值都5%的显著性水平，所以接受原假设,即序列是纯随机序列，即白噪声序列(由于序列值之间彼此之间没有任何关联，所以说过去的行为对将来的发展没有丝毫影响，因此为纯随机序列，即白噪声序列。)有的题目平稳性描述可以模仿书本 33 页最后一段。（三）平稳性检查还可以用：单位根检查：ADF,PP 检

12、查等；非参数检查：游程检查 图 1：序列的单位根检查 图 2：单位根检查的方法选择 图 3：ADF 检查的结果：如图，单位根记录量 ADF=-8.294675 小于 EVIEWS 给出的显著性水平 1%-10%的 ADF 临界值，所以不接受原假设，该序列是平稳的。二、纯随机性检查 计算 Q 记录量，根据其取值鉴定是否为纯随机序列。例 2.2 的自相关图中有 Q 记录量，其 P 值在 K=6、12 的时候均比较大，不能拒绝原假设，认为该序列是白噪声序列。此外，小样本情况下，LB 记录量检查纯随机性更准确。第三章 平稳时间序列建模实验教程 一、模型辨认 1.打开数据（某地区连续 74 年的谷物产量

13、（单位：千吨）图 1：打开数据 2.绘制趋势图并大体判断序列的特性 图 2：绘制序列散点图 图 3：输入散点图的变量 图 4：序列的散点图 3.绘制自相关和偏自相关图 图 1：在数据窗口下选择相关分析 图 2：选择变量 图 3：选择对象 图 4：序列相关图 4.根据自相关图和偏自相关图的性质拟定模型类型和阶数 假如样本(偏)自相关系数在最初的 d 阶明显大于两倍标准差范围，而后几乎 95的自相关系数都落在 2 倍标准差的范围以内，并且通常由非零自相关系数衰减为小值波动的过程非常忽然。这时，通常视为(偏)自相关系数截尾。截尾阶数为 d。本例：自相关图显示延迟 6 阶之后，自相关系数所有衰减到 2

14、 倍标准差范围内波动，这表白序列明显地短期相关。但序列由显著非零的相关系数衰减为小值波动的过程相称连续，相称缓慢，该自相关系数可视为不截尾 偏自相关图显示除了延迟 1 阶的偏自相关系数显著大于 2 倍标准差之外，其它的偏自相关系数都在 2 倍标准差范围内作小值随机波动，并且由非零相关系数衰减为小值波动的过程非常忽然，所以该偏自相关系数可视为一阶截尾 所以可以考虑拟合模型为 AR(1)自相关系数 偏相关系数 模型定阶 拖尾 P 阶截尾 AR(p)模型 q 阶截尾 拖尾 MA（q）模型 拖尾 拖尾 ARMA(p,q)模型 具体判别什么模型看书 58 到 62 页的图例。就是常数项）。表示的是求出来

15、的系数（其中模型中的模型：）（模型：模型：)1(MA)1(arB*)P(ARB*)2(ARB*)1(AR1B*)q(MAB*)2(MAB*)1(MA1ARMAB*)q(MAB*)2(MAB*)1(MA1MAB*)P(ARB*)2(ARB*)1(AR11ARtP2q2tXtq2tXtP2tX 二、模型参数估计 根据相关图模型拟定为 AR(1)，建立模型估计参数 在ESTIMATE中按顺序输入变量x c x(-1)或者x c AR(1)选择LS参数估计方法，查看输出结果，看参数显著性，该例中两个参数都显著。细心的同学也许发现两个模型的 c 取值不同，这是由于前一个模型的 c 为截距项；后者的 c

16、则为序列盼望值，两个常数的含义不同。图 1：建立模型 图 2：输入模型中变量，选择参数估计方法 图 3：参数估计结果 图 4：建立模型 图 5：输入模型中变量，选择参数估计方法 图 6：参数估计结果 t372564.011845441.0txBAR模型：三、模型的显著性检查 检查内容：整个模型对信息的提取是否充足；参数的显著性检查，模型结构是否最简。图 1：模型残差 图 2：残差的平稳性和纯随机性检查 对残差序列进行白噪声检查，可以看出 ACF 和 PACF 都没有显著异于零，Q 记录量的P 值都远远大于 0.05，因此可以认为残差序列为白噪声序列，模型信息提取比较充足。常数和滞后一阶参数的

17、P 值都很小，参数显著；因此整个模型比较精简，模型较优。四、模型优化 当一个拟合模型通过了检查，说明在一定的置信水平下，该模型能有效地拟合观测值序列的波动，但这种有效模型并不是唯一的。当几个模型都是模型有效参数显著的，此时需要选择一个更好的模型，即进行优化。优化的目的，选择相对最优模型。优化准则：最小信息量准则（An Information Criterion）指导思想 似然函数值越大越好 未知参数的个数越少越好 AIC 准则的缺陷 在样本容量趋于无穷大时，由 AIC 准则选择的模型不收敛于真实模型，它通常比真实模型所含的未知参数个数要多 但是本例中滞后二阶的参数不显著，不符合精简原则，不必进

18、行进一步判断。)(2)ln(2未知参数个数nAIC)(ln()ln(2未知参数nnSBC第四章 非平稳时间序列的拟定性分析 第三章介绍了平稳时间序列的分析方法，但是自然界中绝大多数序列都是非平稳的，因而对非平稳时间序列的分析跟普遍跟重要，人们发明的分析方法也更多。这些方法分为拟定性时序分析和随机时序分析两大类，本章重要介绍拟定性时序分析方法。一个序列在任意时刻的值可以被精确拟定（或被预测），则该序列为拟定性序列，如正弦序列、周期脉冲序列等。而某序列在某时刻的取值是随机的，不能给以精确预测，只知道取某一数值的概率，如白噪声序列等。Cramer 分解定理说明每个序列都可以提成一个拟定序列加一个随机

19、序列，平稳序列的两个构成序列均平稳，非平稳时间序列则至少有一部分不平稳。本章先分析拟定性序列不平稳的非平稳时间时间序列的分析方法。拟定性序列不平稳通常显示出非常明显的规律性，如显著趋势或者固定变化周期，这种规律性信息比较容易提取，因而传统时间序列分析的重点在拟定性信息的提取上。常用的拟定性分析方法为因素分解。分析目的为：克服其他因素的影响，单纯测度某一个拟定性因素的影响；推断出各种因素彼此之间作用关系及它们对序列的综合影响。一、趋势分析 绘制序列的线图，观测序列的特性，假如有明显的长期趋势，我们就要测度其长期趋势，测度方法有：趋势拟合法、平滑法。（一）趋势拟合法 1.线性趋势拟合 例 4.1：

20、以 1964-1999 年中国纱年产量数据为例进行分析。图 1：导入数据 图 2：绘制线图，序列有明显的上升趋势 长期趋势具有线性上升的趋势，所以进行序列对时间的线性回归分析。图 3：序列销售额（y）对时间（t）进行线性回归分析 图 4：回归参数估计和回归效果评价 可以看出回归参数显著，模型显著，回归效果良好，序列具有明显线性趋势。图 5：运用模型进行预测 图 6：预测效果（偏差率、方差率等）图 7：绘制原序列和预测序列的线图 图 8：原序列和预测序列的线图 图 9：残差序列的曲线图 可以看出残差序列具有平稳时间序列的特性，我们可以进一步检查剔除了长期趋势后的残差序列的平稳性，第三章知识这里不

21、在叙述。2.曲线趋势拟合 例 4.2：对爱荷华州 1948-1979 年非农产品季度收入数据为例进行拟合。图 1：导入数据 图 2：绘制曲线图 可以看出序列不是线性上升，而是曲线上升，尝试用二次模型拟合序列的发展。图 3：模型参数估计和回归效果评价 可以看出回归参数显著，模型显著，回归效果良好，序列具有明显二次趋势。图 4：模型的预测效果分析 图 5：原序列和预测序列值 图 6：原序列和预测序列值曲线图 图 7：计算预测误差 图 8：对预测误差序列进行单位根检查 不能拒绝原假设，认为序列有单位根，为非平稳序列，说明模型对长期趋势拟合的效果不太好。下面再尝试三次曲线趋势。图 9：序列收入（y）对

22、时间（t）进行三次曲线回归分析 图 10：回归参数估计和回归效果评价 可以看出回归参数显著，模型显著，回归效果良好。图 11：原序列新预测序列值曲线图 图 12：对预测误差序列进行单位根检查 在 0.1 的水平下拒绝原假设，认为序列没有单位根，为平稳序列，说明模型对长期趋势拟合的效果还不错。同样，序列与时间之间的关系尚有很多中，比如指数曲线、生命曲线、龚柏茨曲线等等，其回归模型的建立、参数估计等方法与回归分析同，这里不再具体叙述。（二）平滑法 除了趋势拟合外，平滑法也是消除短期随机波动反映长期趋势的方法，而其平滑法可以追踪数据的新变化。平滑法重要有移动平均方法和指数平滑法两种，这里重要介绍指数

23、平滑方法。例 4.3：对某城市 1980 年 1 月至 1995 年 8 月每月屠宰生猪数量序列进行平滑 图 1：打开序列，进行指数平滑分析 图 2：一次平滑系数趋势 给定方法为选择使残差平方和最小的平滑系数，该例中平滑系数为 0.28,，小于 0.5，用一次平滑效果较好 图 3：平滑前后序列曲线图 可以看出修匀效果较好。对于有明显线性趋势的序列，我们可以采用 Holt 两参数法进行指数平滑 例 4.4：对某地区 1962-1970 年平均每头奶牛的月度产奶量数据（单位：磅）序列进行 Holt两参数指数平滑 图 1：奶牛月度产奶量的曲线图 图 2：Holt 两参数指数平滑（指定平滑系数）图 3

24、：预测效果检查 图 4：系统自动给定平滑系数时平滑效果 图 5：原序列与预测序列曲线图（其中 XSM1 为自己给定系数时的平滑值，XSM2 为系统给定系数时的平滑值）二、季节效应分析 许多序列有季节效应，比如：气温、商品零售额、某景点旅游人数等都会呈现明显的季节变动规律。例 4.5：以某公司 1997-2023 年每月销售额（单位：万元）序列为例，介绍季节效应分析操作。图 1：建立月度数据新工作表 图 2：新工作表中导入数据 图 3：四年的月度销售额数据 图 4：进行季节调整（移动平均法）图 5：移动平均季节加法 图 6：12 个月的加法调整因子 图 7：打开三个序列（季节调整序列、原序列、调

25、整后序列）图 8：三个序列（季节调整序列、原序列、调整后序列）取值 图 9：三个序列（季节调整序列、原序列、调整后序列）曲线图 此外季节调整还可以用 X11,X12 等方法进行调整。三、综合分析 前面两部分介绍了单独测度长期趋势和季节效应的分析方法，这里介绍既有长期趋势又有季节效应的复杂序列的分析方法。例 4.6：对某地区 1962-1970 年平均每头奶牛的月度产奶量序列进行拟定性分析。图 1：绘制 19621970 年某地区平均每头奶牛月度产奶量时序图 可以看出序列中既有长期趋势又有季节波动。图 2：进行季节调整 图 3：12 个月的季节因子 图 4：经季节调整后的序列 YSA 图 5：对

26、经季节调整后序列进行趋势拟合 图 6：趋势拟合序列 YSAF 与序列 YSA 的时序图 图 7：扩展时间区间后预测长期趋势值 YSAF 图 8：经季节调整预测 1971 年 12 个月的产奶量 图 9：预测 1971 年 12 个月的产奶量 图 10：预测序列与原序列的时序图 第五章 非平稳序列的随机分析 非平稳序列的拟定性分析原理简朴操作方便易于解释，但是只提取拟定性信息，对随机信息浪费严重；且各因素之间确切的作用关系没有明确有效的判断方法。随机分析方法的发展填补了这些局限性，为人们提供更加丰富、更加精确的时序分析工具。对非平稳时间序列的分析，要先提取拟定性信息再研究随机信息。一、差分法提取

27、拟定性信息 拟定性信息的提取方法有第四章学习的趋势拟合、指数平滑、季节指数、季节多元回归等，本章重要介绍差分法提取拟定性信息。差分实质：自回归 差分方式：对线性趋势序列进行 1 阶差分、对曲线趋势序列进行低阶差分、对固定周 期序列进行周期差分 例 5.1 线性趋势：对 1964-1999 年中国纱年产量序列进行一阶差分 具体分析过程如下：图 1：导入数据 图 2：绘制线性图，观测序列的特性 观测发现序列具有较明显的线性趋势 图 3：进行一阶差分运算 图 4：一阶差分运算公式 图 5：一阶差分序列 图 6：一阶差分曲线图 观测一阶差分序列均值方差稳定，进一步进行平稳性分析。图 7：绘制一阶差分序

28、列的相关图 图 8：自相关图显著，Q 记录量显著 因此，差分后序列问白噪声序列，一阶差分将序列的信息提取充足。例 5.2 曲线序列：爱荷华州非农产品季度收入趋势分析 图 1：导入数据 图 2：绘制原序列曲线图 可以看出，19481979 年非农产品季度收入序列具有曲线趋势，现用低阶差分法提取拟定性信息。图 3：绘制一阶差分序列的曲线图 图 4：一阶差分序列曲线图 可以看出一阶差分序列仍然具有趋势，继续进行差分分析；二阶差分的命令的D(QC,2)，低阶差分的命令为 D(QC,K)。图 5：对原序列进行二阶差分 图 6：二阶差分序列曲线图 从二阶差分序列曲线图可以看出二阶差分序列中没有中长期趋势，

29、二阶差分提取了长期趋势。图 7：自相关分析 图 8：对序列的二阶差分序列进行自相关分析 图 9：二阶差分序列相关图 可以看出二阶差分序列具有短期相关性的特性，无拟定性信息，为平稳序列。例 5.3 固定周期序列：某地区 1962-1970 年奶牛月度产奶量序列差分分析 图 1：导入数据（月度数据）图 2：绘制序列曲线图 可以看出本序列既有长期趋势又有周期性因素，因此我们一方面进行一阶差分提取趋势特性，再进行 12 步周期差分提取周期信息。图 3：一阶差分序列曲线图 可以看出序列不再具有趋势特性，一阶差分提取了线性趋势 图 4：对序列进行一阶差分 图 5：对一阶差分序列进行 12 步周期差分 图

30、6：绘制周期差分后序列 上述操作也可以用 D(OP,1,12)命令来实现，即一阶12 步差分，因此直接绘制序列 D(OP,1,12)的时序图结果如图 6。图 7：周期差分后序列的相关图 可以看出序列自相关系数 12 阶显著，说明还是有一定的周期性 图 8：对上面的序列再进行 12 步差分，绘制曲线图 图 9：序列的相关图 可以看出 12 阶相关系数仍然显著，且相关系数比 D12DOP 序列的相关系数还大，因此我们就进行到上一环节即可。差分的方式小结 对线性趋势的序列，一阶差分即可提取拟定性信息，命令为 D(X)；对曲线趋势的序列，低阶差分即可提取序列的拟定性信息，命令为 D(X,a)；对具有周

31、期性特点的序列，k 步差分即可提取序列的周期性信息，命令为D(X,0,k)。对既有长期趋势又有周期性波动的序列，可以采用低阶k 步差分的操作提取拟定性信息，操作方法为 D(X,a，k)。非平稳序列假如通过差分变成平稳序列，则我们称这类序列为差分平稳序列，差分平稳序列可以使用ARIMA模型进行拟合。二、ARIMA 模型 差分平稳序列在通过差分后变成平稳时间序列，之后的分析可以用 ARMA 模型进行，差分过程加上 ARMA 模型对差分平稳序列进行的分析称为 ARIMA 模型。例 5.4 分析 1867-1938 年英国（英格兰及威尔士）绵羊数量序列 先观测序列的时序图，可知序列具有线性长期趋势，需

32、要进行 1 阶差分。获 得 观 察 值 平稳性 差分 运算 N 白噪声 Y 分 析 结 束 拟合 ARMA Y N 图 1：1867-1938 年英国（英格兰及威尔士）时序图 再观测差分序列的时序图 图 2：1867-1938 年英国绵羊数量 1 阶差分后序列的时序图 图 3：英国绵羊数量 1 阶差分后序列的相关分析 由图可知，序列 1 阶自相关显著，序列平稳；Q 记录量 P 值小于 0.05，非白噪声；同时，偏自相关拖尾、自相关四步截尾，建立 ARIMA（0，1，4）模型。（建立 ARIMA（0，1，4）模型，是由于偏自相关拖尾，所以第一个数值为 0，然后由于序列进行了一阶差分，所以中间数值

33、为 1，又自相关图四阶截尾，所以最后一个数值为 4。）图 4：英国绵羊数量的 ARIMA（0，1，4）模型 图 5：模型残差的相关性分析 从图 4 和图 5 分析可知，残差为白噪声，模型信息提取充足；模型参数显著，模型精简，因此建立的 ARIMA（0，1，1）模型合格,模型具体情况如下式：)5967.0456502419.03715.01(1019.7)1(432BBBBYB，图 6：预测 1939-1950 年英国绵羊数量 图 7：1939-1950 年英国绵羊数量预测图 三、季节模型 1.简朴季节模型 例 5.3 续 对 1962.11975.12 平均每头奶牛月产奶量序列进行分析 根据前

34、面的分析可知，通过 112 步差分后，op 变成平稳时间序列。图 1：序列 D(OP,1,12)的相关分析图 通过相关分析看出自相关图具有短期相关性，是平稳时间序列；Q 记录量的P 值有小于 0.05 的情况，因此序列为平稳非白噪声序列。又观测自相关和偏自相关图，辨认方程为一阶自回归方程 图 2：序列 D(OP,1,12)的 AR(1)模型 图 3：模型残差的相关分析 分析可知残差为白噪声，因而模型提取信息充足；观测图 2 可知模型参数显著，因而 AR（1）模型可以提取平稳序列 D(OP,1,12)的信息。模型的具体信息为 BOPB3373.011)1)(B-112（2.乘积季节模型 当序列中

35、长期趋势、季节效应、随机波动可以很容易分开，我们用简朴季节模型进行分析；但更为常见的是序列的三个部分不能简朴分开，而是互相关联，这时要用乘积季节模型。例 5.5 试分析 1969 年 1 月至 1994 年 9 月澳大利亚储备银行 2 年期有价证券月度利率序列。一方面观测序列的时序图 图 1：1969 年 1 月至 1994 年 9 月澳大利亚储备银行 2 年期有价证券月度利率时序图 由时序图可知，序列既有长期曲线趋势又有周期性，因此进行 2 阶12 步差分 图 2：进行 1 阶12 步差分 图 3：D(Y,2,12)的时序图 从时序图可以看出 D(Y,2,12)均值稳定，也没有明显的周期性，

36、方差有界；通过相关分析，具体分析序列的平稳性，如图 4。图 4 中可以看出自相关一阶显著，但是 12 阶也是显著的，因此在趋势平稳中又包含了周期性因素。图 4：D(Y,2,12)的相关分析 用 ARMA 模型拟合序列 D(S,1,12)尝试如下：图 5：AR(1,12)模型拟合序列 D(Y,2,12)图 6：AR(1,12)模型拟合序列 D(Y,2,12)的残差相关图 可以看出模型残差非白噪声，模型提取信息不充足。图 7：MA(1,12)模型拟合序列 D(Y,2,12)图 8：MA(1,12)模型拟合序列 D(S,1,12)残差相关图 可以看出模型残差也非白噪声，模型提取信息不充足。这种情况下我们尝试乘积季节模型 图 9：ARMA(1,1)(1,0,1)12拟合序列 D(Y,2,12)图 10：ARMA(1,1)(1,0,1)12模型的参数 可以看出 AR(1)，SAR(12)的参数并不显著，因此删除该两项。图 11：MA(1)(0，0,1)12拟合序列 D(Y,2,12)图 12：MA(1)(0，0,1)12模型的参数 图 13：乘积模型的残差相关图 可以看出乘积模型的残差在 0.01 的显著性水平下可认为是白噪声序列，该模型提取序列的信息充足；参数都显著，因此模型精简；模型的具体形式为：12122)9239.01)(9333.01()1(）B-1（BBYB