算法设计与分析-第一章剖析优秀PPT.ppt

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1、计算机算法设计与分析（第计算机算法设计与分析（第4版）版）王晓东王晓东 编著编著电子工业出版社电子工业出版社第第1章章 算法概述算法概述学习要点学习要点:理解算法的概念。理解算法的概念。理解什么是程序，程序与算法的区分和内在联系。理解什么是程序，程序与算法的区分和内在联系。驾驭算法的计算困难性概念。驾驭算法的计算困难性概念。驾驭算法渐近困难性的数学表述。驾驭算法渐近困难性的数学表述。驾驭用驾驭用C+语言描述算法的方法。语言描述算法的方法。算法算法(Algorithm)算法是指解决问题的一种方法或一个过程。算法是若干指令的有穷序列，满足性质：(1)输入：有外部供应的量作为算法的输入。(2)输出：

2、算法产生至少一个量作为输出。(3)确定性：组成算法的每条指令是清晰，无歧义的。(4)有限性：算法中每条指令的执行次数是有限的，执行每条指令的时间也是有限的。程序程序(Program)程序是算法用某种程序设计语言的具体实现。程序可以不满足算法的性质(4)。例如操作系统，是一个在无限循环中执行的程序，因而不是一个算法。操作系统的各种任务可看成是单独的问题，每一个问题由操作系统中的一个子程序通过特定的算法来实现。该子程序得到输出结果后便终止。问题求解问题求解(Problem Solving)证明正确性分析算法设计程序理解问题精确解或近似解选择数据结构算法设计策略设计算法算法困难性分析算法困难性分析

3、算法困难性=算法所须要的计算机资源算法的时间困难性T(n)；算法的空间困难性S(n)。其中n是问题的规模（输入大小）。算法的时间困难性算法的时间困难性（1）最坏状况下的时间困难性 Tmax(n)=max T(I)|size(I)=n（2）最好状况下的时间困难性 Tmin(n)=min T(I)|size(I)=n（3）平均状况下的时间困难性 Tavg(n)=其中I是问题的规模为n的实例，p(I)是实 例I出现的概率。算法渐近困难性算法渐近困难性T(n),as n;(T(n)-t(n)/T(n)0，as n;t(n)是T(n)的渐近性态，为算法的渐近困难性。在数学上，t(n)是T(n)的渐近表达

4、式，是T(n)略去低阶项留下的主项。它比T(n)简洁。渐近分析的记号渐近分析的记号在下面的探讨中，对全部n，f(n)0，g(n)0。（1）渐近上界记号OO(g(n)=f(n)|存在正常数c和n0使得对全部n n0有：0 f(n)cg(n)（2）渐近下界记号 (g(n)=f(n)|存在正常数c和n0使得对全部n n0有：0 cg(n)f(n)（3）非紧上界记号o o(g(n)=f(n)|对于任何正常数c0，存在正数和n0 0使得对全部n n0有：0 f(n)0，存在正数和n0 0使得对全部n n0有：0 cg(n)f(n)等价于 f(n)/g(n)，as n。f(n)(g(n)g(n)o(f(n

5、)（5）紧渐近界记号 (g(n)=f(n)|存在正常数c1,c2和n0使得对全部n n0有：c1g(n)f(n)c2g(n)定理1：(g(n)=O(g(n)(g(n)渐近分析记号在等式和不等式中的意义渐近分析记号在等式和不等式中的意义f(n)=(g(n)的准确意义是：f(n)(g(n)。一般状况下，等式和不等式中的渐近记号(g(n)表示(g(n)中的某个函数。例如：2n2+3n+1=2n2+(n)表示 2n2+3n+1=2n2+f(n)，其中f(n)是(n)中某个函数。等式和不等式中渐近记号O,o,和的意义是类似的。渐近分析中函数比较渐近分析中函数比较f(n)=O(g(n)a b;f(n)=(

6、g(n)a b;f(n)=(g(n)a=b;f(n)=o(g(n)a b.渐近分析记号的若干性质渐近分析记号的若干性质（1）传递性：）传递性：f(n)=(g(n)，g(n)=(h(n)f(n)=(h(n)；f(n)=O(g(n)，g(n)=O(h(n)f(n)=O(h(n)；f(n)=(g(n)，g(n)=(h(n)f(n)=(h(n)；f(n)=o(g(n)，g(n)=o(h(n)f(n)=o(h(n)；f(n)=(g(n)，g(n)=(h(n)f(n)=(h(n)；（2）反身性：）反身性：f(n)=(f(n)；f(n)=O(f(n)；f(n)=(f(n).（3）对称性：）对称性：f(n)=

7、(g(n)g(n)=(f(n).（4）互对称性：）互对称性：f(n)=O(g(n)g(n)=(f(n)；f(n)=o(g(n)g(n)=(f(n)；（5）算术运算：）算术运算：O(f(n)+O(g(n)=O(maxf(n),g(n)；O(f(n)+O(g(n)=O(f(n)+g(n)；O(f(n)*O(g(n)=O(f(n)*g(n)；O(cf(n)=O(f(n)；g(n)=O(f(n)O(f(n)+O(g(n)=O(f(n)。规则O(f(n)+O(g(n)=O(maxf(n),g(n)的证明：对于随意f1(n)O(f(n)，存在正常数c1和自然数n1，使得对全部n n1，有f1(n)c1f(

8、n)。类似地，对于随意g1(n)O(g(n)，存在正常数c2和自然数n2，使得对全部n n2，有g1(n)c2g(n)。令c3=maxc1,c2，n3=maxn1,n2，h(n)=maxf(n),g(n)。则对全部的 n n3，有f1(n)+g1(n)c1f(n)+c2g(n)c3f(n)+c3g(n)=c3(f(n)+g(n)c32 maxf(n),g(n)=2c3h(n)=O(maxf(n),g(n).算法渐近困难性分析中常用函数算法渐近困难性分析中常用函数（1）单调函数）单调函数单调递增：m n f(m)f(n);单调递减：m n f(m)f(n);严格单调递增：m n f(m)f(n)

9、;严格单调递减：m f(n).（2）取整函数）取整函数 x ：不大于x的最大整数；x ：不小于x的最小整数。取整函数的若干性质取整函数的若干性质 x-1 x x x 0，有：n/a /b =n/ab ;n/a /b =n/ab ;a/b (a+(b-1)/b;a/b (a-(b-1)/b;f(x)=x ,g(x)=x 为单调递增函数。（3）多项式函数）多项式函数 p(n)=a0+a1n+a2n2+adnd；ad0;p(n)=(nd);f(n)=O(nk)f(n)多项式有界；f(n)=O(1)f(n)c;k d p(n)=O(nk);k d p(n)=(nk);k d p(n)=o(nk);k

10、0:a0=1;a1=a;a-1=1/a;(am)n=amn;(am)n=(an)m;aman =am+n;a1 an为单调递增函数;a1 nb=o(an)ex 1+x;|x|1 1+x ex 1+x+x2;ex=1+x+(x2),as x0;（5）对数函数）对数函数 log n=log2n;lg n=log10n;ln n=logen;logkn=(log n)kl;log log n=log(log n);for a0,b0,c0|x|1 for x -1,for any a 0,logbn=o(na)（6）阶层函数）阶层函数Stirlings approximation 算法分析中常见的困

11、难性函数算法分析中常见的困难性函数小规模数据小规模数据中等规模数据中等规模数据用用C+描述算法描述算法（1）选择语句：）选择语句：（1.1)if 语句：语句：（1.2)？语句：？语句：if(expression)statement;else statement;exp1?exp2:exp3 y=x9?100:200;等价于：if(x9)y=100;else y=200;（1.3)switch语句：语句：switch(expression)case 1:statement sequence;break;case 2:statement sequence;break;default:stateme

12、nt sequence;（2）迭代语句：）迭代语句：（2.1)for 循环：循环：for(init;condition;inc)statement;（2.2)while 循环：循环：while(condition)statement;（2.3)do-while 循环：循环：do statement;while(condition);（3）跳转语句：）跳转语句：（3.1)return语句：语句：return expression;（3.2)goto语句：语句：goto label;label:（4）函数：）函数：例：例：return-type function name(para-list)bo

13、dy of the function int max(int x,int y)return xy?x:y;（5）模板）模板template：template Type max(Type x,Type y)return xy?x:y;int i=max(1,2)；double x=max(1.0,2.0)；（6）动态存储安排：）动态存储安排：（6.1）运算符）运算符new：运算符运算符new用于动态存储安排。用于动态存储安排。new返回一个指向所安排空间的指针。返回一个指向所安排空间的指针。例：例：int x；y=new int；y=10；也可将上述各语句作适当合并如下：也可将上述各语句作适当合

14、并如下：int y=new int；y=10；或或 int y=new int(10)；或或 int y；y=new int(10)；（6.2）一维数组）一维数组：为了在运行时创建一个大小可动态变更的一维浮点数组x，可先将x声明为一个float类型的指针。然后用new为数组动态地安排存储空间。例：float x=new floatn；创建一个大小为n的一维浮点数组。运算符new安排n个浮点数所需的空间，并返回指向第一个浮点数的指针。然后可用x0，x1，xn-1来访问每个数组元素。（6.3）运算符）运算符delete：当动态安排的存储空间已不再须要时应刚好释放所占用的空间。用运算符delete来

15、释放由new安排的空间。例：delete y；delete x；分别释放安排给y的空间和安排给一维数组x的空间。（6.4）动态二维数组）动态二维数组：创建类型为Type的动态工作数组，这个数组有rows行和cols列。template void Make2DArray(Type*&x,int rows,int cols)x=new Type*rows;for(int i=0;irows;i+)xi=new Typecols;当不再须要一个动态安排的二维数组时，可按以下步骤释放它所占用的空间。首先释放在for循环中为每一行所安排的空间。然后释放为行指针安排的空间。释放空间后将x置为0，以防接着访

16、问已被释放的空间。template void Delete2DArray(Type*&x,int rows)for(int i=0;irows;i+)delete xi;delete x;x=0;算法分析方法算法分析方法例：依次搜寻算法例：依次搜寻算法templateint seqSearch(Type*a,int n,Type k)for(int i=0;in;i+)if(ai=k)return i;return-1;（1）Tmax(n)=max T(I)|size(I)=n=O(n)（2）Tmin(n)=min T(I)|size(I)=n=O(1)（3）在平均状况下，假设：(a)搜寻成功

17、的概率为p(0 p 1)；(b)在数组的每个位置i(0 i n)搜寻成功的概率相同，均为 p/n。算法分析的基本法则算法分析的基本法则非递归算法：非递归算法：（1）for/while 循环循环循环体内计算时间循环体内计算时间*循环次数；循环次数；（2）嵌套循环）嵌套循环循环体内计算时间循环体内计算时间*全部循环次数；全部循环次数；（3）依次语句）依次语句各语句计算时间相加；各语句计算时间相加；（4）if-else语句语句if语句计算时间和语句计算时间和else语句计算时间的较大者。语句计算时间的较大者。templatevoid insertion_sort(Type*a,int n)Type

18、key;/cost times for(int i=1;i=0&ajkey)/c4 sum of ti aj+1=aj;/c5 sum of(ti-1)j-;/c6 sum og(ti-1)aj+1=key;/c7 n-1 在最好状况下，ti=1,for 1 i n;在最坏状况下，ti i+1,for 1 i n;对于输入数据ai=n-i,i=0,1,n-1，算法insertion_sort 达到其最坏情形。因此，由此可见，Tmax(n)=(n2)最优算法最优算法问题的计算时间下界为(f(n)，则计算时间困难性为O(f(n)的算法是最优算法。例如，排序问题的计算时间下界为(nlogn)，计算时间困难性为O(nlogn)的排序算法是最优算法。堆排序算法是最优算法。递归算法困难性分析递归算法困难性分析 int factorial(int n)if(n=0)return 1;return n*factorial(n-1);