静电场方程优秀PPT.ppt

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1、北京理工大学 信息与电子学院 司黎明电磁场理论基础其次章其次章 静电场（续）静电场（续）主讲老师：司黎明主讲老师：司黎明办公室：办公室：4 4号楼号楼202202；新信息楼；新信息楼212212办公电话：办公电话：6891562868915628、6891821268918212E-mail:lmsbit.edu E-mail:lmsbit.edu 北京理工高校 信息与电子学院 司黎明北京理工大学 信息与电子学院 司黎明2.10 电介质中的静电场电介质中的静电场一一.电介质的极化电介质的极化 1 1、定义、定义 电介质放入电场中时，它也要受到电场的作用，其分子或原子内的正负电荷将在电场力的作用

2、下产生微小的弹性位移或偏转，形成了一个个小电偶极子，这种现象称之为电介质的极化。2 2、极化的形式、极化的形式 polarizationpolarization电子极化 electronic离子极化 ionic取向极化 orientation空间电荷极化 space charge极性分子非极性分子北京理工大学 信息与电子学院 司黎明3 3、极化强度矢量、极化强度矢量定义式单位：库仑/米2(C/m2)物理意义：电介质某点上单位体积中的电偶极矩的矢量和。Rv tdPv),(zyxM),.(zyxO 图226 极化电介质的电位 体积元 内的电偶极子群产生的电位 整块极化电介质产生的电位 极化电介质中

3、的附加电位附加电位北京理工大学 信息与电子学院 司黎明利用矢量恒等式 等效极化电荷附加电位表示为极化电荷体密度极化电荷面密度 束缚电荷体密度 束缚电荷面密度 极化电荷与自由电荷的区分：a.极化电荷只是对电介质极化场效应的一种等效。b.电介质中某点上有 ，并不说明该点一定有宏观净电荷存在，而只是表明该处分子电偶极矩对外界点的场位贡献与存在等量自由电荷时的作用相同。北京理工大学 信息与电子学院 司黎明 二二.电介质中静电场的基本定律电介质中静电场的基本定律 介质真空中的极化电荷1、高斯定律、高斯定律真空中高斯定律 则介质中 若闭合面 S 完全落在一种电介质 介质场问题真实存在的自由电荷等效的极化电

4、荷真空场问题真空电介质中的电位移矢量北京理工大学 信息与电子学院 司黎明微分形式应用散度定理得积分形式引入电位移矢量介电常数介电常数（电容率）相对介电常数（相对电容率）在弱电场状况下称为电极化率所以电介质中静电场第一基本定律 p.77 几种常见电介质的介电常数思索一下如何测量？北京理工大学 信息与电子学院 司黎明2、环路定律、环路定律 电介质的实际电场可视为分布电荷与极化电荷在真空中共同激励的结果。所以电介质中静电场第二基本定律 引入电位函数 3、关于电介质中基本定律的几点说明、关于电介质中基本定律的几点说明微分形式只能用在电场和介质参数连续 的点上；积分形式则可以用在包括介质分界面在内的随意

5、区域。介质中的基本方程与真空中的基本方程有完全相同的形式区别在于 ，介质中的极化效应已包含在中。北京理工大学 信息与电子学院 司黎明求解匀整无限电介质 问题，只要将真空中全部静电场公式中 微分方程内的分布体电荷在均匀无限电介质空间产生的电位和电场 对于分区匀整介质和非匀整介质的问题，除了两组基本方程照旧与真空场基本方程有相同形式外，其余的导出公式可能不再相同。非匀整介质，拉普拉斯方程和泊松方程不再成立分区介质，须要求解边界值问题P100 习题28p.78-79 特殊状况的3种求解方法北京理工大学 信息与电子学院 司黎明例2.13 无限长圆柱同轴线内、外导体单位长度所带电荷是Q和Q 求：（1）此

6、同轴线内外导体间电压（2）两介质分界面 处的极化电荷面密度。解：（1）求电压以同轴线轴线为z轴建立柱坐标系求电场强度利用高斯定律在两种不同介质中内外导体之间的电压为北京理工大学 信息与电子学院 司黎明（2）求分界面上的极化电荷面密度利用极化电荷面密度为 极化电荷面密度为 分界面内侧的介质1表面上，分界面上的总极化电荷面密度为以上两者的代数和，即 分界面外侧的介质2表面上，北京理工大学 信息与电子学院 司黎明例2.14 探讨电介质内一点上极化电荷体密度与分布电荷体密度的关系 解：将 代入高斯定律的微分形式，得 对于均匀电介质，是常数，故结果的第二项为零，得整理得 依据 和可得 探讨：北京理工大学

7、 信息与电子学院 司黎明表明表明：均匀电介质中的极化体电荷总是与分布体电荷共存的，并且由于一般有 ，所以一点上的极化体电荷密度总是与该点的分布体电荷密度符号相反。对于非均匀电介质，是坐标的函数，可以不等于零 表明：在没有分布电荷的点上，仍旧可能存在极化电荷。表明：在没有分布电荷的点上，仍旧可能存在极化电荷。即，当 时，仍有北京理工大学 信息与电子学院 司黎明三三.电介质分界面上的边界条件电介质分界面上的边界条件 介质特性突变场突变边界条件：揭示介质两边电场之间的联系。规定界面的法线单位矢量是由2区指向1 区由高斯定律得当 时，侧面通量当 时，闭合面内 ，所以1、的边界条件的边界条件的边界条件标

8、量形式说明：电通量密度法向重量在分界面上的不连续量等于界面上的分布电荷面密度 静电场第一基本方程（积分形式）北京理工大学 信息与电子学院 司黎明假如界面上没有自由面电荷，则边界条件变为 探讨：探讨：此时电通量密度的法向重量在界面上是连续的。若 根据 ，并且电场强度法向重量的不连续是由界面上的极化面电荷引起的。则有北京理工大学 信息与电子学院 司黎明2、的边界条件的边界条件作一狭长的矩形回路abcd，设ab=cd=l，bc=da=h说明：电场强度的切向重量在分界面上是连续的。当 时，由环路定理得回路的绕向指向纸面外所以可以得到电场强度的边界条件标量形式静电场其次基本方程（积分形式）北京理工大学

9、信息与电子学院 司黎明3、的方向与的方向与的关系的关系 若界面上不存在面分布电荷，则有写成标量形式将上面两式相除，并利用关系可以得到北京理工大学 信息与电子学院 司黎明4、电位边界条件、电位边界条件特殊的，当 时，依据电位移矢量的边界条件依据电场强度的边界条件北京理工大学 信息与电子学院 司黎明例2.15 两种电介质以xy平面为分界面，分界面上带有的面电荷解：在本题中，分界面的法矢为所以有 依据边界条件得 2 区的电场强度矢量为 已知第1种电介质中求第2 种电介质中电场强度。北京理工大学 信息与电子学院 司黎明2.11 静电场中的导体静电场中的导体 一一.导体的静电平衡和边界条件导体的静电平衡

10、和边界条件 1、静电平衡、静电平衡导体内部电场恒等于零导体内部没有净电荷定义：在静电场中，处于稳定状态的导体内部是不存在电流的，这表明导体内没有电场，称此时导体处于静电平衡静电平衡状态。特征：静电感应：外电场使导体内部电荷趋于表面的现象。感应电荷：感应电荷属于自由电荷，或者说是一种分布电荷，它与电介质中受束缚的极化电荷是不同的。北京理工大学 信息与电子学院 司黎明2、边界条件、边界条件 将导体看作是一种特殊的电介质，设2区为导体，1 区为真空或电介质，则有导体外部电通量密度的模值等于电荷面密度 导体外部电场强度与导体表面垂直电位的边界条件a、导体是等电位体，导体表面是等电位面b、外部电位的法向

11、变更率与表面电荷分布以及外部介质的介电常数有关北京理工大学 信息与电子学院 司黎明3、两点说明、两点说明静电平衡时导体内部的电场恒等于零，并不是说场源电荷在导体内不产生电场，而只是全部电荷在导体内部产生的电场相互抵销，其矢量和为零。导体表面上的电荷面密度与导体外侧的电通量密度模值相等，并不等于该点电场只是由该点电荷产生的，这种等量关系也是空间全部电荷共同作用的结果。4、尖端放电、尖端放电北京理工大学 信息与电子学院 司黎明所以 与 符号相反，极化面电荷起着削弱外侧电场的作用。例2.16 试证明在导体与电介质分界面的一点上，极化电荷面密度与分布电荷面密度满足如下关系 证明：在分界面上，若设导体表

12、面的法矢为 由此得 依据导体边界条件得 对一般电介质有则电介质表面的法矢为北京理工大学 信息与电子学院 司黎明例2.17 一面积为S的金属平板A带电Q，在其旁放置一块同面积的不带电金属板B。求：(1)静电平衡时，电荷分布及电场分布。(2)若其次块板接地？忽视边缘效应。依据高斯定律由电场叠加原理解：(1)设四个面上电荷面度为由已知条件 二二.有导体存在时静电场的分析与计算有导体存在时静电场的分析与计算 北京理工大学 信息与电子学院 司黎明联立中的四个方程求解，得根据导体的边界条件 ，可以求得1、2、3区的电场分布根据（1）得 ，联立求解上面三式，得到 （2）B板接地时B板右侧电荷被排斥到无穷远，

13、所以相应的电场分布为北京理工大学 信息与电子学院 司黎明例2.18 一个半径为a的金属球带电荷Q1，在它外面有一个同心的金属球壳B，其内、外半径分别为b和c，带有电荷Q，如图所示。求：（1）随意点电场电位，内外球壳间电位差。（2）假如用导线将内球和球壳连接一下，结果又将如何？解：（1）依据对称性，建立球坐标系由静电平衡得 ，时求电荷分布 假定球壳内外表面上带有电荷Q2 Q3则在球壳内作高斯面，利用高斯定律得可以求得北京理工大学 信息与电子学院 司黎明求电场强度利用高斯定律得 区域的电位为 区域的电位为 内球与球壳间的电位差 求电位北京理工大学 信息与电子学院 司黎明（2）将A球B球用导线连接后

14、，r=b 面上的电荷-Q将流向内球A，使A球和B球壳内表面都不带电，外表面带电荷Q1+Q2，问题变为一个匀整带电球面的问题求电场强度求电位内球与球壳间的电位差 北京理工大学 信息与电子学院 司黎明三三.静电屏蔽静电屏蔽 1.导体壳内空间的电场导体壳内空间的电场 壳内空间无分布电荷 壳内空间电场恒等于零，壳内壁上的表面电荷密度亦恒等于零 壳内空间有电荷 壳内电场及内表面电荷的分布，只取决于壳内带电体的电荷分布及内壁的形态，而与壳外的电场、电荷及外壁形态无关。总结：无论封闭导体壳的内部有无电荷，壳外的电荷与电场均对壳内空间的电场无影响 北京理工大学 信息与电子学院 司黎明2.导体壳外的电场导体壳外

15、的电场 壳外空间无分布电荷 壳外空间有分布电荷 a.导体壳不接地 b.导体壳与地相连接 壳外无任何电荷，故壳外的电场为零 壳外的电场仅确定于壳内电量q和壳外表面的形态。a.导体壳不接地 b.导体壳与地相连接 壳外电场由壳外电荷分布，壳外表面形态和壳内的电荷总量q共同确定。导体壳外表面感应电荷的多少和分布确定于外部电荷的分布及外表面的形态，而与壳内状况无关。北京理工大学 信息与电子学院 司黎明一一.电场能量电场能量 来源：场源电荷系统建立过程中的功能转换。2.12 电场能量与静电力电场能量与静电力 不涉及热损耗和辐射损耗等因素，外源所做的这部分功应全部转化为该电场所具有的能量而贮存的电场空间内。

16、依据能量守恒定律，可得 电场能量为场源电荷系统建立过程中外源克服库仑力做的总功。电场能量仅由其场源电荷系统的最终电荷分布确定，而与电荷系统的建立过程和方式无关。因此，在计算电场能量时，可以依据便利和须要来随意假设电荷系统的建立过程。北京理工大学 信息与电子学院 司黎明1、电荷连续分布系统、电荷连续分布系统假设电荷系统建立过程中，区域内各点的电荷密度是从零起先同步增长的，即：设系统最终电荷分布是 ，简记系统最终电位分布是 ，简记依据电位与电荷密度的线性关系，可知在 t 时刻在电荷密度由 增加到 的小过程t的时间内，外源对内某体积元所做的功可以表示为 北京理工大学 信息与电子学院 司黎明那么在 过

17、程中，外源对区域 所做的功为 电荷密度从零增长到终值的系统建立全过程，就是k 从 0 变到 1 的过程，此过程外源所做的总功为依据能量守恒定律，外源所做的功全部转化为该电荷系统的电场能 所以电场能量为北京理工大学 信息与电子学院 司黎明2、电荷分布在、电荷分布在N个导体上的离散系统个导体上的离散系统Ui 是第 i 个导体的电位；其中 Si 表示第i 个导体表面；电场能量 Qi 是第 i 个导体表面上的电荷量。将Ui 写成自电位和互电位的叠加于是静电能可以表示为自能互能自能自能总是正值。互能互能可以是正值或负值，取决于系统建立过程中各导体间的库仑力是排斥或吸引。北京理工大学 信息与电子学院 司黎

18、明3、电荷分布在、电荷分布在N个点电荷上的离散系统个点电荷上的离散系统自能互能无穷大（Uii为无穷大）将互能部分定义为系统的电场能量其中Qi 是第 i 个点电荷的电量，Uij是第 j 个点电荷在第 i 个点电荷所在的点处产生的电位。北京理工大学 信息与电子学院 司黎明4、用电场强度表示电场能量、用电场强度表示电场能量 电场能量不只贮存在电荷所在的区域内。从电场的物质性观点来讲，电场能量应当存在于全部电场空间内。其次项表示贮存在体积内的能量，而第一项则代表区域以外的能量，它由S面上的场位值计算。S为电荷区域的表面 将 代入再利用关系式可得北京理工大学 信息与电子学院 司黎明考察第一项假定电荷系统

19、不变，即不变；将积分域扩展到无穷大，即 S 由于增加的区域内=0，所以积分结果不变 求解无穷大 S 面上的问题时，电荷区域视为点电荷而所以 时因此为电场不为零的所有区域 电场能量密度：单位：J/m3北京理工大学 信息与电子学院 司黎明例2.20 计算电荷体密度为0的匀整球形区域电荷系统的电场能量。已知球的半径为a，球内外均为真空。解：方法1：利用建立球坐标系求电场强度 由电场强度求电位北京理工大学 信息与电子学院 司黎明利用 U 和求电场能量方法2：利用 北京理工大学 信息与电子学院 司黎明二二.静电力静电力 1.利用库仑定律利用库仑定律设带电导体上的电荷面密度为在导体表面上任取一个矢量面元此

20、电荷元受到的电场力为 导体表面外侧dQ处的总电通量密度在dQ处，由dQ产生的电通量是等于除dQ 外的其他电荷在dQ处产生的电场强度求除dQ外其余电荷产生的电通量密度北京理工大学 信息与电子学院 司黎明则依据静电平衡的条件，有导体内导体外所以求电场 dQ受到的电场力整个导体受到的电场力若已知量是导体外侧的实际电场，则整个导体受到的电场力为北京理工大学 信息与电子学院 司黎明例2.21 有一对面积为S 的平行导体电极板，其相对的表面上分别带有电量为Q 和Q 的匀整分布面电荷，两极板的距离h远小于极板尺寸，中间填充电容率为的电介质。求：上极板所受的作用力。解：对于上极板于是上极板受力为式中的负号表示

21、上极板受到向下的作用力。用同样的方法可以求出下极板受力，它与上极板受力等值反向，两极板相互吸引。北京理工大学 信息与电子学院 司黎明2.虚位移法虚位移法 在没有能量损耗的状况下，外源向系统供应的能量dWs应当等于带电体在所求电场力的作用下位移而作的机械功dA与系统电场能量的增量dWe之和。探讨带电多导体系统中的导体受力 假定导体在 作用下移动了 （虚位移）问题：问题：求导体在给定的方向上 所受的电场力 机械功（虚功）为则电场力表示为北京理工大学 信息与电子学院 司黎明假设在虚位移过程中，各导体所带的电荷量始终保持不变电荷量始终保持不变。外源向系统供应能量的实质就是向各导体上输送电荷电场力假设在

22、虚位移过程中，各导体的电位始终保持不变电位始终保持不变。要使各导体的电位不变，则必需使各导体上的电荷发生变更。这相当于每个导体上连接着一个电压恒定的电源。虚位移过程中各电源所做的总功为 电位不变而电荷增加，则电场能增量为 电场力所以 U =const dWS=0常电荷系统常电荷系统常电位系统常电位系统北京理工大学 信息与电子学院 司黎明重解重解 例例2.21 系统电场能 两极板间的电位差令下极板为零电位，则 利用虚位移法计算具体问题时，选择哪个公式完全取决于解题便利，而不必考虑导体上是否接有电源或者已知条件是导体上的电位还是电荷。U =constQ =const用两种方法求解：北京理工大学 信

23、息与电子学院 司黎明图239 带电导体的转矩n Fv qd 3、静电转矩、静电转矩假设导体在所求转矩 Tn 的作用下绕轴产生一个虚旋转，如图所示。则电场力所做的机械功（虚功）为 U =constQ =const由此可以得到以下两个计算公式：北京理工大学 信息与电子学院 司黎明图240 两电极间介质片受力 x o h b z y l x e 4、介质的受力、介质的受力例2.22 一对平行导体板电极的宽度b，长为 l，极间距离为 h。其长度等于 x(0 xl)的部分填充了电容率为 的电介质，当两极板间的电压为V0时，求电介质片的受力。由对称性可知，介质片只可能受 方向的力 解：忽视边缘效应，极板间

24、电场能为 对一般电介质有 ，此时电介质片受到被拉进电极中心的电场力。北京理工大学 信息与电子学院 司黎明2.13 电容电容一一.电容与电容器电容与电容器 1、电容器：电容器：由电介质或真空隔开的一对导体电极。2、电容：、电容：一个电容器所带的电量Q总是与极板电压V成正比，其比值叫做该电容器的电容，记作C 单位是（C/V），称为法拉（F）常用单位 微法 1F=10-6 F皮法 1 pF=10-12 F北京理工大学 信息与电子学院 司黎明3、常见电容器的电容、常见电容器的电容平行板电容器可认为两极之间的电场匀整分布，利用导体边界条件可得 两极间的电压为利用公式 ，可得北京理工大学 信息与电子学院

25、司黎明圆柱电容器 圆柱电容器 e R1R2Lz设同轴线内外柱面上单位长度分别带电荷为 l和-l，用高斯定律简洁求出两柱面间的电场 内外柱面间的电位差为 圆柱形电容器的电容 北京理工大学 信息与电子学院 司黎明 球形电容器 R1R2球形电容器孤立导体球 对一个孤立的导体，可以认为它与无限远处的另一导体组成一个电容器。这样一个电容器的电容叫做这个导体的孤立电容孤立电容。假设此孤立导体球带电荷Q，则该导体球与无限远处的电位差为 因此孤立导体球的电容为 北京理工大学 信息与电子学院 司黎明4、电容器的串联和并联a.并联b.串联或写作二二.多导体系统的电荷、电位与电容多导体系统的电荷、电位与电容（自己看

26、）总 结库仑定律，静电力（场）的叠加原理库仑定律，静电力（场）的叠加原理电场强度及其计算（定义式、公式、高斯定理、电位）电场强度及其计算（定义式、公式、高斯定理、电位）电位及其计算（定义式、公式、解微分方程）电位及其计算（定义式、公式、解微分方程）静电场方程（真空中的、介质中的两个基本方程）静电场方程（真空中的、介质中的两个基本方程）边界条件及其计算（电介质、导体表面场的法向重量、切向重量）边界条件及其计算（电介质、导体表面场的法向重量、切向重量）电场能量及电场力基本概念电场能量及电场力基本概念其次章课后作业2.3，2.5，2.7，2.10，2.11，2.18，2.19，2.20，2.21，2.25，2.31，2.33，2.36，2.38，2.45，2.48