赵树嫄微积分第四版第八章-多元函数微积分优秀PPT.ppt

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1、第八章第八章多元函数微积分多元函数微积分1 前面几章探讨的函数都只有一个自变量，称一元前面几章探讨的函数都只有一个自变量，称一元函数。但在实际问题中，往往牵涉到多方面的因素，函数。但在实际问题中，往往牵涉到多方面的因素，反映到数学上，就是一个变量依靠于多个变量的情反映到数学上，就是一个变量依靠于多个变量的情形，这就提出了多元函数以及多元函数微积分问题。形，这就提出了多元函数以及多元函数微积分问题。本章将在一元微积分的基础上，探讨多元函数的微本章将在一元微积分的基础上，探讨多元函数的微分法和积分法，主要探讨二元的状况。分法和积分法，主要探讨二元的状况。2第一节第一节 空间解析几何简介空间解析几何

2、简介(一一)空间直角坐标系空间直角坐标系1、坐标系的建立、坐标系的建立在空间中取定一点在空间中取定一点O，定点定点横轴横轴纵轴纵轴过过O点作三条相互垂直点作三条相互垂直的数轴的数轴Ox,Oy,Oz,各轴上再规定一个共同的长度单位，这就构成了一各轴上再规定一个共同的长度单位，这就构成了一个空间直角坐标系。个空间直角坐标系。称称O为为坐标原点坐标原点，竖轴竖轴称数轴称数轴Ox,Oy,Oz为坐标轴为坐标轴，坐标轴确定的平面为坐标轴确定的平面为坐标平面坐标平面，简称，简称xy,yz,xz 平面平面.称由两称由两3(一一)空间直角坐标系空间直角坐标系1、坐标系的建立、坐标系的建立定点定点横轴横轴纵轴纵轴

3、竖轴竖轴第一节第一节 空间解析几何简介空间解析几何简介空间直角坐标系空间直角坐标系三个坐标轴的正方三个坐标轴的正方向符合向符合右手系右手系.即以右手握住即以右手握住 z 轴，轴，当右手的四个手指当右手的四个手指度转向度转向 y 轴正向时，轴正向时，大拇指的指向就是大拇指的指向就是 z 轴的正向。轴的正向。从从 x 轴正向以轴正向以 角角4面面面面面面空间直角坐标系共有空间直角坐标系共有八个卦限八个卦限5空间的点空间的点有序数组有序数组特殊点的表示特殊点的表示:坐标轴上的点坐标轴上的点坐标面上的点坐标面上的点一个重量为零一个重量为零:点在坐标面上点在坐标面上.两个重量为零两个重量为零:点在坐标轴

4、上点在坐标轴上.6(二二)空间两点间的距离空间两点间的距离POxyzRQR1R2P2P1Q1Q2M2M1N为空间两点为空间两点,两点间的距离公式两点间的距离公式：7例例1 1 在在 z 轴上求与两点轴上求与两点 A(4,1,7)和和B(3,5,2)等距离的点等距离的点.设该点为设该点为M(0,0,z),由题设由题设|MA|=|MB|,即即解得解得即所求点为即所求点为解解8(三三)曲面与方程曲面与方程F(x,y,z)=0 Sxyzo定义定义:若曲面若曲面S与三元方程与三元方程F(x,y,z)=0 有如下关系有如下关系:(1)S上任一点的坐标都满足上任一点的坐标都满足方程方程F(x,y,z)=0；

5、(2)坐标满足方程坐标满足方程F(x,y,z)=0的点都在的点都在S上；上；那末那末,方程方程 F(x,y,z)=0 叫做叫做曲面曲面S的方程的方程，而曲，而曲面面 S 叫做方程叫做方程 F(x,y,z)=0 的的图形图形。9例例2 2解解依据题意有依据题意有化简得所求方程化简得所求方程10 M0 M R依据题意有依据题意有所求方程为所求方程为特殊地：球心在原点时方程为特殊地：球心在原点时方程为球面方程：球面方程：11例例3 3解解即即因此，球心为因此，球心为(1,-,-2,3)，半径为，半径为R=4.12常见的空间常见的空间曲面：曲面：1 1 平面平面平面的平面的一般方程一般方程：其中其中

6、A,B,C 不全为零不全为零.例如：例如：(0,1,0)13常见的空间常见的空间曲面：曲面：1 1 平面平面平面的平面的一般方程一般方程：其中其中 A,B,C 不全为零不全为零.例如：例如：oy(2,0,0)xz(0,2,0)(0,0,2)142 2 柱面柱面定义定义 平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线移动的直线 L 所形成的曲面称为所形成的曲面称为柱面柱面。这条定曲线这条定曲线 C 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线L叫柱面的叫柱面的母线母线。15xyzo例例4 4 考虑方程考虑方程 x2+y2=R2 所表示的曲面。所表示的曲面。ol在在xoy面上面上,x2+

7、y2=R2 表示以原点表示以原点O为圆心为圆心,半径半径为为R的圆。的圆。曲面可以看作是由平行于曲面可以看作是由平行于 z 轴的直轴的直线线L沿沿xoy面上的圆面上的圆 x2+y2=R2 移移动而形成动而形成,称该曲面为称该曲面为圆柱面圆柱面。16例例5 5 画出下列柱面的图形：画出下列柱面的图形：抛物柱面抛物柱面平面平面17例例6 6 指出下列方程在平面解析几何中和空间解析几指出下列方程在平面解析几何中和空间解析几何中分别表示什么图形？何中分别表示什么图形？解解斜率为斜率为1的直线的直线平面解析几何中平面解析几何中空间解析几何中空间解析几何中方程方程183 3 二次曲面二次曲面三元二次方程三

8、元二次方程所表示的曲面称为所表示的曲面称为二次曲面二次曲面，二次曲面方程经过配方和适当选取空间直角坐二次曲面方程经过配方和适当选取空间直角坐标系后，可以化成如下几种标准形式标系后，可以化成如下几种标准形式。19zxyO用坐标面用坐标面z=0,x=0和和y=0去截割去截割,分别分别得椭圆得椭圆(1)椭球面椭球面20(2)单叶双曲面单叶双曲面 xyoz(3)双叶双曲面双叶双曲面xyo21(4)椭圆锥面椭圆锥面特殊状况：特殊状况：-圆锥面圆锥面.zxy22xyzo(5)椭圆抛物面椭圆抛物面oyzx旋转抛物面旋转抛物面23(6)双曲抛物面双曲抛物面(马鞍面马鞍面)xyzo24(一一)多元函数的定义多元

9、函数的定义其次节其次节 多元函数的概念多元函数的概念类似地可定义三元及三元以上函数。类似地可定义三元及三元以上函数。多元函数中同样有定义域、值域、自变量、因变多元函数中同样有定义域、值域、自变量、因变量等概念。量等概念。25例例1 1设长方体的长、宽、高分别为设长方体的长、宽、高分别为x,y,z，则长方形的体积则长方形的体积 xyz例例2 2在西方经济学中，著名的在西方经济学中，著名的CobbDouglasCobbDouglas生产函数为生产函数为L 0，K 0 分别表示投入的劳力数量和资本数量，分别表示投入的劳力数量和资本数量，y 表示产量。表示产量。当当 K,L 的值给定时，的值给定时，y

10、 就有一确定值与就有一确定值与之对应，因此称之对应，因此称 y 是是 K,L 的二元函数。的二元函数。这里这里 为常数，为常数，26(二二)二元函数的定义域二元函数的定义域平面上具有某种性平面上具有某种性质质P P的点的集合的点的集合,称称为为平面点集平面点集，例如，平面上以原点例如，平面上以原点为为中心、中心、r r为为半径的半径的圆圆内全部内全部点的集合可表示点的集合可表示为为 记记作作27平面区域：平面区域：不包含边界的区域称为不包含边界的区域称为开区域开区域。例如，例如，例如，例如，平面区域是由一条或几条曲线平面区域是由一条或几条曲线(或直线或直线)所围成的平所围成的平面的一部分。面的

11、一部分。包含边界的区域称为包含边界的区域称为闭区域闭区域。2829解解所求定义域为所求定义域为求求的定义域的定义域例例3 330(三三)二元函数的几何意义二元函数的几何意义二元函数的图形通常是一张二元函数的图形通常是一张曲面曲面。31再如再如,图形如右图图形如右图.例如例如,球面球面.单值分支单值分支:32(一一)邻域邻域第三节第三节 二元函数的极限与连续二元函数的极限与连续33(二二)二元函数的极限二元函数的极限定义定义34证证证明证明 证毕证毕例例4 4恒有恒有无穷小乘以有界变量仍为无穷小。无穷小乘以有界变量仍为无穷小。35例例5 5在二元极限中，变量替换、等价无穷小替换等方在二元极限中，

12、变量替换、等价无穷小替换等方法仍旧可以运用。法仍旧可以运用。36例例6 6求求 解解由基本不等式由基本不等式知知由夹逼定理，由夹逼定理，37(三三)二元函数的连续性二元函数的连续性定义定义一切二元初等函数在其定义域内都是连续的。一切二元初等函数在其定义域内都是连续的。例如，例如，内连续内连续.38一切多元初等函数在其定义区域内是连续的。一切多元初等函数在其定义区域内是连续的。例例7 7所以对多元初等函数来说所以对多元初等函数来说,可以用可以用“代入法代入法”求极限求极限.例例8 839有界闭区域上连续函数的性质有界闭区域上连续函数的性质 在有界闭区域在有界闭区域D上的多元连续函数，必定上的多元

13、连续函数，必定在在D上有界，且能取得它的最大值和最小值。上有界，且能取得它的最大值和最小值。在有界闭区域在有界闭区域D上的多元连续函数必取得上的多元连续函数必取得介于最大值和最小值之间的任何值。介于最大值和最小值之间的任何值。（1 1）最大值和最小值定理）最大值和最小值定理（2 2）介值定理）介值定理40第四节第四节 偏导数与全微分偏导数与全微分(一一)偏导数偏导数或或处对处对x的的偏导数偏导数，记为，记为 41偏导函数偏导函数：记为记为或或或或2.偏导数的概念可以推广到二元以上函数。偏导数的概念可以推广到二元以上函数。说明说明：1.偏偏导导数数实质实质上仍旧是一元函数的微分上仍旧是一元函数的

14、微分问题问题；42解解例例1 143证证所以原结论成立所以原结论成立例例2 244解解例例3 345解解例例4 446偏导数的几何意义偏导数的几何意义得的曲线得的曲线 47(二二)高阶偏导数高阶偏导数混合偏导数混合偏导数48解解例例5 549例例6 6解解求二阶偏导数。求二阶偏导数。以后如无特殊以后如无特殊说说明，均假定如此。明，均假定如此。50解解例例7 751利用函数的对称性，可知利用函数的对称性，可知 所以所以52(三三)全微分全微分回顾：回顾：能表示成能表示成实际上实际上即即53二元函数的可微性和全微分：二元函数的可微性和全微分：定义定义假如可以表示假如可以表示为为 54事实上事实上,

15、即即证明证明可微可微 连续连续 55证证同理可得同理可得可微可微 可偏导可偏导 定理定理1 156注：可偏导不确定可微，见下面反例。注：可偏导不确定可微，见下面反例。所以所以57定理定理2 2 这个定理给出了二元函数在一点处可微的充分条这个定理给出了二元函数在一点处可微的充分条件，证明从略件，证明从略.上述定理均不行逆。上述定理均不行逆。58多元函数连续、可导、可微的关系多元函数连续、可导、可微的关系函数可微函数可微函数连续函数连续偏导数连续偏导数连续函数可偏导函数可偏导59全微分的计算公式：全微分的计算公式：二元函数的微分法则：二元函数的微分法则：60解解例例8 861例例9 9解解62全微

16、分在近似计算中的应用全微分在近似计算中的应用63例例1010解解所以所以精确值精确值64解解例例111165第五节第五节 复合函数的微分法复合函数的微分法 与隐函数的微分法与隐函数的微分法(一一)复合函数的微分法复合函数的微分法 链式法则如图示链式法则如图示定理定理1 166第五节第五节 复合函数的微分法复合函数的微分法 与隐函数的微分法与隐函数的微分法(一一)复合函数的微分法复合函数的微分法 链式法则如图示链式法则如图示定理定理1 167定理定理2 2称为称为全导数全导数。特殊地，有特殊地，有68解解例例1 169解解例例2 270解解例例3 371解解例例4 4或由对称性可知，或由对称性可

17、知，72证证例例5 5所以所以记记73解解例例6 674解解例例7 7757677解解练习练习78(二二)一阶全微分的形式不变性一阶全微分的形式不变性回顾回顾：结论结论：此性质称为此性质称为一阶微分的形式不变性一阶微分的形式不变性。79(二二)一阶全微分的形式不变性一阶全微分的形式不变性可以证明，可以证明，仍有公式仍有公式 这就是说，不论这就是说，不论 x,y 是是自变量还是中间变量，其微分自变量还是中间变量，其微分形式不变，称为形式不变，称为一阶微分的形式不变性一阶微分的形式不变性。80解解例例8 8 利用全微分形式不变性，求下列函数的偏导数。利用全微分形式不变性，求下列函数的偏导数。81解

18、解82(三三)隐函数的微分法隐函数的微分法1 1.一元隐函数求导法一元隐函数求导法一元隐函数存在定理一元隐函数存在定理 83推导：推导：等式两边对等式两边对 x 求导，求导，84例例1 1解法解法1 1所以所以85方程两方程两边边关于关于 x 求求导导，得得 解得解得例例1 1解法解法2 286练习练习解解所以所以872.2.二元隐函数求偏导法二元隐函数求偏导法二元隐函数存在定理二元隐函数存在定理 88推导：推导：89例例2 2解法解法1 1所以所以90方程两方程两边边关于关于 x 求求偏导数偏导数,例例2 2解法解法2 2方程两方程两边边再再关于关于 y 求求偏导数偏导数,91方程两方程两边

19、边求求微分微分,例例2 2解法解法3 3解得解得 从而从而92练习练习解解所以所以93例例3 3解解方程两方程两边边关于关于 x 求求偏导数偏导数,代入上式得代入上式得求求94例例3 3求求解解方程两方程两边边关于关于 y 求求偏导数偏导数,95第六节第六节 二元函数的极值二元函数的极值(一一)二元函数的极值二元函数的极值极大值、微小值统称为极值。极大值、微小值统称为极值。使函数取得极值的点称为使函数取得极值的点称为极值点极值点。96例例1 1例例2 2例例3 397极值的判定极值的判定（称（称驻点驻点）驻点驻点极值点极值点留意：留意：定理定理1 1（必要条件）（必要条件）问题：如何判定一个驻

20、点是否为极值点？问题：如何判定一个驻点是否为极值点？98定理定理2 2（充分条件）（充分条件）99例例4 4解解无无极极值值极极大大值值驻点驻点30100练习练习解解无无极极值值微小微小值值极极大大值值无无极极值值驻点驻点-531101二元函数的最值：二元函数的最值：若依据若依据实际问题实际问题,目目标标函数有最大函数有最大值值(或最小或最小值值)，而在，而在定定义义区域内部有唯一的极大区域内部有唯一的极大(小小)值值点，点，则则可以断定可以断定该该极大极大(小小)值值点即点即为为最大最大(小小)值值点。点。例例5 5 设设生生产产某种商品需原料某种商品需原料 A和和 B，设设A的的单单价价为

21、为2，数量，数量为为 x；而而 B 的的单单价价为为1，数量，数量为为 y，而而产产量量为为 解解且商品售价且商品售价为为 5，求最大利求最大利润润。利利润润函数函数为为 102令令解得解得唯一唯一驻驻点点 唯一唯一驻驻点点为极为极大大值值点点，即为即为最大最大值值点点，最大利润最大利润为为 103解法解法1例例6 6因驻点唯一因驻点唯一，且由问题的实际含义可知必有最大利润，且由问题的实际含义可知必有最大利润，104因驻点唯一因驻点唯一，且由问题的实际含义可知必有最大利润，且由问题的实际含义可知必有最大利润，例例6 6解法解法2105练习练习解解 利利润润函数函数为为 由由实际问题实际问题，价

22、格分，价格分别为别为80，120时时利利润润最大，最大最大，最大利利润为润为605.106例例7 7解解107令令108(二二)条件极值与拉格朗日乘数法条件极值与拉格朗日乘数法例例8 8 用用铁铁皮做一个有盖的皮做一个有盖的长长方形水箱方形水箱,要求容要求容积为积为V,问问怎么做用料最省？怎么做用料最省？实际问题实际问题中中,目目标标函数的自函数的自变变量除了受到定量除了受到定义义域域的限制外的限制外,往往往往还还受到一些附加条件的受到一些附加条件的约约束束,这类这类极极值问题值问题称称条件极值条件极值问题问题.解解 即表面即表面积积最小最小.代入目代入目标标函数函数,化化为为无条件极无条件极

23、值问题值问题：xyz109内部唯一内部唯一驻驻点点,且由且由实际问题实际问题 S 有最有最小小值值，故做成立方故做成立方体表面体表面积积最小最小.这这种种解解法的缺点：法的缺点：1.变变量之量之间间的同等关系和的同等关系和对对称性被破坏；称性被破坏；2.有有时隐时隐函数函数显显化困化困难难甚至不行能。甚至不行能。110拉格朗日乘数法：拉格朗日乘数法：引入拉格朗日函数引入拉格朗日函数令令若这样的点唯一若这样的点唯一,由实际问题由实际问题,可干脆确定此即所求的点。可干脆确定此即所求的点。111则则构造拉格朗日函数构造拉格朗日函数为为 令令112例例8 8 用用铁铁皮做一个有盖的皮做一个有盖的长长方

24、形水箱方形水箱,要求容要求容积为积为V,问问怎么做用料最省？怎么做用料最省？解解由由实际问题实际问题,即即为为最小最小值值点点.xyz113例例9 9解解解得唯一解得唯一驻驻点点 即即做成做成正三角形正三角形时时面面积积最大最大。114三角形中三角形中,以正三角形面以正三角形面积为积为最大最大：四四边边形中形中,以正方形面以正方形面积为积为最大：最大：五五边边形形(正正)：圆：圆：最大最大115例例1010解解 目标函数目标函数约束条件约束条件116117 点到平面距离公式点到平面距离公式118例例1111解解119由由由由实际问题实际问题，此即最佳安排方案。，此即最佳安排方案。120例例1111或解或解由由由由实际问题实际问题，此即最佳安排方案，此即最佳安排方案.121解解例例12 12 某厂生某厂生产产产产量分量分别为别为 x 和和 y 的两种的两种产产品，品，总总成本成本 需求函数分需求函数分别为别为 利利润润函数函数 约约束条件束条件 122解得唯一解得唯一驻驻点点 由由实际问题实际问题，此，此时时利利润润最大，最大，123