赵树嫄微积分第四版第二章-极限与连续优秀PPT.ppt

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1、其次章其次章极限与连续极限与连续本章介绍极限的概念、性质和运算法则，以及与极限本章介绍极限的概念、性质和运算法则，以及与极限概念亲密相关的，并且在微积分运算中起重要作用的概念亲密相关的，并且在微积分运算中起重要作用的无穷小量的概念和性质。此外还给出了两个极其有用无穷小量的概念和性质。此外还给出了两个极其有用的重要极限。随后，运用极限引入了函数的连续性概的重要极限。随后，运用极限引入了函数的连续性概念，它是客观世界中广泛存在的连续变更这一现象的念，它是客观世界中广泛存在的连续变更这一现象的数学描述，微积分学中探讨的函数主要是连续函数。数学描述，微积分学中探讨的函数主要是连续函数。第一节第一节 数

2、列的极限数列的极限割圆术割圆术 我国古代数学家刘徽在九章算术注利我国古代数学家刘徽在九章算术注利用圆内接正多边形计算圆面积的方法用圆内接正多边形计算圆面积的方法-割圆术割圆术，就是极限思想在几何上的应用。就是极限思想在几何上的应用。(一一)数列概念数列概念 三国时的刘徽提出的三国时的刘徽提出的 的方法的方法.他把圆周分他把圆周分成三等分、六等分、十二等分、二十四等分、成三等分、六等分、十二等分、二十四等分、这样这样继续分割下去继续分割下去,所得多边形的周长就无限接近于圆的周长所得多边形的周长就无限接近于圆的周长.“割圆求周割圆求周割圆求周割圆求周”割之弥细，割之弥细，所失弥少，割所失弥少，割之

3、又割，以至之又割，以至于不行割，则于不行割，则与圆合体而无与圆合体而无所失矣所失矣.数列的定义数列的定义例如例如称为称为无穷数列无穷数列,简称简称数列数列.(二二)数列极限的定义数列极限的定义1x2问题问题:当当n无限增大时无限增大时,是否无限接近于某一是否无限接近于某一确定的数值确定的数值?如果是如果是,如何确定如何确定?问题问题:“无限接近无限接近”意味着什么意味着什么?如何用数学语如何用数学语言刻划它言刻划它?通过上面图示视察通过上面图示视察:假如数列没有极限假如数列没有极限,就说数列是发散的就说数列是发散的.留意：留意：定义定义总总存在正存在正整整数数 N,不等式不等式记为记为或或假如

4、假如对对于随意于随意给给定的正数定的正数 (不不论论它多么小它多么小),),几何说明：几何说明：其中：其中：用数列极限的定义证明极限。用数列极限的定义证明极限。例例1证证例例2证证注：极限的定义只能用来验证某常数是否为某数列注：极限的定义只能用来验证某常数是否为某数列的极限，而不能用来计算极限。的极限，而不能用来计算极限。(三三)收敛数列的基本性质收敛数列的基本性质性质性质1 1 极限的唯一性极限的唯一性性质性质2 2 有界有界性性定理定理2 2 收敛的数列必定有界收敛的数列必定有界。注注1 1 有界性是数列收敛的必要条件，不是充分条件。有界性是数列收敛的必要条件，不是充分条件。注注2 2 无

5、界数列必定发散无界数列必定发散。有界数列不确定收敛有界数列不确定收敛.性质性质3 3 收敛数列的保号性收敛数列的保号性定理定理3 3其次节其次节(一一)自变量趋于无穷大时函数的极限自变量趋于无穷大时函数的极限xy通过上面图示视察通过上面图示视察:问题问题:如何用数学语言刻划函数如何用数学语言刻划函数“无限接近无限接近”？例例1证证几何说明几何说明:例例3解解例例2解解xy例如例如有两条水平渐近线：有两条水平渐近线：xy水平渐近线水平渐近线:水平渐近线水平渐近线:(二二)自变量趋于有限点处时函数的极限自变量趋于有限点处时函数的极限3.几何说明几何说明:说明：说明：例例4证证例例5证证证证得证。得

6、证。例例6证证得证。得证。例例7(三三)左极限与右极限左极限与右极限左极限：左极限：左极限：左极限：右极限：右极限：解解左右极限存在且相等左右极限存在且相等,例例8例例9 设设解解(四四)函数极限的性质函数极限的性质性质性质1 1 函数极限的唯一性函数极限的唯一性性质性质2 2 有极限函数的局部有界性有极限函数的局部有界性推论推论1性质性质3 3 有极限函数的局部保号性有极限函数的局部保号性留意留意推论推论2定理定理第四节第四节 无穷大量和无穷小量无穷大量和无穷小量(一一)无穷大量无穷大量确定值无限增大的变量确定值无限增大的变量叫无穷大量。叫无穷大量。xoy精确定义：精确定义：1 1、无穷大量

7、是一个变量，不行与确定值很大很、无穷大量是一个变量，不行与确定值很大很大的数混为一谈；大的数混为一谈；2、称函数是无穷大量，必需指明其自变量的变更趋势。、称函数是无穷大量，必需指明其自变量的变更趋势。注：注：证证 得证得证.xoy例例1例例2有两条竖直渐近线：有两条竖直渐近线：解解所以有水平渐近线：所以有水平渐近线：无穷大量与无界变量的关系无穷大量与无界变量的关系(1)无穷大量明显是无界变量；无穷大量明显是无界变量；(2)但无界变量不确定是无穷大量。但无界变量不确定是无穷大量。例如数列例如数列再如，再如，但它并不是无穷大量。但它并不是无穷大量。(二二)无穷小量无穷小量定义定义 以零为极限的函数

8、以零为极限的函数(或数列或数列)称为称为无穷小量无穷小量。例如例如,注：注：1.无穷小量是变量，不能与确定值很小的数混为一谈无穷小量是变量，不能与确定值很小的数混为一谈;3.称一个函数是无穷小量，必需指明自变量的变更趋势。称一个函数是无穷小量，必需指明自变量的变更趋势。2.零是唯一可以作为无穷小量的数；零是唯一可以作为无穷小量的数；无穷小量和极限的关系：无穷小量和极限的关系：证略证略.定理表明：定理表明：极限概念可以用无穷小量概念来描述极限概念可以用无穷小量概念来描述.定理定理定理定理 无穷小量与有界变量之积仍是无穷小量。无穷小量与有界变量之积仍是无穷小量。证证于是有于是有 例例3解解无穷小与

9、有界变量之积仍是无穷小。无穷小与有界变量之积仍是无穷小。(三三)无穷小量与无穷大量的关系无穷小量与无穷大量的关系意义意义 关于无穷大量的探讨关于无穷大量的探讨,都可归结为关于无穷小量的都可归结为关于无穷小量的探讨。探讨。例例4例例5 5解解(四四)无穷小量的阶无穷小量的阶比值极限不同比值极限不同,反映了两者趋向于零的反映了两者趋向于零的“快慢快慢”程度不同。程度不同。视视察察各各极极限限定义定义：设设和和是某一极限过程中的无穷小量是某一极限过程中的无穷小量，例例6证证例例7证证可推广：可推广：定义定义例例8解解例例9解解第五节第五节 极限的运算法则极限的运算法则证略证略定理定理说明：说明：1.

10、有两层意思：有两层意思：(1)在在limf(x)和和limg(x)都存在的前提下，都存在的前提下，limf(x)+g(x)也存在；也存在；(2)limf(x)+g(x)的数值等于的数值等于limf(x)+lim g(x).2.limf(x)+g(x)存在存在,不能倒推出不能倒推出limf(x)和和 lim g(x)存在存在.3.若若limf(x)存在，而存在，而 lim g(x)不存在，则不存在，则limf(x)+g(x)确定不存在确定不存在.4.可推广到有限多项可推广到有限多项.反证反证：假设假设 lim f(x)+g(x)存在存在,已知已知 lim f(x)存在存在,由定理知由定理知 li

11、m g(x)存在存在,冲突。冲突。推论推论1 1推论推论2 2例例2 2例例1 1假如分母的极限为零，则不能干脆运用上述方法。假如分母的极限为零，则不能干脆运用上述方法。例例3解解解解例例4 4消零因子法消零因子法有理化方法有理化方法解解例例5 5解解变量代换法变量代换法 例例6 6例例7 7解解一般一般,“抓大头抓大头”法法例例8 8例例9 9例例1010例例1111思索：思索：例例1212解解留意：以下解法错误：留意：以下解法错误：因为法则因为法则(1)不能推广到不能推广到无限无限多个函数的情形多个函数的情形.解解例例1313例例14 无穷小与有界变量之积仍是无穷小。无穷小与有界变量之积仍

12、是无穷小。错误！错误！正确解法：正确解法：不存在！不存在！例例15例例16注：全部反三角函数均是有界函数。注：全部反三角函数均是有界函数。第六节第六节 两个重要极限两个重要极限(一一)极限存在的准则极限存在的准则定理定理(准则准则)例例1 1解解由夹逼定理得由夹逼定理得上述数列极限存在的准则可以推广到上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限函数的极限。定理定理(夹逼定理夹逼定理)证略。证略。定理定理(准则准则)单调有界数列必有极限。单调有界数列必有极限。下面利用两个准则证明两个重要的极限。下面利用两个准则证明两个重要的极限。(二二)两个重要极限两个重要极限xy先利用夹逼准则证明重要极限：先利

13、用夹逼准则证明重要极限：1基本不等式：基本不等式：等号当且仅当等号当且仅当 x=0 时成立。时成立。实际上，实际上，对一切实数对一切实数 x 成立。成立。基本不等式：基本不等式：等号当且仅当等号当且仅当 x=0 时成立。时成立。等号当且仅当等号当且仅当 x=0 时成立。时成立。即得即得所以所以先证先证解解所以所以例例2 2例例3 3例例4 4解解再利用单调有界准则证明另一个重要的极限存在：再利用单调有界准则证明另一个重要的极限存在：先看一个实际例子。先看一个实际例子。考虑一个复利问题。考虑一个复利问题。假设我们考虑假设我们考虑1 年定期存款，利率为年定期存款，利率为 100%，初始存款，初始存

14、款(称为本金称为本金)为为 1元元。利率设为。利率设为100%仅仅是为了便于计仅仅是为了便于计算，我们完全可以将其推广到真实的利率，例如算，我们完全可以将其推广到真实的利率，例如5。若一年结算一次，则年终时本利和为若一年结算一次，则年终时本利和为(1+100%)1=2 元；元；若半年结算一次，若半年结算一次，利率降为利率降为 50%，则年终时本利和为则年终时本利和为(1+50%)2=2.25 元；元；若每月结算一次，则年终时本利和为若每月结算一次，则年终时本利和为(1+1/12)12=2.61303529 元；元；若每天结算一次，则年终时本利和为若每天结算一次，则年终时本利和为(1+1/365

15、)365=2.714567 元；元；每天结算一次：每天结算一次：(1+1/365)365=2.714567 元；元；可以想见，若复利一次的时间再细分下去，这个数值可以想见，若复利一次的时间再细分下去，这个数值会越来越大。问题是，我们的钱会无限增大吗？会越来越大。问题是，我们的钱会无限增大吗？答案是否定的。随着答案是否定的。随着 n 的增大，的增大，(1+1/n)n 的值虽然不的值虽然不断增大，但增大的速度却变得越来越慢。可以证明，断增大，但增大的速度却变得越来越慢。可以证明，当当 n 的无限增大时，的无限增大时，(1+1/n)n 值无限接近于一个常数，值无限接近于一个常数，欧拉把它记为欧拉把它

16、记为 e。每小时结算一次：每小时结算一次：(1+1/8760)8760=2.718128 元；元；每分钟结算一次：每分钟结算一次：(1+1/525600)525600=2.718279元；元；每秒结算一次：每秒结算一次：(1+1/31536000)31536000=2.7182817元；元；增大，且项数增加一项增大，且项数增加一项(每一项均为正每一项均为正),),以以e为底的对数称为为底的对数称为自然对数自然对数，可以证明，相应的函数极限有可以证明，相应的函数极限有 或或例例5 5解解“凑重要极限凑重要极限”法法例例7 7解解例例8 8解解例例6 6解解原式原式训练训练第七节第七节 利用等价无

17、穷小量代换求极限利用等价无穷小量代换求极限定理定理(等价无穷小替换定理等价无穷小替换定理)证证只有在乘、除的极限运算中才能替换；只有在乘、除的极限运算中才能替换；留意留意在其他极限运算中不能替换！在其他极限运算中不能替换！常用等价无穷小：常用等价无穷小：例例1 1解解例例2解解例例3解解例例4解解解解错错例例5解解例例6解解例例7解解课堂练习课堂练习计算极限：计算极限：解答：解答：分别分别非零非零因子因子 解答：解答：解答：解答：第八节第八节 函数的连续性函数的连续性(一一)函数变更量函数变更量(二二)函数连续的概念函数连续的概念引例：引例：街头有一卖苹果的小贩，声称街头有一卖苹果的小贩，声称

18、“5斤以内斤以内10元元一斤，一斤，5斤以上斤以上8元一斤元一斤”。有两个顾客，一个人买。有两个顾客，一个人买5斤，花费斤，花费50元；一个人买元；一个人买6斤，花费斤，花费48元。买的多的元。买的多的反而花钱少，这是怎么回事？反而花钱少，这是怎么回事？例1 证明函数y=x2在给定点x0处连续。证 在x0处，函数的变更量为所以所以 y=x2 在给定点在给定点x0处连续。处连续。函数在一点处连续的定义函数在一点处连续的定义假如假如 下面给出函数连续的定义的另一种下面给出函数连续的定义的另一种等价形式等价形式。假如假如 例例2 2证证（3 3）函数值与极限值相等）函数值与极限值相等.单侧连续：单侧

19、连续：定理定理例例3 3解解即不右连续也不左连续即不右连续也不左连续,x y-1 1 O例例4 4解解连续区间与连续函数：连续区间与连续函数：例例5 5证证和差化积公式：和差化积公式：例例5 5证证(三三)函数的间断点函数的间断点定义定义 函数不连续的点称为函数的函数不连续的点称为函数的间断点间断点。1、左右、左右极限都存在的间断点，称极限都存在的间断点，称第一类间断点第一类间断点：(1)(1)可去型间断点可去型间断点例例1 1 探讨函数探讨函数解解留意留意 可去型间断点只要变更或者补充间断处函可去型间断点只要变更或者补充间断处函数的定义数的定义,则可使其变为连续点。则可使其变为连续点。例例2

20、 2xy1函数函数(2)(2)跳动型间断点跳动型间断点例例3 3解解例例4 4解解2、左右极限至少有一个不存在的间断点、左右极限至少有一个不存在的间断点,称其次类称其次类间断点。间断点。例例5 5解解这种状况称为振荡型间断点。这种状况称为振荡型间断点。解解例例6 6解解所以所以即即例例7 7(四四)连续函数的运算法则连续函数的运算法则定理定理由连续的定义和极限的运算法则，定理不难获得证明。由连续的定义和极限的运算法则，定理不难获得证明。例如例如,可以证明，全部基本初等函数在其定义域内都是连续的。可以证明，全部基本初等函数在其定义域内都是连续的。因此，一切初等函数在其定义域内都是连续的。因此，一

21、切初等函数在其定义域内都是连续的。也就是说，对初等函数来说，连续区间即为其定义域。也就是说，对初等函数来说，连续区间即为其定义域。(五五)闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质定定理理1(1(有有界界性性与与最最大大值值最最小小值值定定理理)在在闭闭区区间间上上连连续续的的函数在该区间上有界，且能取得最大值和最小值。函数在该区间上有界，且能取得最大值和最小值。记作记作留意：留意：1.1.若区间是开区间若区间是开区间,定理不确定成立定理不确定成立;2.若区间内有间断点若区间内有间断点,定理不确定成立。定理不确定成立。几何说明：几何说明：MBCAmab推论推论 在闭区间上连续的函数必取得介于

22、最大值在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值与最小值m之间的任何值。之间的任何值。几何说明：几何说明：定义定义定理定理3(3(零点定理零点定理)证证例例8 8可计算出可计算出由于三次方程最多只有三个实根，所以各区间内只存由于三次方程最多只有三个实根，所以各区间内只存在一个实根。在一个实根。例例9 9证证且有且有 异号，异号，课堂练习课堂练习证证且有且有 异号，异号，(六六)利用函数连续性求函数极限利用函数连续性求函数极限依据函数连续性的定义及初等函数的连续性，我们可依据函数连续性的定义及初等函数的连续性，我们可以便利地求初等函数的极限。以便利地求初等函数的极限。例例1010解解所以连续，因此所以连续，因此初等函数求极限的方法：初等函数求极限的方法：代入法代入法。例例1111例例1212解解思考思考：对数换底公式对数换底公式例例1313解解类似可得类似可得例例1414解解等价无穷小等价无穷小替换替换END