重积分的应用优秀PPT.ppt

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1、柱面坐标系柱面坐标系柱面坐标系柱面坐标系球面坐标系球面坐标系球面坐标系球面坐标系重积分计算的基本方法重积分计算的基本方法 累次积分法累次积分法1第六节一、平面图形的面积及立体体积一、平面图形的面积及立体体积 二、曲面的面积二、曲面的面积 三、物体的重心三、物体的重心 四、物体的转动惯量四、物体的转动惯量 五、物体的引力五、物体的引力 重积分的应用 2解：解：解：解：所求立体的体积为所求立体的体积为3解：解：解：解：另解：另解：1.能用重积分解决的实际问题的特点能用重积分解决的实际问题的特点所求量是所求量是 对区域具有对区域具有可加性可加性.分布在分布在有界闭域有界闭域上的整体量上的整体量.2.

2、用重积分解决问题的用重积分解决问题的方法方法-元素法元素法问题：满足什么条件的量可用重积分解决？问题：满足什么条件的量可用重积分解决？4元素法的步骤：元素法的步骤：把定积分的元素法推广到二重积分的应用中把定积分的元素法推广到二重积分的应用中.元素法也可推广到三重积分上元素法也可推广到三重积分上5 设曲面设曲面S的方程为的方程为曲面曲面S在在xoy面上的投影为区面上的投影为区域域D，如图，如图，设小区域设小区域点点(x,y)为为S上过点上过点M(x,y,z)的切平面，的切平面，以以的边的边界为准线，界为准线，母线平行于母线平行于z轴的轴的小柱面，小柱面，截曲面截曲面S为为截截切平面切平面为为则有

3、则有则面积则面积 A 可看成曲面上各点可看成曲面上各点处小切平面的面积处小切平面的面积 d A无限积累而成无限积累而成.6-曲面曲面曲面曲面S S的面积元的面积元的面积元的面积元素素素素因为因为为为在在xoy面上的面上的投影，投影，则有则有7a ab b8设曲面的方程为：设曲面的方程为：曲面面积公式为：曲面面积公式为：设曲面的方程为：设曲面的方程为：曲面面积公式为：曲面面积公式为：同理可得同理可得曲面面积公式为：曲面面积公式为：即即 设曲面的方程为：设曲面的方程为：9xzy解：解：xoy例例1.求球面求球面，含在圆柱体，含在圆柱体内部的那部分面积内部的那部分面积.曲面方程：曲面方程：由对称性知

4、：由对称性知：,10 xoy面积为：面积为：11二、重 心 设设密度函数密度函数为为的空的空间间物体物体 V，在在 V 上连续上连续.为求得为求得 V 的重心坐标的重心坐标,先对先对 V 作分割作分割 T,是小是小块块的的质质量可用量可用近似代替近似代替,若若 把每一把每一块块看作看作质质量集中在量集中在的的质质点点时时,整个整个物体就可用这物体就可用这 n 个质点的质点系来近似代替个质点的质点系来近似代替.由于由于质点系的重心坐标公式为质点系的重心坐标公式为在属于在属于 T 的每一小的每一小块块 上任取一点上任取一点于于 1213的重心坐标的重心坐标:当物体当物体 V 的密度均匀分布的密度均

5、匀分布时时,即即 为为常数常数时时，则则有有当当自然地可把它们的极限定义作为自然地可把它们的极限定义作为 V 14同同样样可以得到可以得到,密度函数密度函数为为的平面薄板的平面薄板 D 的的 重心坐标重心坐标:当当 为为常数常数时时，则则有有15例例2 2 求密度匀整的上半椭球体的重心求密度匀整的上半椭球体的重心.解解 设椭球体由设椭球体由 表示表示.借助借助对对 又由又由为为常数常数,所以所以 称性知道称性知道故得故得 即求得上半椭球体的重心坐标为即求得上半椭球体的重心坐标为 16因质点系的转动惯量等于各质点的转动惯量之和因质点系的转动惯量等于各质点的转动惯量之和,故故 连续体的转动惯量可用

6、积分计算连续体的转动惯量可用积分计算.17得：得：18例例3.求半径为求半径为 a 的匀整半圆薄片对其直径的转动惯量的匀整半圆薄片对其直径的转动惯量.解解:建立坐标系如图建立坐标系如图,半圆薄片的质量半圆薄片的质量19202122 G 为引力常数为引力常数推广推广到空间立体到空间立体：设物体占有空间区域设物体占有空间区域 ,物体对位于物体对位于原点的单位质量原点的单位质量质点的引力质点的引力利用元素法利用元素法,其密度函数其密度函数23 曲曲 线线 积积 分分对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分定定义义联联系系计计算算三代一定三代一定二代确定二代确定 (与方向有关与

7、方向有关)24与路径无关的四个等价命题与路径无关的四个等价命题条条件件等等价价命命题题(1)在在G内内与路径无关，与路径无关，(4)在在G内存在内存在u(x,y),使使(3)在在G内，内，(2)使闭曲线使闭曲线在单连通区域在单连通区域G上上P(x,y),Q(x,y)具有具有连续的连续的一阶偏导数，一阶偏导数，则以下四个命题成立则以下四个命题成立.251.定积分与不定积分的联系定积分与不定积分的联系牛顿牛顿-莱布尼茨公式莱布尼茨公式2.二重积分与曲线积分的联系二重积分与曲线积分的联系格林公式格林公式26其次类曲线积分其次类曲线积分27计算中涉及的有关公式计算中涉及的有关公式1.两类曲线积分的几何意义两类曲线积分的几何意义闭区域闭区域D的面积的面积284.曲线积分曲线积分，其中，其中是是沿逆时针方向一周沿逆时针方向一周.3.设设L为从点为从点(1,1)到点到点(0,0)的直线段，则的直线段，则（A）；（；（B）3 ；（C）0 ；（D）293031解解8.32解解3334