理科数学历年高考真题分类训练附答案解析之三角函数综合应用.docx

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1、理科数学历年高考真题分类训练附答案解析之三角函数综合应用专题四三角函数与解三角形第十一讲三角函数的综合应用2022年1.(2022江苏18)如图,一个湖的边界是圆心为O的圆,湖的一侧有一条直线型公路l,湖上有桥AB(AB是圆O的直径).规划在公路l上选两个点PQ,并修建两段直线型道路PBQA.规划要求:线段PBQA上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.已知点AB到直线l的距离分别为AC和BD(CD为垂足),测得AB=10,AC=6,BD=12(单位:百米).(1)若道路PB与桥AB垂直,求道路PB的长;(2)在规划要求下,P和Q中能否有一个点选在D处并说明理由;(3)在规划要求下,若道路P

2、B和QA的长度均为d(单位:百米).求当d最小时,PQ两点间的距离.2022-2022年一选择题1.(2022北京)在平面直角坐标系中,记为点到直线的距离,当,变化时,的最大值为A.1B.2C.3D.42.(2022年浙江)设函数,则的最小正周期A.与b有关,且与c有关B.与b有关,但与c无关C.与b无关,且与c无关D.与b无关,但与c有关3.(2022陕西)如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数,据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为A.5B.6C.8D.104(2022浙江)存在函数满足,对任意都有A.B.C.D.5.(2022新课标)如图,长方形ABCD的边AB

3、=2,BC=1,O是AB的中点,点P沿着边BC,CD与DA运动,BOP=某.将动点P到A,B两点距离之和表示为某的函数,则的图像大致为ABCD6.(2022新课标)如图,圆O的半径为1,A是圆上的定点,P是圆上的动点,角的始边为射线,终边为射线,过点作直线的垂线,垂足为,将点到直线的距离表示为的函数,则=在0,上的图像大致为A.B.C.D.7.(2022湖南)已知函数则函数的图象的一条对称轴是A.B.C.D.二填空题8.(2022年浙江)已知,则=_,=_.9.(2022江苏省)定义在区间上的函数的图象与的图象的交点个数是.10.(2022陕西)设,向量,若,则_.11.(2022湖南)函数的

4、导函数的部分图像如图4所示,其中,P为图像与y轴的交点,A,C为图像与某轴的两个交点,B为图像的最低点.(1)若,点P的坐标为(0,),则;(2)若在曲线段与某轴所围成的区域内随机取一点,则该点在ABC内的概率为.三解答题12.(2022江苏)某农场有一块农田,如图所示,它的边界由圆的一段圆弧(为此圆弧的中点)和线段构成.已知圆的半径为40米,点到的距离为50米.现规划在此农田上修建两个温室大棚,大棚内的地块形状为矩形,大棚内的地块形状为,要求均在线段上,均在圆弧上.设与所成的角为.(1)用分别表示矩形和的面积,并确定的取值范围;(2)若大棚内种植甲种蔬菜,大棚内种植乙种蔬菜,且甲乙两种蔬菜的

5、单位面积年产值之比为.求当为何值时,能使甲乙两种蔬菜的年总产值最大.13.(2022江苏)如图,水平放置的正四棱柱形玻璃容器和正四棱台形玻璃容器的高均为32cm,容器的底面对角线的长为10cm,容器的两底面对角线,的长分别为14cm和62cm.分别在容器和容器中注入水,水深均为12cm.现有一根玻璃棒,其长度为40cm.(容器厚度玻璃棒粗细均忽略不计)(1)将放在容器中,的一端置于点处,另一端置于侧棱上,求没入水中部分的长度;(2)将放在容器中,的一端置于点处,另一端置于侧棱上,求没入水中部分的长度.14.(2022山东)设.()求的单调区间;()在锐角中,角,的对边分别为,若,求面积的最大值

6、.15.(2022湖北)某实验室一天的温度(单位:)随时间(单位:)的变化近似满足函数关系:,.()求实验室这一天的最大温差;()若要求实验室温度不高于,则在哪段时间实验室需要降温16.(2022陕西)的内角所对的边分别为.(I)若成等差数列,证明:;(II)若成等比数列,求的最小值.17.(2022福建)已知函数的周期为,图像的一个对称中心为,将函数图像上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),在将所得图像向右平移个单位长度后得到函数的图像.(1)求函数与的解析式;(2)是否存在,使得按照某种顺序成等差数列若存在,请确定的个数;若不存在,说明理由.(3)求实数与正整数,使得在内恰有2

7、022个零点.专题四三角函数与解三角形第十一讲三角函数的综合应用答案部分2022年1.解析解法一:(1)过A作,垂足为E.由已知条件得,四边形ACDE为矩形,.因为PBAB,所以.所以.因此道路PB的长为15(百米).(2)若P在D处,由(1)可得E在圆上,则线段BE上的点(除B,E)到点O的距离均小于圆O的半径,所以P选在D处不满足规划要求.若Q在D处,联结AD,由(1)知,从而,所以BAD为锐角.所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.因此,Q选在D处也不满足规划要求.综上,P和Q均不能选在D处.(3)先讨论点P的位置.当OBP90时,在中,.由上可知,d15.再讨论点Q的位置.由

8、(2)知,要使得QA15,点Q只有位于点C的右侧,才能符合规划要求.当QA=15时,.此时,线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.综上,当PBAB,点Q位于点C右侧,且CQ=时,d最小,此时P,Q两点间的距离PQ=PD+CD+CQ=17+.因此,d最小时,P,Q两点间的距离为17+(百米).解法二:(1)如图,过O作OHl,垂足为H.以O为坐标原点,直线OH为y轴,建立平面直角坐标系.因为BD=12,AC=6,所以OH=9,直线l的方程为y=9,点A,B的纵坐标分别为3,3.因为AB为圆O的直径,AB=10,所以圆O的方程为某2+y2=25.从而A(4,3),B(4,3),直线AB的

9、斜率为.因为PBAB,所以直线PB的斜率为,直线PB的方程为.所以P(13,9),.因此道路PB的长为15(百米).(2)若P在D处,取线段BD上一点E(4,0),则EO=45,所以P选在D处不满足规划要求.若Q在D处,联结AD,由(1)知D(4,9),又A(4,3),所以线段AD:.在线段AD上取点M(3,),因为,所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.因此Q选在D处也不满足规划要求.综上,P和Q均不能选在D处.(3)先讨论点P的位置.当OBP90时,在中,.由上可知,d15.再讨论点Q的位置.由(2)知,要使得QA15,点Q只有位于点C的右侧,才能符合规划要求.当QA=15时,设

10、Q(a,9),由,得a=,所以Q(,9),此时,线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.综上,当P(13,9),Q(,9)时,d最小,此时P,Q两点间的距离.因此,d最小时,P,Q两点间的距离为(百米)2022-2022年1.C【解析】由题意可得(其中,),当时,取得最大值3,故选C.2.B【解析】由于.当时,的最小正周期为;当时,的最小正周期;的变化会引起的图象的上下平移,不会影响其最小正周期.故选B.注:在函数中,的最小正周期是和的最小正周期的公倍数.3.C【解析】由图象知:,因为,所以,解得:,所以这段时间水深的最大值是,故选C.4.D【解析】对于A,当或时,均为1,而与此时均有

11、两个值,故AB错误;对于C,当或时,而由两个值,故C错误,选D.5.B【解析】由于,故排除选项CD;当点在上时,.不难发现的图象是非线性,排除A.6.C【解析】由题意知,当时,;当时,故选C.7.A【解析】由,得,所以,所以,由正弦函数的性质知与的图象的对称轴相同,令,则,所以函数的图象的对称轴为,当,得,选A.8.【解析】,所以9.7【解析】画出函数图象草图,共7个交点.10.【解析】,.11.(1)3;(2)【解析】(1),当,点P的坐标为(0,)时;(2)曲线的半周期为,由图知,设的横坐标分别为.设曲线段与某轴所围成的区域的面积为则,由几何概型知该点在ABC内的概率为.12.【解析】(1

12、)连结并延长交于,则,所以=10.过作于,则,所以,故,则矩形的面积为,的面积为.过作,分别交圆弧和的延长线于和,则.令,则,.当时,才能作出满足条件的矩形,所以的取值范围是.答:矩形的面积为平方米,的面积为,的取值范围是.(2)因为甲乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为43,设甲的单位面积的年产值为,乙的单位面积的年产值为,则年总产值为,.设,则.令,得,当时,所以为增函数;当时,所以为减函数,因此,当时,取到最大值.答:当时,能使甲乙两种蔬菜的年总产值最大.13.【解析】(1)由正棱柱的定义,平面,所以平面平面,.记玻璃棒的另一端落在上点处.因为,.所以,从而.记与水平的交点为,过作,为垂足,

13、则平面,故,从而.答:玻璃棒没入水中部分的长度为16cm.(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”,则结果为24cm)(2)如图,是正棱台的两底面中心.由正棱台的定义,平面,所以平面平面,.同理,平面平面,.记玻璃棒的另一端落在上点处.过作,为垂足,则=32.因为=14,=62,所以=,从而.设则.因为,所以.在中,由正弦定理可得,解得.因为,所以.于是.记与水面的交点为,过作,为垂足,则平面,故=12,从而=.答:玻璃棒没入水中部分的长度为20cm.(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”,则结果为20cm)14.【解析】()由题意.由(),可得();由(),得();所以的单调递

14、增区间是();单调递减区间是().(),由题意是锐角,所以.由余弦定理:,可得,且当时成立.面积最大值为.15.【解析】()因为,又,所以,当时,;当时,;于是在上取得最大值12,取得最小值8.故实验室这一天最高温度为,最低温度为,最大温差为()依题意,当时实验室需要降温.由()得,所以,即,又,因此,即,故在10时至18时实验室需要降温.16.【解析】(1)成等差数列,由正弦定理得(2)成等比数列,由余弦定理得(当且仅当时等号成立)(当且仅当时等号成立)(当且仅当时等号成立)即,所以的最小值为17.【解析】()由函数的周期为,得又曲线的一个对称中心为,故,得,所以将函数图象上所有点的横坐标伸

15、长到原来的倍(纵坐标不变)后可得的图象,再将的图象向右平移个单位长度后得到函数()当时,所以.问题转化为方程在内是否有解设,则因为,所以,在内单调递增又,且函数的图象连续不断,故可知函数在内存在唯一零点,即存在唯一的满足题意.()依题意,令当,即时,从而不是方程的解,所以方程等价于关于的方程,现研究时方程解的情况令,则问题转化为研究直线与曲线在的交点情况,令,得或.当变化时,和变化情况如下表当且趋近于时,趋向于当且趋近于时,趋向于当且趋近于时,趋向于当且趋近于时,趋向于故当时,直线与曲线在内有无交点,在内有个交点;当时,直线与曲线在内有个交点,在内无交点;当时,直线与曲线在内有个交点,在内有个交点由函数的周期性,可知当时,直线与曲线在内总有偶数个交点,从而不存在正整数,使得直线与曲线在内恰有个交点;当时,直线与曲线在内有个交点,由周期性,所以综上,当,时,函数在内恰有个零点