三角学全等公理的教学设计研究.doc

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1、淮 北 师 范 大 学 2013届学士学位论文三角学全等公理的教学设计研究学 院、专业 数学科学学院 数学与应用数学 研 究 方 向 数学教育 学 生 姓 名 李俊福 学 号 20091101061 指导教师姓名 张 昆 指导教师职称 讲 师 2013年4月24日三角学全等公理的教学设计研究 摘 要本文首先给出三角形全等公理的概念,并指出全等三角形教学设计的重点与难点,从生活中的实例去激发学生发现问题求知欲,使整个教学过程充满趣味性.本文着重去引导学生注意身边的事物与数学知识的联系,学会对已学数学知识的灵活运用,并学会发现问题,解决问题,如;日常生活中人们是怎么利用三角形全等？学习三角形全等对

2、于我们中考以及以后的学习有哪些帮助？在本章教学设计将为同学们展现并解决这些数学问题,重新认识三角形全等公理及其它有关的性质,教会学生转化思维方式,培养学生的逻辑思维能力,分析问题、解决问题和综合运用知识能力.但是在学习中学生们都会忽略知识产生背景以及形成过程,更谈不上对知识的灵活运用,不会理论联系实际把握知识的重难点.所以在本课题教学设计中将解决这些问题是非常重要的. 关键词: 三角形全等, 公理, 教学设计, 逻辑思维Research of teaching on Trigonometry Congruent Axiomatic designAbstractAt first, this pa

3、per introduces the concept of triangles are congruent axiom, points out the key points and difficulties of congruent triangles in teaching design, stimulates students desire to find problems in life and makes the whole teaching process interesting. This paper focus on guiding students to pay attenti

4、on to the connection between things around us and mathematical knowledge, to learn to flexibly use the acquired mathematical knowledge to find problems and solve them. For example, how do people use congruent triangles in daily life? Can congruent triangles help us in senior high school entrance exa

5、mination and future study? Having shown and solved the mathematical problems, and recognized triangles are congruent axiom and other related nature, this paper aims at teaching students transitional thinking method, cultivating students logical thinking ability , analyze and solve problems ability,

6、and the ability in integrating knowledge. Because students often ignore the background knowledge and the formation process, let alone flexibly use knowledge and grasp the key points and difficult points at the base of theory and practice, it is important to solve these problems in this project instr

7、uctional design.Key words: congruent triangles, axiom, instructional design, logical thinking 目 录一、提出问题1二、教材的选择以及教学设计方法1三、三角形全等的概念及其分析2四、三角形全等判定及其应用2(一)公理ASA的证明2(二)公理SAS的证明及例题3(三)公理SSS的证明及例题5(四)公理AAS的证明及例题5(五)公理HL的证明7五、三角形全等的性质及其应用计算7六、课外兴趣探究9结 论9参考文献10致 谢11一、 提出问题在我国,随着中学数学课程改革,发现问题、解决问题、简化解题步骤、培养学

8、生创新能力已经成为中小学教师教学研究的焦点,如何把学习内容与其他学科相联系以及与生活知识联系起来,也是中学数学教育研究主要内容.但是也带来了一些弊端,例如,课本变得越来越简单,只有一些概念叙述,几个定理公理的证明,然后就是例题的巩固练习,给老师的教学带来了一定的困难,教师若是按照书本内容教学完不成教学大纲要求,学生也学不到什么东西,这就要求我们认真选择教材,因材施教.上海科学技术出版社出版的八年级数学（上册）全等三角形这章内容开篇就说全等三角形的判定是几何中逻辑逻辑推理的基础1.相比较而言,美国教材注重学生动手实干,从中寻找到新的问题,由此自然过渡到下一节的内容,使学生总处于有问题组织而成的情

9、景脉络之中,我国教材注重正反例的解析,已达到巩固知识的目的,对探究过程中的步骤的要求并不是很严格,大部分是给出条件后,让学生探究最后的结论是否正确2.在应试教育大环境下,学生和老师往往为了分数只注重解题方法与结果,对于理论知识来源并不深入探究,导致学生部分理论知识和逻辑推理训练欠缺. 通过三角学全等公理的教学设计研究培养学生能够直观观察比较三角形图形识别两个三角形全等,并通过正确的学习方法掌握理解并能灵活运用两个三角形全等判定进行解题,以期达到理论的掌握逻辑思维得到训练.由此可知初中生学习定理（公理）及其逻辑推理是必要的,也是完全可能的3.二、 教材的选择以及教学设计方法由于地域差异,各个地区

10、的中学教材也各不相,本文就以上海科学技术出版社出版的八年级数学（上册）为准,同时适当综合一些优秀的教案来进行教学设计研究.对于三角形全等判定我们大致可以分为三部分,公理的引入,公理的证明,例题的巩固公理.引入可以上一堂课布置作业让学生去探究一下,并准备好上课的必要工具,上课时候老师再进行论述引导,对于公理的明确和巩固,我们教材的顺序来看边角边公理与角边角公理并没有逻辑顺序,只不过遵循了欧几里德几何原本中的顺序而4.从中学平面几何教材可以看到,三角形全等公理的教学设计有许多方法,例如可以采用课前预习,课堂讲解,课后巩固的传统教育模式;采用观摩教学方法;课堂动手实践教学等的方法.通过对学生和一些任

11、课教师大量调查和一些同学和本人的实习和家教经验,认为采用传统的课堂讲授加上小组动手实践分析讨论的教学方法比较好,能够吸引学生的注意力,培养他们的动手能力,注意上课的板书设计,争取让大部分同学一目了然,能给初学者减少负担,激发求知欲.同时能够训练逻辑思维能力,语言组织能力等等.若在条件允许情况下,可以使用几何画板来演示我们所需要进行教学的几何图形.并渗透”观察实验、概括归纳”的数学教学方法以及”从特殊到一般再到特殊”的辩证唯物主义思想.三、 三角形全等的概念及其分析思考：下面的图形中,形状和大小完全相同的图形有哪几对？ . 通过同学们的讨论、理解,与老师的分析,我们可以得到如下答案；A与F;B与

12、G;C与H;D与I;E与J是完全相同 一般情况下,称能够完全重合两个图像,叫做全等形(congruent figures)1,如上图B与G,两个三角形能够完全重合,称为全等三角形,表明他们的大小形状一样. 全等三角形（congruent triangles）中互相重合的边叫做对应边,显然三角形对应边相等.全等三角中互相重合的角叫做对应角,显然,全等三角形的对应角相等,从而可以看出互相重合的顶点叫对应顶点1.记两个三角形全等时,通常用表示对应顶点的字母写在对应位置上,例如我们知道三角形有三条边和三个角,确定一个三角形的形状、大小至少需要其中有三个元素.确定三角形的形状、大小的条件能否作为判定三角

13、形全等条件呢? 四、三角形全等判定及其应用我们原来学习过用尺规作出一些简单的线段、角度 ,下面我们利用尺规作图画出三角形,来研究两个三角形全等的条件.若是条件允许,我们也可以制作多媒体课件来进行展示公理的推导过程,使其更加形象生动,加深学生对于图形的记忆力和对公理的理解. (一)公理ASA的证明 我们用等腰三角板在硬纸板上画出两个等腰直角三角形,然后用剪刀把它们剪下来,把剪好的图形叠放在一起,多次尝试变动,看看它们能否完全重合?我们再看看下面作的这个图形是不是完全重合？ 将所作的与叠一叠,你会发现它们是否完全重合?由此可以得出什么结论? 由此我们可以得出判定两个三角形全等的第一个定理；两角和它

14、们的夹边对应相等的两个三角形全等.简记”角边角”或”ASA”1 .换一句话说; 角两头站,中间一条缝（边）,两角顶点字母组成边. (二)公理SAS的证明及例题在硬纸板上画两个相等的角,在这两个相等角中,以这两个角的顶点为一个端点在角的两边分别画出对应相等线段,连接另两个端点,就构成了两个三角形,然后剪下两个三角形,把这两个三角形重叠在一起,可以多做几次,看看是否完全重合?我们看看下面作的这个图形是不是完全重合?;由此我们可以得出判定两个三角形全等的第二个定理；两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等,简记为”边角边”或”SAS”1.换句话说;边在两头角在中间,角的顶点,字母在边上用两次.例题;

15、有一块不规则的湖泊,下面是两位同学分别设计的能够粗略地测量出湖泊两端A、B的距离的方案,请你分析一下两种方案的理由. 方案一：小明想出了这样一个方法,如图所示,先在AB的垂线BF上取两点C、D,使CDBC,再定出BF的垂线DE,使A、C、E在同一条直线上,测得DE的长就是AB的长. 你能说明一下这是为什么吗？方案二：小军想出了这样一个方法,如图所示,先在平地上取一个可以直接到达鱼池两端A、B的点C,连结AC并延长到点D,使CDCA,连结BC并延长到E,使CECB,连结DE,量出DE的长,这个长就是A、B之间的距离. 你能说明一下这是为什么吗？解 ；粗看一下和前面的例子有相似之处.小明的做法有道

16、理,其理由如下:因为ABBF,DEBF,所以ABCFED又因为A、C、E三点在同一条直线上,所以ACBECD,且BCDC,所以ABCEDC（ASA）,所以ABDE（全等三角形的对应边相等）. 小军的做法有道理,其理由如下：因为在ABC和DCE中,CDCA,ACBDCE（对顶角相等）,CEBC,所以ABCDEC（SAS）,所以ABDE（全等三角形的对应边相等）. 以上两个例题有相似之处,学习的时候要求学生会举一反三,进而加深记忆.(三)公理SSS的证明及例题;由此我们可以得出判定两个三角形全等的第三个定理；三边对应相等的两个三角形全等.简记为”边边边”或” SSS”1. 上面的结论说明,只要三角

17、形三边的长度确定了,这个三角形的形状和大小完全确定,这个性质叫做三角形的稳定性.日常生活中,我们常会看到应用三角形稳定性的例子.如建立斜拉桥上的三角形结构、三条腿的板凳等等.(四)公理AAS的证明及例题探究,我们已经知道ASA、SAS、SSS都可以作为判定两个三角形全等的条件.其实,在三角形的六个基本元素中选择三个元素对应相等,除了可以配成SAS、ASA、SSS外,还可以配成;AAA、SSA(ASS)、AAS(SAA).想一想,分别满足后面三组条件中任一组的两个三角形,即;(1) 三个角分别相等；(2) 两边和其中一边的对角分别相等；(3) 两角和其中一角的对边分别相等.能判定这两个三角形全等

18、吗?学生动手作一作,想一想,探一探.分小组进行讨论研究一下,老师适当引导加以提示.上述”探究”中的命题（1）、（2）,它们是不成立的.这里老师一定要讲清楚AAA、SSA(ASS)不成立的原因,否则以后的证明题目中学生还会出现这类证明的结果,为了加深学生的记忆力,可以举出以下例子,如边长不等两个等边三角形他们的三个角均为,但是这两个等边三角形不全等.如图,对于（3）,由三角形三个内角和等于,可以推算第三个角也相等,这样也全等,AAS就可以转化为ASA,从而可以判定这样的两个三角形也全等. 由此我们可以得出判定两个三角形全等的第四个定理：即两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.简记为”

19、角角边”或者”AAS”1.换句话;两角并头站,边在底下行.例 如图,点B、F、C、D在一条直线上,AB=ED,AB/ED,AC/EF. ;. 由此可知,判定两个三角形全等的条件,有ASA、SAS、AAS、SSS四种情况,我们知道直角三角形属于特殊的三角形,除了证明上述证明一般三角形的判定定理外,有没有特定的方法来证明直角三角形呢?(五)公理HL的证明由此我们可以得到判定两个直角三角形全等的定理;斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.简记为”斜边、直角边”或”HL”1 .了解判定三角形全等公理,我们就可以带着结果去寻找我们需要的条件,证明三角形全等就容易些,因此,除了要精心设计例题外,还

20、要展现解体的思维过程,并启发引导学生逐一排除阻碍,逐步顿悟,挖掘思维价值,越过思维障碍,从而使学生的.学生是不是会想到三角形全等,周长和面积也就相等.那么,周长和面积相等,两个三角形就不一定全等.例如,边长分别为5、5、8和6、 .五、三角形全等的性质及其应用计算1全等三角形对应角相等.2全等三角形对应边相等.3全等三角形对应边上的高对应相等.4全等三角形对应角的角平分线相等.5全等三角形对应边上的中线相等.6全等三角形面积相等.7全等三角形周长相等.8全等三角形对应角的三角函数值相等. 1、如图所示,AB是OD的弦,半径OC、OD分别交AB于点E、F,且AE=BF,请你找出线段OE与OF的数

21、量关系,并给予证明.2、(例2 7 )已知AB=AC,AD=AE,AB与CD交于M,AC与BE交于N, 求证；AM=AN.注:上题通过两次证明加深学生对证明三角形全等的认识,再次总结了两次证明全等的分析方法,这种方法很必要.3、（2010潼南中考）如图,四边形ABCD是边长为2的正方形,点G是BC延长线上一点,连结AG,点E、F分别在AG上,连接BE、DF,1=2 , 3=4.(1)证明：ABEDAF；（2）若AGB=30,求EF的长.证明:（1）因为 四边形ABCD是边长为2的正方形, 所以 AB=AD,在ABE和DAF中,所以 ABEDAF.解（2）因为 四边形ABCD是正方形,所以 1+

22、4=90o因为 3=4,所以1+3=90o AFD=90o在正方形ABCD中, ADBC,所以 1=AGB=30o在RtADF中,AFD=90o ,AD=2 ,由三角函数定理, 所以 AF= , DF =1,由(1)得ABEADF,所以AE=DF=1,所以EF=AF-AE=. 六、课外兴趣探究有兴趣的情况下可以探讨一下,三角形的周长和面积都相等这两个条件对证明三角形全等,通过添加适当的条件,得到三角形全等的相关结论.定理6. 若两个三角形周长和面积都相等,并且有一个角对应相等,则这两个三角形全等.推论16. 若两个三角形周长和面积都相等,并且有一边对应相等则这两个三角形全等.推论26. 若两个

23、三角形有一角及其对边对应相等且周长相等,则这两个三角形全等.推论36. 若两个三角形有一角及其对边对应相等且面积相等,则这两个三角形全等.结 论对于全等三角形的研究,实际是平面几何中对封闭的两个图形关系研究的第一步.三角学全等公理也是研究线段和角相等的重要工具,它是两个三角形间最简单,最直接,最常见的关系.它为以后学习轴对称图形、中心对称图形、四边形、多边形、相似三角形等理论学习奠定了基础,并且是证明线段相等、角相等以及两线互相垂直、平行的重要依据.因此必须熟练地掌握全等三角形的判定方法（ASA、SAS、SSS、AAS、HL）,并且要求学生灵活应用.因此在课堂教学设计中,尽量为学生提供做中学的

24、时空,不放过任何一个发展学生智力的契机,让学生在做的过程中,借助已有的知识和方法主动探索新知识,扩大认知结构,发展能力,从而使课堂教学真正落实到学生的发展上.在设计时关注以教师为主导、学生为主体,以知识为载体、以培养学生的思维能力为重点的教学思想.以探究任务引导学生自学自悟的方式,提供了学生自主合作探究的舞台,营造了思维驰骋的空间,在经历知识的发现过程中,培养了学生分类、探究、合作、归纳的能力.乐思方有思泉涌,在课堂教学中,要时时注意营造积极的思维状态,关注学生的思维发展过程,创设民主、宽松、和谐的课堂气氛,让学生畅所欲言,这样学生的创造火花才会不断闪现,个性才的以发展.教师如果认为数学教育的

25、目睹在于传授知识,看重于教而非学习,那么就会追求一种”结果型”,若是认为以学生为本,实现学生的全面和谐发展,以学定教,教学相长,教学过程就是追求一种”过程型”、”探究型”的模式8.同时探讨培养学生观察、分析和逻辑思维能力,以及不断进取的精神.参考文献:1新时代数学编写组,数学八年级（上册）M.上海;上海科学技术出版社,2006.2祁乐珍.”三角形全等”教材设计比较J.数学教学,2007（10）10-12.3张昆,陈昊. 三角形全等教学设计的新视角J.中学数学杂志,2012（2）9-12.4王嵘. 有关三角形的全等判定教学的一个想法J. 数学通报,2002（2）15-16. 5马芳.教师为了更好地学J.中学教学参考,2012（143）18. 6孙志东.与周长或面积相关的两个三角形全等的探究J.中学数学教学,2011（4）29-30.7官宏. 课例:三角形全等的证明J.中学数学教学参考,1999（3）15-17.8吴海宁.基于以学定教的六模块建构式数学课堂J.中学数学杂志,2011（10）26-29.致 谢本文的完成离不开数学科学学院张昆老师的热情指导,同时感谢数学科学学院机房的硬件设施和图书馆电子资源,为本文的研究工作提供了良好的条件,另外,本课题的部分工作还得益于一些数学老师同窗挚友的共同探讨,在此对他们表示一一的感谢!11