涂层结构中温度场的边界元解-高阶几何单元.docx

《涂层结构中温度场的边界元解-高阶几何单元.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《涂层结构中温度场的边界元解-高阶几何单元.docx（21页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、涂层结构中温度场的边界元解_高阶几何单元0引言表面涂层技术是应市场需求发展起来的一种优化表面改性技术。由于该项技术可使机械构件获得优良的综合性能，从而大幅度提高构件强度，韧性，耐热性及使用寿命，因此该项技术已成为满足现代机械高强度、高可靠性等要求的关键技术之一。近年来，表面涂层技术得到了快速的发展并广泛应用于航天、汽车、刀具制造等工业领域。一般来说，材料的涂层厚度较薄，约在微米级甚至纳米级。受其厚度尺寸的限制，涂层材料中物理量的数值分析一直是工程中的难点。采用有限元分析时，为了避免出现畸形单元，需按照涂层厚度划分单元。可是，这样做必然会导致百万或者几百万个子单元，计算工作量剧增。边界元法分析涂

2、层结构时，需将涂层结构分为涂层和基体两个子域来考虑，因为它们由不同的材料构成。基体域属于常规结构，涂层域属于薄体结构，通过公共边界上物理量的连续性，将它们联立在一起，即所谓的多域边界元技术。问题的关键和难点在于涂层薄结构的数值分析。对此，需要同时做好几方面的工作：1、准确计算奇异边界积分。众所周知，求得准确的边界量是有效地求解场变量的前提和基础。求解边界量时，必然会面临奇异边界积分的处理问题，这就要求建立有效处理的方法，当然建立规则化边界积分方程是一种好的选择；2、对薄体结构而言，高阶几何单元的采用是重要的。纵然，高阶几何单元能更好地逼近问题的真实边界，使得划分较少的单元就能获得较高精度的解。

3、然而，这并非是问题的全部，更为重要的是，当薄体结构的厚度非常小时，对几何边界逼近程度的要求会更加苛刻，采用低阶单元逼近涂层的几何边界，边界剖分又不足够细密的话，会出现图1所示的情形，即外边界单元（或）接触甚至穿过内几何边界的现象，这样的单元计算模型显然是不合理的。因此，采用低阶几何单元，需要划分很多的单元，而且所算薄结构的厚度可能要受到一定的限制；3、准确计算几乎奇异拟奇异积分。受结构特殊几何形状的影响，求解场变量时必然涉及几乎奇异拟奇异积分的计算问题，求解边界量时同样也如此。因此，有效计算几乎奇异拟奇异积分已成为解决问题的关键要素。在边界元分析中，一般地认为，准确估计几乎奇异拟奇异积分的重要

4、性仅次于奇异积分。但是，对薄体结构来说，准确计算几乎奇异拟奇异积分与奇异积分具有同等的重要性，对问题的解决起着决定性的作用。近年来许多学者给予了极大的关注，发展了许多数值处理技术和方法。如简单解法、区间分割法、特别Gauian积分法、变换法及精确积分法等，文对此进行了全面的综述。在关键的涂层域计算中，采用二次单元逼近边界，使得准确计算超薄的涂层结构成为可能。基于规则化边界积分方程有效地计算了求解边界量时涉及的奇异积分。针对计算内点物理量及边界量时遇到的几乎奇异拟奇异积分，采用一类通用的非线性变量替换法，有效地改善了被积函数的震荡特性，从而成功地消除了积分核的几乎奇异拟奇异性，在不增加计算量的情

5、况下，极大地改进了几乎奇异拟奇异积分的计算精度。数值算例表明，本文算法稳定，效率高，即使涂层的厚度达到纳米级，依然可获得准确的解。1等价规则化边界积分方程本文设是中的一个有界区域，是其补域，是它们的边界。文给出了等价的间接变量规则化边界积分方程(1)(2)(3)其中为基本解，为待定密度函数，0为体函数。对内域问题，；对于外域问题，,。分别是区域的边界在点处的单位切、外法向量。计算内点位势与梯度的积分方程是(4)(5)处理涂层结构问题时，必须使用分域法，因为不同区域由不同的材料构成。将整个区域分为和两个子域，是它们的共同边界，其热传导率分别为和，如图12所示。定义分域上的参量：边界上的节点处的位

6、势与法向梯度；作为分域的边界时，其上的节点处的位势与外法向梯度。分域上的参量：边界上的节点处的位势与法向梯度；作为分域的边界时，其上的节点处的位势与外法向梯度。假设边界，上节点的位势已知，则在可建立如下矩阵方程(6)同理，则在可建立如下矩阵方程(7)对于适定的边值问题，或者边界上的温度已知或者温度梯度已知。边界离散化后，每个节点上都会产生一个代数方程，方程的个数与节点处待求密度函数的个数相同，因而可以数值求解。分域法将区域与看成两个独立的问题来处理，但在和的共同边界上，温度与温度梯度都是未知的，边值问题可解，必须满足以下协调条件(8)根据条件(8)，式(6)和(7)可合并成(9)式(9)即为涂

7、层结构温度场边界元法的基本列式。通过式(9)，可求出与边界上的节点密度，进而可以利用内点积分方程(4)，(5)求出内点的物理参量。对于涂层区域，边界节点通常和某些积分单元十分的接近，使得式(2)、(3)中的积分产生不同程度的几乎奇异拟奇异性，常规高斯积分结果失效，导致待定密度函数解失真，无法进一步求解内点物理量。求内点物理量时，由于域内点通常都是近边界点，因此方程(4)、(5)中的积分具有不同程度的几乎奇异拟奇异性。方程(2)-(5)中的几乎奇异拟奇异积分可表示为(10)这里是规则函数，。2涂层结构边界的二次单元逼近为了更准确地描述涂层域的边界，采用二次几何单元模型。取单元的端点和内点作为插值

8、结点，则单元可以表示为其中.定义为场点到边界最短距离的投影点，也称为拟奇异点，的局部坐标，则场点到边界单元的距离可以表示为(11)其中，根据(11)式，式(10)中的和可表示为(12)其中是规则函数，的函数。3几乎奇异拟奇异积分的变量替换法经整理，(12)中的积分可归结为(13)对(13)式右端的积分作变量替换(14)其中。于是(13)式的积分可以写为(15)式(15)中的积分核已不具有几乎奇异拟奇异性，可以通过标准的高斯积分公式准确地计算。4数值算例例1圆环涂层结构材料的热流问题，基体内径为，外径为；涂层外径为，如图23所示。已知基体内表面温度为，涂层外表面温度为。基体导热率为，涂层的导热率

9、为。由对称性，研究部分，内边界划分8个二次单元，外边界划分15个二次单元，公共边界划分15个二次单元，直线边界均分别划分2个二次单元，共计46个单元。边界函数均采用二次不连续插值逼近。定义薄体区域特征值最小尺寸与最大尺寸之比为狭长比。表1列出了不同狭长比下，边界点和内点上温度的计算结果。表2和表3分别给出了不同狭长比下，点热流和点温度梯度的计算结果。表4给出了当狭长比时，直线上内点温度梯度的计算结果。图34描绘了当时，边界点处的热流与内点点温度梯度的收敛曲线。表1点与点温度的计算结果Table1Reultoftemperatureatpointand精确解点处的温度点处的温度本文解常规解本文解

10、常规解1.0E-020.1977389E+020.1977393E+020.1977510E+020.1977390E+020.1976771E+021.0E-030.1997628E+020.1997632E+020.1991493E+020.1997628E+020.1966594E+021.0E-040.1999762E+020.1999765E+020.1925997E+020.1999762E+020.1835275E+021.0E-050.1999976E+020.1999980E+020.1670393E+020.1999976E+020.1617438E+021.0E-060.

11、1999998E+020.2000001E+020.1524218E+020.1999998E+020.1516329E+021.0E-070.2000000E+020.2000001E+020.1502392E+020.2000000E+020.1501589E+021.0E-080.2000000E+020.2000001E+020.1500526E+020.2000000E+020.1500391E+021.0E-090.2000000E+020.2000001E+020.1501087E+020.2000000E+020.1500867E+021.0E-100.2000000E+020

12、.2000001E+020.1500102E+020.2000000E+020.1499965E+02表2点热流的计算结果Table2Reultofflu某eatthepoint精确解常规解相对误差(%)本文解相对误差(%)1.0E-02-0.9023890E+01-0.8945775E+010.8656411E+00-0.9023472E+010.4624841E-021.0E-03-0.9484360E+01-0.7149860E+010.2461421E+02-0.9483950E+010.4327699E-021.0E-04-0.9532822E+01-0.2076735E+000.9

13、782149E+02-0.9532415E+010.4271740E-021.0E-05-0.9537694E+010.1360751E+010.1142671E+03-0.9537287E+010.4265877E-021.0E-06-0.9538181E+010.2246470E+000.1023552E+03-0.9537774E+010.4265289E-021.0E-07-0.9538230E+010.2424473E-010.1002542E+03-0.9537823E+010.4265059E-021.0E-08-0.9538235E+010.1703275E-020.10001

14、79E+03-0.9537828E+010.4266175E-021.0E-09-0.9538236E+01-0.1455611E-020.9998474E+02-0.9537828E+010.4278187E-021.0E-10-0.9538244E+010.1174571E-020.1000123E+03-0.9537828E+010.4356432E-02表1表明，即使狭长比达到1.0E-10，本文在边界点与内点处的温度数值解与精确解仍十分地吻合。从表2可看出，当狭长比为1.0E-02时，常规边界元法所算得的边界点处的热流已开始失效，随着狭长比的继续减小，计算结果则完全失真。相比较，即使

15、狭长比为1.0E-10，本文在边界点处的热流数值解与精确解仍十分地接近。表明，本文方法求解狭长比达的超薄涂层结构十分地有效。从表3可看出，在计算内点温度梯度时，常规边界元法求解狭长比为1.0E-02的结构已失效，而本文算法可准确计算到狭长比为1.0E-10的结构。表4的数据进一步表明，本文方法对内点位置不加限制，即使狭长比为1.0E-09时，不同内点上的温度梯度的计算精度相近而且很高。图34的温度梯度与热流误差曲线表明，即使狭长比达到1.0E-09，方法仍具有良好的收敛特性。表3点温度梯度的计算结果Table3Reultofflu某eatthepoint精确解常规解相对误差(%)本文解相对误差

16、(%)1.0E-020.4532361E+010.3637055E+010.1975362E+020.4532177E+010.4055100E-021.0E-030.4744335E+010.1407295E+010.7033736E+020.4744133E+010.4256794E-021.0E-040.4766628E+01-0.1014792E+010.1212895E+030.4766390E+010.4989421E-021.0E-050.4768868E+01-0.9375011E+000.1196588E+030.4768773E+010.1992123E-021.0E-06

17、0.4769093E+01-0.1447618E+000.1030354E+030.4769428E+01-0.7028252E-021.0E-070.4769115E+01-0.1465565E-010.1003073E+030.4767987E+010.2366332E-011.0E-080.4769117E+01-0.2750475E-020.1000577E+030.4765398E+010.7799195E-011.0E-090.4769118E+01-0.5188019E-020.1001088E+030.4765264E+010.8081911E-011.0E-100.47691

18、22E+01-0.4906258E-030.1000103E+030.4769801E+01-0.1423872E-01表4直线上内点温度梯度的计算结果（）Table4Reultofflu某eattheinteriorpointontheline精确解常规解相对误差(%)本文解相对误差(%)11.0000000010.4769118E+01-0.5188020E-020.1001088E+030.4766415E+010.5668277E-0111.0000000020.4769118E+01-0.5188019E-020.1001088E+030.4765715E+010.7134885E-

19、0111.0000000030.4769118E+01-0.5188019E-020.1001088E+030.4765431E+010.7730952E-0111.0000000040.4769118E+01-0.5188019E-020.1001088E+030.4765302E+010.8002303E-0111.0000000060.4769118E+01-0.5188019E-020.1001088E+030.4765302E+010.8001984E-0111.0000000070.4769118E+01-0.5188019E-020.1001088E+030.4765430E+0

20、10.7732920E-0111.0000000080.4769118E+01-0.5188019E-020.1001088E+030.4765715E+0111.0000000090.4769118E+01-0.5188019E-020.1001088E+030.4766413E+010.5671273E-01例2矩形涂层结构的热流问题，涂层的厚度为，基体的厚度为，宽度为，涂层与基体的导热率分别为，边界条件如图45所示。将边界离散成40个线性单元，边界函数采用二次不连续插值逼近。当涂层厚度从1.0E-011.0E-10变化时，表5列出了边界点处的热流数值解，图56与表6分别给出了内点处的温度

21、与梯度的计算结果。当涂层厚度时，表7给出了直线上内点处的梯度数值解，图7给出了内点上的梯度，边界点上的热流的收敛曲线。从表5可看出，当涂层的厚度时，常规边界元法在边界点处的热流解的精度已经比较差，随着的继续减小，结果则完全失真。相比较，即使时，本文在边界点处的热流解与精确解仍十分地吻合。图56与表6的数据表明，当涂层厚度小到时，常规边界元法的内点处的温度数值解已经偏离精确解，内点处的梯度数值解已完全失效。对厚度小到的结构，本文在内点处的温度与梯度数值解与精确解仍十分地接近。图7的误差曲线表明，当涂层的厚度为时，本文方法具有良好的收敛特性。表5点热流的计算结果Table5Reultofflu某e

22、atthepoint精确解常规解相对误差(%)本文解相对误差(%)1.0E-020.3000000E+010.3032585E+01-0.1086175E+010.2999787E+010.7085004E-021.0E-030.3000000E+010.3527544E+000.8824152E+020.3000048E+01-0.1610846E-021.0E-040.3000000E+01-0.1733515E+010.1577838E+030.3000024E+01-0.8152285E-031.0E-050.3000000E+01-0.2577272E+010.1859091E+03

23、0.2998634E+010.4554992E-011.0E-060.3000000E+01-0.2663291E+010.1887764E+030.2998325E+010.5583312E-011.0E-070.3000000E+01-0.2671899E+010.1890633E+030.2999276E+010.2412128E-011.0E-080.3000000E+01-0.2672760E+010.1890920E+030.2998910E+010.3631889E-011.0E-090.3000000E+01-0.2672846E+010.1890949E+030.300195

24、3E+010.6510119E-011.0E-100.3000000E+01-0.2672855E+010.1890952E+030.2975448E+010.8184141E+00img30表7直线上内点温度梯度的计算结果（）Table7Flu某eattheinteriorpointontheline精确解常规解相对误差(%)本文解相对误差(%)1.00000000010.6000000E+01-0.1772610E+010.1295435E+030.5996594E+010.5677398E-011.00000000020.6000000E+01-0.1772610E+010.129543

25、5E+030.5996595E+010.5675678E-011.00000000030.6000000E+01-0.1772610E+010.1295435E+030.5996594E+010.5676058E-011.00000000040.6000000E+01-0.1772610E+010.1295435E+030.5996595E+010.5675604E-011.00000000060.6000000E+01-0.1772610E+010.1295435E+030.5996595E+010.5675625E-011.00000000070.6000000E+01-0.1772610E+010.1295435E+030.5996594E+010.5676028E-011.00000000080.6000000E+01-0.1772610E+010.1295435E+030.5996595E+010.5675642E-011.00000000090.6000000E+01-0.1772610E+010.1295435E+030.5996594E+010.5677060E-01