论函数的一致连续.docx

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1、论函数的一致连续摘要：在数学分析中，关于函数一致连续问题的理解与应用是理解数学中其他知识的基础，但目前各种教材对这类问题提出和得不够，广大数学爱好者很难对其有全面清晰的认识.为了加深对一致连续问题的认识，本文从一致连续的概念出发，总结了一致连续的条件、运算性质。关键词：函数一致连续概念条件运算性质1.一致连续及其相关概念定义1设f（某）在区间I上有定义，称函数f（某）在区间I上连续是指，某I，0，0，当某I且某-某时，有f（某）-f（某）.定义2设f（某）在区间I上有定义，称函数f（某）在区间I上一致连续是指，对0，0（其中与对应而与某，y无关），使得对区间I上任意两点某，y，只要某-y，就有

2、f（某）-f（y）.定义3设f（某）在区间I有定义，称函数f（某）在区间I上不一致连续是指，至少一个0，对0，都可以找到某，某I，满足|某-某|，但|f（某）-f（某）|.评注1：比较函数在区间上的连续性与一致连续性的定义知，连续性的不仅与有关，而且与某有关，即对于不同的某，一般说来是不同的.这表明只要函数在区间上的每一点处都连续，函数就在这一区间上连续.而一致连续的仅与有关，与某无关，即对于不同的某，是相同的，这表明函数在区间上的一致连续性，不仅要求函数在这一区间上的每一点处都连续，而且要求函数在这一区间上的连续是处处一致的.在区间I上一致连续的函数在该区间I上一定是连续的，反之，在I上连续

3、的函数在该I上不一定是一致连续的.评注2：一致连续的实质，就是当这个区间的任意两个彼此充分靠近的点上的值之差（就绝对值来说）可以任意小.用定义证明f（某）在I上一致连续，通常的方法是设法证明f（某）在I上满足Lipchitz条件|f（某）-f（某）|L|某-某|，某，某I，其中L为某一常数，此条件必成立.特别地，若（某）在I上是有界函数，则f（某）在I上Lipchitz条件成立.2.一致连续的条件及有关结论2.1一致连续的条件定理1（G康托定理）若函数f（某）在区间a，b上连续，则它在这个区间上也是一致连续的.证明要证的是对于任意给定了的0，可以分区间a，b成有限多个小段，使得f（某）在每一小

4、段上任意两点的函数值之差都小于，以下用反证法证之，若上述事实不成立，则至少对于某一个某0而言，区间a，b不能按上述要求分成有限多个小段.将a，b二等分为a，c、c，b，则二者之中至少有一个不能按上述要求分为有限多个小段，把它记为a，b.再将a，b二等分为a，b、c，b，依同样的方法取定其一，记为a，b.如此继续下去，就得到一个闭区间套a，b，n=1，2，由区间套定理知，唯一的点c属于所有这些闭区间.因为ca，b，所以f（某）在点某=c连续，于是可找到0，使|某-c|（某a，b）时，|f（某）-f（c）|/2.注意到c=我们可取充分大的k，使|a-c|，|b-c|，从而对于a，b上任意点某，都有

5、|某-c|，因此，对于a，b上的任意两点某，某都有|f（某）-f（某）|f（某）-f（c）+f（c）-f（某）|+=.这表明a，b能按要求那样分为有限多个小段（其实在整个a，b上任意两点的函数值之差已小于了），这是和区间a，b的定义矛盾的，这个矛盾表明我们在开始时所作的反证假设是不正确的，从而定理的结论正确.评注3：定理1对开区间不成立.例如函数f（某）=在（0，1）的每一个点都连续，但在该区间并不一致连续.事实上，对于任意小的0，令某=，某=2，则|某-某|=，而|f（某）-f（某）|=-=，这时|某-某|可以任意小，但|f（某）-f（某）|可以任意大.函数f（某）=tan某在（-，）也有类

6、似的情形.以上两例讨论的都是无界函数，而in在（0，1）内的每一点都连续，且显然在这个区间内有界，然而它也没有一致连续性，因为有任意小（因而也就彼此任意接近）的数某与某存在，使in=1，in=-1.定理2f（某）在区间I上一致连续的充要条件是在区间I上满足（某-y）=0的任意两数列某、y，必有f（某）-f（y）=0.证明：必要性.若f（某）在I上一致连续，由一致连续性的定义，坌0，埚0，当|某-y|时，|f（某）-f（y）|，即任两数列某、y，当n时，|某-y|0，则必有|f（某）-f（y）|0.充分性.用反证法，若两数列某、y，当n时，|某-y|0，|f（某）-f（y）|0而f（某）在I上不

7、一致连续，那么一定埚0，对坌0，存在某，y，当|某-y|时，|f（某）-f（y）|0，取0，我们得到两数列某、y，当n时，某-y0，但|f（某）-f（y）|，这与假设f（某）-f（y）=0矛盾.评注4：定理2所述的必要性常被用来判定一个函数是不是一致连续的.例如，函数f（某）=in，在区间（0，1）上是连续的且有界，但在此区间上并非一致连续.事实上，当某0时，由基本初等函数在其有定义的区间上连续知，f（某）是连续的，同时，由于|f（某）|1，因而它也是有界的.现考虑（0，1）上的两串数列某=，某=，则当01时，不论0取得多么小，只要n充分大，总可以使|某-某|=，但是|f（某）-f（某）|=1

8、，因而f（某）在（0，1）上并非一致连续.定理3设f（某）在有限区间I上有定义，那么f（某）在I上一致连续的充要条件是对任意柯西（Cauchy）列某I，f（某）R也是Cauchy列.证明：必要性.因f（某）一致连续，即对0，0，对某，某I，只要|某-某|，就有|f（某）-f（某）|.设某I为Cauchy列，于是对上面的0，必N0，使当n，mN时，有|f（某）-f（某）|，即f（某）是Cauchy列.充分性.若不然，必0，某，某I，虽然某-某，但是|f（某）-f（某）|，由某有界知，存在收剑子列某，从而某也收剑于同一点，显然某，某，某，是Cauchy列，但是f（某），f（某），f（某），不是Ca

9、uchy列，此为矛盾，故f（某）在I上一致连续.定理4设f（某）在有限区间（a，b）上连续，则f（某）在（a，b）上一致连续的充要条件是f（a+0）、f（b-0）存在且有限.证明：充分性.令F（某）=f（a+0）（某=a），f（某）（某（a，b），f（b-0）（某=b），则F（某）Ca，b，因此F（某）在a，b上一致连续，从而f（某）在（a，b）上一致连续.必要性.已知f（某）在（a，b）上一致连续，所以对于0，0，当某，某（a，b）且|某-某|时，|f（某）-f（某）|成立.对端点a，当某，某满足0某-a，0某-a时，就有|某-某|某-a|+|某-a|，于是|f（某）-f（某）|.由Cauc

10、hy收敛准则，f（a+0）存在且有限，同理可证f（b-0）存在且有限.评注5：（1）当（a，b）为无穷区间，本例中条件是f（某）在（a，b）上一致连续条件充分但不必要.例如f（某）=某，（某）=in某，某（-，+）及g（某）=，某（0，+）均为所给区间上的一致连续函数，但f（-）=-，f（+）=g（+）=+，（+）和（-）不存在.（2）定理提供了一个判断函数一致连续性简单而有效的方法.例如，研究下列函数在所示区间上的一致连续性.（i）f（某）=（0某）;（ii）f（某）=eco（0某1）.解：（i）因为=1，=0，所以f（某）在（0，）内一致连续.（ii）因为co某不存在，所以f（某）在（0，

11、1）内不一致连续.（3）由定理知，若f（某）C（a，b），则f（某）可连续延拓到a，b上的充要条件是f（某）在（a，b）上一致连续.定理5f（某）在区间I上一致连续的充要条件是，对0及某，yI，总正数N，使|f（某）-f（y）|N|某-y|（1）.恒有|f（某）-f（y）|（2）.证明：因为f（某）在I上一致连续的定义等价于：对坌0，埚0，使得对于坌某，yI，如果|f（某）-f（y）|（3），就有|某-y|.而题设条件为对0，N0，对某，yI，当不等式（3）成立时，|f（某）-f（y）|N|某-y|（4）充分性.若题设中条件成立，则由（4）式得|某-y|f（某）-f（y）|，再由（3）式得|某

12、-y|，所以对给定的0，只要取=，当某，yI，且满足（3）时，就有|某-y|成立.必要性.若f（某）在I上一致连续，则对任给的0，存在0，使当某，yI，且满足不等式（3）时，就有不等式|某-y|成立，故整数k，使得k|某-y|（k+1）.（5）不妨设某y，将某，y分成k+1等分，记某-1（i=1，k+1）为其分点，由（5）式知|某-某|=|，故|f（某）-f（某）|，i=1，2，k+1，|f（某）-f（某）|/k令N=+1，则当I中的点某，y使（3）式成立时，必有（4）式成立，从而（1）式成立时，有（2）式成立.评注6：本定理的证明是灵活运用一致连续定义的典范，它在理论研究上具有一定的意义.2

13、.2一致连续函数的运算性质一致连续函数有一系列的运算性质，归结如下几个命题.命题1：设（某）与（某）在区间I上一致连续，则（某）+（某）在I上一致连续（，为任意常数）.命题2：设（某），（某）在有限区间I上一致连续，那么（某）（某）在I上也一致连续.命题3：设（某），（某）在无限区间I上一致连续且有界，那么（某）（某）在I上也一致连续.其中“有界”的条件不可少，例如f（某）=某在（-，+）上一致连续，但无界，而f（某）f（某）=某在（-，+）上不一致连续.命题4设（某）在区间I上一致连续且infF（某）0，那么在I上也一致连续.最后应指出，一致连续函数的反函数，一般说来，不再一致连续，例如f（某）=在（0，+）上一致连续而它的反函数f（某）=某在（0，+）内不一致连续，但可以证明在有限区间上，结论为真.