【精品】复变函数与积分变换（可编辑.ppt

《【精品】复变函数与积分变换（可编辑.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【精品】复变函数与积分变换（可编辑.ppt（200页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、复变函数与积分变换复数的诞生先从二次方程谈起:公元前400年，巴比伦人发现和使用 则当时无解，当时有解二千多年没有进展：寻找三次方程的一般根式解G.Cardano(1501-1576):怪才，精通数学，医学，语言学，文学，占星学他发现没有根，形式地表为L.Euler(1707-1783):瑞典数学家,13岁入大学，17岁获硕士,30岁右眼失明，60岁完全失明1748年：Euler公式C.Wessel(挪威1745-1818)和R.Argand(法国1768-1822）将复数用平面向量或点来表示K.F.Gauss(德国1777-1855)与W.R.Hamilton(爱尔兰1805-1865)定义

2、复数 为一对有序实数后，才消除人们对复数真实性的怀疑，“复变函数”这一数学分支到此才顺利地得到建立和发展R.Descartes(笛卡儿):1596-1650,法国哲学家，坐标几何的创始人1637他称一个负数的开方为虚数(imaginarynumber).1777年：首次使用i表示，创立了复变函数论，并应用到水利学，地图制图学复变函数的理论和方法在数学，自然科学和工程技术中有着广泛的应用，是解决诸如流体力学，电磁学，热学弹性理论中平面问题的有力工具。第一章 复数与复变函数1.1 复数及其运算 定义定义 对任意两实数对任意两实数x、y,称称 z=x+iy或或z=x+yi为为复数。复数。1.复数的概

3、念复数的概念A 一般一般,任意两个复数不能比较大小。任意两个复数不能比较大小。复数复数z 的实部的实部 Re(z)=x;虚部虚部 Im(z)=y.(real part)(imaginary part)复数的模复数的模 判断复数相等判断复数相等共轭复数的性质共轭复数的性质3.共轭复数共轭复数定义定义 若若z=x+iy,称称 z=x-iy 为为z 的共轭复数的共轭复数.(conjugate)1.点的表示点的表示点的表示：点的表示：A 数数z z与点与点z z同义同义.1.2 复数的几何表示2.向量表示法向量表示法A oxy(z)P(x,y)xy 称向量的长度为复数称向量的长度为复数z=x+iy的的

4、模模或或绝对值绝对值；以正实轴以正实轴 为始边为始边,以以 为终边的角的为终边的角的弧度数弧度数 称为复数称为复数z=x+iy的的辐角辐角.(z0时时)辐角无穷多：辐角无穷多：Arg z=0+2k，kZ，把其中满足把其中满足 的的0称为辐角称为辐角Argz的主值，的主值，记作记作0=argz。A z=0z=0时，辐角不确定。时，辐角不确定。计算计算argz(z0)的公式的公式A 当当z z落于一落于一,四象限时，不变。四象限时，不变。A 当当z z落于第二象限时，加落于第二象限时，加 。A 当当z z落于第三象限时，减落于第三象限时，减 。oxy(z)z1z2z1+z2z2-z1由向量表示法知

5、由向量表示法知3.三角表示法三角表示法4.指数表示法指数表示法例1将下列复数化为三角表示式与指数表示式.解1)z在第三象限,因此因此2)显然,r=|z|=1,又因此练习：练习：写出的辐角和它的指数形式。解：很多平面图形能用复数形式的方程(或不等式)来表示;也可以由给定的复数形式的方程(或不等式)来确定它所表示的平面图形.例1将通过两点z1=x1+iy1与z2=x2+iy2的直线用复数形式的方程来表示.解通过点(x1,y1)与(x2,y2)的直线可用参数方程表示为因此,它的复数形式的参数方程为z=z1+t(z2-z1).(-t 0为半径的为半径的圆圆|z-z 0|(或或 0|z z 0|0,对任

6、意对任意 z D,均有均有zG=z|z|R，则，则D是有界是有界区域区域；否则无界。；否则无界。闭区域闭区域 区域区域D与它的边界一起构成闭区域与它的边界一起构成闭区域,2.简单曲线（或简单曲线（或Jardan曲线曲线)令令z(t)=x(t)+iy(t)atb;则曲线方程可记为：则曲线方程可记为：z=z(t)，atb有限条光滑曲线相连接构成一条分段光滑曲线。有限条光滑曲线相连接构成一条分段光滑曲线。重点重点 设连续曲线设连续曲线C：z=z(t)，atb，对于对于t1(a，b),t2 a,b,当当t1t2时，若时，若z(t1)=z(t2)，称称z(t1)为曲线为曲线C的重点。的重点。定义定义 称

7、称没有重点没有重点的连续曲线的连续曲线C为简单曲线或为简单曲线或 Jardan曲线曲线;若简单曲线若简单曲线C 满足满足z(a)=z(b)时，则称时，则称此曲线此曲线C是简单是简单闭闭曲线或曲线或Jordan闭闭曲线曲线。z(a)=z(b)简单闭曲线简单闭曲线z(t1)=z(t2)不是简单闭曲线不是简单闭曲线3.单连通域与多连通域单连通域与多连通域简单闭曲线的性质简单闭曲线的性质 任一条简单闭曲线任一条简单闭曲线 C：z=z(t)，ta，b，把复，把复平面唯一地分成三个互不相交的部分：一个是有平面唯一地分成三个互不相交的部分：一个是有界区域，称为界区域，称为C的内部；一个是无界区域，称为的内部

8、；一个是无界区域，称为C的外部；还有一个是它们的公共边界。的外部；还有一个是它们的公共边界。z(a)=z(b)Cz(a)=z(b)内部内部外部外部边界边界定义定义 复平面上的一个区域复平面上的一个区域 B，如果如果B内的任何简单闭曲线的内的任何简单闭曲线的内部总在内部总在B内内，就称，就称 B为单连通为单连通域；非单连通域称为多连通域。域；非单连通域称为多连通域。例如例如|z|0）是单连通的；）是单连通的；0r|z|R是多连通的。是多连通的。单连通域单连通域多连通域多连通域多连通域多连通域单连通域单连通域1.复变函数的定义复变函数的定义与实变函数定义相类似与实变函数定义相类似定义定义A 1.5

9、复变函数例例1例例2oxy(z)Gouv(w)GG*w=f(z)在几何上，在几何上，w=f(z)可以看作：可以看作：定义域定义域函数值集合函数值集合 2.映射的概念映射的概念复变函数的几何意义复变函数的几何意义zw=f(z)wA 以下不再区分函数与映射（变换）。以下不再区分函数与映射（变换）。A 在复变函数中用两个复平面上点集之间的在复变函数中用两个复平面上点集之间的 对应关系来表达两对变量对应关系来表达两对变量 u，v 与与 x，y 之间的对应关系，以便在研究和理解复变之间的对应关系，以便在研究和理解复变 函数问题时，可借助于几何直观函数问题时，可借助于几何直观.复变函数的几何意义是一个映射

10、（变换）复变函数的几何意义是一个映射（变换）例例3解解关于实轴对称的一个映射关于实轴对称的一个映射见图见图1-11-2旋转变换旋转变换(映射映射)见图见图2例例4解解oxy(z)x、uy、v(z)、(w)ox、uy、v(z)、(w)o图图1-1图图1-2图图2uv(w)o例例5oxy(z)ouv(w)oxy(z)ouv(w)R=2R=4 3.反函数或逆映射反函数或逆映射例例 设设 z=w2 则称则称 为为z=w2的反函数或逆映射的反函数或逆映射为多值函数为多值函数,2支支.定义定义 设设 w=f(z)的定义集合为的定义集合为G,函数值集合为函数值集合为G*则称则称z=(w)为为w=f(z)的反

11、函数（的反函数（逆映射逆映射）.例例 已知映射已知映射w=z3，求区域，求区域 0argz 在平面在平面w上的象。上的象。例例1.函数的极限函数的极限定义定义uv(w)oAxy(z)o几何意义几何意义:当变点当变点z一旦进一旦进入入z0 的充分小去的充分小去心邻域时心邻域时,它的象它的象点点f(z)就落入就落入A的的一个预先给定的一个预先给定的邻域中邻域中1.6复变函数的极限和连续性A (1)(1)意义中意义中 的方式是任意的的方式是任意的.与一元实变函数相比较要求更高与一元实变函数相比较要求更高.(2)A是复数是复数.2.运算性质运算性质复变函数极限与其实部和虚部极限的关系：复变函数极限与其

12、实部和虚部极限的关系：定理定理4(3)若若f(z)在在 处有极限处有极限,其极限其极限是唯一的是唯一的.定理定理2A 以上定理用极限定义证以上定理用极限定义证!令令 z=x+i y,则则由此得由此得例例1证证让z沿直线y=k x 趋于零,我们有故当故当z0时时极限不存在极限不存在.注：注：（随（随 k 变化）变化）3.函数的连续性函数的连续性定义定义2定理定理6例例2 证明证明f(z)=argz在原点及负实轴上不连续。在原点及负实轴上不连续。证明证明xy(z)ozz当z0时的极限不存在例例3证明函数证令z=x+i y,则由此得让z沿直线y=k x 趋于零,我们有故极限不存在.定理定理7 连续函

13、数的和、差、积、商连续函数的和、差、积、商(分母不为分母不为0)仍为连续函数仍为连续函数;连续函数的复合函数仍为连续函数；连续函数的复合函数仍为连续函数；连续函数的模也连续。连续函数的模也连续。有界性：有界性：例4 讨论解：的连续性。第二章第二章 解析函数基础解析函数基础2.1复变函数的导数(1)导数定义导数定义定义定义 设函数设函数w=f(z)zD,且且z0、z0+zD，如果极限如果极限 存在，则称函数存在，则称函数f(z)在点在点z0处可导。处可导。称此极限值为称此极限值为f(z)在在z0的导数，的导数，记作记作 如果如果w=f(z)在区域在区域D内处处可导，则称内处处可导，则称f(z)在

14、区域在区域D内可导内可导。A (1)(1)z z00是在平面区域上以任意方式趋于零。是在平面区域上以任意方式趋于零。A (2)(2)z=z=x+iy,x+iy,z=z=x+iy,f=f(z+z)-f(z)x+iy,f=f(z+z)-f(z)例例1(2)求导公式与法则求导公式与法则 常数的导数常数的导数 c=(a+ib)=0.(zn)=nzn-1 (n是自然数是自然数).证明证明 对于复平面上任意一点对于复平面上任意一点z0，有，有-实函数中求导法则的推广实函数中求导法则的推广 设函数设函数f(z),g(z)均可导，则均可导，则 f(z)g(z)=f (z)g(z)，f(z)g(z)=f (z)

15、g(z)+f(z)g(z)复合函数的导数复合函数的导数(f g(z)=f (w)g(z)，其中其中w=g(z)。反函数的导数反函数的导数 ，其中，其中:w=f(z)与与z=(w)互为单值的反函数，且互为单值的反函数，且(w)0。例例3 问：函数问：函数f(z)=x+2yi是否可导？是否可导？例例2解解解解例例4 证明证明 f(z)=zRez只在只在z=0处才可导。处才可导。证明证明A (1)(1)复变函数在一点处可导，要比实函数复变函数在一点处可导，要比实函数 在一点处可导要求高得多，也复杂得在一点处可导要求高得多，也复杂得 多，这是因为多，这是因为z z00是在平面区域上是在平面区域上 以任

16、意方式趋于零的原故。以任意方式趋于零的原故。(2)(2)在高等数学中要举出一个处处连续，在高等数学中要举出一个处处连续，但处处不可导的例题是很困难的但处处不可导的例题是很困难的,但在复变函数中，却轻而易举。但在复变函数中，却轻而易举。&思考思考思考思考题题题题解：所以在复平面上除原点外处处不可导。(3)可导与连续可导与连续若若 w=f(z)在点在点 z0 处可导处可导 w=f(z)点点 z0 处连续处连续.?可微定义可微定义:若函数w=f(z)在点z的改变量可写成(4)可导与可微可导与可微可导可导 可微可微易知A(z)=f(z)当f(z)=z时,dz=z.所以常记dw=df(z)=f(z)dz

17、.一一.解析函数的概念解析函数的概念定义定义 如果函数如果函数w=f(z)在在z0及及z0的某个邻域内处处的某个邻域内处处 可导，则称可导，则称f(z)在在z0解析；解析；如果如果f(z)在区域在区域D内每一点都解析，则称内每一点都解析，则称 f(z)在在D内解析，或称内解析，或称f(z)是是D内的解析函数内的解析函数 (全纯函数或正则函数）。全纯函数或正则函数）。如果如果f(z)在点在点z0不解析，就称不解析，就称z0是是f(z)的的奇点奇点。A (1)w=f(z)在在 D 内解析内解析 在在D内可导。内可导。(2)函数函数f(z)在在 z0 点可导，未必在点可导，未必在z0解析。解析。2.

18、2 解析函数例如例如(1)w=z2 在整个复平面处处可导，故是整个复平面在整个复平面处处可导，故是整个复平面 上的解析函数；上的解析函数；(2)w=1/z，除去，除去z=0点外，是整个复平面上的解析点外，是整个复平面上的解析 函数；函数；(3)w=zRez 在整个复平面上处处不解析在整个复平面上处处不解析(见例见例4)；仅在原点可导，故在整个复平面上不解析。仅在原点可导，故在整个复平面上不解析。定理定理1 设设w=f(z)及及w=g(z)是区域是区域D内的解析函数，内的解析函数，则则 f(z)g(z)，f(z)g(z)及及 f(z)g(z)(g(z)0时时)均是均是D内的解析函数。内的解析函数

19、。定理定理 2 设设 w=f(h)在在 h 平面上的区域平面上的区域 G 内解析内解析,h=g(z)在在 z 平面上的区域平面上的区域 D 内解析内解析,h=g(z)的函数值的函数值集合集合 G，则复合函数，则复合函数w=f g(z)在在D内处处解析。内处处解析。如果复变函数如果复变函数 w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在定在定义域义域 D内处处可导，则函数内处处可导，则函数 w=f(z)在在 D内解析。内解析。我们将从函数我们将从函数 u(x,y)及及 v(x,y)的可导性，探的可导性，探求函数求函数w=f(z)的可导性，从而给出判别函数解析的的可导性，从而给出判别函数解析的一个充

20、分必要条件，并给出解析函数的求导方法。一个充分必要条件，并给出解析函数的求导方法。问题问题 如何判断函数的解析性呢？如何判断函数的解析性呢？二二.解析函数的充要条件解析函数的充要条件A 记忆记忆定义定义 方程方程称为称为Cauchy-Riemann方程方程(简称简称C-R方程方程).C-R方程等价于证明:定理定理1 设设 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在在 D 内有定义，内有定义，则则 f(z)在点在点 z=x+iy D处可导的充要条件是处可导的充要条件是 u(x,y)和和 v(x,y)在点在点(x,y)可微，且满足可微，且满足 Cauchy-Riemann方程方程上述条件满足时上述条

21、件满足时,有有证明证明（由由f(z)的可导的可导 C-R方程满足上面已证！只须证方程满足上面已证！只须证 f(z)的可导的可导 函数函数 u(x,y)、v(x,y)可微可微）。）。函数函数 w=f(z)点点 z可导，即可导，即则则 f(z+z)-f(z)=f (z)z+(z)z (1),且且u+iv=(a+ib)(x+iy)+(1+i 2)(x+iy)=(ax-by+1x-2y)+i(bx+ay+2x+1y)令：令：f(z+z)-f(z)=u+iv，f (z)=a+ib，(z)=1+i 2 故（故（1）式可写为）式可写为因此因此 u=ax-by+1x-2y,v=bx+ay+2x+1y所以所以u

22、(x,y)，v(x,y)在点在点(x,y)处可微处可微.（由函数（由函数u(x,y),v(x,y)在点在点(x,y)处可微及满足处可微及满足 C-R方程方程 f(z)在点在点z=x+iy处可导）处可导）u(x，y)，v(x，y)在在(x，y)点可微，即：点可微，即：定理定理2 函数函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在在D内解析充要内解析充要 条件是条件是 u(x,y)和和 v(x,y)在在D内可微，且内可微，且 满足满足Cauchy-Riemann方程方程A 由此可以看出可导函数的实部与虚部有密切的由此可以看出可导函数的实部与虚部有密切的联系联系.当一个函数可导时当一个函数可导时,仅由

23、其实部或虚部就可以仅由其实部或虚部就可以求出导数来求出导数来.A 利用该定理可以判断那些函数是不可导的利用该定理可以判断那些函数是不可导的.使用时使用时:i)判别判别 u(x,y)，v(x,y)偏导数的连续性，偏导数的连续性，ii)验证验证C-R条件条件.iii)求导数求导数：A 前面我们常把复变函数看成是两个实函数拼成前面我们常把复变函数看成是两个实函数拼成的的,但是求复变函数的导数时要注意但是求复变函数的导数时要注意,并不是两个并不是两个实函数分别关于实函数分别关于x,y求导简单拼凑成的求导简单拼凑成的.推论：三三.举例举例例例1 判定下列函数在何处可导，在何处解析：判定下列函数在何处可导

24、，在何处解析：解解(1)设设z=x+iy w=x-iy u=x,v=-y 则则解解(2)f(z)=ex(cosy+isiny)则则 u=excosy,v=exsiny仅在点仅在点z=0处满足处满足C-R条件，故条件，故解解(3)设设z=x+iy w=x2+y2 u=x2+y2,v=0 则则例例2 求证函数求证函数证明证明 由于在由于在z0处，处，u(x,y)及及v(x,y)都是可微函数，都是可微函数，且满足且满足C-R条件：条件：故函数故函数w=f(z)在在z0处解析，其导数为处解析，其导数为例例3 证明证明例例4 如果如果f(z)=u(x,y)+i v(x,y)是一解析函数，是一解析函数，且

25、且f (z)0，那么曲线族，那么曲线族u(x,y)=C1，v(x,y)=C2必互相正交，这里必互相正交，这里C1、C2常数常数.那么在曲线的交点处，那么在曲线的交点处，i)uy、vy 均不为零时，均不为零时，由隐函数求导法则知曲线族由隐函数求导法则知曲线族 u(x,y)=C1，v(x,y)=C2中任一条曲线的斜率分别为中任一条曲线的斜率分别为 解解利用利用C-R方程方程 ux=vy,uy=-vx 有有k1k2=(-ux/uy)(-vx/vy)=-1，即：两族曲线互相正交，即：两族曲线互相正交.ii)uy，vy中有一为零时，不妨设中有一为零时，不妨设uy=0，则，则k1=，k2=0（由（由C-R

26、方程）方程）即：两族曲线在交点处的切线一条是水平的，另即：两族曲线在交点处的切线一条是水平的，另一条是铅直的一条是铅直的,它们仍互相正交。它们仍互相正交。例如两族分别以直线y=x和坐标轴为渐近线的等轴双曲线x2-y2=c1,2xy=c2互相正交。1-1-1-10-8-6-4-2x2468v=101y-10-8-6-4-2u=02468uv1010-10-10a=2,b=-1,c=-1,d=2练习练习:解析函数退化为常数的几个充分条件解析函数退化为常数的几个充分条件：(a)函数在区域内解析且导数恒为零；(b)解析函数的实部、虚部、模或辐角中有一个恒为常数；(c)解析函数的共轭在区域内解析。定义定

27、义定理定理2.3 调和函数调和函数证明：证明：设设f(z)=u(x,y)+i v(x,y)在区域在区域D内解析，则内解析，则即即u及及v 在在D内满足拉普拉斯内满足拉普拉斯(Laplace)方程方程:定义定义上面定理说明：上面定理说明：由解析的概念得：由解析的概念得：现在研究反过来的问题：现在研究反过来的问题：如如定理定理A 公式不用强记！可如下推出：公式不用强记！可如下推出：类似地，类似地，然后两端积分得，然后两端积分得，A 调和函数在流体力学和电磁场理论等实际调和函数在流体力学和电磁场理论等实际问题中都有重要应用。本节介绍了调和函数与解问题中都有重要应用。本节介绍了调和函数与解析函数的关系

28、。析函数的关系。例例1解解曲线积分法曲线积分法故故A 又解又解凑凑全全微微分分法法又解又解偏偏积积分分法法又解又解不不定定积积分分法法2.4 初等函数初等函数 本节将实变函数的一些常用的初等函数本节将实变函数的一些常用的初等函数推广到复变函数情形，研究这些初等函数的推广到复变函数情形，研究这些初等函数的性质，并说明它的解析性。性质，并说明它的解析性。一一.指数函数指数函数它与实变指数函数有类似的性质它与实变指数函数有类似的性质：定义定义A 这个性质是实变指数函数所没有的。这个性质是实变指数函数所没有的。A 例例1例例2例例3二二.三角函数和双曲函数三角函数和双曲函数推广到复变数情形推广到复变数

29、情形定义定义q正弦与余弦函数的性质正弦与余弦函数的性质思考题思考题由正弦和余弦函数的定义得由正弦和余弦函数的定义得其它三角函数的定义其它三角函数的定义定义定义称为双曲正弦和双曲余弦函数称为双曲正弦和双曲余弦函数q双曲正弦和双曲余弦函数的性质双曲正弦和双曲余弦函数的性质三三.对数函数对数函数定义定义 指数函数的反函数称为对数函数。即，指数函数的反函数称为对数函数。即，(1)对数的定义对数的定义故故特别特别A (2)对数函数的性质对数函数的性质例例4例5解下列方程：解四四.乘幂乘幂 与幂函数与幂函数 q 乘幂乘幂ab定义定义A 多值多值一般为多值一般为多值q支支(2)当当b=1/n(n正整数正整数

30、)时时，乘幂乘幂ab与与a 的的 n次根意义一致。次根意义一致。A (1)当当b=n(正整数正整数)时时，乘幂乘幂ab与与a 的的n次幂次幂 意义一致。意义一致。解解例例6q 幂函数幂函数zb定义定义当当b=n(正整数正整数)w=z n 在整个复平面上是单值解析函数在整个复平面上是单值解析函数 除去除去b为正整数外，多值函数，为正整数外，多值函数，当当b为无理数或复数时，无穷多值。为无理数或复数时，无穷多值。5.反三角函数与反双曲函数反三角函数与反双曲函数详见详见P55A 重点：重点：指数函数、对数函数指数函数、对数函数、乘幂、乘幂第三章第三章 复变函数的积分复变函数的积分第五章留数1孤立奇点

31、 1.定义定义例如例如-z=0为孤立奇点为孤立奇点-z=0及及z=1/n (n=1,2,)都是它的都是它的奇点奇点-z=1为孤立奇点为孤立奇点定义定义xyo这说明奇点未这说明奇点未必是孤立的。必是孤立的。2.分类分类以下将以下将f(z)在孤立奇点的邻域内展成洛朗级数，根在孤立奇点的邻域内展成洛朗级数，根据展开式的不同情况，将孤立点进行分类。据展开式的不同情况，将孤立点进行分类。考察：考察：特点：特点：没有负幂次项没有负幂次项特点：特点：只有有限多个负幂次项只有有限多个负幂次项特点：特点：有无穷多个负幂次项有无穷多个负幂次项定义定义 设设z0是是f(z)的一个孤立奇点，在的一个孤立奇点，在z0

32、的去心邻域内，的去心邻域内，若若f(z)的洛朗级数的洛朗级数没有负幂次项，称没有负幂次项，称z=z0为可去奇点为可去奇点;只有有限多个负幂次项，称只有有限多个负幂次项，称z=z0为为m 级极点级极点;有无穷多个负幂次项，称有无穷多个负幂次项，称z=z0为本性奇点。为本性奇点。3.性质性质q若若z0为为f(z)的可去奇点的可去奇点q若若z0为为f(z)的的m(m 1)级极点级极点例如：例如：z=1为为f(z)的一个三级极点，的一个三级极点，z=i为为f(z)的一级极点。的一级极点。q若若z0为为f(z)的本性奇点的本性奇点4.零点与极点的关系零点与极点的关系定义定义 不恒等于不恒等于0的解析函数

33、的解析函数f(z)如果能表示成如果能表示成则称则称z=z0为为f(z)的的m 级零点。级零点。例如：例如：定理定理事实上事实上，必要性得证！必要性得证！充分性略！充分性略！例如例如证明证明“”若若z0为为f(z)的的m 级极点级极点定理定理例例解解显然，显然，z=i 是是(1+z2)的一级零点的一级零点综合综合如果函数f(z)在无穷远点z=的去心邻域R|z|内解析,称点为f(z)的孤立奇点.作变换 把扩充z平面上的去心邻域 R|z|+映射成扩充w平面上原点的去心邻域：又.这样,我们可把在去心邻域R|z|+对f(z)的研究变为在内对j(w)的研究.显然j(w)在内解析,所以w=0是孤立奇点.f(

34、z)在无穷远点z=的奇点类型等价于j(w)在w=0的奇点类型。5.函数在无穷远点的性态函数在无穷远点的性态 f(z)在z=0处洛朗展式中不含正幂项，则z=为可去奇点；含有限多项的正幂项且最高项为zm，则z=为m级极点；含有无穷多项的正幂项，则z=为本性奇点。&1.留数的定义留数的定义&2.留数定理留数定理&3.留数的计算规则留数的计算规则5.2 留数留数(Residue)1.留数的定义留数的定义定义定义设设 z0 为为 f(z)的孤立奇点，的孤立奇点，f(z)在在 z0 邻域内邻域内的洛朗级数中负幂次项的洛朗级数中负幂次项(z-z0)1 的系数的系数 c1 称为称为f(z)在在 z0 的的留数

35、留数，记作，记作 Res f(z),z0 或或 Res f(z0)。由留数定义由留数定义,Res f(z),z0=c1(1)2.留数定理留数定理定理定理证明证明Dcznz1z3z2由复合闭路定理得：由复合闭路定理得：用用2 i 除上式两边得除上式两边得:得证！得证！A 求沿闭曲线求沿闭曲线c的积分，归之为求在的积分，归之为求在c中各孤立中各孤立奇点的留数。奇点的留数。一般求一般求 Res f(z),z0 是采用将是采用将 f(z)在在 z0 邻域内邻域内展开成洛朗级数求系数展开成洛朗级数求系数 c1 的方法的方法,但如果能先知道但如果能先知道奇点的类型，对求留数更为有利。奇点的类型，对求留数更

36、为有利。以下就三类孤立奇点进行讨论：以下就三类孤立奇点进行讨论：3.留数的计算规则留数的计算规则规则规则I规则规则II事实上事实上，由条件，由条件A当当m=1时，式时，式(5)即为式即为式(4).规则规则III事实上事实上，例例1解解例例2解解例例3解解例例4解解故由留数定理得：故由留数定理得：A(1)要灵活运用规则及洛朗级数展开来求留要灵活运用规则及洛朗级数展开来求留数，不要死套规则。数，不要死套规则。如如是是f(z)的三级极点的三级极点。-该方法较规则该方法较规则II更简单！更简单！A(2)由规则由规则II 的推导过程知，在使用规则的推导过程知，在使用规则II时，可将时，可将 m 取得比实

37、际级数高，这可使计算更取得比实际级数高，这可使计算更简单。简单。如如设函数f(z)在圆环域R|z|内解析,C为圆环域内绕原点的任何一条简单闭曲线,则积分的值与C无关,称其为f(z)在点的留数,记作f(z)在圆环域R|z|内解析：理解为圆环域内绕的任何一条简单闭曲线。4.无穷远点的留数无穷远点的留数这就是说,f(z)在点的留数等于它在点的去心邻域R|z|+内洛朗展开式中z-1的系数变号.定理二定理二如果f(z)在扩充复平面内只有有限个孤立奇点,那末f(z)在所有各奇点(包括点)的留数总和必等于零.证：除点外,设f(z)的有限个奇点为zk(k=1,2,.,n).且C为一条绕原点的并将zk(k=1,

38、2,.,n)包含在它内部的正向简单闭曲线,则根据留数定理与在无穷远点的留数定义,有所以规则IV成立.定理二与规则IV为我们提供了计算函数沿闭曲线积分的又一种方法,在很多情况下,它比利用上一段中的方法更简便.例6 留数定理是复变函数的定理，若要在实变函数定积分中应用，必须将实变函数变为复变函数。这就要利用解析延拓的概念。留数定理又是应用到回路积分的，要应用到定积分，就必须将定积分变为回路积分中的一部分。3留数在定积分计算上的应用如图，对于实积分 ，变量 x 定义在闭区间 a,b(线段 )，此区间应是回路 的一部分。实积分 要变为回路积分，则实函数必须解析延拓到复平面上包含回路的一个区域中,而实积

39、分 成为回路积分的一部分：1.形如的积分,其中R(cosq,sinq)为cosq与sinq 的有理函数.令z=eiq,则dz=ieiq dq,而其中f(z)是z的有理函数,且在单位圆周|z|=1上分母不为零,根据留数定理有其中zk(k=1,2,.,n)为单位圆|z|=1内的f(z)的孤立奇点.例1计算的值.解由于0p1,被积函数的分母在0q 2p内不为零,因而积分是有意义的.由于cos2q=(e2iq+e-2iq)/2=(z2+z-2)/2,因此在被积函数的三个极点z=0,p,1/p中只有前两个在圆周|z|=1内,其中z=0为二级极点,z=p为一级极点.例2计算的值.解：令例3解：取积分路线如

40、图所示,其中CR是以原点为中心,R为半径的在上半平面的半圆周.取R适当大,使R(z)所有的在上半平面内的极点zk都包在这积分路线内.z1z2z3yCR-RROx不失一般性,设为一已约分式.此等式不因CR的半径R不断增大而有所改变.例4例5解：3.形如的积分当R(x)是x的有理函数而分母的次数至少比分子的次数高一次,且R(x)在实数轴上没有奇点时,积分是存在的.象2中处理中处理的一样,由于m-n1,故对充分大的|z|有因此,在半径R充分大的CR上,有z1z2z3yCR-RROx也可写为例6计算的值.解这里m=2,n=1,m-n=1.R(z)在实轴上无孤立奇点,因而所求的积分是存在的.在上半平面内有一级极点ai,例4计算积分的值.解因为是偶函数,所以为了使积分路线不通过原点,取如下图所示的路线.由柯西积分定理,有CrCRyxO-rrR-R令x=-t,则有因此,要算出所求积分的值,只需求出极限下面将证明由于所以j(z)在z=0处解析,且j(0)=i,当|z|充分小时可使|j(z)|2,而由于在r充分小时,例题