【精品】导数的应用（可编辑.ppt

《【精品】导数的应用（可编辑.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【精品】导数的应用（可编辑.ppt（99页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、导数的应用2023/3/15【可编辑】费马费马(Fermat)定理定理 设函数设函数 f(x)在在a,b上有定义，并且在点上有定义，并且在点c(a,b)取到最值，取到最值，f(x)在点在点c可导，则可导，则 f (c)=0。几何解释几何解释:费马定理费马定理 设函数设函数 f(x)在在a,b上有定义，并且在点上有定义，并且在点c(a,b)取到最值，取到最值，f(x)在点在点c可导，则可导，则 f (c)=0。证明证明：设设 f(x)在点在点 x=c 取到最大值，则取到最大值，则 f(x)f(c)，x(a,b)。从而从而 f (c)=0.一、罗尔一、罗尔(Rolle)定理定理 例如例如几何解释几

2、何解释:注注1:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其结其结论可能不成立论可能不成立.例如例如,例如例如,XY-110注注2:若罗尔定理的条件仅若罗尔定理的条件仅是充分条件，不是必要的是充分条件，不是必要的.例例1：零点定理零点定理不能用不能用!例例2：二、拉格朗日二、拉格朗日(Lagrange)中值定理中值定理 几何解释几何解释:作辅助函数作辅助函数拉格朗日中值公式拉格朗日中值公式注意注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系数在这区间内某点处的导数之间的关系.证证拉格

3、朗日中值定理又称拉格朗日中值定理又称有限增量定理有限增量定理.微分中值定理微分中值定理拉格朗日中值公式的拉格朗日中值公式的有限增量公式有限增量公式形式：形式：推论推论证明：设证明：设x1,x2是是(a,b)内任意两点，由内任意两点，由L-定理定理(在在x1,x2之间之间)由由x1,x2的任意性知的任意性知:f(x)=常数常数,x(a,b).证毕证毕!(设区间设区间I为为:(a,b)例例3证证由上式得由上式得例例4证证三、柯西三、柯西(Cauchy)中值定理中值定理几何解释几何解释:证证作辅助函数作辅助函数特别特别四、小结四、小结Rolle定理定理Lagrange中值定理中值定理Cauchy中值

4、定理中值定理罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系；的关系；(1)注意定理成立的条件；注意定理成立的条件；(3)利用中值定理证明等式与不等式的步骤利用中值定理证明等式与不等式的步骤.(2)Rolle定理判断根；定理判断根；3.2 洛必达法则洛必达法则LHospitals Rule 定义定义例如例如,定理定理1 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则洛必达法则.例例1 1解解例例2 2 解解例例3 3解解例例4 4解解注：注：1、用罗必塔法则一定要验证条件，特别是条件、用罗必塔法则一定要验证条件，特

5、别是条件(1);2、若用一次法则后仍是未定式，可继续使用，一旦、若用一次法则后仍是未定式，可继续使用，一旦 不是未定式立刻停止使用不是未定式立刻停止使用;3、运算过程中有非零极限因子，可先算出极限。、运算过程中有非零极限因子，可先算出极限。注意：注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但与其它求极限方法结合使用，效果更好.例例5 5解解定理定理2无穷大量无穷大量关键关键:将其它类型未定式化为洛必达法则可解决将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型的类型 .例例9 9解解例例8 8解解例例9 9解解通过通分或分子有理化及其它初等变换转化为通过通分或分子有理化及其它初等变换转化为 或或 不定型

6、。不定型。例例1010解解通过通过将三种不定式转化为将三种不定式转化为0型。型。例例1111解解例例1212解解例例1313解解例例1414注意：注意：洛必达法则只用于洛必达法则只用于用洛必达法则过程中要及时化简用洛必达法则过程中要及时化简,并灵活结合其他并灵活结合其他求极限方法求极限方法.洛必达法则有时并不适用洛必达法则有时并不适用例例1515解解极限不存在极限不存在洛必达法则失效。洛必达法则失效。三、小结三、小结洛必达法则洛必达法则洛必达法则洛必达法则只是只是函数函数未定式极限存在的未定式极限存在的充分条件充分条件；对对数列数列未定式未定式不能不能直接地直接地应用应用洛必达法则洛必达法则3

7、.3 函数的研究及作图一、函数的单调性二、函数的极值三、函数的凹凸与拐点四、函数图形的描绘一、单调性的判定法一、单调性的判定法定理定理证证应用拉氏定理应用拉氏定理,得得例例1 1 讨论函数讨论函数y=x-sinx 的单调性。的单调性。解：解：y=1-cosx 0，y=x-sinx在在(,+)上单调增上单调增加加几何上看：单调区间的分界点是使几何上看：单调区间的分界点是使f (x)=0的点的点.注注:区间内孤立点处导数为零或不存在区间内孤立点处导数为零或不存在,不影响函数在区间上的不影响函数在区间上的单调性单调性.例例2 2解解注意注意:函数的单调性是一个区间上的性质，要用函数的单调性是一个区间

8、上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性点处的导数符号来判别一个区间上的单调性例例3 3解解单调区间求法单调区间求法问题问题:如上例，函数在定义区间上不是单调的，但如上例，函数在定义区间上不是单调的，但在各个部分区间上单调在各个部分区间上单调定义定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的的，则该区间称为函数的单调区间单调区间.导数等于零的点导数等于零的点和和不可导点不可导点，可能是单调区间，可能是单调区间的分界点的分界点方法方法:例例4 4解解单调区

9、间为单调区间为 还可以用列表的方式讨论还可以用列表的方式讨论x+y=f(x)列表：列表：二、函数的极值二、函数的极值一般地一般地1.1.函数极值的定义函数极值的定义定义定义函数的极大值与极小值统称为极值函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点使函数取得极值的点称为极值点.注注1 1：极值是函数的极值是函数的局部性局部性概念，与最值不同；概念，与最值不同；注注2 2：极大值可能小于极小值极大值可能小于极小值,极小值可能大于极小值可能大于极大值极大值.定理定理1(1(必要条件必要条件)例如例如,由费马引理易得函数取得极值的必要条件，由费马引理易得函数取得极值的必要条件，注注2:

10、2.函数极值的求法函数极值的求法注注1:定理定理2 (2 (第一充分条件第一充分条件)求极值的步骤求极值的步骤:(不是极值点情形不是极值点情形)例例7 7解解极极大大值值极极小小值值图形如下图形如下定理定理3(3(第二充分条件第二充分条件)证证 设设)(xf在在0 x 处具有二阶导数处具有二阶导数,且且0)(0=xf,0)(0 xf,那末那末 (1)(1)当当0)(0 xf时时,函数函数)(xf在在 0 x 处取得极小值处取得极小值.（2）同理可以证明当）同理可以证明当时时得寸进尺：？解解例例8 8解解例例9 9注注3 3:函数的不可导点函数的不可导点,也可能是函数的极值点也可能是函数的极值点

11、.四、曲线凹凸的判定四、曲线凹凸的判定定理定理1 1例例1010解解注意到注意到,曲线的拐点及其求法曲线的拐点及其求法1.1.定义定义注注:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线拐点处的切线必在拐点处穿过曲线.证证拐点的求法拐点的求法 二阶导数二阶导数等于零等于零的点和二阶导数的点和二阶导数不存在不存在的点，的点，可能可能是拐点是拐点方法方法1:1:例例1111解解凹的凹的凸的凸的凹的凹的拐点拐点拐点拐点例例1212解解四、曲线的渐近线四、曲线的渐近线XY0双曲线双曲线向无限远处延伸时，与直线向无限远处延伸时，与直线无限逼近无限逼近.定义定义:1.1.铅直渐近线铅直渐近线例如例如有铅直渐近线两条有铅直

12、渐近线两条:2.2.水平渐近线水平渐近线例如例如有水平渐近线两条有水平渐近线两条:3.3.斜渐近线斜渐近线斜渐近线求法斜渐近线求法:注意注意:例例1313解解五、图形描绘的步骤五、图形描绘的步骤利用函数特性描绘函数图形利用函数特性描绘函数图形.第一步第一步第二步第二步第三步第三步第四步第四步 确定函数图形的水平、铅直渐近线、斜渐确定函数图形的水平、铅直渐近线、斜渐近线以及其他变化趋势近线以及其他变化趋势;第五步第五步作图举例例例1414解解非奇非偶函数非奇非偶函数,且无对称性且无对称性.列表确定函数升降区间列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点和拐点凹凸区间及极值点和拐点:不存在不存在拐点拐点

13、极值点极值点间间断断点点作图作图例例1515解解偶函数偶函数,图形关于图形关于y轴对称轴对称.拐点拐点极大值极大值列表确定函数升降区间列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点与拐点凹凸区间及极值点与拐点:拐点拐点例例1616解解无奇偶性及周期性无奇偶性及周期性.列表确定函数升降区间列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点与拐点凹凸区间及极值点与拐点:拐点拐点极大值极大值极小值极小值小小 结结1.单调性的判别是拉格朗日中值定理的重要应用单调性的判别是拉格朗日中值定理的重要应用.3.函数局部性质极值函数局部性质极值2.应用：应用：利用函数的单调性可以确定某些方程实利用函数的单调性可以确定某些方程实根的个数和证明不等式根的个数和证明不等式.4.曲线的弯曲方向曲线的弯曲方向凹凸性凹凸性;5.函数的变化趋势渐近线函数的变化趋势渐近线凹凸性的判定，改变弯曲方向的点拐点凹凸性的判定，改变弯曲方向的点拐点.函数图形的描绘综合运用函数性态的研究函数图形的描绘综合运用函数性态的研究,是导数应用的综合考察是导数应用的综合考察.最最大大值值最最小小值值极极大大值值极极小小值值拐拐点点凹的凹的凸的凸的单增单增单减单减思考题思考题1思考题解答思考题解答不能断定不能断定.例例但但思考题思考题2思考题解答思考题解答例例思考题思考题3思考题解答思考题解答