11-17届高考全国Ⅰ卷理科数学分类汇编（含答案）导数及其应用.doc

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1、3导数及其应用一、选择题【2014，11】已知函数=，若存在唯一的零点，且0，则的取值范围为（2，+） （-，-2） （1，+） （-，-1）【2012，12】设点P在曲线上，点Q在曲线上，则的最小值为（ ）A B C D【2011，9】由曲线，直线及轴所围成的图形的面积为（ ）A B4 C D6二、填空题【2017，16】如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为OD、E、F为圆O上的点，DBC，ECA，FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形沿虚线剪开后，分别以BC， CA，AB为折痕折起DBC，ECA，FAB，使得D，E，F重合，得到三棱锥当AB

2、C的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为_【2013，16】若函数f(x)(1x2)(x2axb)的图像关于直线x2对称，则f(x)的最大值为_三、解答题【2017，12】已知函数（1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，求的取值范围【2016，12】已知函数有两个零点（）求的取值范围；（）设是的两个零点，证明：【2015，12】已知函数，（）当为何值时，轴为曲线的切线；（）用表示中的最小值，设函数（），讨论零点的个数【2014，21】设函数，曲线在点（1，处的切线为 ()求； （）证明：【2013，21】设函数f(x)x2axb，g(x)ex(cxd)若曲线yf(x)和曲线yg

3、(x)都过点P(0,2)，且在点P处有相同的切线y4x2(1)求a，b，c，d的值；(2)若x2时，f(x)kg(x)，求k的取值范围【2012，21】已知函数满足（1）求的解析式及单调区间；（2）若，求的最大值【2011，21】已知函数，曲线在点处的切线方程为（）求、的值；（）如果当，且时，求的取值范围 2导数及其应用（解析版）一、选择题【2015，12】设函数=,其中，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是（ ）A B C D 解析：设=，由题知存在唯一的整数，使得在直线的下方.因为，所以当时，0，当时，0，所以当时，=，当时，直线恒过（1,0）斜率且，故，且，解得1，故选D.作为选择题，

4、该题也可先找到满足的整数，由的唯一性列不等式组求解.由得.又是唯一使的整数，所以，解得，又，且时符合题意.故选D.【2014，11】已知函数=，若存在唯一的零点，且0，则的取值范围为.（2，+） .（-，-2） .（1，+） .（-，-1）【解析1】：由已知，令，得或，当时，；且，有小于零的零点，不符合题意当时，要使有唯一的零点且0，只需，即，选B【解析2】：由已知，=有唯一的正零点，等价于有唯一的正零根，令，则问题又等价于有唯一的正零根，即与有唯一的交点且交点在在y轴右侧记，由，要使有唯一的正零根，只需，选BxyO11A1yxO1xyO111xy1OBCD【2012，10】已知函数，则的图像

5、大致为（ ）【解析】的定义域为且，排除D；因为，所以当时，在（1，0）上是减函数；当时，在上是增函数排除A、C，故选择B【2012，12】设点P在曲线上，点Q在曲线上，则的最小值为（ ）A B C D【解析】函数与函数互为反函数，图象关于直线对称问题转化为求曲线上点P到直线的距离的最小值，则的最小值为（用切线法）：设直线与曲线相切于点，因为，所以根据导数的几何意义，得，所以切点，从而，所以因此曲线上点P到直线的距离的最小值为直线与直线的距离，从而，所以，故选择B【2011，9】由曲线，直线及轴所围成的图形的面积为（ ）A B4 C D6解析：用定积分求解，选C二、填空题【2017，16】如图，

6、圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为OD、E、F为圆O上的点，DBC，ECA，FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形沿虚线剪开后，分别以BC， CA，AB为折痕折起DBC，ECA，FAB，使得D，E，F重合，得到三棱锥当ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为_【解析】由题，连接，交与点，由题，即的长度与的长度或成正比，设，则，三棱锥的高，则，令，令，即，则，则，体积最大值为【2013，16】若函数f(x)(1x2)(x2axb)的图像关于直线x2对称，则f(x)的最大值为_解析：函数f(x)的图像关于直线x2对称，f(x)满足f

7、(0)f(4)，f(1)f(3)，即解得f(x)x48x314x28x15.由f(x)4x324x228x80，得x12，x22，x32.易知，f(x)在(，2)上为增函数，在(2，2)上为减函数，在(2，2)上为增函数，在(2，)上为减函数f(2)1(2)2(2)28(2)15(8)(8)806416.f(2)1(2)2(2)28(2)153(41615)9.f(2)1(2)2(2)28(2)15(8)(8)806416.故f(x)的最大值为16.三、解答题【2017，12】已知函数（1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，求的取值范围【解析】（1）由于，故，当时，从而恒成立在上单调递减；当时

8、，令，从而，得单调减极小值单调增 综上，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增（2）由（1）知，当时，在上单调减，故在上至多一个零点，不满足条件当时，令令，则从而在上单调增，而故当时，当时当时，若，则，故恒成立，从而无零点，不满足条件若，则，故仅有一个实根，不满足条件若，则，注意到故在上有一个实根，而又且故在上有一个实根又在上单调减，在单调增，故在上至多两个实根又在及上均至少有一个实数根，故在上恰有两个实根综上，【法二】令，则再令，则，而有两个零点，则有两解，即直线与曲线有两个交点；令，则，令，则，注意到，所以在上单调递增，在上单调递减，即；而，所以当时，；当时，所以，当有两解

9、时，的取值范围为【2016，12】已知函数有两个零点（）求的取值范围；（）设是的两个零点，证明：【解析】：由已知得：若，那么，只有唯一的零点，不合题意；若，那么，所以当时，单调递增;当时，单调递减;即：极小值故在上至多一个零点，在上至多一个零点由于，则，根据零点存在性定理，在上有且仅有一个零点而当时，故则的两根， ，因为，故当或时，因此，当且时，又，根据零点存在性定理，在有且只有一个零点此时，在上有且只有两个零点，满足题意若，则，当时，即，单调递增；当时，即，单调递减；当时，即，单调递增即：+0-0+极大值极小值而极大值故当时，在处取到最大值，那么恒成立，即无解而当时，单调递增，至多一个零点此

10、时在上至多一个零点，不合题意若，那么当时，即，单调递增当时，即，单调递增又在处有意义，故在上单调递增，此时至多一个零点，不合题意若，则当时，即，单调递增当时，即，单调递减当时，即，单调递增即：+0-0+极大值极小值故当时，在处取到最大值，那么恒成立，即无解当时，单调递增，至多一个零点,此时在上至多一个零点，不合题意综上所述，当且仅当时符合题意，即的取值范围为由已知得：，不难发现，故可整理得：, ，则，当时，单调递减；当时，单调递增设，构造代数式：设，,则，故单调递增，有因此，对于任意的，由可知、不可能在的同一个单调区间上，不妨设，则必有令，则有而，在上单调递增，因此：整理得：【2015，12】

11、已知函数，.（）当为何值时，轴为曲线的切线；（）用表示中的最小值，设函数（），讨论零点的个数.解：（），若轴为曲线的切线，则切点满足，也就是且，解得，因此，当时，轴为曲线的切线；（）当时，函数没有零点；当时，若，则，故是的零点；当时，以下讨论在区间上的零点的个数.对于，因为，所以令可得，那么（i）当或时，没有零点（或），在区间上是单调函数，且，所以当时，在区间上有一个零点；当时，在区间上没有零点；（ii）当时，（）且（），所以为最小值点，且.显然，若，即时，在区间上没有零点；若，即时，在区间上有1个零点；若，即时，因为，所以若，在区间上有2个零点；若，在区间上有1个零点.综上，当或时，有1个零

12、点；当或时，有2个零点；当时，有3个零点.【2014，21】设函数，曲线在点（1，处的切线为. ()求； （）证明：.【解析】() 函数的定义域为，由题意可得，故 6分（）由()知，(，从而等价于设函数，则，所以当时，当时，故在(单调递减，在单调递增，从而在的最小值为.设函数，则，所以当时，当时，故在单调递增，在单调递减，从而在的最小值. 综上：当时，即. 12分【2013，理21】设函数f(x)x2axb，g(x)ex(cxd)若曲线yf(x)和曲线yg(x)都过点P(0,2)，且在点P处有相同的切线y4x2.(1)求a，b，c，d的值；(2)若x2时，f(x)kg(x)，求k的取值范围解：

13、(1)由已知得f(0)2，g(0)2，f(0)4，g(0)4.而f(x)2xa，g(x)ex(cxdc)，故b2，d2，a4，dc4.从而a4，b2，c2，d2.(2)由(1)知，f(x)x24x2，g(x)2ex(x1)设函数F(x)kg(x)f(x)2kex(x1)x24x2，则F(x)2kex(x2)2x42(x2)(kex1)由题设可得F(0)0，即k1.令F(x)0得x1ln k，x22.若1ke2，则2x10.从而当x(2，x1)时，F(x)0；当x(x1，)时，F(x)0.即F(x)在(2，x1)单调递减，在(x1，)单调递增故F(x)在2，)的最小值为F(x1)而F(x1)2x

14、124x12x1(x12)0.故当x2时，F(x)0，即f(x)kg(x)恒成立若ke2，则F(x)2e2(x2)(exe2)从而当x2时，F(x)0，即F(x)在(2，)单调递增而F(2)0，故当x2时，F(x)0，即f(x)kg(x)恒成立若ke2，则F(2)2ke222e2(ke2)0.从而当x2时，f(x)kg(x)不可能恒成立综上，k的取值范围是1，e2【2012】21（本小题满分12分）已知函数满足（1）求的解析式及单调区间；（2）若，求的最大值【解析】（1）因为，所以，所以，解得，所以的解析式为，由此得而是R上的增函数，且，因此，当时，在上是增函数；当时，在上是减函数综上所述，函

15、数的增区间为，减区间为（2）由已知条件得 （i）若，则对任意常数，当，且，可得，因此式不成立（ii）若，则（iii）若，设，则 当，；当，从而在单调递减，在单调递增所以等价于 因此设，则所以在单调递增，在单调递减，故在在处取得最大值，从而，即当，时，式成立，故综合得，的最大值为【2011，21】已知函数，曲线在点处的切线方程为（）求、的值；（）如果当，且时，求的取值范围（21）解：（I）由于直线的斜率为，且过点，故，即，解得，. （II）由（I）知，所以考虑函数，则（i）设，由知，当时，. 而，故当时，可得；当时，可得从而当，且时，即. （ii）设，由于当时，故，而，故当时，可得，与题设矛盾. （iii）设，此时，而，故当时，得，与题设矛盾. 综合得，的取值范围为.