复数知识点总结(4页).doc

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1、-第 1 页复数知识点总结复数知识点总结-第 2 页复数复数一、一、复数的概念复数的概念1.虚数单位 i（1）它的平方等于1，即2i1；（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、乘法运算仍然成立，即满足交换律与结合律（3）i 的乘方：4414243*i1,ii,i1,ii,Nnnnnn ，它们不超出ib的形式2.复数的定义形如i(,)Rab a b的数叫做复数，,a b分别叫做复数的实部与虚部3.复数相等iiabcd，即,ac bd，那么这两个复数相等4.共轭复数izab时，izab性质：zz；2121zzzz；1121zzzz；);0()(22121zzzzz二、二、复平面及

2、复数的坐标表示复平面及复数的坐标表示1.复平面在直角坐标系里，点 z 的横坐标是a，纵坐标是b，复数izab可用点(,)Z a b来表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴为实轴，y 轴出去原点的部分称为虚轴2.复数的坐标表示点点(,)Z a b3.复数的向量表示向量向量OZ 4.复数的模在复平面内，复数izab对应点(,)Z a b，点 Z 到原点的距离OZ 叫做复数 z 的模，记作z由定义知，22zab三、三、复数的运算复数的运算-第 3 页1.加法(i)(i)()()iabcdacbd几何意义：几何意义：设1izab对应向量1(,)OZa b，2izcd对应向量2(,

3、)OZc d，则12zz对应的向量为12(,)OZOZac bd 因此复数的和可以在复平面上用平行四边形法则解释2.减法(i)(i)()()iabcdacbd几何意义：几何意义：设1izab对应向量1(,)OZa b，2izcd对应向量2(,)OZc d，则12zz对应的向量为1221(,)OZOZZ Zac bd 2212()()i()()zzacbdacbd表示1Z、2Z两点之间的距离，也等于向量12Z Z的模3.乘法abicdiacbd i.4.乘方mnm nzzz()mnmnzz1212()nnnzzzz5.除法22abicdiacbdbcad iabiabicdicdicdicdic

4、d.6.复数运算的常用结论四、四、复数的平方根与立方根复数的平方根与立方根1.平方根若2(i)iabcd，则iab是icd的一个平方根，(i)ab也是icd的平方根（1 的平方根是i）2.立方根如果复数1z、2z满足312zz，则称1z是2z的立方根（1）1 的立方根：21,（2）1的立方根：13131,i,i2222zz五、五、复数方程复数方程1.常见图形的复数方程（1）圆：0zzr（0r，0z为常数），表示以0z对应的点0Z为圆心，r为半径的圆-第 4 页（2）线段12Z Z的中垂线：12zzzz（其中12,z z分别对应点12,Z Z）（3）椭圆：122zzzza（其中0a 且122zza），表示以12,z z对应的点F1、F2 为焦点，长轴长为2a的椭圆（4）双曲线：122zzzza（其中0a 且122zza），表示以12,z z对应的点 F1、F2 为焦点，实轴长为2a的双曲线2.实系数方程在复数范围内求根（1）求根公式：21,21,221,240 20 2i40 2bbacxabxabbacxa 一对实根一对相等的实根一对共轭虚根（2）韦达定理：1212bxxacx xa