学而思-小升初专项训练--比例百分数篇-教师版(8页).doc

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1、-第 84 页学而思学而思-小升初专项小升初专项训练训练-比例百分数篇比例百分数篇-教师版教师版-第 84 页名校真题名校真题测试卷测试卷 9 9（比例百分数篇）（比例百分数篇）时间：时间：1515 分钟分钟满分满分 5 5 分分姓名姓名_测试成绩测试成绩_1（0606 年年清华附中清华附中考题）考题）甲甲、乙两种商品乙两种商品，成本共成本共 2200 元元，甲商品按甲商品按 20%的利润定价的利润定价，乙商品按乙商品按 15%的利润定价的利润定价，后来都按定价后来都按定价的的 90%打折出售，结果仍获利打折出售，结果仍获利 131 元，甲商品的成本是元，甲商品的成本是_元元.2（0505 年

2、年 101101 中学考题）中学考题）100100 千克刚采下的鲜蘑菇含水量为千克刚采下的鲜蘑菇含水量为 99%99%，稍微晾晒后，含水量下降到，稍微晾晒后，含水量下降到 98%98%，那么这，那么这 100100 千克的蘑菇现在还千克的蘑菇现在还有多少千克呢？有多少千克呢？3（0606 年年实验中学实验中学考题）考题）有两桶水有两桶水：一桶一桶 8 8 升升，一桶一桶 1313 升升，往两个桶中加进同样多的水后往两个桶中加进同样多的水后，两桶中水量之比是两桶中水量之比是 5 5：7 7，那麽往每个那麽往每个桶中加进去的水量是桶中加进去的水量是升。升。4（0606 年三帆中学考题）年三帆中学考

3、题）有甲有甲、乙两堆煤乙两堆煤，如果从甲堆运如果从甲堆运 1212 吨给乙堆吨给乙堆，那么两堆煤就一样重那么两堆煤就一样重。如果从乙堆运如果从乙堆运 1212 吨给甲堆吨给甲堆，那么甲那么甲堆煤就是乙堆煤的堆煤就是乙堆煤的 2 2 倍。这两堆煤共重（倍。这两堆煤共重（）吨。）吨。5（0303 年人大附中考题）年人大附中考题）一堆围棋子黑白两种颜色，拿走一堆围棋子黑白两种颜色，拿走 1515 枚白棋子后，黑子与白子的个数之比为枚白棋子后，黑子与白子的个数之比为 2 2:1 1；再拿走；再拿走 4545 枚黑棋子后，黑枚黑棋子后，黑子与白子的个数比为子与白子的个数比为 1 1:5 5，开始时黑棋子

4、，求白棋子各有多少枚？，开始时黑棋子，求白棋子各有多少枚？【附答案】【附答案】1【解解】：设方程设方程：设甲成本设甲成本为为X X 元元，则乙则乙为为2200-2200-X X 元元。根据条件我们可以求出列出方程根据条件我们可以求出列出方程：90%（1+1+20%）X+(1+X+(1+15%)(2200-X)-2200=131)(2200-X)-2200=131。解得。解得 X=1200X=1200。2 2【解【解】：转化成浓度问题：转化成浓度问题相当于蒸发问题，所以水不变，列方程得：相当于蒸发问题，所以水不变，列方程得：100100（1-99%1-99%）=（1-98%1-98%）X X，解

5、得，解得 X=50X=50。方法二方法二：做蒸发的题目做蒸发的题目，要改变思考角度要改变思考角度，本题就应该考虑成本题就应该考虑成“9898的干蘑菇加水后得到的干蘑菇加水后得到 9999的湿蘑菇的湿蘑菇”，这样求出加入多少水份即为蒸发掉的水份，就又转变成这样求出加入多少水份即为蒸发掉的水份，就又转变成“混合配比混合配比”的问题了。但要注意，的问题了。但要注意，1010 千克的标千克的标注应该是含水量为注应该是含水量为 9999的重量。将的重量。将 10100 0 千克按千克按 1 11 1 分配，分配，如下图：如下图：所以蒸发了所以蒸发了 1001001/2=501/2=50 升水。升水。3【

6、解解】此题的关键是抓住不变量此题的关键是抓住不变量：差不变差不变。这样原来这样原来两桶水差两桶水差 13-8=513-8=5 升升，往两个桶中加进同样多的往两个桶中加进同样多的水后，后来还是差水后，后来还是差 5 5 升，所以后来一桶为升，所以后来一桶为 5 5（7-57-5）5=12.55=12.5，所以加入水量为，所以加入水量为 4.54.5 升。升。4【解解】从甲堆运从甲堆运 1212 吨给乙堆两堆煤就一样重吨给乙堆两堆煤就一样重说明甲堆比乙堆原来重说明甲堆比乙堆原来重 12122=242=24 吨吨，这样这样乙堆运乙堆运 1212 吨吨给甲堆给甲堆，说明现在甲乙相差就是，说明现在甲乙相

7、差就是 24+24=4824+24=48 吨，而吨，而甲堆煤就是乙堆煤的甲堆煤就是乙堆煤的 2 2 倍倍，说明相差，说明相差 1 1 份，所以现在甲份，所以现在甲重重 48482=962=96 吨，总共重量为吨，总共重量为 48483=1443=144 吨。吨。5 5【解解】第二次拿走第二次拿走 4545 枚黑棋枚黑棋，黑子与白子的个数之比由黑子与白子的个数之比由 2 2:1 1（=10=10：5 5）变为变为 1 1:5 5，而其中白棋的数目是而其中白棋的数目是不变的，这样我们就知道白棋由原来的不变的，这样我们就知道白棋由原来的 1010 份变成现在的份变成现在的 1 1 份，减少了份，减少

8、了 9 9 份。这样原来黑棋份。这样原来黑棋=45=459 910=5010=50，白棋白棋=45=459 95+15=405+15=40。第九讲第九讲小升初专项训练小升初专项训练比例百分数篇比例百分数篇一、小升初考试一、小升初考试热点及命题方向热点及命题方向分数百分数是小学六年级重点学习的知识点，也是小升初重点考察的知识点，这一部分主要考察三大块分数百分数是小学六年级重点学习的知识点，也是小升初重点考察的知识点，这一部分主要考察三大块，分百应用题分百应用题；比和比例比和比例；经济浓度问题经济浓度问题；三块的地位是均等的三块的地位是均等的，在考试中都有可能出现在考试中都有可能出现，希望同学们全

9、面希望同学们全面复习，而不要厚此薄彼。复习，而不要厚此薄彼。二、二、20072007 年考点预测年考点预测0707 年的出题方式依然是大题中必然出现一道或者两道和本章内容相关的题目，占的分值权重较大，只要年的出题方式依然是大题中必然出现一道或者两道和本章内容相关的题目，占的分值权重较大，只要认真复习，掌握解题规律，则可以顺利的拿下这部分分值。认真复习，掌握解题规律，则可以顺利的拿下这部分分值。三、知识要点三、知识要点希望考入重点中学？奥数网是我们成就梦想的地方！深刻理解公式的用深刻理解公式的用法法！-第 85 页分数百分数应用题分数百分数应用题分数分数、百分数应用题是小学数学的重要内容百分数应

10、用题是小学数学的重要内容，也是小学数学重点和难点之一也是小学数学重点和难点之一一方面它是在整数应用一方面它是在整数应用题基础上的继续和深化题基础上的继续和深化；另一方面另一方面，它有其本身的特点和解题规律它有其本身的特点和解题规律因此因此，在这类问题中在这类问题中，数量之间以及数量之间以及“量量”、“率率”之间的相依关系与整数应用题比较之间的相依关系与整数应用题比较，就显得较为复杂就显得较为复杂，这就给正确地选择解题方法这就给正确地选择解题方法，正确正确解答带来一定困难解答带来一定困难为了学好分数、百分数应用题的解法必须做好以下几方面工作为了学好分数、百分数应用题的解法必须做好以下几方面工作具

11、备整数应用题的解题能力具备整数应用题的解题能力解答整数应用题的基础知识解答整数应用题的基础知识，如概念如概念、性质性质、法则法则、公式等仍广泛用公式等仍广泛用于分数、百分数应用题于分数、百分数应用题在理解、掌握分数的意义和性质的前提下灵活运用在理解、掌握分数的意义和性质的前提下灵活运用学会画线段示意图学会画线段示意图线段示意图能直观地揭示线段示意图能直观地揭示“量量”与与“百分率百分率”之间的对应关系之间的对应关系，发现量与百分发现量与百分率之间的隐蔽条件率之间的隐蔽条件它可以帮助我们在复杂的条件与问题中理清思路它可以帮助我们在复杂的条件与问题中理清思路，正确地进行分析正确地进行分析、综合综合

12、、判断和推判断和推理理学会多角度学会多角度、多侧面思考问题的方法多侧面思考问题的方法分数百分数应用题的条件与问题之间的关系变化多端分数百分数应用题的条件与问题之间的关系变化多端，单靠单靠统一的思路模式有时很难找到正确解题方法统一的思路模式有时很难找到正确解题方法因此因此，在解题过程中在解题过程中，要善于掌握对应要善于掌握对应、假设假设、转化等多种转化等多种解题方法，在寻找正确的解题方法同时，不断地开拓解题思路解题方法，在寻找正确的解题方法同时，不断地开拓解题思路比和比例比和比例这一讲主要涉及比例的意义和性质，按比例分配，正反比例等几个知识。这一讲主要涉及比例的意义和性质，按比例分配，正反比例等

13、几个知识。在应用题的各种类型中在应用题的各种类型中，有一类与数量之间的有一类与数量之间的（正正、反反）比例关系有关比例关系有关在解答这类应用题时在解答这类应用题时，我们需要我们需要对题中各个量之间的关系作出正确的判断对题中各个量之间的关系作出正确的判断成正比或反比的量中都有两种相关联的量成正比或反比的量中都有两种相关联的量 一种量一种量（记作记作 x）变化时另一种量变化时另一种量（记作记作 y）也随着变化也随着变化 与与这两个量联系着，有一个不变的量（记为这两个量联系着，有一个不变的量（记为 k）。在判断变量在判断变量 x 与与 y 是否成正、反比例时，我们要紧紧抓住是否成正、反比例时，我们要

14、紧紧抓住这个不变量这个不变量 k如如：成正比例；如果成正比例；如果 k 是是 y 与与 x 的积，即在的积，即在 x 变化时，变化时，y 与与 x 的积不变：的积不变：xyk，那么，那么 y 与与 x 成反比例如果成反比例如果这两个关系式都不成立，那么这两个关系式都不成立，那么 y 与与 x 不成（正和反）比例不成（正和反）比例经济浓度问题经济浓度问题这一节的内容与生活实际联系很紧密这一节的内容与生活实际联系很紧密，在浓度问题中要理解好溶剂在浓度问题中要理解好溶剂、溶质溶质、溶液溶液、浓度这几个量之间的关浓度这几个量之间的关系。而经济问题中，则要恰当处理好成本、售价、利润、利润率这几个量的关系

15、。系。而经济问题中，则要恰当处理好成本、售价、利润、利润率这几个量的关系。四、典型例题解析四、典型例题解析1 1分数百分数应用题分数百分数应用题【例【例 1 1】（）某班有学生某班有学生 4848 人人，女生占全班的女生占全班的 37.537.5，后来又转来女生若干人后来又转来女生若干人，这时人数恰好是占全这时人数恰好是占全班人数的班人数的 4040，问转来几名女生？，问转来几名女生？【解】这是一道变换单位【解】这是一道变换单位“1 1”的分数应用题，需抓住男生人数这个不变量，如果按浓度问题做，就简单的分数应用题，需抓住男生人数这个不变量，如果按浓度问题做，就简单多了。多了。浓度差之比浓度差之

16、比 1 12424重量之比重量之比 24241 1484824241=21=2 人人方法二方法二：男生原来有男生原来有 4848（1-1-37.537.5）=30=30，来了女生后男生的人数书不变的来了女生后男生的人数书不变的，所以后来全班的总人数就所以后来全班的总人数就是是 3030（1-1-4040）=50=50，所以增加的，所以增加的 2 2 人就是转来的女生人数。人就是转来的女生人数。【例【例 2 2】（）把一个正方形的一边减少）把一个正方形的一边减少 2020，另一边增加，另一边增加 2 2 米，得到一个长方形米，得到一个长方形.它与原来的正方形它与原来的正方形面积相等面积相等.问正

17、方形的面积是多少？问正方形的面积是多少？【解】设正方形的边长是【解】设正方形的边长是“1 1”.因为长方形与原来的正方形面积相等，一边减少了因为长方形与原来的正方形面积相等，一边减少了 2020，另一边将增加，另一边将增加所以正方形的边长是所以正方形的边长是2 225258 8（米）（米）.正方形的面积是正方形的面积是8 88 8 6464（平方米）（平方米）.【例【例 3 3】（）学校男生人数占学校男生人数占 45，会游泳的学生占会游泳的学生占 54。男生中会游泳的占男生中会游泳的占 72，问在全体学生问在全体学生-第 86 页中不会游泳的女生占百分之几？中不会游泳的女生占百分之几？【解【解

18、 1 1】在全体学生中，不会游泳的女生占在全体学生中，不会游泳的女生占 33.433.4.在全体学生中，会游泳的男生占在全体学生中，会游泳的男生占4545727232.432.4.在会游泳的学生中，男生占在会游泳的学生中，男生占32.432.45454100100 6060在全体学生中，不会游泳的女生占（在全体学生中，不会游泳的女生占（100100-45-45）-54-54（1-601-60）33.433.4.【解【解 2】画一个图非常清楚。】画一个图非常清楚。【例【例 4】某校四年级原有某校四年级原有 2 2 个班，现在要重新编为个班，现在要重新编为 3 3 个班，将原一班的个班，将原一班的

19、 1/31/3 与原二班的与原二班的 1/41/4 组成新一班组成新一班，将原一班的将原一班的 1/41/4 与原二班的与原二班的 1/31/3 组成新二班，余下的组成新二班，余下的 3030 人组成新三班。如果新一班的人数比新二班的人人组成新三班。如果新一班的人数比新二班的人数多数多 10%10%，那么原一班有多少人？，那么原一班有多少人？【解【解】：原一班的：原一班的 1/31/3 与原二班的与原二班的 1/41/4+原一班的原一班的 1/41/4 与原二班的与原二班的 1/3=7/121/3=7/12 总人数，总人数，余下余下 1-7/12=5/121-7/12=5/12，是，是 303

20、0 人，所以总人数人，所以总人数=30/=30/（5/125/12）=72=72 人；人；72-30=4272-30=42 人，新一班与新二班的人数和人，新一班与新二班的人数和为为 4242 人人，新一班的人数比新二班的人数多新一班的人数比新二班的人数多 10%10%，新一班人数新一班人数：新二班人数新二班人数=11=11：1010，即原一班的即原一班的（1/3-1/41/3-1/4）=1/12=1/12 比原二班的比原二班的 1/121/12 多多 2 2 人，原一班比原二班共多人，原一班比原二班共多 12122=242=24 人，所以，原一班有人，所以，原一班有 24+24+（72-247

21、2-24）/2=4/2=48 8人。人。答：原一班有答：原一班有 4848 人。人。2 2比和比例比和比例【例【例 5 5】（）一个长方形长与宽的比是一个长方形长与宽的比是 14：5，如果长减少，如果长减少 13 厘米，宽增加厘米，宽增加 13 厘米，则面积增厘米，则面积增加加182 平方厘米，那么原长方形面积是多少平方厘米？平方厘米，那么原长方形面积是多少平方厘米？画出图便于解题：画出图便于解题：【解【解 1 1】：】：BCBC 的长：的长：18218213131414（厘米），（厘米），BDBD 的长：的长：141413132727（厘米），（厘米），从图中看出从图中看出 ABAB 长就是

22、原长方形的宽，长就是原长方形的宽，ADAD 与与 ABAB 的比是的比是 14145 5，ABAB 与与 BDBD 的比是的比是 5 5（14145 5）5 59 9，原长方形面积是原长方形面积是 42421515630630（平方厘米）（平方厘米）。答：原长方形面积是答：原长方形面积是 630630 平方厘米平方厘米。【解【解 2 2】：设原长方形长为】：设原长方形长为 14x14x，宽为，宽为 5x5x由图分析得方程由图分析得方程（14x14x1313）13135x5x1313182182，9x9x2727，x x3 3。则原长方形面积则原长方形面积（143）（53）630（平方厘米（平方

23、厘米）。【拓展】已知长方形的周长为【拓展】已知长方形的周长为 346346 米，若边长分别增加米，若边长分别增加 2 2 米，则面积增加多少平方米？米，则面积增加多少平方米？设两边长分别为设两边长分别为 a a、b b，这样增加的面积我们可以分为一个，这样增加的面积我们可以分为一个 2 22 2 的正方形，一个的正方形，一个 2 2a a 的长方形，一个的长方形，一个 2 2b b 的长方形，所以增加的面积就是的长方形，所以增加的面积就是 2 2（a+ba+b）+2+22=3502=350 平方米。平方米。【例【例 6 6】（）有正方形和长方形两种不同的纸板，正方形纸板总数与长方形纸板总数之比

24、为有正方形和长方形两种不同的纸板，正方形纸板总数与长方形纸板总数之比为 25。现在将这些纸板全部用来拼成横式和竖式两种无盖纸盒现在将这些纸板全部用来拼成横式和竖式两种无盖纸盒，其中竖式盒由一块正方形纸板做底面其中竖式盒由一块正方形纸板做底面，四块长方四块长方形纸板做侧面（左下图形纸板做侧面（左下图），横式盒由一块长方形纸板做底面，两块长方形和两块正方形纸板做侧面（右下，横式盒由一块长方形纸板做底面，两块长方形和两块正方形纸板做侧面（右下图图），那么做成的竖式纸盒与横式纸盒个数之比是多少？，那么做成的竖式纸盒与横式纸盒个数之比是多少？【解】【解】4 43 3。设竖式纸盒有。设竖式纸盒有 a a

25、个，横式纸盒有个，横式纸盒有 b b 个，则共用长方形纸板（个，则共用长方形纸板（4a4a3b3b）块，正方形纸板（）块，正方形纸板（a a2b2b）块。根据题意有：）块。根据题意有：（a2b）（4a3b）25，即，即 5（a2b）2（4a3b），解得，解得 ab43。【例【例 7 7】（）某学校入学考试，参加的男生与女生人数之比是某学校入学考试，参加的男生与女生人数之比是 43.结果录取结果录取 91 人，其中男生与女人，其中男生与女-第 87 页生人数之比是生人数之比是 85.未被录取的学生中，男生与女生人数之比是未被录取的学生中，男生与女生人数之比是 34.问报考的共有多少人？问报考的共

26、有多少人？【解【解 1】报考人数是报考人数是 119119 人人，录取学生中男生：录取学生中男生：9191858=56=56 人，女：人，女：91-56=3591-56=35（人）（人）.先将未录取的人数之比先将未录取的人数之比 3 3：4 4 变成变成 4 4：4 434，又有，又有 5656344242（人）（人）未录取男生未录取男生 4 4 3=3=1212（人（人），女生，女生 1616（人（人）。报考人数是报考人数是（56+56+1212）+（3535+1616）=119119（人（人）。【解【解 2 2】(56+3x)(56+3x)：（35+4x35+4x）=4=4：3 3得：得：

27、X X=4=4未录取男生未录取男生 4 4 3=3=1212（人（人），女生，女生 1616（人（人）。报考人数是报考人数是（56+56+1212）+（3535+1616）=119119（人（人）。【例【例 8 8】（）幼儿园大班和中班共有）幼儿园大班和中班共有 3232 名男生，名男生，1818 名女生。已知大班男生数与女生数的比为名女生。已知大班男生数与女生数的比为 5:35:3，中班中男生数与女生数的比为中班中男生数与女生数的比为 2:12:1，那么大班有女生多少名？，那么大班有女生多少名？【解】【解】方法一方法一：鸡兔同笼：鸡兔同笼 思思路路：由于男女生有比例关系，而且知道总数，所以我

28、们可以用鸡兔同笼。：由于男女生有比例关系，而且知道总数，所以我们可以用鸡兔同笼。解：假设解：假设 1818 名女生全部是大班，则名女生全部是大班，则大班男生数：女生数大班男生数：女生数=5:3=30=5:3=30：1818，即男生应有，即男生应有 3030 人，人，实际男生有实际男生有 3232 人，人，32-30=232-30=2，相差，相差 2 2 个人；个人；中班男生数：女生数中班男生数：女生数=2:1=6=2:1=6：3 3，以以 3 3 个中班女生换个中班女生换 3 3 个大班女生，每换一组可增加个大班女生，每换一组可增加 1 1 个男生，需要换个男生，需要换 2 2 组；组；所以，

29、大班女生有所以，大班女生有 18-318-32=122=12 个。个。答：大班有女生答：大班有女生 1212 名。名。方法二方法二：份数：份数 思思路路 ：可以把中班女可以把中班女生数看作生数看作“1 1”份，那么中班男生数为份，那么中班男生数为 2 2 份从而大班中的男生份从而大班中的男生数为数为 32322 2 份份，大班里的女生人数是大班里的女生人数是 18181 1 份根据题意有份根据题意有(32(322 2 份份)：(18(181 1 份份)=5 5：3 3，只要，只要求出求出 1 1 份份的数目即可。的数目即可。解：设解：设中班女中班女生数看作生数看作“1 1”，(32(322 2

30、 份份)：(18(181 1 份份)=5 5：3 3，求出一，求出一份是份是 6 6 人人所以所以大班的女生则有大班的女生则有 18186=126=12 人人答：大班有女生答：大班有女生 1212 名。名。3 3经济浓度问题经济浓度问题【例【例 9 9】（】（）某商店进了一批笔记本，按）某商店进了一批笔记本，按 3030的利润定价的利润定价.当售出这批笔记本的当售出这批笔记本的 8080后，为了尽早后，为了尽早销完，商店把这批笔记本按定价的一半出售销完，商店把这批笔记本按定价的一半出售.问销完后商店实际获得的利润百分数是多少？问销完后商店实际获得的利润百分数是多少？【解】设这批笔记本的成本是【

31、解】设这批笔记本的成本是“1 1”.因此定价是因此定价是 1 1（1+1+3030）1.3.1.3.其中其中8080的卖价是的卖价是 1.31.38080，2020的卖价是的卖价是 1.31.32 22020.因此全部卖价是因此全部卖价是1.31.38080 1.31.3 2 22020 1.17.1.17.实际获得利润的百分数是实际获得利润的百分数是1.171.171 1 0.170.171717.【例【例 10】（）A，B，C 三个试管中各盛有三个试管中各盛有 10 克克、20 克克、30 克水克水。把某种浓度的盐水把某种浓度的盐水 10 克倒入克倒入 A中，混合后取出中，混合后取出 10

32、 克倒入克倒入 B 中，混合后又从中，混合后又从 B 中取出中取出 10 克倒入克倒入 C 中中。现在现在 C 中盐水浓度是中盐水浓度是 0.5。问最早倒入问最早倒入 A 中的盐水浓度是多少？中的盐水浓度是多少？-第 88 页【解】【解】最早倒入最早倒入 A 中的盐水浓度为中的盐水浓度为 12。B 中盐水的浓度是中盐水的浓度是（30 10）0.5 10100=2。现在现在 A 中盐水的浓度是中盐水的浓度是（2010）2 10100 6。最早倒入最早倒入 A 中的盐水浓度为中的盐水浓度为（1010）6 10=12。【例例 11】（）小明到商店买红小明到商店买红、黑两种笔共黑两种笔共 6666 支

33、支。红笔每支定价红笔每支定价 5 5 元元，黑笔每支定价黑笔每支定价 9 9 元元。由于买由于买的数量较多，商店就给予优惠，红笔按定价的数量较多，商店就给予优惠，红笔按定价 8585付钱，黑笔按定价付钱，黑笔按定价 8080付钱，如果他付的钱比按定价少付钱，如果他付的钱比按定价少付了付了 1818，那么他买了红笔多少支？，那么他买了红笔多少支？【来源来源】北京市第】北京市第 1414 届迎春杯数学竞赛初赛试题届迎春杯数学竞赛初赛试题【解】浓度倒三角的妙用：【解】浓度倒三角的妙用：红笔按红笔按 8585优惠优惠，黑笔按黑笔按 8080优惠优惠，结果少付结果少付 1818，相当于按相当于按 828

34、2优惠优惠，可按浓度问题进行配比可按浓度问题进行配比。与其与其他题不同的地方在于红、黑两种笔的单价不同，要把这个因素考虑进去。然后就可以按比例分配这他题不同的地方在于红、黑两种笔的单价不同，要把这个因素考虑进去。然后就可以按比例分配这 6666 支支笔了。笔了。【例例 12】制鞋厂生产的皮鞋按质量共分制鞋厂生产的皮鞋按质量共分 10 个档次，生产最低档次（即第个档次，生产最低档次（即第 1 档次）的皮鞋每双利润为档次）的皮鞋每双利润为 24元元。每提高一个档次每提高一个档次，每双皮鞋利润增加每双皮鞋利润增加 6 元元。最低档次的皮鞋每天可生产最低档次的皮鞋每天可生产 180 双双，提高一个档次

35、每天将提高一个档次每天将少生产少生产 9 双皮鞋。按天计算，生产哪个档次的皮鞋所获利润最大？最大利润是多少元？双皮鞋。按天计算，生产哪个档次的皮鞋所获利润最大？最大利润是多少元？【解】【解】第第 9 档次；档次；7776 元。元。由题意由题意，生产第生产第 n（n=1，2，10）档次的皮鞋档次的皮鞋，每天生产的双数为每天生产的双数为 1899n=9（21n）双双，每双利每双利润为润为 186n=6（3n）（元），所以每天获利润）（元），所以每天获利润6（3n）9（21n）=54（3n）（21n）元。）元。两个数的和一定时，这两个数越接近，这两个数的乘积越大。上式中，因为（两个数的和一定时，这两

36、个数越接近，这两个数的乘积越大。上式中，因为（3+n）与（）与（21n）的和）的和是是24，而而 n=9 时时，（3n）与与（21n）都等于都等于 12，所以每天生产第所以每天生产第 9 档次的皮鞋所获利润最大档次的皮鞋所获利润最大，最大利润最大利润是是 54（39）（219）7776（元）。（元）。小结小结本讲主要接触到以下几种典型题型：本讲主要接触到以下几种典型题型：1 1）分数百分数应用题）分数百分数应用题参见例参见例 1 1，2 2，3 3，4 42 2）比和比例）比和比例参见例参见例 5 5，6 6，7 7，8 83 3）经济浓度问题）经济浓度问题参见例参见例 9 9，1010，11

37、11，1212【课外知识】【课外知识】勾股定理勾股定理勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边的平方之和一定等于斜边的平方。勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边的平方之和一定等于斜边的平方。这个定理在中国又称为这个定理在中国又称为 商高定理商高定理，在外国称为，在外国称为 毕达哥拉斯定理毕达哥拉斯定理。为什么一个定理有这么。为什么一个定理有这么多名称呢？商高是公元前十一世纪的中国人多名称呢？商高是公元前十一世纪的中国人。当时中国的朝代是西周当时中国的朝代是西周，是奴隶社会时期是奴隶社会时期。在中国古代在中国古代大约是战国时期西汉的数学著作大约是战国时期西汉的数学著作周髀算经周髀算经

38、中记录着商高同周公的一段对话中记录着商高同周公的一段对话。商高说商高说：故折矩故折矩，勾广三，股修四，经隅五。勾广三，股修四，经隅五。什么是什么是 勾、股勾、股 呢？在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分呢？在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为称为 勾勾，下半部分称为下半部分称为 股股。商高那段话的意思就是说商高那段话的意思就是说：当直角三角形的两条直角边分别为当直角三角形的两条直角边分别为 3 3（短短边）和边）和 4 4（长边）时，径隅（就是弦）则为（长边）时，径隅（就是弦）则为 5 5。以后人们就简单地把这个事实说成。以后人们就简单地把这个事实说成 勾三股四弦五勾三股四

39、弦五。由于勾股定理的内容最早见于商高的话中，所以人们就把这个定理叫作由于勾股定理的内容最早见于商高的话中，所以人们就把这个定理叫作 商高定理商高定理。毕达哥拉斯（毕达哥拉斯（PythagorasPythagoras）是古希腊数学家，他是公元前五世纪的人，比商高晚出生五百多）是古希腊数学家，他是公元前五世纪的人，比商高晚出生五百多年年。希腊另一位数学家欧几里德希腊另一位数学家欧几里德（EuclidEuclid，是公元前三百年左右的人是公元前三百年左右的人）在编著在编著几何原本几何原本时时，认为认为这个定理是毕达哥达斯最早发现的，所以他就把这个定理称为这个定理是毕达哥达斯最早发现的，所以他就把这个

40、定理称为 毕达哥拉斯定理毕达哥拉斯定理，以后就流传开了，以后就流传开了。关于勾股定理的发现关于勾股定理的发现，周髀算经周髀算经上说上说：故禹之所以治天下者故禹之所以治天下者，此数之所由生也此数之所由生也。此数此数-第 89 页指的是指的是 勾三股四弦五勾三股四弦五，这句话的意思就是说：勾三股四弦五这种关系是在大禹治水时发现的。，这句话的意思就是说：勾三股四弦五这种关系是在大禹治水时发现的。勾股定理的应用非常广泛。我国战国时期另一部古籍路史后记十二注中就有这样的记载：勾股定理的应用非常广泛。我国战国时期另一部古籍路史后记十二注中就有这样的记载：禹治洪水决流江河禹治洪水决流江河，望山川之形望山川之

41、形，定高下之势定高下之势，除滔天之灾除滔天之灾，使注东海使注东海，无漫溺之患无漫溺之患，此勾股之所系此勾股之所系生也。生也。这段话的意思是说：大禹为了治理洪水，使不决流江河，根据地势高低，决定水流走向，因这段话的意思是说：大禹为了治理洪水，使不决流江河，根据地势高低，决定水流走向，因势利导，使洪水注入海中，不再有大水漫溺的灾害，是应用勾股定理的结果。势利导，使洪水注入海中，不再有大水漫溺的灾害，是应用勾股定理的结果。作业题作业题（注：作业题（注：作业题-例题类型对照表，供参考）例题类型对照表，供参考）题题 1 1类型类型 1 1；题；题 2 2，4 4，5 5，6 6，8 8类型类型 4 4；

42、题；题 3 3，7 7类型类型 5 51、（）某中学，上年度高中男、女生共某中学，上年度高中男、女生共 290 人人.这一年度高中男生增加这一年度高中男生增加 4，女生增加，女生增加 5，共增，共增加加13 人人.本年度该校有男、女生各多少人？本年度该校有男、女生各多少人？【解】【解】男生男生 156156 人，女生人，女生 147147 人人。如果女生也是增加如果女生也是增加 4 4，这样增加的人数这样增加的人数是是 2902904 411.611.6（人人）.比比 1 13 3 人少人少 1.1.4 4 人人.因此上年度是因此上年度是 1.41.4（5 5-4 4）140140（人）（人）

43、.本年度女生有本年度女生有140140（1 15 5）147147（人）（人）.2、（）在在下下图中图中 AB，AC 的长度是的长度是 15，BC 的长度是的长度是 9.把把 BC 折过去与折过去与 AC 重合重合，B 点落在点落在 E 点上点上，求三角形求三角形 ADE 与三角形与三角形 ABC 面积之比面积之比.【解】【解】1 14.4.三角形三角形 ADEADE 与三角形与三角形 EDCEDC 面积之比是面积之比是（15-915-9）9.9.3、（）成本成本 0.25 元的练习本元的练习本 1200 本本，按按 40的利润定价出售的利润定价出售。当销掉当销掉 80后后，剩下的练习本打剩下

44、的练习本打折扣出售，结果获得的利润是预定的折扣出售，结果获得的利润是预定的 86，问剩下的练习本出售时是按定价打了什么折扣？，问剩下的练习本出售时是按定价打了什么折扣？【解】【解】打了打了 8 8 折折.先销掉先销掉 8080，可以获得利润，可以获得利润 0.250.254040120012008080 96.96.按按 8686获得利润获得利润 0.250.254040120012008686=103.2.=103.2.因此，出售剩下的因此，出售剩下的 2020，要获得利润，要获得利润103.2-96=7.2103.2-96=7.2（元），（元），每本需要获得利润每本需要获得利润7.27.2

45、（12001200 2020）=0.030.03（元）（元）。现在售价是现在售价是 0.250.25 0.030.03 0.280.28（元），定价是（元），定价是0.250.25（1 1 4040）0.350.35（元）（元）。售价是定价的售价是定价的 0.28 0.35=80。4、（）甲乙两人各有一些书，甲比乙多的数量恰好是两人总数的甲乙两人各有一些书，甲比乙多的数量恰好是两人总数的1 14 4，如果甲给乙，如果甲给乙 2020 本，那么乙比本，那么乙比甲多的数量恰好是两人总数的甲多的数量恰好是两人总数的1 16 6。那么他们共有多少本书？。那么他们共有多少本书？【解【解】甲比乙多的数量恰

46、好是两人总数的甲比乙多的数量恰好是两人总数的1 14 4，把把差差1 1份份，和和4 4份份，用和差问题来算一下用和差问题来算一下，大数为大数为:(4+1)/2=2.5,:(4+1)/2=2.5,小数小数:(4-1)/2=1.5,:(4-1)/2=1.5,得甲是得甲是 2.52.5 份份,乙是乙是 1.51.5 份份,甲与乙的比是甲与乙的比是 5:3.5:3.同理同理,甲给乙甲给乙 2020 本后本后,甲与乙的比是甲与乙的比是 5 5：7 7，思考一下为什么是，思考一下为什么是 5 5：7 7，不要把前后项颠倒了。因为甲给，不要把前后项颠倒了。因为甲给乙乙2020 本书，甲减少多少，乙就增加多

47、少，甲乙两人共有书的总数不变，我们就把和的份数统一一下，在这本书，甲减少多少，乙就增加多少，甲乙两人共有书的总数不变，我们就把和的份数统一一下，在这里里 8 8 与与 1212 的最小公倍数是的最小公倍数是 2424 份：份：5 5：3=153=15：9 95 5：7=107=10：1414观察比较甲从观察比较甲从 1515 份变为份变为 1010 份，是因为少了份，是因为少了 2020 本书，因此每份是本书，因此每份是 4 4 本，共有书就为本，共有书就为 4 4（15+915+9）=96=96 本本。5、（）甲、乙、丙三位同学共有图书甲、乙、丙三位同学共有图书 108 本本.乙比甲多乙比甲

48、多 18 本，乙与丙的图书数之比是本，乙与丙的图书数之比是 54.求甲、求甲、乙、丙三人所有的图书数之比乙、丙三人所有的图书数之比.【解】【解】3 35 54.4.（108+18108+18）（5 5+5+5+4 4）=9 9-第 90 页甲、乙、丙三人图书数之比是甲、乙、丙三人图书数之比是（9 95-185-18）（9 95 5）（9 94 4）=3=35 54 4。6、（）一个容器内已注满水，有大、中、小三个球一个容器内已注满水，有大、中、小三个球。第一次把小球沉入水中；第二次把小球取出第一次把小球沉入水中；第二次把小球取出，把中球沉入水中；第三次取出中球，把小球和大球一起把中球沉入水中；

49、第三次取出中球，把小球和大球一起，第三次是第一次第三次是第一次的的2.52.5 倍，求三个球的体积之比倍，求三个球的体积之比。【解】【解】三种球体积之比是三种球体积之比是 2 28 811.11.设小球体积是设小球体积是 1.1.当容器水满时，放一个球，就要溢出同样体积的水，因此可以用小球体积来计算溢当容器水满时，放一个球，就要溢出同样体积的水，因此可以用小球体积来计算溢出的水量出的水量.小球时，容器中已经空出体积小球时，容器中已经空出体积 1 1，因此中球的体积是，因此中球的体积是 3+1=4.3+1=4.未取出中球时未取出中球时，水是满的水是满的，取出中球后取出中球后，容器空出体积容器空出

50、体积 4.4.再沉入小球和大球溢出水量是再沉入小球和大球溢出水量是 2.52.5，小球和小球和大球的沉入，水又是满了，因此小球和大球的体积是大球的沉入，水又是满了，因此小球和大球的体积是 4+2.5=6.54+2.5=6.5，而大球的体积是，而大球的体积是 6.5-1=5.5.6.5-1=5.5.三个球的体积之比是三个球的体积之比是1 4 5.5=2 8 11.7、（）某种密瓜每天减价某种密瓜每天减价 20.第一天妈妈按定价减价第一天妈妈按定价减价 20买了买了 3 个密瓜个密瓜，第二天妈妈又买了第二天妈妈又买了 5 个密个密瓜，两天共花了瓜，两天共花了 42 元元.如这如这 8 个密瓜都在第