优化设计复习题(原)(8页).doc

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1、-第 1 页优化设计复习题(原)-第 2 页优化设计复习题一、单项选择题(在每小题列出的选项中只有一个选项是符合题目要求的)1.多元函数 F(X)在点 X*附近偏导数连续，F(X*)=0 且H(X*)正定，则该点为F(X)的（）极小值点 极大值点鞍点不连续点2.F(X)为定义在n 维欧氏空间中凸集D 上的具有连续二阶偏导数的函数，若 H(X)正定，则称 F(X)为定义在凸集 D上的（）凸函数 凹函数3.黄金分割法中，每次缩短后的新区间长度与原区间长度的比值始终是一个常数，此常数是（）0.3820.1860.6180.8164.在单峰搜索区间x1,x3(x1x4,并且其函数值F（x4）F(x2)

2、，则取新区间为（）x1,x4x2,x3x1,x2x4,x35.用变尺度法求一n 元正定二次函数的极小点，理论上需进行一维搜索的次数最多为（）n 次2n 次n+1 次2 次6.下列特性中，梯度法不具有的是（）二次收剑性 要计算一阶偏导数对初始点的要求不高只利用目标函数的一阶偏导数值构成搜索方向8.对于极小化F(X)，而受限于约束g(X)0(=1,2,m)的优化问题，其内点罚函数表达式为（）(X,r(k)=F(X)-r(k)11/()gXuum(X,r(k)=F(X)+r(k)11/()gXuum(X,r(k)=F(X)-r(k)max,()01gXuum(X,r(k)=F(X)-r(k)min,

3、()01gXuum9.外点罚函数法的罚因子为（）递增负序列 递减正序列 递增正序列 递减负序列10函数F（X）为在区间10，20内有极小值的单峰函数，进行一维搜索时，取两点13 和16，若F（13）0 时，则 q 应为（）等式约束数目不 等 式 约 束 数 目起作用的等式约束数目 起作用的不等式约束数目26.在图示极小化的约束优化问题中，最优点为（）A B C D27.内点罚函数(X,r(k)=F(X)-r(k)101gXgXuuum(),()，在其无约束极值点X(r(k)逼近原目标函数的约束最优点时，惩罚项中（）r(k)趋向零，11gXuum()不趋向零r(k)趋向零，11gXuum()趋向

4、零r(k)不趋向零，11gXuum()趋向零r(k)不趋向零，11gXuum()不趋向零29.0.618 法在迭代运算的过程中，区间的缩短率是（）不变的任意变化的 逐渐变大逐渐变小30.对于目标函数F(X)受约束于gu(X)0(u=1,2,，m)的最优化设计问题，外点法惩罚函数的表达式是（）(k)(k)2()1X,MF XMmax(),0,mkuugXM为递增正数序列(k)(k)2()1X,MF XMmax(),0,mkuugXM为递减正数序列(k)(k)2()1X,MF XMmin(),0,mkuugxM为递增正数序列(k)(k)2()1X,MF XMmin(),0,mkuugxM为递减正数

5、序列31.对于二次函数F(X)=12XTAX+bTX+c,若X*为其驻点，则F(X*)为（）零无穷大正值负值32.在约束优化方法中，容易处理含等式约束条件的优化设计方法是（）可行方向法 复合形法 内点罚函数法 外点罚函数法33已知 F(X)=(x1-2)2+x22,则在点 X(0)=00处的梯度为（）34Powell 修正算法是一种（）一维搜索方法处理约束问题的优化方法利用梯度的无约束优化方法不利用梯度的无约束优化方法二、多项选择题(在每小题列出的多个选项中有两个以上选项是符合题目要求的，多选、少选、错选均无分)35.下列矢量组中，关于矩阵A=105051.共轭的矢量组是（）s1=0 1,s2

6、=1 0Ts1=-1 1T,s2=1 1Ts1=1 0T,s2=1 2Ts1=11T,s2=12T.s1=1 2T,s2=21T36.对于只含不等式约束的优化设计问题，可选用的优化方法有()Powell 法 变尺度法 内点罚函数法外点罚函数法 E.混合罚函数法37.根据无约束多元函数极值点的充分条件，已知驻点X*，下列判别正确的是()若Hesse 矩阵H(X*)正定，则X*是极大值点 若Hesse 矩阵H(X*)正定，则X*是极小值点 若Hesse 矩阵H(X*)负定，则X*是极大值点 若Hesse 矩阵H(X*)负定，则X*是极小值点 若Hesse 矩阵H(X*)不定，则X*是鞍点38.下述

7、Hesse矩阵中，正定矩阵为（）39.F(X)在区间a,b上为单峰函数，区间内函数情况如图所示：F1=F2。利用试探法可知缩短后的有极值区间可以-第 4 页是（）a,a1a,b1a1,b1a1,bb1,b三、简答题40.在内点罚函数法中，初始罚因子的大小对优化计算过程有何影响?41.什么是库恩塔克条件？其几何意义是什么？42.求解优化问题的基本思想和策略是什么?43.设计一容积为V 的平底、无盖圆柱形容器，要求消耗原材料最少。试建立其优化设计的数学模型，并指出属于哪一类优化问题。44.某厂生产两种机器，两种产品生产每台所需钢材分别为2t 和3t，所需工时分别为4 千小时和8 千小时，而产值分别

8、为 4 万元和 6 万元。如果每月工厂能获得原材料为100t，总工时为120千小时。现应如何安排两种机器的月产台数，才能使月产值最高。试写出这一优化问题的标准形式的数学模型。指出这是什么型式的优化设计问题?45.写出POWELL 方法基本算法的要点。46有约束函数为：gj(x)=1-max0，试写出其规格化处理的表达式。47什么叫二次收敛，哪些优化方法是二次收敛的（最少写出三种）。48黄金分割法与二次插值法有何区别，它们对搜索区间的函数各有何要求。49什么叫函数的梯度，它有何重要特性，其对优化方法有何指导意义。什么是最速下降法?有何特点?50什么叫共轭方向，共轭方向有何特性。51写出无约束极小

9、化算法的粗框图。52 什么叫目标函数，什么叫约束条件，什么叫设计变量，写出优化设计问题的数学模型一般表达形式。53.写出内点惩罚函数法与外点惩罚函数法的主要区别。54.常用的迭代终止准则有哪些？列出公式。55.用梯度法求解目标函数F(X)的极小值，给定迭代的初始点为X(0)，允许误差为1。简述梯度法的迭代步骤。56什么叫目标函数的等值线?什么是局部最优点?什么是全局最优点?57什么是复合形法，有何特点？58.什么是坐标轮换法，有何特点？59.什么叫区间消去法原理？它是如何缩短区间的？60.什么叫线性收敛？哪些无约束优化方法是线性收敛的（最少写出两种）？61简述可行方向法中，对于约束优化设计问题

10、：minF(X)(XRn)s.t.gu(X)0(u=1,2,m)确定适用可行方向S 时应该满足的要求。62已知目标函数f(X)=x1sinx2-4x1，约束条件有 1x14，0 x25，x2sinx2-x13=0，试写出外点形式的罚函数。63什么是牛顿法和阻尼牛顿法，有何特点？64.优化问题一般如何分类?65优化设计的步骤一般分为几个阶段？66 写出用数学规划法求解优化设计问题的数值迭代公式，并说明公式中各变量的意义。67用梯度法求解目标函数F(X)的极小值，给定迭代的初始点为X(0)，允许误差为1。简述梯度法的迭代步骤。68.简述图解法的基本步骤。四、作图分析题68.对一个约束优化问题min

11、f(x)=(x1-2)2+(x2-1)2s.t.g1(x)=x1+x22-40g2(x)=-x10g3(x)=-x20画出目标函数的等值线和约束曲线，并回答：(1)（1）1,1T是可行点还是不可行点；(2)（2）3,2T是内点还是外点；(3)哪些范围是可行域（用阴影线画出）；(4)哪些约束是性能约束，哪些约束是侧面约束；(5)指出无约束最优点和约束最优点；(6)对约束最优点来说,哪些约束是起作用约束?(7)写出内点惩罚函数法的惩罚函数；(8)写出外点惩罚函数法的惩罚函数。(9)此问题是线性规划(优化),二次规划(优化),还是非线性规划(优化)的优化问题?(10)可行域是凸集还是非凸集？69.用

12、Powell 算法求F(X)=x12+2x224x12x1x2的极小点，已知初始点X1(0)=11和第一轮搜索方向S1(1)，S1(2)，S1(3)，试定性地作出第二轮搜索方向。70优化问题：minF(X)=(x1-6)2+(x2-2)2s.t.0.5x1+x243x1+x29x1+x21x10,x20图解求最优点和最优值。五、计算题71用梯度法求下列无约束优化问题：MinF(X)=x12+4x22，设初始点取为X(0)=2,2T，以梯度模为终止迭代准则，其收敛精度为5。72.现在要用钢板制作一个有盖的长方本储水箱，要求各边长均不超过20 厘米，且长度为宽度的2 倍，试确定三边长度值，使该储水

13、箱的容积最大，要求其表面积不超过400平方厘米。建立数学模型后，用复合形法迭代3 次。73.设某无约束优化问题的目标函数是f(x)=x12+2x22，已知-第 5 页初始迭代点X（0）=1，1T，第一次迭代所取的方向d（0）=-2，-4T，步长0=01 试计算：（1）第一次迭代计算所获得的迭代点X（1）。（2）计算X（0）、X（1）处的目标函数值f(X（0）)、f(X（1）)。（3）分别用三种迭代终止准则判断第一次迭代后能否终止迭代，设迭代精度=0.01。74.求函数 F(X)=(x1-x2)2+(x2-x3)2+f(x3x1)2的 Hesse 矩阵，并判别其性质。75.用最速下降法对函数 f

14、(x)=x12+2x22进行两次迭代，初始点取 X(0)=1,0T。76.一目标函数f(x)=25x12+x22-x1x2怎样尺度变换可使其等值线形态改善，给优化计算带来方便。77 试求目标函数1)(2221xxXf在点TX300，处的最速下降方向。78用KKT条件求解有不等式约束的非线性规划问题。minf(X)=x12+6x1x2-4x1-2x2s.t.g1(X)=x12+2x2-10g2(X)=x2-x1-12079求目标函数23132221233241432)(xxxxxxxxxXf的梯度和Hesse 矩阵。六、填空题（请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分）。80函数F（x）

15、=3x21+x22-2x1x2+2 在点（1，0）处的梯度为。81多元函数F（x）在点x*处的梯度F（x*）0 是极值存在的条件。部分试题参考答案一、单项选择题1A2A3C4C5A6A78A9C10A11C12B 13C14A15B16D17D18A19D20C21B22D23D24E25D26B27A28B29A30A31A32D33D34D二、多项选择题35.BC36CDE37BCE38ABE39BC三、简答题40.答：在内点罚函数法中，若初始罚因子选得过小，则迭代点有跑出可行域的危险，使优化过程失败；若初始罚因子选得过大，则导致前几次的迭代点远离约束边界，使计算效率降低。44.解：这是一

16、个生产计划问题，可归结为既满足各项生产条件，又使每月所能获得的产值达到最大的优化设计问题。设每月生产甲机器 x1台，乙机器 x2台，则每月获得的产值为 4x1+6x2万元。每月消耗的钢材要满足 2x1+3x2100、每月工时要满足 4x1+8x2120。此生产计划问题数学模型为：minf(x1，x2)=-4x1-6x2或 f(x1，x2)=1（4x16x2）s.t.g1(x1，x2)=2x1+3x21000g2(x1，x2)=4x1+8x21200g3(x1，x2)=x10g4(x1，x2)=x20其中 f(x1，x2)为目标函数。由于存在约束，故为有约束的优化设计问题。47.答：若将某种算法

17、应用于任意一个具有正定Hesse 矩阵的二次函数时，都能在有限步内达到极小点，则称此算法具有二次收敛性(有的文献也称有限收敛性)。如牛顿法，POWELL 法，共轭方向法等。48.答：黄金分割法也称 0.618 法，是通过对黄金分割点函数值的计算和比较，将初始区间逐次进行缩小，直到满足给定的精度要求，即求得一维极小点的近似解。黄金分割法特点是:（1）不必要求 f(x)可微，只要利用函数值大小的比较，即可很快地找到；（2）除了第一次缩小区间要计算两个点及其函数值以外，其余每次只要计算一个点及其函数值；（3）可靠性好。二次插值法是多项式逼近法的一种，利用目标函数在若干点的信息和函数值，构成一个与目标

18、函数相接近的低次插值多项式，然后求该多项式的最优解作为原函数的近似最优解。随着区间的逐次缩小，多项式的最优点与原函数最优点之间的距离逐渐缩小，直到满足一定精度要求时终止迭代。二次插值法的特点是:（1）二次插值法只要求 f(x)连续，不要求其一阶可微。（2）收敛速度比黄金分割法快，但可靠性不如黄金分割法好，程序也较长。（3）如 p(x)的相邻两个迭代点重合，则产生死循环。49.答：函数的扁导数组成的向量称为梯度,任一点的负梯度方向是函数值在该点下降最快的方向。将n维问题转化为一系列沿负梯度方向用一维搜索方法寻优的问题，利用负梯度作为搜索方向，故称最速下降法或梯度法。最速下降法的特点（1）初始点可

19、任选，每次迭代计算量小，存储量少，程序简短。即使从一个不好的初始点出发，开始的几步迭代，目标函数值下降很快，然后慢慢逼近局部极小点。（2）任意相邻两点的搜索方向是正交的，它的迭代路径为绕道逼近极小点。当迭代点接近极小点时，步长变得很小，越走越慢。53.答：内点法的特点：1）初始点必须为严格内点；2）不适于具有等式约束的数学模型；3）迭代过程中各个点均为可行设计方案4）一般收敛较慢；5）初始罚因子要选择得当；6）罚因子为递减，递减率c 有0c156答：将目标函数取不同值所画出的曲线或曲面，称为目标函数的等值线或等值面。不论是无约束或有约束的优-第 6 页化问题，由于目标函数和约束条件的函数形态不

20、同，极值点分布可能有多个局部极值点（即局部最优解）。而全局最优解是指这些局部最优解中目标函数值最好的一个解，往往只有一个。在机械优化设计中，目标函数和约束条件一般都是非线性函数，寻找全局最优解有很大困难。目前很多优化方法，在理论上可以证明能收敛到局部最优解，仅对于特殊的数学模型，可以收敛到全局最优解。这并不影响优化设计广泛应用，因为人们用常规设计方法很难找到一个复杂问题的局部最优解。但是，还是可以通过不同的技巧，找出几个局部最优解，从中选择目标函数值最好的解。57答：复合形法是一种在可行域内收索最优点大直接解法。基本思路：在可行域中选取K 个设计点（n+1K2n）作为初始复合形的顶点。比较各顶

21、点目标函数值的大小，去掉目标函数值最大的顶点(称最坏点)，以坏点以外其余各点的中心为映射中心，用坏点的映射点替换该点，构成新的复合形顶点。反复迭代计算，使复合形不断向最优点移动和收缩，直至收缩到复合形的顶点与形心非常接近，且满足迭代精度要求为止。初始复合形产生的全部K 个顶点必须都在可行域内。复合形法的特点：（1）复合形法是求解约束非线性最优化问题的一种直接方法，仅通过选取各顶点并比较各点处函数值的大小，就可寻找下一步的探索方向。但复合形各顶点的选择和替换，不仅要满足目标函数值下降的要求，还应当满足所有的约束条件。（2）复合形法适用于仅含不等式约束的问题。58答：坐标轮换法的基本构思是将一个n

22、维优化问题转化为依次沿n个坐标方向反复进行一维搜索问题。这种方法的实质是把n维问题的求优过程转化为对每个变量逐次进行一维求优的循环过程。每次一维搜索时，只允许n个变量的一次改动，其余(n-1)个变量固定不变。故坐标轮换法也常称单变量法或变量交错法。坐标轮换法的特点：（1）计算量少，程序简单，但计算效率较低，特别在维数很高时很费机时，仅适用于n较少（n10）的目标函数求优。（2）改变初始点重新迭代，可避免出现病态。61答：(1)满足可行方向的要求gu(X(k)TS(k)0(u=1,2,jm)j起作用约束数(2)满足适用方向(目标函数值下降)的要求F(X(k)TS(k)0(3)同时满足1、2 要求

23、的即为适用可行方向。63答：采用x x(k+1)(k+1)=x=x(k)(k)-2 2f(xf(x(k)(k)-1-1f(xf(x(k)(k)迭代公式的称为牛顿法，采用x x(k+1)(k+1)=x=x(k)(k)-(k)(k)2 2f(xf(x(k)(k)-1-1f(xf(x(k)(k)迭代公式的称为阻尼牛顿法。特点：（1）初始点应选在X*附近，因为牛顿法具有二阶收敛，局部收敛的特点，即初始点应选在X*附近。阻尼牛顿法可改善局部收敛性；（2）阻尼牛顿法尽管每次迭代都不会是函数值上升，但不能保证每次下降，而牛顿法每次迭代可能会是函数值上升；（3）若迭代点的海赛矩阵为奇异，则无法求逆矩阵，不能构

24、造牛顿法方向。（4）不仅要计算梯度，还要求海赛矩阵及其逆矩阵，计算量和存储量大。此外，对于二阶不可微的F(X)也不适用。64.答：可有不同的分类方法：（1）按有无约束分：无约束优化问题和有约束优化问题。（2）按设计变量的性质分：连续变量、离散变量和带参变量。（3）按问题的物理结构分：优化控制问题和非优化控制问题。（4）按模型所包含方程式的特性分：线性规划、非线性规划、二次规划和几何规划等。（5）按变量的确定性性质分：确定性规划和随机规划。65答：优化设计的步骤从设计方法来看，机械优化设计和传统的机械设计方法有本质的差别。一般将其分为以下几个阶段：（1）根据机械产品的设计要求，确定优化范围针对不

25、同的机械产品，归纳设计经验，参照已积累的资料和数据，分析产品性能和要求，确定优化设计的范围和规模。因为产品的局部优化（如零部件）与整机优化（如整个产品）无论从数学模型还是优化方法上都相差甚远。（2）分析优化对象，准备各种技术资料进一步分析优化范围内的具体设计对象，重新审核传统的设计方法和计算公式能否准确描述设计对象的客观性质与规律、是否需进一步改进完善。必要的话，应研究手工计算时忽略的各种因素和简化过的数学模型，分析它们对设计对象的影响程度，重新决定取舍，并为建立优化数学模型准备好各种所需的数表、曲线等技术资料，进行相关的数学处理，如统计分析、曲线拟合等，为下一步的工作打下基础。（3）建立合理

26、而实用的优化设计数学模型数学模型描述工程问题的本质，反映所要求的设计内容。它是一种完全舍弃事物的外在形象和物理内容，但包含该事物性能、参数关系、破坏形式、结构几何要求等本质内容的抽象模型。建立合理、有效、实用的数学模型是实现优化设计的根本保证。（4）选择合适的优化方法各种优化方法都有其特点和适用范围，选取的方法应适合设计对象的数学模型，解题成功率高，易于达到规定的精度要求，占用机时少，人工准备工作量小，即满足可靠性和有效性好的选取条件。（5）选用或编制优化设计程序根据所选择的优化方法选用现成优化程序或用算法语言自行编制程序。准备好程序运行时需要输入的数据，并在输入时严格遵守格式要求、认真检查核

27、对。（6）计算机求解，优选设计方案。（7）分析评价优化结果这是一项非常重要、不容忽视的工作。采用优化设计这种现代化的设计方法，目的就是要提高设计质量，使设计达到最优，若不认真分析评价优化结果，则使得整个工作失去意义，前功尽弃。在分析评价之后，或许需要重新选择设计方案，甚至需要重新修正数学模型，以便产生最终有效的优化结果。67答：梯度法的迭代步骤如下：(1)给定初始点X（0）和收敛精度，置k=0。-第 7 页(2)计算梯度，并构造搜索方向S（k）=-f(X（k）)(3)一维搜索，求新的迭代点minf(X（k）+kS（k）)X（k+1）X（k）+kS（k）(4)收敛判断：若满足f(X（k）)则令最

28、优解为 X*=X（k+1），f(X*)=f(X（k+1）)，终止计算；否则，令 k=k+1，转(2)继续迭代。四、作图题68.答：目标函数的等值线和约束曲线见图（1)（1）1,1T是可行点；（2）（2）3,2T是外点；（3）可行域为图中的阴影线围住的区域,见图；（4）g1(x)是性能约束，g2(x)，g2(x)是侧面约束；（5）无约束最优点是：2,1T；约束最优点是：2,1T（6）都是不起作用约束（7）内点惩罚函数法的惩罚函数为：x-1x-14-xx11)-(x2)-(x），（21221）（2221）（kkrrX或 )ln(x)(ln4)-xln-(x1)-(x2)-(x），（21221）（2

29、221）（xrrXkk且惩罚因子 r（k）按一个递减的正数序列 r(o)r(1)r(2)r(k)r(k+1)0 变化（8）外点惩罚函数法的惩罚函数为：)0，(-xmax)0，(-xmax)0，4-x(xmax）（），（22212221）（）（kkrXfrX且惩罚因子按一个递增的正数序列 0r(0)r(1)r(k)r(k+1)变化（9）非线性规划(优化)的优化问题（10）可行域是凸集。五、计算题71.解：(1)求初始点梯度F(X)F(X)=2x1,8x2TF(X(0)=4,16T(2)第一次搜索|F(X(0)|=16.5,S(0)=-F(X(0)/16.5=-0.243,0.97T(0)=2.1

30、57X(1)=X(0)+(0)S(0)=1.476,-0.923TF(x(1)=2.952,-0.738T|F(x(1)|=3.0430H(X)是半正定矩阵77解因为所以最速下降方向是6022)(3021021xxxxXf78解：由KKT条件得：(1)2x1+6x2-4+21x1-2=06x1-2+21+2=0(2)x12+2x2-10 x2-x1-120(3)1(x12+2x2-1)=02(x2-x1-12)=0(4)10,20现分别讨论以下四种情况：第一种：1=0,2=0该情况使KKT条件（3）、（4）满足。解(1)得：x1=1/3,x2=5/9 代入(2）得：x12+2x2-1=2/90

31、即不满足g1(X)0，故该解不是最优解。这种情况实质是由f(X)得到的，是无约束问题的解。-第 8 页第二种：10,20由（3）知10,20 时，g1(X)=0，g2(X)=0，即是等式约束的情况，解在约束的交点上。二者联立并求解得：代入条件（1）得：均不符合KKT条件（4），故该组解也不是最优解。第三种：1=0,20由（3）知，当20 时，g2(X)=0即x2-x1-12=0由条件（1）得：2x1+6x2-4-2=06x1-2+2=0三方程联立求解得：代入g1(X)得：x12+2x2-1=93/1960不满足KKT 条件，故该解也不是最优解。第四种：10,2=0依照第三种情况，得方程组：2x1+6x2-4+21x1=06x1-2+21=0 x12+2x2=1求解得：2121 XX2341代入g2(X)得：x2-x1-12=120该组解全部满足 KKT 条件，故是最优解。即234*1，0*2，21*2*1 XX。79.解：因为所以3123321222321312464624)(xxxxxxxxxxxXf又因为所以13213122122642412222212)(xxxxxxxxXf