2.1 一元二次不等式解法及运用（精讲）（解析版）.docx

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1、2.1 一元二次不等式解法及运用(精讲)思维导图不等式的性质对称性：abbb9 bc=ac可加性：G&Oo+cb+c； ab9 crfz=a+c6+rf可乘性：aby c0=acbc;ab, cacb09 cd0=acbd可乘方：ab0anbn(nlS9 nl)可开方：ab0=：口EN, n2)不等式一元一次移项，系数变1不等式 /一在不等式的两边同乘以一个正数,不等号方向不变;飞 同乘以一个负数，不等号方向改变._元二次 因式分解、公式法、配方法、直接开方法不等式 /一假设有两根，开口向上，大于号取两边，小于号取中间 开口向下，大于号取中间，小于号取两边啥土0(。)。定)谭现0(0(k(vk

2、)0k左移，通分变成(kNO) g CO*Ak(Wk)0k左移，通分变成(k*0) g (x)| f(x)|a(a 0) f(x) 分或(乂) 0) o-a vf(x) 0+ x2 0Z + l wOk2+k-2Q4k 八 7r Zw1-2k，ZO或左 一或上 132=一2左一1 或一人 Ml30,故方程必有两根,3又根据二次方程根与系数的关系，可得%+%=3,玉乙=5,所以W _| = （% +）2=的-6 =3. （2020 奉新县第一中学高三）假设一元二次方程如2（祖+ 1* + 3 = 0的两个实根都大于1，那么加的取值范围【答案】MV2或根25 + 26.m w 0,m + 1 i一

3、1, 、 【解析】由题意得应满足2m 解得：加一2或加2 5 + 2，6.A 2 0,故答案为：2 2或机2 5 + 2.4. （2020 甘肃省会宁县第四中学高三月考）关于x方程2依2一% 1=0在0工1【解析】当。=0时，x = -1任（0,1）,不合题意；.。力0,令/。） = 22X 1,有 f（o）= T, /= 2（ 1）,要使/（X）在Ovxvl 内恰有一个零点,/（0）/（1）。即可，那么。1,（2021年湖南）假设方程+（加+2）M+机+5 = 0只有正根，那么加的取值范围是二【答案】5mT【解析】方程/+（m+2）x+m+5 = 0只有正根，那么当A = （m+24（根+5

4、）= 0,即加=4时，当加=T时，方程为（工1）2二（）时，尤=1,符合题意；当加=4时，方程为（x+3=0时， = 3不符合题意.故加=-4成立；（2）当=（加+ 2-4（m + 5） 0 ,解得m -4或机4 ,=（机+ 2-4（机+ 5）0那么v 加+ 2）0,解得一5相-4.综上得一5相-4.m + 5 0（2021 北京高三专题练习）假设关于工的不等式4% 2 0在区间（1, 4）内有解，那么实数的取值范围是【答案】（一8,-2）【解析】不等式等价于存在4）,使以2成立，即（/4x 2）设了 =工2一4%一2 = （% 2）26 当了（1,4）时，je-6,-2）所以一2 .考法四

5、一元二次不等式（恒）成立【例4】（1） （2021 全国高三专题练习）关于工的不等式如2+g+10恒成立，那么加的取值范围为（2） （2021 四川高三一模）命题p：/xl,2,x2方30,假设为真命题，那么。的取值范围为 （结果用区间表示）.（3） （2021 全国高三专题练习）关于工的不等式d公+ 120在区间1,2上有解，那么实数。的取值 范围为【答案】(1) 0,4)(2) 1、,+oo75(3) a0恒成立，分以下两种情况讨论:(1)当加=0时，可得10,合乎题意；力0(2)当相。0时，那么有2 / 八，解得0vm4.A = m-4m 0综上所述，实数机的取值范围是0,4).应选：B

6、.Ix 33(2) vVxel,2, -o-30，那么二 x ，XX3令，(x) = x ,那么/(x)在1,2上单调递增，3111./(%)=2)= 2 =,即。的取值范围为 不+8 .故答案为： 不+8max2222)2)(3)由题意得：关于X的不等式公+ 120在区间1,2上有解，等价于不等式，x+_L在区间1,2上有X解，设X)= X+L 那么函数= 在1,2上单调递增，所以/(同42) = 9, xx2所以实数的取值范围为6Z / (%)有解Q 根 / (min， / (x)有解=m 。在R上恒成立，那么x)。在R上恒成立，那么a0A0x)0在R上恒成立，那么a0A0A0在R上恒成立

7、，那么a0A03 .不等式的恒成立与有解问题，可按如下规那么转化:般地，函数) =y = g(x),xec,d(1)假设“小肉,也匕/，总有/(%)4工2)成立,故/(X)皿VgL；(2)石，DX e a,b,丑2 eC,d,有/(石)g(%)成立,故/(%) 4/ 3jC| 人，32有不)。的解集为r,那么实数力的取值范围为【答案】04根4【解析】当根=0时，不等式显然恒成立，即尤R,满足条件.当。0时 为二次函数，要恒大于零只有开口向上，0, A=m2 -4m0即0加4综上所述：0根4(2020 济南德润高级中学高三期中)假设存在实数使得关于1的不等式以2一4x + q-30成立，那么实数

8、。的取值范围是.【答案】a4【解析】3时，假设x = 0,那么不等式为。一30,不等式成立，满足题意，时，在在工使得不等式ox?4x + -30成立，那么A = 16 4q（q 3）。，3Wq4.综上，a4.故答案为：a4.1. （2021 全国高三专题练习）“玄1,3,2x + vo，为假命题，那么实数a的最小值为.【答案】1【解析】663xe-l,3,犬一2x + qo”为假命题，即在-1, 3上，V 一2%+之。恒成立，别离参数得心d+2x,令x） = f+2x = （x l7+l,当x = l时“X）取得最大值1,的最小值为1,故答案为：1.2. （2020 全国高三专题练习）关于1的

9、不等式d4x 机20对任意工目-1川恒成立，那么实数 2的取值 范围是.【答案】m-3【解析】/（x） = x2 -4x-m = （x-2）2 一4一加在T,l上为减函数，且不等式/ 一4%一出。对任意xel5恒成立，那么只需/（x）mm=/=-3 机20,即3.故答案为：m-3.3. （2021 辽宁高三二模）假设Ire ：,2 ,使得2/4、1 0成立”是假命题，那么实数4的取值范围为.【答案】2-1L【解析】假设“天 ；,2，使得2/ 1VO成立”是假命题，那么“X/xw ；,2，使得2d希1202x2 -11成立”是真命题，别离（三一- =进而44LXX考法五含参一元二次不等式的解法【

10、例5】（1） （2021 全国高三专题练习）解关于工的不等式：（q + _L）x + io（wO）.a(2) (2021 全国高三专题练习)关于工的不等式：kx12kxx 2,当丘R时解不等式.【答案】见解析【解析】(1)原不等式化为(x 。)。一工)0, aQ = 1或Q = 1时，不等式为(X 1产0,所以不等式的解集为0;当041或av1时，a-,不等式的解集为(,)； aa当或1qv0时，a-9不等式的解集为(,).aa综上所述：当4 = 1或Q = 1时，不等式的解集为0；当0。1或1时，不等式的解集为(a,)； a当1或1VQV0时，不等式的解集为(4).a(2)原不等式可变形为：

11、(丘l)(x2)。，当左0时,当左0时,1 、x(x-2) 时，一2,所以解集为-00,7 U(2,+cc), 2kkJ( 综上可知:左0时解集为-,2 ；左=0时解集为(-oo,2)；)0%3时解集为(一8,oo k)U(2,+s).【一隅三反】1. （2021 上海）解关于x的不等式/-（a+l）广水0（其中己为常数且/?）.【答案】答案见解析【解析】由V-Q+1）矛+水0可得（x-a） （xT）0.当水1时,当a=l时,当a=l时,解集为0;当当1时,解得l0的解为x 0( g R)即当 a v0 0寸，不等式 ax2 一 2( + l)x + 4 0( g R)即（nr2）（%+2）

12、0 的解集为（一,当Ovq0的解集为（8,2）2、-GO, U(2,+OO). a )2、-GO, U(2,+OO). a )当=1时，不等式（ + 2）20的解集为（8,2）。（2,+8）；当1时，不等式（砒2）（x2）0的解集为 综上所述，当。=0时，不等式解集为（-8,2）；（2 1当qvO时，不等式的解集为一,2 ；（2）当0。l时，不等式的解集为一双一。（2,+8）.I a）nx 13.(2021 江苏高三专题练习)解关于工的不等式0x-2【答案】见解析【解析】原不等式等价于(依l)(x2)0(1)当。=0时，解集为(8,2)(2)当0时，原不等式可化为(g:+1)(x2)0,1 (

13、1因为一2,解集为(8,2)。一,+8aI。1( (4)当二时，原不等式等价于-x-1 (x-2)0,即(%2)0, 2J解集为2)D(2, -Hx)-2,解集为 a-2,解集为 a-00, Ua J(2,+8)综上所述，当。=0时，解集为(一刃,2)；当0时，解集为-92 ci当时，解集为(一oo,2)当时，解集为(一oo,2)(U ,+00v a(、当一时，解集为一8, U(2,+82a)考法六不等式的性质【例6】(1)(多项选择)(2021 辽宁高三其他模拟)设实数。/满足avhvO,那么以下不等式一定成立的是()A. a2 In | Z? | C. - H 2D. a + b + 2y

14、fab 0b a(2) (2021 千阳县中学高三)lx-y况A不正确；对于B选项：因a vb v0,贝11 |= 一 -H =屹| 0,又函数y = Inx在(0,+oo)单调递增，即In | a | In屹|,B正确；对于 C 选项：因 av/?vO,那么色120, - + -2 = (J-a -)20,即 9 + ?2, C 正确； b a b a ab a对于 D选项：因 a vZ?vO,那么一a-00, a+b + 2lab = -(-tz)-2/(-6z)(-Z?) + (-Z?)=_(J_ - J-/?)? v 0 , D 正确.应选：BCD(2) 8匕七)52，4设 3x2y

15、= 2(x+y)一(x_y) = (2_)x+(m+)y,1(c/71 m n = 37所以4c，解得：( u，m + n =-25in =I23x-2y = (x+ y),因为一lx+yl, x-y3,所以 3%- 2y =弓(+ y) _不(1_ y) e 2,8,因为y = 2”单调递增，所以 z = 2314,256.应选：C【一隅三反】1. （2021 广东珠海市高三二模）eR,满足abQ, ab,那么（1 1b a c0,7A. 0C. bD. a ba ba b【答案】C【解析】因h 9 那么 aX）, Z? 0, 0, A 不正确；一0,0,那么I0,即b0,那么。2（_）2,

16、 /, c 正确；由b0得。|切，D 不正确.应选：C.（2021 北京八十中高三其他模拟）非零实数。，b满足4 。，那么以下不等式中一定成立的是（）A. naC. a2 b2D. a3 b3a b【答案】D【解析】对A,当。人0时，不等式无意义，故A错误；对B,当。人0时， ,故B错误； a b对C,当aZ? b?,故C错误；对D,当y0,那么（）1 1 , zA. B. ln（xy）lnyy 犬C. x + y + y2）D. x- y y。，所以！，。，故A正确； y x对于B：因为xy。，所以不能判断xW 的大小关系，所以不能比拟ln（xy）,lny的大小关系，故B不正确；对于 C：假

17、设 x+y J2（d + y2）成立,那么（+y）20 在xy0恒成立，故C正确;一元二次根 的个数及大小一元二次的 成立问题含参的一元二次不等式常见考法个数用判别式，根的正负大小用韦达定理a=0 =代入计冰V (恒成立):开口、Ax eR3 (存在):别离参数与无参函数的最值xeR：别离参数法(1) 3=0(2)a，0 n因式分解求两根(i)a0 (ii)avO,参数与无参函数的最值问题V:大于最大，小于最小3:大于最小，小于最大两根未知大小那么需比拟大小4对于D：令函数/(x) = e-x,那么/ (x) = e L又x0,所以/ 所以函数/(%)在(0，+8)上单调递增，又xy0,所以/

18、(x)(y)，所以e -xev-y,即 x-ye-，故 D 正确.应选：ACD.考法一不等式的解法【例1X1)(2021全国高三专题练习)集合=卜| JEi,那么Mp|N = ()A. xx2B. x| 1 x2C. x| 1 x5D. x|0vx2(2021 云南昆明市昆明一中)设集合4 =卜卜的1, B = x|lnxl,那么A|JB=()A. -l,e)B. -1,1C.(0,1D.(0,e)(3) (2021 全国高三专题练习)不等式任+2) 。的解集为()x 3A. x|x-2,或0x3B. x|-2x2,或x3C. x|x0D. x|x0 ,或x3【答案】(1) B (2) A (

19、3) A【解析】(1)由M = x|0Kx-lv4 = 尤|14xv5, B = x|0x2,所以M|N = x|lxv2,应选：B.(2).A =x1 = -1,1, 5 = x|lnxvl = (O,e),因此，= 应选：A.(3)原不等式可转化为x(x+2)(x3)0,结合数轴标根法可得，x2或0x3.即不等式的解集为x|xv2,或0x0,即二幺0,化简得。(。1)0,解得00 = 九 W x = x|xv0Q = x|(x+3)(l-x)0 = %| (x+3)(x-l)。 =%|-3xl,所以 PcQ = x|-3xB. x4【答案】CX 3【解析】 一0的解集为x|x3,所给选项中

20、只有x|xN4为x|x3的真子 x + 2集.应选:C.4. （2021 全国高三专题练习）不等式（1+x） （1 丁）0的解集是（）A. x0xlB. x|x0 且 xW -1C. x 1X1D. x|xl 且 xW -1【答案】D【解析】由得（l + x（x 1）0,等价于xl且xw1即不等式的解集为x|xl且xW 1应选：D5.（2021 全国高三专题练习）不等式一二1的解集为（）x-1A. 元3B. x-l或lx3D. 力一1%1或1%0,那么（1+1）（%3）（工-1）0,【解析】原不等式可化为-10,即x 1x 1如图，利用穿针引线法得：1VXV1或x3, 所以原不等式的解集为：目

21、-1%3. 应选：C.考法二一元二次方程的根与不等式解的关系【例2】（1） （2021 全国高三专题练习）关于才的不等式内40的解集是2,+8）,那么关于矛的不等式办之+（3a3Z? 0的解集为x|xv-1或x3,那么关于x的不等式丁+区20的解集为（）B. x|-2xv5x -5 x 2C.1X x2【答案】（1） A （2） B【解析】（1）由关于工的不等式权60的解集是2,+8）,得人=2且avO,那么关于x的不等式以2 +（3-b）x3b0 ,即（x+3）（x2）0,解得：x2,所求不等式的解集为：（7,3）U（2,4s）,应选：A.（2）由题意0,那么有。=51=-3,/+笈2 =

22、/3工10。，解之得2x0的解集为41工2,那么不等式+法+ ”0的解集为（）A. 1%；B. xC. 1x|-2x0的解集为%|x v -1或x ；.应选：A.-1x2 = -由韦达定理可得由韦达定理可得a二，解得-1 + 2，a不等式 2d +bx + a 0 即为 2/ +x 1 0，解得 x v -1或x 77 , 22.（多项选择）（2021 全国高三专题练习）关于元的不等式以2+法+。0解集为x|x3,那么（）A. OB.不等式区+ c0的解集为x|x0D.不等式cfbx + Q 0的解集为x|x0解集为x|x3,所以-2和3是方程aoc + x + c = 0的两个实根，且。 0

23、,故A正确；所以2 + 3 = 幺，2x3 = 9,所以b = ,c = -6， aa所以不等式法+ c0可化为一冰一6。0,因为0,所以尤v-6,故3正确；因为。+/? +。=。一。-6。= -6。，又 0,所以。+ +。0,故C不正确；不等式C* -乐+。 0可化为一6办2 + O + Q0,所以61+工 + 10,即（3x + l）（2x 1）。，解得或 x0的解集是. ，一；,那么不等式丁一或一心0的解集是 乙O【答案】x|x23或xW2【解析】由题意，知$是方程乙 O【解析】由题意，知$是方程乙 Oax-bx=的两个根，且a0,所以V3=6, b=5.故不等式x bx为V5才+620

24、,考法三一元二次方程的个数、大小问题1 1【例3】(1)(2020 全国高三专题练习)假设王和马分别是一元二次方程2f+5x 3 = 0的两根，贝汁一+ 一%2的是.(2) (2021 全国高三专题练习)假设关于工的不等式改2+2工+ 10时，A = 4 40,解得0avl,所以40m 2令- 2)x + 6-2，可得 2,/(2) = 4 + 2(m-2) + 6-m0 V.m 2下或m -2a/5即,根 一2,求得一6 -6(4)令/(1)=/+(m2M+ 5 %，由二次函数根的分布性质，假设一根在区间(2,3)内，另一根在区间(3, 4)内,f(2)0f4 + 2(m-2) + 5-/7

25、t0只需 /(3) 0 ,即 v 9 + 3(m - 2) + 5 - m 016 + 4(m-2) + 5-m0Kx.1313A解不等式组可得-一4,即加的取值范围为一工,-4 , 3I 3)(3)因为不等式(m+3)%+3机0的解集中恰有3个正整数，即不等式(x3)(x机)0的解集中恰有3个正整数，所以加3,所以不等式的解集为(3,根) 所以这三个正整数为4,5,6,所以6机7,即6va47【方法总结】1 .根的个数用判别式列式2 .根的正负或大小用韦达定理3 .根与系数的关系用韦达定理4 .函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；(2)别离参数法：先将参数别离，转化成求函数的值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象, 利用数形结合的方法求解.5 .解决一元二次方程的根的分布时，常常需考虑：判别式，对称轴，特殊点的函数值的正负，所对应的 二次函数图象的开口方向.【一隅三反】1. (2021年广东汕头)方程2(攵+ l)f+4丘+ 3攵-2 =。有两个负实根，那么实数左的取值范围是 O2 【答案】-2,-l)u A 3【解析】要原方程有两个负实根，必须: