不等式综合测试题.docx

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1、高二数学第三章不等式综合测试题-.选择题(共10小题)1.A.1.A.2.A.3.A.假设 ab0, 刍-也0 c d假设 a, beR, 0, V10 当x0时,-2cd0,那么一定有(B.且 a2+b2=10,4.白-也0的解集是(-g, 1),那么关于x的不等式 )(ax+b)(x-3) 。的解集是A.(-g, - 1) U (3, +8) B. ( - 1, 3)C. (1, 3) D. ( - 8, 1) U (3, +8)5.产品的总本钱y (万元)与产量x (台)之间的函数关系式是y=3000+20x - Six?, xe (0, 240).假设每台产品的售价为25万元，那么生产

2、者不亏本时(销售收入不小于总本钱)的最低产量是()A. 100 台B. 120 台C. 150 台D. 180 台6.假设不等式x2+ax+120对于一切xe (0, -1)成立，那么a的取值范围是()27.在R上定义运算*: x*y=x(l-y).假设关于x的不等式x* (x - a) 0的解集是集合x| - IWxWl的子集，那么实数a的取值范围是()A. 0, 2B. - 2, - 1) U ( - 1, 0C. 0, 1) U (1, 2 D. -2, 0x+y- 7408 .设x, y满足约束条件卜-3910 ,那么z=2x - y的最大值为()3x - y - 50A. 10B.

3、8C. 3D. 29 .假设关于x的不等式x2 - px - q0的解集为()A. (2, 3)B. ( - 3, - 2) C. / 1 1、D. /11、3 223.函数f (x) =2mx2 - 2 (4 - m) x+1, g (x)=mx,假设对于任一实数x, f (x)与g (x)至少有 一个为正数，那么实数m的取值范围是() 二.填空题(共5小题)A. (0, 2)B. (0, 8)C. (2, 8)D. ( - g, 0).ab, abM,那么以下不等式中：a2b2；工b3；a?+b22ab,恒成立的 a b不等式的个数是.9.(2013春吉州区校级月考)假设关于x的不等式x2

4、-px-q0的解集为()A. (2, 3)B. (-3, -2) C,1 1、D. /11、3 223考点：一元二次不等式的应用.专题：不等式的解法及应用.分析：利用一元二次不等式的解集与相应的一元二次方程的实数根的关系即可得出p, q的值，进而即 可得出.解答：解：.关于x的不等式x2-px-q0 可 化为-6x2 - 5x - 1 0, SJ 6x2+5x4-l0,(3x+l) (2x+l) 0, x0的解集为(一, -工). 23应选D.点评：熟练掌握一元二次不等式的解集与相应的一元二次方程的实数根的关系是解题的关键.10. (2008江西)函数 f (x) =2mx2 - 2 (4 -

5、 m) x+l, g (x) =mx,假设对于任一实数 x, f (x)与 g (x)至少有一个为正数，那么实数m的取值范围是()A. (0, 2)B. (0, 8)C. (2, 8)D.(-叼 0)考点：一元二次不等式的应用.专题：压轴题.分析：当m0时，显然不成立；当m0时，因为f (0)=10,所以仅对对称轴进行讨论即可.解答:解:当m0时,当x接近+8时，函数f (x) =2mx2 - 2 (4 - m) x+1与g (x) =mx均为负值，显然不成立当 x=0 时，因 f (0) =10当m0时，假设一上上刊即0m时结论显然成立；2a 2m 产假设一上二4一丁0,时只要(4- m)

6、2-8m=4 (m- 8) (m- 2) VO 即可，即 4Vmb, abwO,那么以下不等式中：a2b2；工；(3)a3b3； a2+b2 a b2ab,恒成立的不等式的个数是2.考点：不等关系与不等式.专题：不等式的解法及应用.分析：取a=-l, b=-2,即可判断出正误；取a=2, b= - 1,可判断出正误；利用函数y=x3在R单调递增，即可判断出正误；作差2+b2-2ab (a-b) 20,即可判断出正误.解答：解：取a=-l, b= - 2,那么22b2不成立；取a=2, b=-l,那么工b,a3t)3成立；b, abO, a2+b2 - 2ab (a - b) 20, /. a2

7、+b22ab综上可得：恒成立的不等式有两个.故答案为：2.点评：此题考查了不等式的性质、作差法、函数的单调性，考查了推理能力，属于基础题.12. (2015潍坊模拟)假设不等式2kx?+kx-2。的解集为空集，那么实数k的取值范围是(-3, 08考点：一元二次不等式的解法.专题：分类讨论；不等式的解法及应用.分析：根据题意，讨论k=0与k，0时、不等式解集为空集的k满足的条件是什么，求出k的取值范围 即可.解答：解：根据题意，得；当k=0时，不等式化为-卫20,解集为空集，满足题意；8当k，0时，应满足当k，0时，应满足k00rk0即 L , 3一 k2 - 4p2kp （一 淄）0解得k0-

8、3k0.-3k0；综上，k的取值范围是2 (-3, 0.故答案为：(-3, 0.点评：此题考查了不等式恒成立的应用问题，解题时应结合二次函数的图象与性质进行解答，是基础 题目.13.(2015汕头一模)实数x,y满足lx+y3-_ yl那么4x+2y的取值范围是一2, 10考点：不等关系与不等式；简单线性规划. 专题：不等式的解法及应用.分析:方法一：根据实数x, y满足lx+y3- lx - yl可得 042x44,即 04xV8,即242y2,进而得到 24x+2y10；方法二：令4x+2y=m (x+y) +n (x - y),构造方程组可求出m, n值，进而根据不等式的基本 性质可得

9、243 (x+y) + (x - y) 10.解答：解：方法一： lx+yV3-lx - yL 由+，得至IJOCx* (4)(4)x2 得到 04x8 由-，得.至Ij242y2最后+得到24x+2y10故答案为：2, 10方法二： 令 4x+2y=m (x+y) +n (x - y)那么严n=2解得3I n=l即 4x+2y=3 (x+y) + (x - y),/ lx+y3/. 33 (x+y) 49又 - 14x - yl,23 (x+y) + (x - y) 0, awl）的图象恒过定点A,假设点A在直线mx+ny - 1=0 （mn0）上，那么的最小值为4. m n考点：基本不等式

10、；指数函数的图像与性质.专题：计算题；压轴题；转化思想.分析：最值问题长利用均值不等式求解，适时应用1的代换是解此题的关键.函数产ax（a0, a=l） 的图象恒过定点A,知A （1, 1）,点A在直线mx+ny - 1=0上，得m+n=l又mn0,m0, n0,下用1的变换构造出可以用基本不等式求最值的形式求最值.解答：解：由定点A坐标为（1, 1）,由点A在直线mx+ny - 1=0上，m+n=l,又 mn0, /. m0, n0,/. （工）（m+n） =JEJ22+JE=2+Z+之n2+2 &=4,m n id nmn ir n mn当且仅当两数相等时取等号.故答案为4.点评：均值不等

11、式是不等式问题中确实重要公式，应用十分广泛.在应用过程中，学生常忽视等号成 立条件，特别是对一正、二定、三相等这一原那么应有很好的掌握.当均值不等式中等号不成 立时，常利用函数单调性求最值.也可将条件适当变形，再利用均值不等式，使得等号成 立.有时也可利用柯西不等式以确保等号成立，取得最值.三.解答题（共6小题）16.（2015开封模拟）a, b都是正实数，且a+b=l（I）求证：1必（口）求（&+） 2+（匕+工）2的最小值.ab考点：基本不等式.专题：不等式的解法及应用.分析：（I）利用基本不等式的性质即可得出;解答:解答:(H)(I )利用基本不等式的性质即可得出.(D)解:(a4) 2

12、+a即（Q）a2+ (b+1)b121(b+) 2*b4i 2(1+4)2，/2证明：工二2记2+2庠二& a b a b a b Vab得 0ab，42254r即)4， ab*e* (&) 2+(b+) ab当且仅当a=b二工上式等号成立.2点评：此题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.17. （2015春黄石期末）某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和 7辆载重量为6吨的乙型卡车.某天需运往A地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次, 派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人

13、， 运送一次可得利润350元.该公司该如何合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润，最大 利润是多少兀？ 考点：简单线性规划的应用.专题：应用题；不等式的解法及应用.分析：我们设派x辆甲卡车，y辆乙卡车，利润为z,根据题意中运输公司有12名驾驶员和19名工人, 有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车，某天需送往A地至少72吨 的货物，派用的每辆车需载满且只能送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可 得利润450元；派用的每辆乙型卡需配1名工人；没送一次可得利润350元，我们易构造出x, y满足的约束条件，及目标函数，画出满足条件的平面区域，利用角点法即可得到

14、答案.解答：解：设派用甲型卡车x辆，乙型卡车y辆，获得的利润为z元，z=450x+350y（2分）0x8由题意，x、y满足关系式0y7 072 00的解集为R.(I )求实数m的取值范围；(II)求函数f (m)=m+色-的最小值；iiri-2(HI)解关于x的一元二次不等式x?+ (m - 3) x - 3m0.考点：一元二次不等式的解法；基本不等式.专题：不等式的解法及应用.分析：(I )不等式恒成立，需4 0.可化为(x+m) (x - 3) 0,比价-m和3的大小，即可得到 不等式的解集.解答：解：(I ), x2+2mx+m+20的解集为R,. =4m2 - 4 (m+2) 0,解得

15、：-实数m的取值范围：- 1, 2.(11) . 2 - 2V3m2+2V3. .02irH-2 irH-2等号，函数f (m)=m+-的最小值为26-2, nH-2(HI) x2+ (m - 3) x - 3m0.可化为(x+m) (x - 3) 0,/ 2 - 2&VmW2+2近. 2 - mV - 2+2，3.,.不等式的解集为(-8, - m) U (3, +8).点评：此题考查了一元二次不等式恒成立的问题以及解法和基本不等式的应用，属于中档题.19. (2014秋灌云县校级期中)(1)解不等式：工0对一切实数X恒成立，求实数k的取值范围.考点：一元二次不等式的应用.专题：计算题；不等

16、式的解法及应用.分析：(1)移项，通分，即可求解不等式；(2)不等式x2-2x+k2-10对一切实数X恒成立，等价于判别式小于0,由此可求实数k的 取值范围.解答：物,、+ 日百/ 9 - 2x - 8. 2x - 1 . / r i角牛：(1) 由 目、， 0, , x V - 4 x2一x+4、x+4 产2,.不等式的解集为(-8，-4) Ui +8)；2(2) 不等式x2-2x+k2- 10对一切实数X恒成立，/. =4-4 (k2- 1) V2k0）,利用导数法，可求S的最大值.x解答：解：（1）由题可得:xy=18OO, b=2a,那么 y=a+b+3=3a+3（4 分）S =（x-

17、2） a+ （x-3） Xb =（3x-8） a=（3x-8） =1808 - 3x 一 日y（8 分） oJ（2）方法一：S=1808 - 3x - - xi-=1808 - （3x+世/）（x0）,（10 分）3 xx41808-2卜O）, . （10 分）xF （x）二噂 _3.3（4-x）2（+x）/2 分） XX令？（X）=0 得 X=4O,当 00,当 x40 时，f （x） 0.二当x=40时,S取得最大值.此时y=45所以当x=40, y=45时，S取得最大值.（16分）点评：此题重点考查函数模型的构建，考查利用基本不等式或导数法求函数的最值，解题的关键是构 建函数模型.21.

18、 （2014秋蚌埠校级期中）不等式mx2-2x-m+l0.（1）假设对于所有的实数x,不等式恒成立，求m的取值范围；（2）设不等式对于满足|m区2的一切m的值都成立，求x的取值范围.考点：一元二次不等式的应用.专题：不等式的解法及应用.分析：（1）当m=O时，经检验不满足条件；解得mwO时，设f （x） =mx2 - 2x - m+l,那么由题意可得frrrd 0/，解得me0.综合可得结论.4-4m （1-m） 0（2）由题意-2m2,设 g （m） = （x2 - 1） m+ （1 - 2x）,那么由题意可得 f 由 g（2）0此求得x的取值范围.解答：解：(1)当m=0时，l-2xV0,

19、即当时不等式恒成立，不满足条件.(2分)2、 * ，4-4m (1-in) 0解得me0.综上可知，不存在这样的m使不等式恒成立.(6分)(2)由题意-2m2,设 g (m) = (x2 - 1) m+ (1 - 2x),那么由题意可得 g (m) 0,故有fg (-2) 0|g 0即2x2_2x+30,解之得 一 l+dFx上班， (2x2-2x-1022所以X的取值范围为x|二x0, al)的图象恒过定点A,假设点A在直线mx+ny - 1=0 (mn 0)上，那么工的最小值为. m n三.解答题(共6小题)16.a, b都是正实数，且a+b=l(I )求证：(H)求(&+) 2+ (b+

20、工)2的最小值. ab17.某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的 乙型卡车.某天需运往A地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次，派用的每辆甲型卡 车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润 350元.该公司该如何合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润，最大利润是多少元？18 .关于x的一元二次不等式x24-2mx+m+20的解集为R.(I )求实数m的取值范围；(II)求函数f (m) =m+的最小值；nH-2(HI)解关于x的一元二次不等式x?+ (m - 3) x - 3

21、m0.y米X米19 . (1)解不等式：工2(2)不等式x2-2x+k2- 10对一切实数x恒成立，求 实数k的取值范围.20.某人准备购置一块占地1800平方米的矩形地块，中间建 三个矩形温室大棚，大棚周围均是宽为1米的小路(阴影局部 所示)，大棚所占地面积为S平方米，其中a： b=l： 2(1)试用x, y表示S(2)假设要使S最大，那么x, y的值各为多少？21.不等式 mx2 - 2x - m+1 0.（1）假设对于所有的实数x,不等式恒成立，求m的取值范围；（2）设不等式对于满足|m区2的一切m的值都成立，求x的取值范围.不等式综合试题答案DDABC CDBDB11、212、( -

22、3, 0. 13、2, 1014 、56.15、4（n）解:（n）解:16 ( I )即（a+与a2+(b+) 2?2X bi 2(1+4)2、ab/2(ag+b+)2义,平2 得y即 ab) 2+ a(b+)b225当且仅当a二b二上式等号成立217解：设派用甲型卡车x辆，乙型卡车y辆，获得的利润为z元，z=450x+350y（2分）由题意，x、y满足关系式0x80y7 072 00 的解集为 R, . =4m2 - 4 (m+2) 0 的解集为 R, . =4m2 - 4 (m+2) 0,实数m的取值范围：- 1, 2.(11) . 2 一 2必4m2+2%. . 00.可化为(x+m)

23、(x - 3) 0,/ 2 - 2心m42+2%. -2 - 2心-mW - 2+2%V3. 不等式的解集为(-8, m) U (3, +oo).19解：(1)由题意，92X8.亚二lo, .x0对一切实数X恒成立，. =4-4 (k2- 1) 0。亚或-亚即实数k的取值范围是(-00,-亚)U(血，+8).20 解：(1)由题可得：xy=1800, b=2a,那么 y=a+b+3=3a+3(4 分)S=(X-2) a+(X-3) Xb= (3x-8) a=(3x-8) y=1808 - 3x -|2时取等号,2时取等号,（8分）（2）方法一：S=1808 - 3x - - x 18QQ=18

24、08 - （3x+殁独）（x0）,（10 分） 3 xx0）,（10 分）f，(x)二噂一 3.310-x)2(40+x),分) XX令？ (x) =0 得 X=4O,当 0x0,当 x40 时，f (x) 0.当x=40时,S取得最大值.此时y=45所以当x=40, y=45时，S取得最大值.(16分)21解：(1)当m=0时，l-2xV0,即当时不等式恒成立，不满足条件.(2分)2fnrCO ,，解得m0.4-4in (1-m) 0综上可知，不存在这样的m使不等式恒成立.(6分)(2)由题意-2Wm42,设 g(m) = (x2 - 1 )m+( 1 - 2x),贝IJ由题意可得 g(m)

25、 0,故有(-2x2-2x+30 2x2 - 2x - 10-2x2-2x+30 2x2 - 2x - 10g (2) 0解之得 1+V7Xb0, cd0B.b - d0,ab0,/. - ac - bd,.一 ac、 bd-：-，cd cd.a/ bd c应选：D.此题考查了不等式的基本性质，属于基础题.2.假设a, bGR,且a2+b2=10,那么a - b的取值范围是（）D.-2泥，2西D.-2泥，2西a. to, Vio b. to, 2西 c. -Vio. Vio考点：平均值不等式在函数极值中的应用.专题：计算题；转化思想.分析：由a, beR,且a2+b2=10和a-b,消除差异，

26、对a-b进行平方，在利用平均值不等式可求得结 果，再开方.解答：解；（a - b） 2=a2+b2 - 2ab=10 - 2aba2+b2=10, a2+b2 - 2ab（a-b） 220-2/5a - b0时,假设不等式x2+ax+120恒成立，那么a的最小值为（）A. - 2B. - 3C. - 1D. _ J考点：一元二次不等式的解法.专题：计算题.分析：不等式对应的二次函数的二次项系数大于0,对应的图象是开口向上的抛物线，当判别式小于等 于0时，不等式对任意实数恒成立，当判别式大于0时，需对称轴在直线x=0的左侧，当x=0 时对应的函数式的值大于等于0,由此列式可求得实数a的取值范围.

27、解答:解:当=a? - 40,即-2VaV2 H寸，不等式x2+ax+120对任意x0恒成立，（a2-40当=a2-40,那么需|A ，一2解得a2.所以使不等式x2 - 2ax+l0对任意x0恒成立的实数a的最小值是- 2.应选：A.点评：此题考查一元二次不等式的解法，考查分类讨论的思想方法，训练了三个二次结合处理有关 问题，是中档题.4. (2015春湖北校级期末)关于x的不等式ax - b0的解集是(-8,1),那么关于x的不等式(ax+b) (x-3) 0的解集是()A. (-8, - 1) U (3,B. ( - 1, 3)C. (1, 3)D. ( 一 8, 1) U (3,+g)

28、4-00 )考点：一元二次不等式的解法.专题：不等式的解法及应用.分析：关于x的不等式ax-b0的解集是（1, +8）,可得上=1,且a0可变为（x - 3） （x+至）0 可变为（x - 3） （x+上）0,即得（x-3） （x+1） 0, a.-lx0的解集.5 .（2015长沙校级二模）产品的总本钱y （万元）与产量x （台）之间的函数关系式是y=3000+20x- O.lx2, xe （0, 240）.假设每台产品的售价为25万元，那么生产者不亏本时（销售收入不小于总本钱）的 最低产量是（）A. 100 台B. 120 台C. 150 台D. 180 台 考点：一元二次不等式的应用.专

29、题：应用题.分析：总售价不小于总本钱，那么生产者不亏本，故令总售价大于或等于总本钱，解出产量x的取值范 围，其中的最小值即是最低产量.解答：解：由题设，产量x台时,，总售价为25x；欲使生产者不亏本时，必须满足总售价大于等于总成 本，BP 25x3000+20x - O.lx2,BP 0.1x2+5x - 30000, x2+50x - 300000,解之得XN15O或- 200 （舍去）.故欲使生产者不亏本，最低产量是150台.应选C.点评：考查盈利的计算方法，及解一元二次不等式.一元二次不等式的解法是高中较重要的内容，有 不少题在求最值时最终都要转化为一元二次函数的最值问题来解决.6 .

30、（2015春银川校级期末）假设不等式x2+ax+l0对于一切xG （0, -1）成立，那么a的取值范围是（）2A. _ 2B.5C、5D. a2a - -d? 一 一22考点：一元二次不等式的应用.专题：计算题.分析：将参数a与变量x别离，将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题，这是解决恒成立问题的 常用解法.解答：解：x2+ax+&0对于一切x （0,工）成立2a一-寸于一切xe （0,土 成立x2一 x对于一切x （0,）成立x2y=-X 在区间（0, -1）上是增函数x2-x - 10的解集 是集合x|- IWxR的子集，那么实数a的取值范围是（）A. 0, 2B. - 2, - 1）

31、U （ - 1,C. 0, 1） U （1, 2 D. -2, 00考点：一元二次不等式的应用.分析：首先理解*运算的定义，得到不等式的具体形式，然后解不等式.不等式中有参数a,需要对参 数的取值进行讨论，得到不等式的解集，然后再根据子集关系，确定出a的范围.值得注意的 是不等式的解集有可能是空集，不可忘记.解答：解：由题意得，x* （x - a） =xxl - （x - a） =xx （a+l ） - x,所以 x* （x - a） 0,即：xxx -（a+1） -l,那么解集为（0, a+1）,又解集为（-1, 1）的子集，所以a+1 VI,即：a - 2,故a的范围为（-2, - 1）综

32、上所述：a的范围为-2, 0,应选D.点评：考查一元二次不等式的解法.x+y- 740. （2015黑龙江模拟）设x, y满足约束条件 x-3yH0 ,那么z=2x - y的最大值为（）3x - y - 50A. 10B. 8C. 3D. 2考点：简单线性规划.专题：不等式的解法及应用.分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值. 解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影局部ABC）.由 z=2x - y 得 y=2x - z,平移直线y=2x - z,由图象可知当直线y=2x - z经过点C时,直线y=2x - z的截距最小，此时z最大.（x+y - 7=0（戈二5由|,解得1,即C （5, 2）x - 3yH-l=0y=2代入目标函数z=2x-y,得 z=2x5 - 2=8.应选：B.点评：此题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此 类问题的基本方法.