具有卷积边界条件的窄带通一步式跳跃混合隐显式算法在传感器中的应用.docx

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1、具有卷积边界条件的窄带通一步式跳跃混合隐显式算法在传感器中的应用抽象大量传感器在窄带通环境中工作。同时，它们中的一些仅沿一维和二维持有精细细节。为了有效地模拟这些传感器和器件，提 出一种在窄带通条件下采用复杂包络（CE）方法和吸收边界条件的一步式跳跃混合隐显式（HIE）算法。更准确地说，吸收边 界条件通过高阶卷积完美匹配层（CPML）公式实现，以进一步增强整个仿真过程中的吸收。通过算例及其实验进一步验证了所 提出算法的有效性.结果说明，实验和理论分辨率相当吻合。时间步长和网格大小之间的关系可以打破库朗弗里德里希利维条 件，该条件指示物理大小/选择网格大小。这样的条件说明，由于离散化网格中的合理

2、选择，所提出的算法行为具有相当的精确 性。它还显示了与其他算法相比，模拟持续时间和内存消耗的减少。此外，在整个仿真过程中，采用所提出的高阶CPML算法 可以提高吸收性能。关犍字:有限差分时域;混合隐式显式（HIE）；卷积完全匹配层（CPML）;复杂包膜；（CE）;（英文）；带通传感器和组件1.引言随着电子工业的开展，传感器变得比以往任何时候都更加重要。大量传感器在窄带通环境或单个频率下工作1, 2o尽管 有限差分时域（FDTD）算法已在许多应用中得到广泛应用，但FDTD算法的传感器仿真受到低效带通计算的严重限制。这些条 件也限制了 FDTD算法的开展3。原因是FDTD算法基于低通采样定理，该定

3、理仅在宽带仿真中即可实现可观的性能4。时间 步长变小，导致带通问题中仿真持续时间不可接受。为了有效地模拟带通问题，研究替代的FDTD算法变得迫切。基于带通采 样定理的复包络（CE）方法在带通问题中显示出相当大的潜力5。在CE方法中，可以根据带宽而不是最大频率选择网格尺寸, 从而从效率和精度方面获得显着改善。CE方法首先被应用于传统的FDTD算法6。然后，它被引入到无条件稳定算法7, 8, 9, 10中。通过结果可以得出结论，与带通仿真中基于低通采样定理的算法相比，这些算法可以获得更好的行为。随着传感器的开展，结构变得比以往任何时候都更加复杂。对于精细细节模拟，网格尺寸必须足够精细，以满足计算精

4、度。 由于库朗弗里德里希利维（CFL）条件的存在，时间步长和网格大小之间的关系被建立11。因此，时间步长也必须足够精细, 以保持算法的稳定性。这样的条件也会导致极长的仿真持续时间。为了缓解这些情况，提出了无条件稳定算法，包括隐式交替 方向（ADI）、局部一维（LOD）、分步（SS）过程等12, 13, 14, 15。已经证明，无条件稳定的算法只是在各个方向的精 细细节上都是有效的。在沿一维和二维模拟精细细节时，每个时间步长应计算六个以上的矩阵，从而导致内存消耗和仿真持续 时间的增加。虽然这些算法可以克服CFL条件，但算法的有效性显着降低。为了缓解这种情况，提出了一种混合隐显式（HIE） 程序1

5、6。通过在单个方向上显式更新组件并隐式更新其他组件，HIE过程可以在低维方面获得相当大的性能17, 180但是， HIE过程仍然是一个拆分字段更新过程，它增加了内存和仿真持续时间19。为了缓解这种情况，在HIE程序中采用了一步式跳 跃方案20。由于计算机无法求解无限的计算域，因此必须在边界处采用适当的边界条件11。为了在有限空间中模拟无限计算域，完 美匹配层（PML）被认为是最强大和最有效的吸收边界条件之一21。最初的PML公式是一种分裂场方案，显示了吸收和资源 方面的局限性22。为了缓解此类情况，提出了非分裂场公式，包括卷积PML （CPML）、拉伸坐标PML （SC-PML）和复频移 PM

6、L （CFS-PML）方案23, 24, 250尽管它们在减少后期反射和吸收低频消逝波方面具有优势，但低频反射仍需增强26。 提出更高阶PML公式，不仅可以增强时域的吸收，还可以吸收频域中的低频传播波27, 28o原来的高阶PML公式在计算过 程中必须引入六个辅助变量，占用大量的计算资源29。为了缓解这种情况，提出了具有四个辅助变量的高阶PML公式30。 此外，现有的高阶配方主要基于CFS-PML方案，该方案在复杂介质中显示出局限性。提出更高阶CPML来克服这些缺点31, 32o已经证明，与其他方案相比，它可以显着降低计算复杂性，并在复杂结构和介质中具有相当大的吸收性。和最大相对反射误差（MR

7、RE）两方面采用高阶公式，可以显着提高性能。此外，通过采用CE方法，在带通情况下可以显着提 高吸收率。因此，与FDTD-HPML相比，基于带通采样定理的算法可以获得更好的性能。可以得出结论，与CE-HIE-PML相比, CE-LHIE-HPML和CE-LHIE-CPML算法可以获得更好的性能。原因是LHIE算法与原来的HIE算法相比，可以获得更好的数值 色散，从而产生这样的条件。图5b显示了采用较大CFLN的不同PML算法在时域中的相对反射误差。吸收随CFLN的扩大而 减小，这是由于随着时间步长扩大而增加的数值离散性。还可以得出结论，与HE算法相比，LHIE算法可以获得更好的性能， 这可以通过

8、LHIE-CPML, CE-LHIE-HPML和CE-LHIE-CPML算法与HIE-PML和CE-HIE-HPML算法分别表达出来。与提议 的CE-LHIE-CPML相比，CE-LHIE-HPML可以获得几乎相同的结果。最重要的是，与带通情况下的FDTD-PML相比，较大的 CFLN的性能显示出其显着优势。从表3可以得出结论，采用高阶公式和CE方法导致仿真持续时间和计算资源的增加，因为更多的系数、辅助变量、场分 量和矩阵的增加。因此，与PML方案和显式方案相比，HPML和HIE程序占用的时间和内存显着增加。虽然CE方法在仿真过 程中略微增加了内存消耗，但由于时间步长的扩大，迭代步长同时减少。

9、需要注意的是，CE方法缓解了低CFLN隐式算法的时 间增量问题。与FDTD-PML相比，该方案可以获得13.7%的时间缩短。随着CFLN的改进，可以通过扩大时间步长来缩短仿真 时间，从而提高效率。当CFLN = 8时，与FDTD-PML相比，基于CE方法的隐式算法显示出超过80%的时间改进。综上所述, 通过时域仿真，与之前基于带通采样定理的工作相比，该方案可以获得相同的精度和吸收能力。同时，可以显着降低内存占用 和模拟持续时间。表3.不同PML算法得到的计算持续时间、消耗内存、迭代步长、内存增量和时间减少。上述讨论验证了该算法在时域中的有效性。为了在频域中进一步验证该算法，对传感器系统的滤波器

10、进行了仿真和制造。 散射参数是评估中最重要的参数之一。此处为回波损耗（s11 ）和传输损耗（s21 ）在频域中被考虑。滤镜的照片及其草 图尺寸如图6所示，与半径为25 mm的硬币进行了比拟。图6.图片：（a）整个漉波器模型；（b）带标尺的过滤器的详细尺寸；（c）硬币的细节尺寸，半径为25毫米。为了演示滤波器在频域中的性能，通过以下系统测量结果，如图7所示。由于激励端口包含极其精细的细节，因此使用带 有探头的激励源来激发滤波器结构。每个端口的探头也用于收集反射波和传输波。在电缆的另一端，使用频谱分析仪来评估性 能。回波损耗和传输损耗可以从这样的系统进行测量。(a)(b)图7.图片如下：（a）探头

11、操作表；（b）测量系统。图8显示了 S1 1和S21分别通过不同的PML算法及其实验获得。通过图8a, c可以看出，通过不同的PML算法 获得的这些曲线几乎是重叠的。这些条件说明，这些算法在整个频段的计算过程中几乎具有相同的计算精度。通过图8b, d, 可以观察到，与较低的CFLN相比，曲线显示出偏移。这些条件说明，算法的准确性随着CFLN的扩大而降低。原因是数值离 散度随着时间步长的扩大而增加，从而导致精度的退化。该方案和CE-LHIE-HPML获得的曲线具有最小的偏移，说明其精度最 佳。也可以得出结论，与基于低通采样定理的算法相比，基于CE方法的算法在整个频段具有更好的精度。综上所述，仿真

12、和 测量与时域仿真得出的结论相同。此外，所有这些算法都与实验相当一致。这样的条件说明，所提出的算法可以广泛应用于实 际工程中。图 8不同 PML 算法得到的散射参数：(a) SCFLN = 1;1 CFLN = 1; (b) CFLN = 8 的 S11; (c) S21, CFLN = 1;(d) S21,CFLN = 8o但是，模拟和实验之间仍然存在误差。原因可以从以下几个方面来描述：（1）制造工艺公差导致与仿真中的尺寸存在分 歧。移位的产生就是由这种情况引起的。因此，克服技术的制造过程公差变得越来越重要；（2）过滤系统的测量是精密型仪器, 特别适用于探头。设备的污染也导致实验中的移动；（

13、3）由于存在复杂和倾斜的贴片，传统的Yee网格中的共形方法变得不准 确。共形误差原因发生在倾斜和复杂的局部。这样的条件也会导致曲线移动。因此，对HIE算法的共形方法的改进也值得研究。32理论分辨率的遥感问题通过采用上述数值算例及其相应的实验，验证了所提算法的性能。通过结果，其行为在整个仿真过程中表现出相当大的性 能。为了进一步证明在更复杂的问题中的效率，考虑了金属球模型。球体模型的法向量范围从780度到180度，在所有结 构中保持最复杂。由于传感问题中的金属球模型具有理论分辨率，因此可以通过比拟来证明计算精度。图9显示了金属球体遥 感问题的草图。图9.整个计算域内金属球模型的草图。整个计算域的

14、维数为250x250x250在每个方向上。半径为50 mm的金属球模型可以被视为位于域中心的PEC。中心频率和最大频率为1.5 GHz和2.0 GHz的调制高斯脉冲沿x方向沿负极传播，其带宽百分比可得到.在域的边界处，所有边界都由10单元PML终止以进行波反射。高阶PML算法的参数为 齿尸工。众加二23MmnZS 最大2二。.5672。以，心72=30（回2=1.：3,3英2二1和O”最大2=0.01672。即为了进行比拟，CFS-PML区域的参数为心7二17。,仅彳二2.工,池刀二：3和 S 麦克斯二。.8如。川.为了比拟不同算法之间的计算精度，采用均匀的网格大小作为Ax=Ay=Zkz=A=

15、2.S毫米。因此，整个计算域可以离散化为工。4乂乂1。/1020。/12基于低通采样定理和基于带通采样定理的算法的时间步长分别为14.4 fs和57.6 fSo该算法的精度可以通过频域中的雷达横截面（RCS）参数反映出来。图10显示了在频域中通过不同的PML算法和CFLN 获得的RCS及其理论分辨率。从图10a中可以看出，所有曲线都是重叠的,这些条件说明，在CFLN = 1的情况下，所有算 法都具有相同的精度。然而，与理论分辨率相比，曲线显示出变化。原因是数值色散和反射波随着CFLN的扩大而增加。可以 得出结论，所提出的算法具有最小的偏移。这些条件说明，在具有较大CFLN的频域中，它具有最正确

16、的精度。该算法的有效性 还可以通过不同PML算法获得的计算持续时间、消耗内存、迭代步长、内存增量和时间减少来反映，如表4所示。I (GHz)GO图10.通过不同的PML算法获得的雷达横截面：（a） CFLN = 1; （b） CFLN = 8。表4,球体模型中不同PML算法获得的计算持续时间、消耗内存、迭代步长、内存增量和时间减少。从表4可以得出结论，带通采样定理可以显著提高时间步长和迭代步长递减的计算效率。与原来的HIE程序相比，一步 式跳蛙方案可以分别以半整数和整数步长更新组件。这样的条件还可以提高整个算法的性能。综上所述，可以得到与前例相同 的结论，即与现有算法相比，所提出的方案具有最正

17、确的准确性、效率和资源。由于存在大质量吸收边界条件，根据不同的模拟问题选择吸收边界条件引起了人们的极大关注。有几种广泛分布的吸收边 界条件，包括完美匹配层和透明边界条件（TBC） 44o仿真结果说明，高阶PML配方由于吸收了低频传播波，可显著提高低 频段的吸收。高阶PML公式可用于大量低频波的问题。对于没有太多低频波的仿真，未分频的CFS-PML公式在后期反射和低 频消逝波中显示出其优势。对于更高频率范围的应用，由于光波导器件中等离子体波不被吸收，TBC配方显示出其显著的优势 和巨大的潜力。4.结论为了在窄带通条件下有效地仿真传感器系统的器件，提出一种采用复杂包络法和高阶CPML公式的一步式跳

18、蛙HIE算法。 通过实施，可以解决沿一维和二维精细细节的介电材料。通过算例及其实验进行验证有效性。结果说明，该算法在时域和频域 均具有精度、效率、吸收和计算资源等优点。同时，所提方案中的CFL条件可以被打破，这也说明了整个仿真过程中效率的提 高。与之前的工作相比，它可以在计算资源和仿真持续时间减少的情况下保持相当大的性能。在今后的工作中，可以进一步研究HIE程序中矩阵解引起的内存消耗和仿真持续时间增量的方法。同时，数值离散度随 着时间步长的扩大而增大，对计算精度有较大影响。以较大的时间步长降低数值离散度的方法值得研究。最后，共形误差仍然 存在于复杂和倾斜结构中。HIE算法的共形方法的改进也值得

19、研究。为了模拟复杂的传感器和组件，其精细细节仅存在于一维和二维上，已经提出了几种算法，这些算法仍然有自己的局限性。 使用PML (NPML)和CFS-PML的原始HIE程序在两个维度上提出，不能用于实际就业33, 34o近年来，在三维维度上提 出了 HIE程序及其具有高阶PML的跳蛙方案35, 36, 371然而，它们只能用于真空和磁化等离子体。介电材料的配方仍有待 研究。从另一个方面看，HIE程序和跳蛙方案的所有现有吸收边界条件均基于NPML和CFS-PML公式35, 36, 37, 38, 39。 由于介质依赖性配方，这些算法必须根据不同的计算域进行修改。由于采用高阶公式，计算复杂性显着增

20、加。计算复杂性的降 低也需要进一步研究。为了在窄带通情况下有效地模拟具有精细细节的传感相，提出采用CE方法和高阶CPML公式的一步式跳蛙式HIE程序。 该算法利用了跨越式HIE程序、CE方法和高阶CPML公式的优势，在一维和二维精细细节计算、模拟带通问题和增强吸收方 面具有优势。进行数值实例和实验以说明有效性。可以得出结论，采用所提算法进行仿真的结果与实验和理论分辨率有相当的 一致性。与其他算法相比，该算法在精度、效率和吸收性方面也有显著提高。2.配方因为麦克斯韦方程组中存在大量分量，假设精细的细节只是沿着x方向定位，Eg和Hz选择组件作为例如进行演示。其 他组件可以通过采用类似的方法获得。介

21、电材料内部的麦克斯韦方程组可以给出如下：-工 zHzHx- S-工xHxHz(1a)3co 80 Hg二STzHzEx-S-ixaxEz(1b)哪里S七 二/是具有更高阶公式的拉伸坐标可变侧PML区域，可以定义为：(1c)哪里八二工,2和我回八应该是积极的真实，八应该是真实的。根据CPML公式，通过使用局部分数扩展到拉伸坐标 变量，可以通过采用逆拉普拉斯变换来转换结果，得到：S-阿(七)二(5(右)1“1+51(亡)(5(t)1 阿 2+Q2ft)(2)其中系数可以给出为。列八二一八C-E八(七),八二一O/八/(/2回八。),八二田回八/0+0八/(K“八另夕卜5()和表示单位速度函数和单位

22、脉冲函数。可以观察到，原始的麦克斯韦方程组遵循低通采样定理，该定理显示了带通仿真时性能递减。为了缓解这种情况，将CE方法引入麦克斯韦方程组5。根据CE方法，可以将原始信号作为复数包络形式给出，得到：(3) 哪里Rc表示复数信号中的实数，。和0人表示原始信号和复数包络信号，P是调制信号的中心频率。根据CE方法和CPML公式，麦克斯韦方程组可以给出：(Jrc+况)E人力bE人g=S z(t)*3zHAx-S x(t)*3xHAz(4a)0兀+况)HAz=S x(t)*axEAz-S z(t)*3zEAx(4b)为了更新方程，方程(2)被替换为方程(4a, b),得到：aTC+atlEAg+bE 人

23、g=FAgzi2+K-iz2FAgzi+K-iz2F/sgz2+K-iziK-iz2azHAx-FAgxi2-K-2xiF/xgxi-K-ix2FAgx2+K- 2x2 K- 1x2HxH 人z(5a)0p+at)HAz=：GAzxi2+K-ix2G/zxi+K-ix2G/zx2+K-ixiK-ix2axEAg-GAzg22-K-2gzGAzgi-K-ig2GAzg2-K-iglK-lg2agEAX(5b)哪里F和C是辅助变量。通过将方程重写到离散化域中以进行更新，可以根据子步骤过程给出结果：第一步.E八八+工/2g-p：5xSxH 八八+工/2z+p：5z5zH 八八+工/2x=kiciE八

24、八 g+p4zF 八八 gziz+pizF八八gz计 p2zF 八八gz2 - p4xF 八八gxi2-p工xF八八gx工一 p2x。八gx2(6a)H八八十二/2z-p马 xSxE八八十工/2g=心叩4xG 心工2叩，乂&人心(：L+p2xC八心2-p49azzg：L2-p 工工一 p2g&八八zg2 - pgSgE八八x(6b)第二个时间步:EAh+lg=k2C2EAh+2/2g+p4zFAh+2/2gz22+plNFAh+Z/2gz2+22zFAh+2/2gz+p3z&HAn+2/2x-p4 倍FAn+l/2gx22-pl 倍 F人八+1/2gx2-p2 倍 F人八+l/2gx2-p：3

25、 倍 SxH人八+l/2z(6c)HA八+工z+F3g5gEA八+工X=ClHAn+1/2z+p4倍G八八卜1/2打12+尹 倍夕人八+2/2zx2+p2倍G人八+1/2ZX223倍5xE 人八+2/2g-p4gC 八八+l/2zgl2-p2gG 人八+l/2zgl-p2gG 人八+l/2zg2（6天）其中系数可以给出如下：vjlK-lvi2.-i-rlrj2.,via=(JviCXp(-V,r/t-ly)/(7勾八 Kv/八+汽回八 K2 vl 八),八二一八七？24二。2kte ：3K-lz2,p2v=C2klC：3K-lz2，F：3v/=C2klC3K-lz2K_1z2/Av/ 和？4彳

26、=C2kle二根据跨越式HIE程序，通过将磁性元件代入电元件，可以给出第一个时间步长，得到：(2-p23x52x)E 人八+i/2g=(kic2-p23z52z)EAhg+p4zF/shgzi2+p2zFAhgzi+F2zFAhgz2-F4xFAngxi2-pixFAngx工一p2xF八八gx24p 工xpxSxG 八 工+p2xp：5x5xG 八八zx2-p4gp：5x5xG 八噂g 12plgpxSxG 八噂gl-p2gp：5x5xC 八噂g2-plzp 马 zBzG 八八 xz1-p2zp3z5zG 八八xz2+p4gp 马 zbzG 八八 xg 工 2+p 工 gp 马 zSzC 八八

27、 xgl+p2gp 孑 zSzG 八八xg2+clpx5xH 八八z+p4xp3x5xG 八八 zx工 2-p3gp3xSxSgE 八八+1/2x-cip3zSzH 八八 x-p4zp3zSzGA 八xz：L2-p 孑 gp 孑zSzbgE 八十工/2z通过将第二个时间步长重写为上一步c-1,相应地将磁性元件替换为电元件，得到：(工-F23zS2z)EAh9=(k2C工+223 倍 82.倍)E人八-2/2g+p4zF人八-1/29z22+pZzFAh-2/29z2+F2zFAh-l/29Z-p4 倍F八八一2/2gx22一?工倍。八T/2gx工一p2 倍 F八八一2/2gx2+p2 倍23

28、倍 SxG八八一 1/2zx2+22 倍倍SxG人八一l/2zx2-？4g?3 倍 SxGAn-2/2zg工2一？工923 倍 5乂0八一zg工-p2gp：5 倍 SxGA八一工/2zg2+pl 倍p：5z5zG人八-1/2zx1+p2 倍p：3z5zG人八一1/2zx2-p49p3zfizG八八一2/2zg12-ptgFzSzG八八一Z/2zg2-p29P32反夕人八一2/2zg2+p4 倍倍5*G八八一工/2ZX22-Ctpz&H人八X-p3gp3z6z6gEA八一2/2x+?4 倍 p3z&G八八一 1/2打22+。工?：35xH 人心p3gp ：3z5zSg E 八八-2/2z(8)根

29、据跳跃方案，通过将方程(7)和(8) 一起添加到一个方程中，经过一些操作，可以得到：(1一?23 倍 82.倍)EAn+1/2g=(k22c22+k2Clp23 倍 8Z 倍)E人八-l/2g+Ctp：5 倍SxH 八噂- c223zSzHAix+k2clp4z2(F 人八 gz 1 2+FAh-2gzi2)+k 工 ci22z2(F 人八 gzt+FA 八一工gzi)+k 工 c 工p2z2(F 人八 g+F 八八一2gz2)-klcl?4 倍 2(FAngxl2+FAh-2gxl2)-k1c2pl 倍 2(F八八gxl+FA八一Igxl)-ktc2p2 倍2(FAngx2+F 人八一 2g

30、x2)ktet?3gp3N5z5g(EAh+2/2x+E/sh-l/2x)-kiCZ23923z5zS9(EAn+2/2z+EAn-L/2z)(9)辅助变量可以给出，例如，FAl/2xv)2二一个回22M二。八-tC-R2Mlime (2厂-HIE PMl CR N 8 LH1L CTMl CFXN - 8CF HIE KPMI.CFIN * I I IIH ( H S X Ct I Iflt TM1. CH.N Time (ns)(b)图4.在观察点通过不同的PML算法获得的波形：(a) CFLN = 1; (b) CFLN = 8.通过显式算法和CFLN = 1的隐式算法获得的波形几乎重叠

31、，如图4a所示。由于采用了带通采样定理，复数包络法生 成波形包络。同时，CE方法获得的波形也与显式算法获得的波形边界重叠。这些条件说明这些算法几乎具有相同的精度。采用 大CFLN的不同PML算法获得的波形如图4b所示。与CFLN = 1的波形相比，波形显示出显着的偏移，这说明计算精度的退 化。与基于低通采样定理的算法相比，基于带通采样定理的算法显示出较少的曲线偏移，这说明在CCLN较大的情况下具有更 好的计算精度。所提方案得到的曲线与CE-LHIE-CPML方案得到的曲线重叠。这些条件说明这些算法具有相同的准确性。同时, 与其他具有较大CFLN的隐式算法相比，它显示出最小的变化。这些条件说明，

32、所提出的算法在这些隐式算法中具有最正确的准 确性。域边界处的波反射也会影响计算的准确性。波反射可以通过时域中的相对反射误差来反射，该误差可以定义为：RdB (t) =20日志工。口员(t)麦克斯任)州(13)哪里是可以在观察点直接获得的测试溶液，并且Er是参考解决方案。参考溶液可以通过具有128个细胞PML区域的20倍扩大的计算域来计算。通过采用这种情况，在评估过程中可以忽略域边界处的反射波。图5显示了不同PML算法获得的 时域中的相对反射误差。mt rMi. ai m-tHII CFMl (TIN R (L HIK HPMl.CfLN- E UIIP IIPMI.CFLN 8 K T I H

33、it CTMl CFIN rl ime (ns)Time (ns)FDID PMl FD1D HFMI HIE Ml CH、- I UHL CTM1.O1N * I Clllk HFMLEN，I CL I.IIIC-HPM1. Cl LN I M CE-I IIII CFI N - I(b)图5不同PML算法在时域中得到的相对反射误差：(a) CFLN=1; (b) CFLN = 8。CFLN = 1的不同PML算法获得的相对反射误差如图5a所示。可以得出结论，由于引入了矩阵计算，与传统的显式算法 相比，吸收略有下降。因此，LHE-PML和LHIE-CPML方案几乎具有相同的性能，与FDTD-PML相比拟差。通过从后期反射