高数第八章复习题.docx

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1、第八章多元函数微分法及其应用教学与考试基本要求1 .理解多元函数、多元函数偏导数的概念，会求多元函数的定义域、二重极限;2 .会求多元函数的偏导数、全微分、全导数等；3 .会求空间曲线的切线及法平面、空间曲面的切平面及法线方程；4 .会求方向导数和梯度5 .会用多元函数微分法解决简单的最大值最小值问题.8.1多元函数的概念一、主要内容回顾二重 极限设二元函数z = /(x,y)在点吊(通,打)的某一去心邻域内有定义，如果动点P(x,y)沿任后方式趋近于)(项)00)时，对应的函数值/(x,y)总是趋近丁 个 确定的常数A ,那么称A为函数/(羽y)当尸玲(曲,打)时的极限，或称函 数/(%y)

2、在点)(x(),yo)处收敛于A，记为lim /(x, y) = A或lim /(x, y) = A工-尤0(x,y)f(Xo，)o)fo注意：如果点P(x,y)只是沿某一条或几条特殊路径趋向于吊(与，y0),函数 /(x,y)趋向于某一确定的值，不能判断函数的极限存在；反过来，如果当 P(x,y)沿不同的路径趋于E(%o，y()时，/(x,y)趋于不同的值,就可判定/(%, y)在已(而, %)的极限不存在.注：二重极限的运算与一元函数极限的运算完全一致.连续(1)设二元函数z = /(x,y)在点。(而,)的某邻域内的定义,如果lim/(%) = /(元。，r)，那么称函数z = /(%,

3、y)在吊(而,打)处连续,并称XTX。0B(曲，为)为z =于(x, y)的连续点(2)设二元函数z = /(%,y)在点的某邻域内的定义,如果lim Az = 0,那么称函数z=/(尤,y)在)(x0o)处连续.其中Ar-0)T0Az =于(X。+ Ax,% + Ay)-/(x0，%)称为z = f(x.y)在外(曲,y0)处的全增量.(3)假设函数z = /(x,y)在。内每一点都连续，称函数在。内连续.(4)函数的不连续点称为函数的间断点.(2) = y(l + 亚)日. y = ,2( + xy)V-1 .dxa?.为求J,方程Z = (l + xy)两边取对数，得lnz = yln(

4、l +召),两边对y求导，得 一土 = ln(l +孙)+ yx,z dy1 + 孙所以 = (1 + 盯)vln(l + 盯)+ .dy + 冲dz = dx +dy- y2 (1 + xy)yl dx-(l + xy)3 ln(l + xy) + dydx dy + xydx zy JXz理lnx./lnx, dyz zdu - y=z Inx(-) = - dzzz22xz nx, du . du 7 du 1 y - du clx H dy H dz x2dx dy dz z, du . du 7 du 1 y - du clx H dy H dz x2dx dy dz z1工y 2d

5、x + xz nxdyxz nxdz例6.解：1)底=4/_8孙2,包= 4y3_2y, 。(0,1)=0/(0,1)=4 dxdy2)因为/(x,l) = x,所以 /v(x,l) = l.3)因为万(0,0)= limAx-0Ax/(。,。+4(。,。)二0,y所以fQ, y)在(0,0)处两个偏导数都存在.又 limx-0 y=kxx2 +y2 1 + k2 故 在(0,0)处的极限不存在，从而/(x,y)在(0,0)处不连续.(法一)而 V 九(0,0)Ax + fy (0,0)Ay = Af =一等 J(Ax)-+(Ay)，当Ar f0,Ay f0时，上式极限不存在，因而不是夕的高阶

6、无穷小，故/(x, y)在(0,0)处 不可微.(法二)因为/(x,y)在(0,0)处不连续，故/(x,y)在(0,0)处不可微例 7 解：1) = yx In y ln(xy) + yAy = yx In y ln(xy) + yx .dxxyx = WJ ln(q) + p L办yd2z rr 11 r 12 v- = ny(y lnyn(xy)-y ) + y Iny 7y =)/ In yln y InQy)+dxxx%-x k=xyxl In y ln(xy) + yx n(xy) + yx In y + yxl = yx xIn y ln(xj) + ln(Ay) + In y +

7、1. dxdyln(xy) + xyxl In y ln(xy) + 了一】+ 丫 In y = yv-1ln(x)0 + xln y ln(xy) +1 + In y dydx分24 = x(x -l)yr_2 ln(p) + xy-2 +(X 一 12 By2)证=,X = 小 7777 F7 ,2)证=,X = 小 7777 F7 ,duy = yJy +)2 x2 + y2d2u _ x2 + j2 - 2x2 _ y2 -x2 dx2 (x2 + y2)2(x2 + y2)2d2ux2 +y2 -2y2(公+/)2(f+y2)2d2u d2u 八丁 + T = 0 -dx2 dy例

8、8 解：=ln(xy) + x = ln(A) +1, dxxy(x + l)ex1 + (孙)2l + (xe)2例 )= ew-2v cost- 2ell-2v3t2 = esint-2p (cost- 6t2) 例 9 1) du dt dv dt八 dz dz dy dz x x 2)=-+ =-eA +dx dy dx dx 1 + (xy)3) = (2uv - v2)cos y + (u2 2y)siny = 3x2 sin cos y(cos y - sin y).dx du dx dv dxdz dz du dz dv2. 、 / 2 )、.一 =1= (2uv - )(-x

9、sm y) + (u - 2uv)xsm ydy du dy dv dy=x3cos3 y + sin3 y - sin 2y(sin y + cos y).0Zdz2333dz = + dy = 3x sin y cos y(cos y - sin y)dx + x cos* y + sirr y-sin 2y(sin y + cos y)dydxdydz _df du df 4)3% du dx dxdz _df du df 4)3% du dx dxJ _ (x+ y + 4)2ycos(xy) +ycos(xy) +111 _(x+ j+ 4)2Jl - x + y + sin(孙)f

10、dz df du df1/、1xcos(xy) +1=-+ = ixcos(xy) + /= /=3 6 by dy -(x+ y + u)2yj-(x+ y + u)2- x + y + sin(xy)2例 10 解：1)设 =，y2 = 那么f；2x+ f；y*dzdf du df dv=1dxdu dx dv dxdz _df du df dv- dy du dy dv dyd2Z df /人 明 A.v r, 2 xv妥=(/；2x +九X)2x +举+ (凡2x +场朋刃”中+ OXd2z df 明 f rv ,df( df du df(dv “ rv df明。阻 dv “ xv本或

11、而+ U各=%9) +九3,新卷诙+等诙小2,+2孙鲁=3：(-2y) + 亢x*)2x + /(-2y) + W)y* + 力* + 力用浮 oxoy2)当=-V f(xy) + - fxy)y + yfx + y), OX XX= g 俘)=2 /(盯) /5)y -=八9)+7(冲)y + yf。+y) dx ox dx xxxx=4 /Qy) - M /(u)+(9)+yfQ+)XXX例11解：1)设b(x, y) =，+2移一产J ,那么 A=2x + 2y/v=2x 2y,从而电=_区=山.dx Fy y-x2222)设尤,y,z) = + = + 1,a b cri2x 2y 2

12、z那么 F = F = F =，人J rx 2 y , 2 9 z 2a b c从而dzFc2xdxFza2zdz = Fy = c2ydy Fz b2z3)方程yz? - xz。= 1两边对x求导，2yz主 3xz?空=0, dxdx3)方程yz? - xz。= 1两边对x求导，2yz主 3xz?空=0, dxdxdz z3dx 2yz-3xz2故包=要+红包-cos+ 3z) + 3cos(孙+ 3z) dx dx dz dxz32yz-3xz23z3=cos + 3z)(y +-)2yz - 3xz24)设尸(x, y, z) = z3-3盯z-/,贝ij Fx = 3yz , Fy =

13、 3xz , Fy = 3z2 - 3xy ,dz _Px_ yzdz_ /_ xzdxFz xy-z2dy Fz xy - z2d2 zd yzd2 zd yzdxdy dy xy-/&、/2、 z c &(z + y)(q z )-yz(x-2z-)= 力Z?(孙-Z2)2x2y2z-z5(xy-z2)35）解方程组两端对工求导，得5）解方程组两端对工求导，得2uur + 2vvr - 2x = 0,V-uY+v-y = 0.A人，即2uur + 2vvr = 2x, j人人l 一肛+匕=同样方程组两端对y求导，得同样方程组两端对y求导，得du _ - 2xv dv _ 1 + 2xudy

14、 2 + 2u dy 2u + 2vdu _ - 2xv dv _ 1 + 2xudy 2 + 2u dy 2u + 2v例 11 解(1) = /3,y = /2,z，= f,切向量为1,1,1,切点为(C),1 1 1xy z切线方程为一生= 2.1 1 1法平面方程为 X- + J- + Z-=O,即 x+y + z = U.43212例 11 解(1) = /3,y = /2,z，= f,切向量为1,1,1,切点为(C),1 1 1xy z切线方程为一生= 2.1 1 1法平面方程为 X- + J- + Z-=O,即 x+y + z = U.432122)小 人 dy a dz %2x

15、 + 2 yF 2z 0dx dx.dy dzdx dx-2x 2zn竺上一Ldx 2y 2z1 1z -xy-zdydz2y+ 2z一dxdx空+生=.l、dxdx2x2y -lxdz _ 1-1 _ x- j dx 2y 2z y-z1 1故切向量 T二1,三二二12,7(_2)=1。-1 y-z y-z切线方程为x-1 y + 2 z 19丁一 0 一丁法平面方程为(x )_(z 1) = 0，即x-z=0(3) 设 F(x, y,z) = ez -z + xy-3 ,那么 = y, Fy =x,Fz =ez -1,法向量为1,2,0),切平面方程为(x 2) + 2(y 1) = 0,

16、即x + 2y 4 = 0.法线方程为七匚=匕！=三 1204)角星 令 F(x, y9z) = xx2 +ly2 +3z2 =214)角星 令 F(x, y9z) = xx2 +ly2 +3z2 =21 + 2y2 + 3z2 - 21,曲面在点(x,y,z)处的法向量为万=(%, ) = (2x,4y,6z),从而有(1)从而有(1)(2)平面的法向量为4 二(1,4,6),而切平面与平面平行，所以力4,2x _ 4y _ 6z ，1 46又因为点在切面上，应满足曲面方程、(2)联立解得切点为(1,2,2)及(-1,-2,-2),所以所求切平面方程为:(% l) + 4(j 2) + 6(

17、z 2) = 0,(x + l) + 4(y + 2) + 6(z + 2) = 0.例12解1)令fg) =/“ (2x + 4y + 2y 2 +1)=。/g) = /(2y + 2) =。解之得驻点(I),外,y) = 4/ (% + 2y + y2 +1)= 0, &(%, y) = 4e2v (y +1),y) = 2e2x，A = 2e0, B = 0, C = 2e, A = 4e2 0 ,所以函数f(x, y)在(-1)取得极小值/(I-1)= 22)解设所求点的坐标为(x,y),它到三直线的距离的平方和为z,(x + 2y-16)28% = 一516 广了用= 2-2-二。?

18、“:心,解之得生=2代4(-2)-二。(|,y)是惟一驻点，(|,与)即为所求.3)解：令/(X,y,z) = x3y2z + x+y+z 一 12),那么Fx - 3x2y2z + 4 = 0, Fy = 2x3yz + 2 = 0, =T2+丸=0, x+ y + z = 12.解得唯一驻点(6,4,2)，故最大值为小 =63.4z2 = 6912.4)解 先求函数在圆内部可能的极值点,令J z( = 2x = 0,=2y = 0解得点(0,0),而z(0,0) = 0.再求函数在圆周上的最值.为此做拉格朗日函数F(x,y) = x2 + y2+ 2(x- V2)2+(-V2)2-9,*

19、=2x + 22(x-扬=0, 工=2y + 2y-扬=0, (x-V2)2+(y-V2)2 =9.刀小日，5后5亚、,V2 亚、5叵5亚、%,亚收、 解乙得(一，),(一丁,一?)，而 z(= 25, z(-) = 1.22222222比拟 z(0,0), z(2,2), z(_旦,一旦)三值可知I,在圆(x V2)2 + (y V2)2 0/（曲，为 + Ax） /a。，%）Ay存在，那么称此极限为/（x）在。0，打）处对y的偏导数，记作生，名dy x=x0 dy x=xQ y=yo y=%Zy 4的 或/yGo,%） y=yo（3 ）假设z = /（x,y）在区域。内的每一点（x,y）处

20、对x （或y）的偏导数都存在， 那么这个偏导数为的函数，此函数称为z = /（x,y）对x （或y）的偏导函数，记 为生（或包）.不致混淆时也称偏导函数为偏导数.dx dy- f（X V）（1）九（%,加）表示空间曲线4在点加（,凡（与,北）的切线对X轴几何J区、义几何J区、义的斜率;（2 ）八（%,汽）表示空间曲线f =在点M（Xo，M）（Xo，y0）的切线对y轴的斜率.假设z = /（x,y）在区域。内的偏导函数仍在。内可导，那么它们的偏导函数是 z = /（%）的二阶偏导数,分别是： dz d2zG dz d2z而3）=碍=&（2）阶 偏 导 数d ,dz、 d2z q .、（丁）= T

21、= /），），（m y） dy dy dy2其中y）, fyxy）称为z = /（X,y）的二阶混合偏导数同理可定义三阶及三阶以上的偏导数.二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.注意：混合偏导数与求导顺序有关，但当/（x，y）,x（x,y）在。内连续时，九y（羽 y） = fyX（ y）.设函数Z = /（%）在点（x,y）的某邻域内有定义，如果全增量Az = /（x0 + Ar,）% +八），）一/（工0，0）可表示为/2 = 4&+8八丁 + 0（夕）其中不依赖于Ar,Ay ,仅与九,y有关，p = x)2 +(Ay)2 ，那么称函数 z = /(x, y)在点(羽y)处可微，AAx +

22、 BAy称为z = /(%, y)在点(x,y)的全微分， 记作 dz , BJ dz = AAx + BAy .假设函数z = /(x,y)在。内的每一点处可微，称函数的。内可微.可 微 的 性 质(1 )可微的必要条件：假设z = /(x,y)在(x,y)处可微，那么z = /(x,y)在(%,y)处可导，JLZz = Ax + Ay dxdy(2 )可微的充分条件：假设z = /(x,y)的偏导数丝，丝在(x,y)连续，那么函数 dx dyz = /(x,y)在该点必可微.r7C)7(3 )记公=Ax, dy = y,那么 dz = 公 + 6.dxdy复 合 函 数 的 偏 导 数(1

23、 )假设函数 =(p(x, y), v = w(x, y)在点(乂 y)处对x及对y的偏导数存在， Z = /(, U)在对应点(见 V)对U及对V有连续的偏导数，那么复合函数z = /0(x,y)(x, y)在点(x,y)处对x及对y的偏导数存在，且有公式dzdz dudz dvdzdz dudz dv 1 Idxdu dxdv dxdydu dydv dy(2)对z = /(, u, w), u =(p(x, y), v = w(x, y),w = w(x9 y)亦有dzdz du dz dvdz dwdzdzdudzdvdzdw _1_J 11 dxdu dx dv dxdvv dxdy

24、dudydvdydwdy(3)对z =/(u,x, y), u =(x, y)有dz _df du dfdz _df du df=1； 1dx du dx dxdy du dy dy全 导 数设2 = /(w, V), U =(p(t), V = l/(t),那么复合函数 Z =是，的一元函数，且 = + ,称为Z关于f的全导数. dt du dt dv dt隐 函 数 的 偏 导 数(1)设函数2x,y)在外(见,为)的某邻域内具有连续偏导数，且尸(质0)=。%区),如)工。，那么方程2%, y)=。在点外(瓶,打)的某邻域内可惟一确定一个具有连续导数的函数y = /(x),满足%=/(%)

25、，且虫=-区.公 Fy(2 )设函数尸(x,y,z)在品(项),y0,z0)的某邻域内具有连续偏导数，且厂(Xo，yo，Zo)= O,(Xo，M)，Zo)wO,那么方程尸(x,y,z) =。在 /(x0,y0,z0)的某邻域内可惟一确定一个具有连续偏导数的函数z = /(x,y),满足z0 =/(/,%),且dzFxdzPy, “， dxEdyF,ZL空间 曲线 的切线 及法 平面（1 ）设的参数方程为x = x）, y = y（t）, z = z,其中xy（，）,z都是f的 可导函数,当 =乙）时，%。=%优）,y（）=y（，o），z（）=zo）对应曲线上的定点%（两,-0）, Qo）,yo

26、）,z6o）不全为零，那么在外的切向量为3（%）（%）/&）,切线方程为忙包=匕也=二1.0） Vo） zo）法平面方程为x （% ）（x q） + y Qo ）（y %） + Z 0 ）（2 Zo） - 0 .（2 ）右的方程为y = y（x）, z = z（x）, y（x）, Z（X）都是X的可导函数，那么在（与，y0, Z。）的切向量为1, y（X。）, z（x0）,切线方程为：%一/ 二 yf _ Z Z。.1V（%0）z%0）法平面方程为：（X x0） + VOoXy 打）+ zQoXz 20）=。.空间 曲面 的切 平面 及法线（1 ）隐式方程情形：设曲面E的方程为b（x,y,z）

27、 = O, Mo。, yo，Zo）为，上的一点，尸（x,y,z）在A/。的偏导数连续且不全为零，那么在A/。的法向量为4（%。，M），z（）, Fy （x0, y0，z（），&（%），No，z（），切平面方程为：%（Xo，）o，Zo）（x Xo）+ 4（Xo，yo，Zo）（y-）o）+ （Xo，yo，ZoXz Zo）=。法线方程为：X一项）二yf二Z . Z。&（Xo，yo，Zo） /y（Xo，yo，Zo） F2（x0,0,z0）（2 ）显式方程情形：设曲面E的方程为z = /（x, y）,加。（面,）/。）为E上的一点，2 = /（%y）在（。0）处有连续偏导数，那么E在M。的法向量为一九（

28、/，）,0），一八（和，、0），1切平面方程为：工（%，%）（% %） +%（%，%）-yo）-（z - Zo）= O法线方程为：X70=）一% Z _ Zo人（两，为）人 Go，%）T极 值设函数z = /（x,y）在点（而,为）的某邻域内有定义,对于该邻域内不同于（而,凡）的任意点（X, y），总有 f（x, y） /（），M），那么称 /（项），打）为函数/（x,y）的一个极大值（或极小值），点（项）,）称为极大值点（或极小值点）. 极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点.驻点使人（，为）=。，八（xoo）= 0的点（）,打）称为函数z = /（x,y）的驻点.极值 的

29、 必要 条件设函数/（x,y）在点（XoQo）处的两个偏导数/工（须）40），八（）。（）存在，且在点（% ,y0）处取得极值,那么人（%0, No） = o, fy （%0, 0）= 极值 的 充分 条件设函数z = /（x, y）在点（面,%）的某邻域内有连续的一阶和二阶偏导数，（%0, M）为函数的驻点，令 A =/我（而,为），B - fxy（x0, y（）, C = fyy（x0,） ?A =- AC ,（1）假设0时，点（见,打）为极小值点；（2）假设（）,那么点（x（）,y（）不是z = /（x,y）的极值点；（3）假设A = 0,（几,），。）可能是z = /（x,y）的极值点

30、，也可能不是z = /（x,y）的 极值点.函数的 最大值 与最小 值在实际问题中，根据问题的实际意义，可以判断函数z = /（x,y）在区域。上存在 最大值或最小值，且一定在区域。的内部取得，而区域。内仅有一个驻点，那么 函数必在该驻点处取得最大值或最小值.二、常考题型1 .多元复合函数的定义域二、常考题型1 .多元复合函数的定义域yarctan 例1 .函数z = x 的定义域是x2y22 .求二元函数极限例2求极限2) lim(l-xy)x ； x-0)tO3) lim Asin % +4、3孙 + 12y24) lim-xfix + y3 .证明极限不存在例3证明以下极限不存在(1)

31、1一y limx-o x + y)tO ,(2)limy-0Ax6 + y14 .求偏导数及全微分例4求以下函数的偏导数(1) z = x3 4 -b y4 - 4x2y2 ；(3) z = ex+2y sin(x?2)；例5求以下函数的全微分(2) = & +J +z2x(4) z = In tan ； y(2) z = (1 + xy)v ；2) f(x,y) = x + (y-1)arcsin t,求刀(x,l).,（x, y） w （0,0）在点（0,。）处的可导性，连续性与可微性.,（x, y） = （0,0）例7 1）求z =In（孙）的二阶偏导数。2）证明函数 = lnj? +

32、y2满足方程:二+二=。.苏办2、d3z例 8 设 z = xln(x)0 ,求o a?行例9 （多元复合函数求导）1)2)z = eli2v , 其中 = sin?,u =，2 , 求它 dtdzz = arctan(xy),其中 y =靖，求一 dx3)4)92 -tf* 11,、. Sz 0Z .z-irv-uv ,县叩 = xcosy,u = xsiny ,求一,一，dz dx dyz = arcsin(x + y + )，其中 =sin(孙)，求一,一 dx dy例10 （外层函数是抽象函数的多元复合函数求导）12）设2=工人q）+必。+,），其中/具有二阶连续导数，求三 xdx2例

33、11 （隐函数求导）1）求由方程d+2盯-y2=确定的函数火为的导数电: dx2)222求由+ 5 + 0 = 1方程确定的函数2 = 2(阳、)的偏导数; a b c3)设 u = sin(xy + 3z),其中 z = z(x, y)由方程 yz2 -xz3=l 确定，求包 dx4)设2 = z(x,y)是由方程z3-3型=不确定，求一 dxdy5)u2 + v2 - x2 - y = 0.-w + v- xy + l= O、du du dv dv dx dy dx dy5 .微分法在几何上的应用例111)求空间曲线X =4= -tz = -t2上相应于t = 1处的切线及法平面方程. 3

34、2尤 2 + 丫？ + Z2 62)求曲线广+z 一。在点(1,_2,1)处的切线与法平面方程 x+ y + z = 03)求曲面z +肛=3在(2,1,0)处的切平面及法线方程.4)求曲面X2 + 2y2 + 3z2 = 21平行于平面x + 4y + 6z = 0的切平面方程.6 .求极值例 121)求函数/(x,y) = e2x(x + 2y+y2)的极值2)在平面xOy上求一点，使它到x = 0, = 0,x + 2y-16 = 0三直线的距离的平方和最 小.3)将正数12分成三个正数x,y,z之和 使得 = /y2z为最大.4)求函数Z = / + y2在圆(% 直产+ (y - 0

35、)2 9上的最大值与最小值.7 .方向导数级梯度 例13求=孙2 +户3在4(2,1,1)的梯度及沿7 = (221)方向的方向导数.答案:xwO一0例 1. 解：7?,所以 O = (x,y)|x +0例2 ,解：1)例2 ,解：1).sin(f+y2)hm-= 1.T X + V_L2) lim(l - xy)x lim(l - xy)xyy = (e-1)0x-0xf ()y-0y-03)因为3)因为0 移 sin0，由夹逼法那么知，lim xysin- = 0.% +、 3xy-hx2y2 104) lim二工-i x + y 3 )12,例3.解：因为lim= T xfo x - y

36、 1 - k y=kx /例3.解：因为lim= T xfo x - y 1 - k y=kx /(Awl),所以12匕不存在. x-()x - y _v-o/(2)因为 lim=募-1 + Z(2)因为 lim=募-1 + Z所以lim xf0 y-0凸l+y2不存在.例4.解:(1)包= 418孙2, dxdudx/ /、 OZ X 2 X(4) = cot sec dx y y例5.解：(1)yx2 + y2 -Xrdu _ydu _ z/ yjx2 + y2 + z2 0z J=2 + y2 + z2(3) = ex+2y sin(x)2) + ex+2yy2 cos(xy2),= 2ex+2y sin(xy2) 4- 2xyex+2y cos(a2).dxdx12/2x、 dz x 2%/ %、 2x /2x、=csc(), = cot sec (-) =-csc()yyy / y yy y y九_ y?Z7一77dz _ x2 + y2dz _ x2 + y2 _ 孙 _ ydx f ， by f 曲八丁)八/dz =，=dx dyy(x2 + y2)dy(3) u = xz ；例6求以下函数的偏导数1）设/（X,y） = d + y4_4x2y2,求人（o）y（o）.