概率论与数理统计各周作业解答.docx

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1、概率论与数理统计各周作业解习题一2设A 8,C是三个事件，用A &C的运算关系表示以下事件：(1) 4发生，8与C不发生；A&C都发生，而C不发生；(2) A, 口, c中至少有一个发生；ab,C都发生；(3) a, & C都不发生；A&C中不多于一个发生；(4) a&c中不多于两个发生；a & C中至少有两个发生.解：(1)在发生，8与C不发生表为：ABCQ A 8, C都发生，而C不发生表为：ABC8 A 8, C中至少有一个发生表为：ABC夕 4, 8, C都发生表为：ABC6 A8,C都不发生表为：ABC6 A8,C中不多于一个发生表为：ABC ABC ABC ABC 或 BC AC

2、AB0 A 8, C中不多于两个发生表为：ABC或工 B C$ A 8,C中至少有两个发生表为：AB AC BC3 设 A 8, C 是三事件，且 P(A) = P(B) = P(C) = ,P(AB) = P(BC) = Q,4P(4C) = L,求A B,C至少有一个发生的概率； 8 p(a)= 1,尸(b)= 1，2(C) = L 尸(A8)= , P(AC) = , 2351015P(BC) = p(ABC)=，求八 8, AB, A B C,ABC,BC, AB C,的概20 30率;1/ 45现有一大批此种器件，任取5只，问其中至少有2件寿命大于1500小时的概率.解：尸X 150

3、0/ f(x)dx = L1m dx/15001500 X23设任取5只，有y件寿命大于1500小时，那么厂8(5,3),所求概率为 3232243232243P/2 = 1 一尸丫=0 尸丫=12) 5 一 5 x X (1 _g)4 =33325 ,设K在(0,5)内服从均匀分布，求X的方程4x2+4kx+K+2 = 0有实根的 概率.解：K在(0,5)内服从均匀分布，其密度函数0.2, 0 x 50, 其他4x2 + 4kx+K + 2 = 0有实根，/ = ( K4)2一4x4x( K+2) = 16(心一/一2)之0即/ -1 或/ 22,故4x2+4kx+K + 2 = 0有实根的

4、概率PK4一1或 K 2 2 = 1 f(x)dx +m f(x)dx = j50.2dx = 0.6 - s22另解：K在(0,5)内服从均匀分布，其分布函数0,x 0尸(x) =0.2x, 0x 5X.4x2 +4kx+K + 2= 0 有实根，/ = ( K4) 24x4 x( K+2) = 16(依K2)20即 K K-1 或 K 22,故4x2+4 kx+K+ 2 = 0有实根的概率尸K41或K22 二尸(一1) + 1 -尸(2) = 0 + 1 0.4=0.633.设随机变量的分布律为10/X-2-1013p i1/51/61/51/1511/30试求y= X2的分布律.解：作草

5、表如下X-2-1013Y = X 241019P i1/51/61/51/1511/30Y= X2的分布律为Y0149P i1/57/301/511/3035 .设xN(O,1)，求Y=ex的概率密度；(2)求y=2X2+l的概率密度求y = |x的概率密度解XN(O,1)，X的概率密度-oox +oo-oox +oo(1) Y= ex严格单调增加，有反函数(y) = in y, hXy)= y所以y=ex的概率密度为fh(y)hXy) f (y) = yo,y o,y0,Y = 2X2+1的分布函数(y)= PY y= P2X2+ 1时,11/1y- 1=i=J2 y - 22所以y=2X2

6、 + l的密度函数为14(y)= 24(y-l) 401L24(y-1) 4y i,y i y = |x| 的分布函数 Fy) = PY y= pix | y, 当)”。时，J(y)=o, fjy)=耳(y) = o；当 y0 日寸， F (y) = P- yX y = 20 (y) - 1Y2 或f 3 =尸3 = 2力(y) = 2f(y) = -j=e-2Y YJ27r所以Y=|X |的密度函数为f (y) =Y,yo,y o37.设x的密度函数为2x0 ，其他求y=sinx的概率密度.解 y=sin X 的分布函数 F Y(y) = PY y = Psin Xy 当 ”0 时,F (y

7、)=() j (y)=尸(y)=0,YYy当 时，F (y) = l,f(y)=尸(y)=0, Yyy当0 y 1时F (y) = P0 X arcsin y + P兀-arcsin y X tcY卜 dx7T 2 n - arcsinf arcsin y 2 x=Jdx +2=arcsin yn0 万2f(y) = Ff(y) =2兀 Ji y2所以y=sin X的密度函数为2-j, 0j1,f (y )=九寸1 -y(arcsin y)2 伉一 arcsin)M + 1 f (y )=九寸1 -y(arcsin y)2 伉一 arcsin)M + 1 110, 其他，12/或解y=sin

8、X的分布函数Fy = PYy = PsnX(y)=0, YyV当0 y y = 1 - Parcsin yX 1, 求y的概率分布.解XN(O,1)，X的密度函数为/( x)= ；e 2, ( -oo x +oo )9J27rY的分布函数为尸(y)= pY 1时,Px -j = 1 -0(-j) = 0(j),F( j)=P- 1 X 1Y=0( J)-0(- 1) + 1 -0(1) =0(v),所以y的分布函数为尸(y) = /(ny所以y的分布函数为尸(y) = /(ny的密蔗函数为f (y) = r( y )= f(y)= i e 2, ( -oo j+oo) 0 yJ2%即yn(o,

9、1)。习题三13/3.设随机变量(x, Y)的概率密度为k(6 -x-y),0x2,2y 4/(x)=0,其它，确定常数左；求PX1:3；求PX 1 .5；求尸X+YW 4 -=2- x - y)dy o 21 = J士00 8 .2解法f(x,y)dxdy=k Q y - xy - - y2PX+ y4 = JJ f(x、y)dxdy-I 2dx x ( 6 - x- y)dy - - f26 j-xy- o 288 0 tZr = A: J (6 - 2x)dx= k6x-x2 2 =8k,0PX1,Y3 =1 dx-00f(x,y)dy=dx302 ；8 0 211 0(6 - x-y)

10、dy = J 6 j -88 01 7x 13-x) dx= -x 2 |l822。1y2 3dxPX - -88 o1 f1=J1,5 (6 - 2x)dx = 6 x-x8 082 |l .527032,(4)4(6 . 4-8 ox21-) dx = 6 x-2 x2 +X3一26 02_53解法二: 1 = J士00 co4订62f(x,y)dxdy1-x - y)dx204=k (10-2y)办2=Z： 10 y-y24 = 8%, 21k = 一、814/(2) p x i,r3=1 f(x,y)dx1x22 PX)dy-841 .5 1=f dy -( G-x-y) dx =20

11、 81-f1x2 -yx21 5dy oy -y242732,-00Q0j3 Jy j1 J_(6 - x _ y)dx20 81 f3 11=J (田办8 2 2尸X+y dy0_ 2 54-2 3解法三:J 0 x 2,2 y 4 时,尸(九，y ) = vdu jZ (6 - u-v du20=J62xdv o攵6 x -x 2 一以Jv = kG xv 22v2 V- -XV211=攵(6 xy x 2y - -xy 2 - 10 x + x2) 22当 次之2,”4 时,F(x,y) = 1,尸(2,4) 二尸(2 0,4 0)得 1 =8k, =1,8当 0x ) J 14 - (

12、 6 - - u)4=02 81 fv 2一J( 6 - u )v du8 02 271 J 6-2 udu = (6 x - x2)8 08当 2,2 y 4 时，15/F (x, y) = j t/vf2 (6 - u - v)du = f v6 u - u2 - vu 2dv2088 2201 f v11=_J 10-2 vdv = _ 10 v- v2 y = (1 Qy-y2 - 16 ) 8 2828当 x40或”2 时，F(x,y) =0,0,0,F(x,y)1(12 xy-16x2y-xy 2120 x + 2.x 2),(6 x-%2)58 l(10y-y2-i6), 81,

13、x0 或 ”20 x 2,2 y 40 x 4x 2,2 y 2,y4 Px1, y3 = F(1,3)=2,8(3)PX 1 .5 = PX 1.5,7 +oo=尸(1 .5,+8)= J32 P X +4 = ff /(x, ydxdy = 2 dxx - x - y)dy028+ y 0, y 0,其它，求边缘分布函数.解：（x,y）的缘分布函数为:F ( x ) = F ( x ,+oo )= 0,其它,y0,0,其它,16/5 .将以枚硬币掷三次，以x表示前两次中出现”的次数，以y表示三次中出 现H的次数，求（x,y）的联合分布律及边缘分布律.解：（x,y）的联合分布律为：PX=i,

14、y=j = C，0.53, / = 0,1,2,； = /, z+1,2（X, y）的边缘分布律为pX=i = CO52j = 0,1,2;Py=j = C JO .53,7 = 0,1,2,3 .3或解：（x,y）的联合分布律及边缘分布律0123pi*01/81/8001/4101/41/401/22001/81/81/4%1/83/83/81/80x1,0jx其它，6 .设随机变量（x,y）的概率密度为J4.8y（2-x）,L 。， 求边缘概率密度.解：边缘概率密度f () = f(x,y)dyX-001j”4.8y(2 - x)dy, 0 x 1=( o0,其他2.4x2(2 x), 0

15、x10,其他j14.8y (2 - x)dx,I o,0 y 1其他17/2.4y (3 -4y+ y2),0,2.4y (3 -4y+ y2),0,0 y 1其他9.设随机变量(x,y)的概率密度为cx 2y, /(x,y)=o,X2”41,其它，确定常数C； (2)求边缘概率密度.解： 1 =y)dxdy = J1 dxy=sl2所以”巴；40000X3 X111-1 A-421cex2ydy = j1 (X2 - xdx:2-1(2)边缘概率密度f (x) =)办=/Lx2ydy, -1 X1,2 4X，其他，21%2(1 一工4), 一 1 x 1,=80,其他,/ (y)=卜/(%，

16、y)公=仁以，oj 1, y一，4.一80，其他，7 5一丁2,0y1,二20,其他，补充3.设随机变量x,y的概率密度为e-y, 0 x y , p(x,j)=(0,其匕，(1)求易的边缘密度函数；求概率px + v 0,=40 , x 0 ,/(7)= p(x,y)dx=-8I 0,y 0, =.0, y 0,因为/(x)/ (y)p(x,y) 9所以x与y不相互独立. Jx y(2) p X + Y dj 0X=12 (一e-y)|i-xdx = J1(e7 - e )dxQxxL _ L _J-二(-e-x-ex_1)2=(一 2 e 2) (e e01=1 + e-1 -2e 210

17、,将某一医药公司8月份和9月份收到的青霉素针剂的订货单数分别记为x与y ,据以往积累的资料知(x,y)的联合分布律为5152535455510. 060. 050. 050.010.01520. 070. 050.010.010.01530. 050. 100. 100. 050. 05540. 050. 020.010.010. 03550. 050. 060. 050.010. 03(1)求边缘分布律；(2)求8月份的订单数为51时，9月份订单数的条件分布律；解：(1)关于X的边缘分布律为19/产(知=1,假设AB互不相容，求尸(AB),)假设尸(/W)=L求 28尸(画，解： P(A B

18、 C) = P(A) + P(B) +尸(C)-P(AB)- P(BC)- P(AC)+ P(ABC )因为 ABC o/AB,0P( ABC ) Lx = f PY解：（2）在第91 j2题中1 x=7,f(x,y) = 4、，21%2y 1,其它，/x(%)=4 8X2(1 74),0,-1 % 1,其他，所以当0，1时,2yn 一14其它,（注：这里教材参考答案有误）。x=L x= 1日寸,3281y的条件概率密度为:f IY X= 40)10,f 32一),，=150,1 y 1,9其它，1一 y -4.32打54PY ： x = =卜 y| (y|-)dy =4,324yd y= I

19、.7 ydy =1514.设随机变量（x,y）的概率密度为fl, )=(10，y x,0 xl,其它,求:条件概率密度/（x y），xw解：（x,y）边缘概率密度a+OO/ (x) = J f(x,y)dyA-00 x dy = 2x,0 x 1,0,其它,f (y )= f(x,y)dx Y- 8广公=1 -卜I,*III o,其它,yl时，y = y条件下，X的条件概率密度为1 I0,y x 1其它，0%1时，x = x条件下，y的条件概率密度为/（x，y） J_, ly lx,f I （yk）= = 2xY X fx（x） 0,其它，15.设随机变量xU （0,1）,当给定X=x时，y的

20、条件概率密度为 f 1I X, 0 y ,fY（小）=平/。，其它，求X和Y的联合的概率密度x,y）。解：xU（0,l）,/(x)=4 o,0 x 1,其他，10 x 1,0 y 0,0 y 1,F(x, y) = 0, y 1,( 0)0,其它，证明x,y相互独立.fl - e-ax, x 0, 证：F ( x ) = F ( x ,+oo )=x0,其它，0yto,其它，因为F(x,y)=F (X)F (y),所以X ,Y相互独立. XY20.设x和y是相互独立的随机变量，其概率密度分别为以e-X，x 0,日-匕 y 0,/(%)=f (y)=x0, x 0, y0, y 0,V.、其中入

21、0川0是常数，引入随机变量1,当 X 匕求条件概率密度 / I (x y)；求Z的分布律和分布函数。解X和y是相互独立，(X,y)的联合概率密度JX|i e-y, x 0, y 0, /(x，)，)=/ (x)/ ()=x 丫 10, 其它，当y0时，y = y条件下，X的条件概率密度为f I (% y)=f (x)= 0,o,x 0,(2) PZ= 1 = P X 丫 = ff f(x,y)dxdy =/法3 e-人-叩dy o xxy=九e -兀”叩+8公=卜九e -(九+ u)x公0”022/九X（九+ N）X +8 =入+日0 入+日从PZ = 0 = 1 -PZ= 1=1十11故Z的

22、分布律为z01p九十日X + pZ的分布函数为0, z 1,2）设X和Y是相互独立的随机变量，其概率密度分别为-3 x 0,f ie-y , y 0,f （XM/ （y） = x 0,x0, 丫 0,y0时，y=条件下，x的条件概率密度为入g）=83=/ （%）=/xl/ （y） x 10,x 0,2 设随机变量（x,y）的概率密度为f x + y,0x1,0y1/（x，y）=4_u.I o,其他，分别求（1） z = x+y,z= xy的概率密度解：（Dz=x+y的概率密度为f（Z）=JE/（X,Z X）公、-00被积函数非零，o x 1,0 z-x1, SP：23/!()z1 时，0xz；

23、当 1z2 时，z - 1 x1；所以zdx ,0 z 1,lz2, 0 z 1,zdx ,z-11 z 2, =z(2-z), 1 z 2,0,其它,z=xy的分布函数为F(z) = PZz=P XYz = H f(x,y)dxdy zF (z) = 0,z当Z21时，当02 0, 其他，解：(1)边缘概率密度j-(x + y)e-(x+y)dy ,o 2I o,一(X + 1)6-3 X 0=1 20, 其他依对称性，24/、一(y+ 1) e- yQ f 20,0,其他(x).f (y)X Y 所以x与y不相互独立. Z=X+Y 的概率密度为f (z)=卜/(z y ,y )dy Z-o

24、oz-y0, y0, , 得 z 0,0 y 0, o20,z 0,z0,29.设随机变量(x,y)的概率密度为o,0 x 1,0 y 4-oo其他，试确定常数人;求边缘概率密度f (x), Xf (y),；Y求函数u= max( X,y)的分布函数.dxo解：(l) 1 = J+*k*/(x ,y )dxdy =b1 e-xdxo=b1 e-xdxo00 -00+ooe-ydy = b( - e-i),o边缘概率密度f (x)=X/(%，y)dy-oo0 x 0,其他，y 0,其他，- co11 be -(x+y)dr,=o0,(一，y 0,0, 其他，(3)/(X,y)=/ (x)/ (y

25、),所以 X 与 Y 相互独立. XYx0, 0,0x 1,1,x0,0 x 1,F(y)Jy0jy -8 y o, y K 0, I 0,yQ”0,函数U=max( X,y)的分布函数0,(1 - ”F ( u)= F (w)F ( w ) = j ux Y|!_e-i1w 0,Q u 1,或解：函数U = max(X,Y)的分布函数F ()= P(max( %,7) = PX u,Y u=f(x,y)dxdy-OC -00“4 0,0,u0,(1 _ e - “)20 w 1, = 0 u 1,1 一 ”J u 1,0,u= J dx be-(+y)dy ,dx be -3”办,0036.

26、设随机变量(X, Y)的分布函数的分布律为01234500. 000.010. 030. 050. 070. 0910.010. 020. 040. 050. 060. 0820.010. 030. 050. 050. 050. 0630.010. 020. 040. 060. 060. 0526/求 PX =21y = 2, PY = 3|x= 0；求丫= max(X,y)的分布律；求。=min( X,Y)的分布律；(4)求卬=*+ y的分布律。解：(l)py=2= f PX =x,Y=2 =0.25P X =2y=2 =P X =2y=2 =P X=2,Y=2PY=20.050.255P

27、X =0 = PX =0, Y=j=0 .03I P x=o, r=3 o.oi iPY =3 X=0=-二二一P X = Q 0.033V = max( X ,7)的分布律:V012345pK00. 040. 160. 280. 240. 28U = min( X,y)的分布律:U0123P k0. 280. 300. 250. 17卬=x+y的分布律:W012345678Pk00. 020. 060. 130. 190. 240. 190. 120. 05习题四6 .(1)设X的分布律为求 E(X),E(X2), (3X2+5) X-202P0.40.30.3解：E(X) = (- 2)x

28、0.4 + 0x0.3 + 2x0.3 = -0.2,E(X 2) = (-2 )2 x 0.4 + 02 x 0.3 + 22 x 0.3 =2.8,E(3X2 +5) = 3(-2)2 + 5 x 0.4 + 3 (P + 5 x 0.3 + 3 22 + 5x 0 .3 = 13 .427/（或立 3X2 + 5) = 3E(X2)+ 5 = 13.4.（1）设随机变量x的概率密度为/(%)=解：E(Y)=解：E(Y)=*2xf(x)cbc =-002xe-dx = 2, o(或解 X E，E(2X) = 2E(X) = 2.) E (Y) = i/ e-2x f(x)dx = j-00

29、(+001 e-3xdx -39.（1）设（x,y）的概率密度为(12尸，0 y x 1, /(x,y)=0, 其它，求 E(X),E(Y)1E(XY),E(X2 +72).解：E ( X) = j+cc j+x x( x , ) dxdy = dxx2 xy2dy - j100 coE(Y) =+00+ooryf(x,y)dxdy = J001 x dx 12y3 力E(XY)= +8001 x13=J 3 xdx = o5-co -coxyf (x, y)dxdy = f dx A2xydy =o oE(X2+ 丫2)=+oo“(x2 + 产)/( )dxdy =/公(12x2y2 + 1

30、2 y 4)。3251 x5dx01615求 y=2x ； y=e.2x的数学期望.13.设电压（以y计）XN（0,9）,将电压施加一个检波器，其输出电压为y = 5X2,求输出电压y的期望.解：XN（0,9），X的概率密度为/(弦7一+00,28/v2 + 00-x2e 18 dx- 0,x 0,x 0,(1)求E(X + X ), E(2X 3X2)； 121 -2(2)又设x与x的相互独立,求石(x x ). 1212解:X E(2),X E(4),1211E(X)= 一,E(X )=一,1224E - D(X )+E(X)2= 1 +(1)2= 122247 48(1) E (X +

31、X ) = E ( X )+E(X ) = -212244115E(2X 3X2) = 2E(X ) 3E(X2)=2x 3x-=-1212288/c ,111(2) E(X X ) =E(X ) E( X )= L12122 4821 .设长方形的高x米，XU(0,2),长方形的周长为20米，求长方形 的面积4的期望与方差.解：XU(0, 2), X的密度函数为29/（ii）假设尸（力8） = 1.，那么尸（AB82 889.从5双不同的鞋子中任取4只，问这4只鞋子中至少有两只配成一双的概率是多少?解：设A= 至少有两只配成一双，那么所求概率为:C 4.241 Q尸(4) = 1 _ 户(知=1 二。=丫C4 211011 .将3个球随机的放入四个杯子中，求杯子中球的最大个数分别为1,2,3 的概率.解：设A二“杯子中球的最大个数为k”，那么所求