押题12 立体几何 （解析版）.docx

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1、押题12立体几何【押题方向】高考立体几何承载着考查空间想象能力、逻辑推理能力及运算能力的考查，是高中数学的传统及核心 重点内容，也是高考命题创新的探索者.在每年的试题中，它在继承中求稳定，在创新中求发展.为了准确 地把握2021年高考立体几何小题命题思想与趋势，在最后的复习中做到有的放矢，提高复习效率，我们现 一起分析研究2020-2017这4年的考题，以便发现规律，把握住高考命题的脉搏.【模拟专练】1. （2021 .山东高三二模）如图，在棱长为1的正方体ABC。4AG2中，p, M，N分别为棱CG，CB, CD上的动点（点P不与点C, G重合），若CP = CM = CN,则下列说法正确的

2、是（）4A.存在点P,使得点A到平面见W的距离为一B.用过尸，M，三点的平面去截正方体，得到的截面一定是梯形C. BD 平面 PMND.用平行于平面0AW的平面。去截正方体，得到的截面为六边形时，该六边形周长一定为3亚【答案】ABD【详解】a.连接4G，3G,4民32G2A2AC,如图所示:可得又 2/SAB+/ASB = 7i,42j故选项C不正确；对于选项 D：由 A5 = BC,NA5C = 90,AC = 4,得 AB = BC = 2近,又 SA = SB = 2V2，则为等边三角形，则 ZSBA = 60，将aSAB以AB为轴旋转到与A6C共面，得至ij AB ,则aS A3为等边

3、三角形，ZS. BA = 60 ,如图：则（S+CE）n=SC因为 = BC = 272, AS.BC = ZS.BA + ZABC = 150，5,C2 = B2 + BC2 - 2x S,B x BC x cos 150 = 8 + 8 + 8V3 =（2V3 + 2）2 ,则（SE + CE ,n=SQ = 2（G + l）,故选项D正确；故选：BD.【押题专练】1.如图，在棱长为1的正方体A3CO 4gG2中，P, M , N分别为棱CG，CB,上的动点（点P不与点C, G重合），若CP = CM = CN,则下列说法正确的是（）4A.存在点P,使得点A到平面qMN的距离为一3B.用过

4、尸，2三点的平面去截正方体，得到的截面一定是梯形C. BD平面 PMND.用平行于平面丽的平面。去截正方体，得到的截面为六边形时，该六边形周长一定为3亚【答案】ABD【详解】a.连接AC，3G，453。1。，4。山。，如图所示：因为CP = CM = CN,所以易知MN/BD,NP/GRMP/5G，且平面MN尸/平面5G。,又已知三棱锥A-各条棱长均为V2 ，所以三棱锥A- BC】D为正四面体,所以A到平面BCQ的距离为:2a/3T因为44，平面3CG4,所以A4JL3G，又3和，旦。，且4月。用。=片, 所以平面4耳。，又ACu平面4片。，所以3G八A。，同理可得GOAC，且3Gcgo =

5、g，所以4。J平面8G。,又因为AC=J,所以A到平面pmv的距离，且其故正确; 33B.如图所示，连接2P并延长交0c的延长线于。点，连接QM并将其延长与AO相交于4,CP CM CQ,因为。= CM,豆CP 11 DD、,CM 11 AD ,则力/，所以所以4即为A,DD、 L)/ DQ,连接A。，所以过P, M ,。1的截面为四边形ARPM ,由条件可知MP/8G，3G/A2,且MPwAQ ,所以四边形A2PM为梯形，故正确;C.连接8。，由A可知平面肱VP/平面8G。，又因为3$平面5G。，。任平面BG。，所以501不平行于平面8C。,所以3。/平面尸MN不成立，故错误；D.在5耳上取

6、点耳，过点耳作46/MP交与G于鸟，过鸟作N/N交G2于N.以此类推,依次可得点N2，M1,2,此时截面为六边形, 根据题意可知：平面鸟乂生加2/平面MAP，不妨设所以RM 2 =匕此=N2Ml = Ox,所以=2乂=2=8(1 同， 所以六边形的周长为：3缶 +&(1 x) = 3近，故正确；2.如图所示，几何体是由两个全等的直四棱柱组合而成的，且前后、左右、上下均对称，两个四棱柱的侧 棱互相垂直，四棱柱的底面是边长为2的正方形，该几何体外接球的体积为8遍兀，设两个直四棱柱交叉部分为几何体小则()B.几何体厂的各侧面为全等的正三角形4兀D.几何体厂内切球的体积为3A.几何体为四棱锥C.直四棱

7、柱的高为4【答案】CD【详解】该几何体的直观图如图所示,几何体r为两个全等的四棱锥S - ABCD和P- ABCD组成，故A错误； 由题意，这两个直四棱柱的中心既是外接球的球心，也是内切球的球心， 设外接球的半径为R,直四棱柱的高为，则/?=#=3万F方，所以/z = 4,故C正确; 在等腰三角形ABS中，SB = 2，S3边上的高为2,则$4 =逐.由该几何体前后、左右、上下均对称，知四边形ABC。为边长为的菱形.侧面均为全等的等腰三角形, 腰长为几，底边为2夜，故B错误；设AC的中点为“，连接SH ,易证S即为四棱锥S-ABCD的高,在中，BH = y/AB2-AH2 =462 = 2-又

8、 AC = SB = 2 垃,所以 Sabs =2x Jx2 血 x2 = 4 顶.又BH = SH ,所以V=_LsSa力=*2、4后=述.设内切球的半径为人 因为八个侧面的面积均为20，所以;广2jix8 = 2x 半，得r = l,故几何体厂4 7T内切球的体积为一，故D正确.33.已知正方体ABC。-48GA,棱长为2, 为线段上的动点，。为AC的中点，P为棱CG上的动点，。为棱A4的中点，则以下选项中正确的有（）A. AELBxCB.直线80,平面AiBG71C.异面直线AZ）|与0G所成角为一3D.若直线机为平面3OP与平面囱DiP的交线，则根/平面30。【答案】BD【详解】解：在

9、正方体ABC。-43GQ1 中，BiCXBCi, BiCAB, BCAB=B,8CJL平面ABC。”;只有当E运动到线段BC的中点时，AEJ_BC才成立，故A错误.连接 BA, 在正方体 ABCD-AiSGDi 中,DDi_L平面 A/CQi,：.DDLAXC, VBDilAiCi, BDQDDi=Di,.,.AiG J_平面 BDDB, /.A1C1 .LBD,同理可得又 AiCnBG = G,直线80,平面Ai5G,故选项3正确.连接 BD, BCi,则 AD1/BG,AZ0C1B （或其补角）即为异面直线AQ与0G所成的角.因为正方体的棱长为2,则8G=2公，0B=6 ,在放COB中，0

10、C产仇,.-.cosZOCiB= = =, .-.ZOCiB= ,故选项。错误.2V226由题意知如图2,在正方体48CO-48G。中，尸为棱CG上的动点，Q为棱A4i的中点,直线m为平面BDP与平面BDP的交线，且3。/ / BiDi,：.m/ / BD. 丁 W 平面 BQiQ,e.mil平面BiDiQ,故选项D正确.故选：BD.图14.如图，已知四棱锥 PABCD 中，PDffiABCD, NDAB = NCBD = 90。, ZADB = ZBDC = 60 9E为PC中点，尸在上，ZFBC = 30, PD = 2AD = 2,则下列结论正确的是（）EA. BE平面 PADC.四面体

11、。跳户的体积为走3【答案】ACD【详解】B.依与平面A5CD所成角为30。D.平面Q45,平面24。依题意，连接ER DF,如图，/DAB = /CBD = 900, ZADB = ZBDC = 60 ,则 NABD = NBCD = 30。，又 NEBC = 30。，贝ij/DEB = 30。+ 30。= 60。，故b= 60。，。即是等边三角形，故 DF = FC = BF = BD, ZABF = 300 + 60 = 90 ,即b是。的中点，BFAB,又 为 PC 中点，DA,LAB, WPDIIEF, AD/BF ,则斯平面 PA。，BF7/平面 PAD，EF.BF交于平面EBb内，

12、故平面上BF 平面？AD,而BEu平面EBF1,所以BE平面P4Q,选项A正确； 因为 PQ = 2AQ = 2,NABO = 30。，所以。区=2 =NP5O = 45。,又平面ABC。，所以总与平面A5CZ）所成角为NMD = 45。，故B错误；四面体OB石尸的体积匕小所=/-皿一因为PDHEF,。，平面438,所以EF JL平面ABC。,EF = ?PD = 1,等边三角形DEb的面积为也x22=G，故V =v =x百xl = 3,故C 24D-1S 匕卜b. - IS Ur 3 3正确；/），平面ABC。，则而ZMLAB, P2D4相交于平面？AD内，故A5J_平面PAD，而ABi平面

13、B4B,故平面平面PAD，D正确.5.（多选题）如图，在棱长为1的正方体ABC。44GR中，P为棱CC上的动点（点P不与点C G重合），过点尸作平面。分别与棱5G CD交于M, N两点，若CP=CM=CN,则下列说法正确的是（）B.存在点P,使得AG平面。C.存在点P,使得点4到平面。的距离为:3D.用过点尸，M,。的平面去截正方体，得到的截面一定是梯形【答案】ACD【详解】连接 BG，BD,Da，ARQPCM CN因为CM = CN,CB = CD,所以=,所以MN/BD CB CD又 W平面BOu平面G8。，所以MN平面同理可证“P5G，MP平面G8。又MPcMN = M , MN、Pu平

14、面所以平面。避。平面a易证4C_L平面。由。，所以A。J_平面a, A正确又AGc平面G8O=G，所以AG与平面。相交，不存在点P,使得AQ 平面。，B不正确.因为A。=J1 + 1 + 1=V5,点。到平面。田。的距离为 3所以点4到平面a的距离的取值范围为（，、回）又逑*G，所以存在点忆 使得点4到平面。的距离为9, C正确.333因为AA/3G，所以ADJ/MP,所以用过点P, M, 2的平面去截正方体得到的截面是四边形A2PM又ADJIMP ,且AQwMP,所以截面为梯形，D正确故选：ACD6.如图，点M是棱长为1的正方体ABC。-4gG2中的侧面上的一个动点（包含边界），则下 列结论

15、正确的是（）A.存在无数个点M满足CM J_ARB.当点M在棱。，上运动时，|M4|十|Mg|的最小值为6 + 1C.在线段A，上存在点使异面直线与所成的角是30。D.满足|MD|=2|MDj的点M的轨迹是一段圆弧【答案】AD【详解】对A,若M在4。上，此时必有CM，AD,证明如下：CO1_平面ADD|A，所以COLA。，又AQJ.A2,所以平面AQC,所以AR,所以A正确；对B,如图,旋转面AORA使之与面共面,连接Ag交。，于，止匕时|M4|+A/B最短为4旦，大小为区万，故B错误,对C,当M在4。和交点处时,此时直线B.M与CO所成的角即直线B、M与A4所成角,此时此异面直线所成最小，其

16、正切值为注，2即最小角大于30，故不存在，即C错误，对D,在面ADRA上建立直角坐标系,设0(；,0)，2(；,0),设”(x,y),由 |MZ)|=2|MZ)J整理可得：X2 +/ -1x+-i = 0 ,根据解析式可得M的轨迹是圆的一部分，故D正确,因为 CP = CM = CN,所以易知 MN / IBD,NPI ICD,MP/ IBC1,且平面 MVP/平面 8G。,又已知三棱锥4 -8G。各条棱长均为正,所以三棱锥A为正四面体,所以a到平面的距离为：（/J在 xgx223、22a/3因为44,平面8CG4,所以A4,3G，又且a4nge = 4,所以3G，平面44c,又ACu平面a4

17、c,所以3G八4。,同理可得且bgcGQ = g，所以a。，平面3G。,又因为AC = J5,所以4到平面加N的距离7、,6 ,且空6,故正确; 33B.如图所示，连接2P并延长交。C的延长线于。点，连接QM并将其延长与A。相交于4,CP CM CQ,因为b = CM,且5/即飙皿则函=加=而,所以。八叫所以4即为A,所以过尸，M ,，的截面为四边形, 故选：AD.由条件可知/P/5G,5G/AO1,且MP|adJ,所以四边形aqpm为梯形，故正确;7 .截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角，即截去四面体的四个顶点所产生的多面体. 如图所示，将棱长为3。的正四面体沿棱的三等分点

18、作平行于底面的截面得到所有棱长均为，的截角四面体，则下列说法正确的是（）A.该截角四面体的表面积为7百片8 .该截角四面体的体积为空2/12C.该截角四面体的外接球表面积为一万2 2D.该截角四面体中，二面角A BC 。的余弦值为:【答案】ABC【详解】 如图所示:由正四面体S-NPQ中，题中截角四面体由4个边长为。的正三角形，4个边长为。的正六边形构成，故A正确;S = 4x-a2 +4x 6xq2 =602 44棱长为的正四面体的高/z = a，丫 = !走（3。）2亚（3。） 4走2.如=生走/, b 33 433 4312正确；设外接球的球心为。，ABC的中心为O, /XN。的中心为。

19、，截角四面体上下底面距离为46a-a=-a, A yj R2 - OC2 + ylR2-OnH2 =-a，A J/?2- + R2 - a2 =a333 V 33J/2- =-a-，R2 =号斤2 一坟心7不.斤=口，2,V 3333380 11 9/. S = 4tt7? =Tia , C 正确； 2易知二面角S BCA为锐角，所以二面角A 3。的余弦值为负值，D错误，故选：ABC.8.如图，正方体ABCO A旦GQ的棱长为1，点P是耳。2内部（不包括边界）的动点，若BQ_LAP,则线段AP长度的可能取值为（）AG273 .3V6n V5LJ 22【答案】ABC【详解】在正方体AC1中，连接

20、AC, A1C1, AGngA=O,如图,BDLAC, BD.LAA 贝ij 8平面 ACG4,因所以APu平面ACG4,又点P是EC。内部（不包括边界）的动点,手，而底边AC上的高为I,连接C。，平面囱CAfl平面ACCi4=C。，所以点P在线段C。上（不含点C,。）, 连接 A。，在等腰OAC 中，AC = J5,A0 = C0腰。上的高力=工1 = 拽，仄而有空 WAP,由题意可知，2/ + /=9,则 2/=9 丁2, e（0,3）,四面体AA3C的体积匕ic=！x；%2y =1（9-y2）y =（_y3+9y）, ye（O,3）. J 乙JL乙JL乙设函数/（。= _尸+%/0,3）

21、,则/（。= _3/+9 = 3（/_3）= _3, +百）（一百），当正（0,6） 时，/W0，在上单调递增，当（6,3）时，/（z） ArB平面 A;CD = ABAC = 90 与 ZAfCB = 90矛盾，故C错误；取中点为0.则04 = 05 = 0。=。，故。为三棱锥A BCD的外接球球心，所以直径= &） = J32+42 =5,故A正确.故选：AB14 .在直角梯形 ABCD中，AD = CD = 2, ABIICD, NABC = 30。，点 M 为直线 A3 上一点，且 AM = 2 ,将该直角梯形沿AC折叠成三棱锥O ABC,则下列说法正确的是（）A.存在位置。，使得50

22、, ACB.在折叠的过程中，始终有DMLACC.三棱锥DA5C体积最大值为2（、历+6）3D.当三棱锥。一A3C体积最大时，BD2 =16 + 473【答案】BCD【详解】如图所示，0c从。翻折过程中，点。在平面ABC内射影”始终落在直线DM上，假设存在位置。，使得50,AC,又D_L平面ABC.所以。H J_AC,所以AC,平面因此AC_L3”,与题意不符，选项A错误；因为四边形ADCM为菱形，所以AC，。/，又。所以AC_L平面所以故B选项正确；C.连接B2，由A可知平面肱VP/平面BCQ,又因为Be平面BG。，。金平面8。，所以不平行于平面BQ。,所以3。 /平面尸MN不成立，故错误;以

23、此类推,D.在3耳上取点尸过点作/MP交AG于6,过6作QNJ/MN交GA于M，依次可得点N2，M1,M2,此时截面为六边形，根据题意可知：平面鸟N|N2MM2平面脑VP,不妨设所以用02 = 62 =MM =缶，所以6鸟=乂？=附2=我(1%), 所以六边形的周长为：3缶+血(1 司=3近，故正确；当平面ACDJL平面ABC时，三棱锥O A5C体积最大，此时的体积为V = -x1x2x（2 + 2a/3）xV2（忘+ #）,故C选项正确;3当三棱锥O ABC体积最大时，。在ABC上的投影为。,则 BD2 = BO2 + OD2 =反下 +2 ,在BCO中，5C = 4, co =叵,ZBCO

24、 = 105,由余弦定理得=14 + 46，所以=16 + 4/5.故选：BCD15.如图，正方体ABC。AAG，中，瓦歹是线段4G上的两个动点，且石尸的长为定值，下列结论中正确的是（）A. BDLCEB. BD 上面 CEFC.三角形BEF和三角形CEF的面积相等 D.三棱锥B-CEF的体积为定值【答案】ABD【详解】因为BD JL面ACG4 , CEuACGA，面CF与面ACG4重合，所以A, 3均正确；5到取的距离为3G的高，。到 族的距离即为CG，所以班厂的面积大于CEF的面积，C错误；3点到面CEF的距离为定值，为丝长，CEF的面积也为定值，故三棱锥CE厂的体积为定值。正确;D.存在

25、点E使得直线破与直线垂直A.氏,C,b四点不共面在正方形A8CO中，点E为线段5c上的动点（不含端点）,将,ABE沿AE翻折，使得二面角3AED为直二面角，得到图2所示的四棱锥5 ACD,点尸为线段8。上的动点（不含端点），则在四棱锥3-AECD中，下列说法正确的有（）C.三棱锥3 40。的体积为定值【答案】AB【详解】对于A中，假设直线跖与直线。尸在同一平面上，所以在平面BCb上，又因为E在线段上，BCI平面BCF = C,所以E与。重合，与E异于C矛盾， 所以直线跖 与直线。尸必不在同一平面上，即6、E、。、尸四点不共面，故A正确; 对于B中，当点方为线段中点时，可得C = AD,再取A3

26、的中点G,则EC/RG且石C=RS,四边形ECQ为平行四边形,所以FC/EG,则直线Cb与平面84石平行，故3正确； 对于C中，由题/一比，但E的移动会导致点3到平面ACO的距离在变化, 所以5 AQC的体积不是定值，故C不正确; 对于D中，。.过3作于0,因为平面区4石_1_平面AECD,平面 胡。平面AECD = AE,所以60,平面AECO.过。作DHLAE于H,因为平面84，平面A石CD,平面胡。平面ACD = A石，所以平面无IE, 所以 DHJlBE,若存在点E使得直线与直线CD垂直，由平面DCJ_平面AECO,且。平面ACQ, DHcDC = D,所以班1平面AECD,所以E与。

27、重合，与三角形ABE是以B为直角的三角形矛盾，所以不存在点E使得直线跖与直线CD垂直，所以D不正确. 故选：AB.3. （2021 山东高三二模）半正多面体（semiregularsolid）亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美.二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形构成（如图所示），若它的所有棱长都为血，则（）A. 8b_L平面 45B.该二十四等边体的体积为卫3C.该二十四等边体外接球的表面积为8772D. PN与平面EBfTV所成角的正弦值为X-2【答案】BCD【详解】解：对于A,假设A对，即3/_

28、1_平面E钻，于是443歹=90。，但六边形ABFPQ”为正六边形，ZABF = 120,矛盾, 所以A错；对于3,补齐八个角构成棱长为2的正方体，则该二十四等边体的体积为23-8.?!.11.半3 23所以B对；对于C,取正方形ACP”对角线交点O,即为该二十四等边体外接球的球心，其半径为氏=血，其表面积为47R2 =8，所以C对；对于。，因为PN在平面EB/W内射影为NS,所以PN与平面EBFN所成角即为ZPNS ,其正弦值为会=3=理，所以。对.PN叵 2故选：BCD.4. （2021 聊城市,山东聊城一中高三一模）如图，正四棱锥S3CDE底面边长与侧棱长均为，正三棱锥A底面边长与侧棱长

29、均为。，则下列说法正确的是（）A. AS.LCDB.正四棱锥S-3C的外接球半径为正2（ 亚、C.正四棱锥S3CDE的内切球半径为1- a乙7D,由正四棱锥S3CQE与正三棱锥AS3E拼成的多面体是一个三棱柱【答案】ABD【详解】如图所示：A选项：取跖中点“连接A,S,正三棱锥A S8E中，AH LBE,SH LBE又AnSH = ,所以8E1平面%”，则应:_LAS,又BEI/CD所以AS_LCD ，故A正确;B选项：设底面中心为球心为0半径为R ,因为正四棱锥SBCDE外接球球心在。力上，所以OS = OB = R,因为，正四棱锥S3CQE底面边长与侧棱长均为5（亚 Y （所以B =。 S

30、 = a ,由 OB? O B? + （O】S OS）得 R? = a + - a R2I 2 J I 2解得r = 故B正确；2C选项：设内切球半径为人易求得侧面面积为S = -a2sm- = -a2,234由等体积法得，/.也4 =工/ + 4，.正/解得 （ 一一）。,故C错; 3233 44D选项：取S石中点尸，连结A尸，DF, BF,则NBEO和N3E4分别是OS石一B和ASE5的二面角的平面角,由 cos ZBFD -BF? + DF? BD?2BF - DF隹J+隹J.网 2 J I 2 J12 Jcos /AFD =g,故/BED与N3E4互补，所以ASDE共面，又因为AS =

31、 AE = ED = SD,则ASZ比为平行四边形，椒ASIIEDIIBC故正四棱锥S8COE与正三棱锥AS3E拼成的多面体是一个三棱柱，所以D正确5. （2021 山东济宁市高三一模）如图，AC为圆锥SO底面圆。的直径，点5是圆0上异于A,。的动 点，SO = OC = 2,则下列结论正确的是（）sA.圆锥SO的侧面积为8啦兀QB.三棱锥S A3c体积的最大值为一3C. /S43的取值范围是14 3 JD.若AB = 3C, E为线段AB上的动点，则SE+CE的最小值为2（G + 1）【答案】BD【详解】在府SOC中，SC = lso2+oc2 = 2V2则圆锥的母线长/ = 2血，半径/= OC = 2,对于选项A：圆锥S。的侧面积为：兀八=46兀，故选项A错误；对于选项B：当OB J_ AC时，ABC的面积最大，此时S abc = -x4x2 = 4,11Q则三棱锥S A3c体积的最大值为：-xS ABC xSO = -x4x2 = ；333故选项B正确；对于选项C：当点B与点A重合时，NAS5 =。为最小角，当点3与点。重合时，/ASB = j,达到最大2值， 又因为3与AC不重合,