历年中考几何解答题真题易错题题库（含参考答案）.docx

《历年中考几何解答题真题易错题题库（含参考答案）.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《历年中考几何解答题真题易错题题库（含参考答案）.docx（88页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、历年中考几何解答题真题易错题题库(含参考答案)学校:姓名：班级：考号：一、解答题1.如图，A8是。的直径，C为。上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D.(1)求证：ZCAD = ZCAB；(2)假设丝=AC = 2E求CD的长.AB 3【答案】(1)见解析；(2) 2VL【分析】(1)连接0C,根据切线的性质，判断出ADOC,再应用平行线的性质，即可推得 ZCAD = ZCAB.(2)连接BC,通过证明 ADC ACB,可求出AD的长，再在RQADC中，通过勾 股定理可求出CD的长.【详解】解：(1)证明：如图，连接0C,CD是。的切线, .OCCD.VAD1CD,ADOC,，NDAON

2、ACO.VOA=OC, AZCAB=ZACO, NDAO/CAB.(2)如图，连接BC（2）在所画的ABC中，假设NC = 9（r,AC = 6IC = 8,那么ABC的内切圆半径是.【答案】（1）作法：如下图，见解析；（2） 2.【分析】（1）内心是角平分线的交点，根据A0和B0分别是NCAB和NCBA的平分线，作图 即可;（2）连接0C,设内切圆的半径为，利用三角形的面积公式，即可求出答案.【详解】解：（1）作法：如下图：作射线A。、B0；以点A为圆心，任意长为半径画弧分别交线段A8 ,射线A。于点D, E；以点E为圆心，。石长为半径画弧，交上一步所画的弧于点F,同理作出点M；作射线AT,

3、 5M相交于点C, “BC即所求.（2）如图，连接0C, ZC = 90MC = 6,BC = 8,试卷第10页，共103页解：(1)BE 平分NABC, CE 平分NACD,NE=NECD - NEBD=! (ZACD - ZABC) =-ZA = -a, 222(2)如图1,延长BC到点T,图1 四边形FBCD内接于.ZFDC+ZFBC=180,又 ZFDE+ ZFDC =180,.ZFDE=ZFBC,TDF 平分 NADE,AZADF=ZFDE,VZADF=ZABF,A ZABF=ZFBC, BE是NABC的平分线，; AD = BD，AZACD=ZBFD,ZBFD+ ZBCD =180

4、, ZDCT+ZBCD =180,A ZDCT=ZBFD,AZACD=ZDCT,CE是 ABC的外角平分线， ZBEC是 ABC中ZBAC的遥望角.(3)如图2,连接CF,试卷第100页，共103页图2*. ZBEC是 ABC中ZBAC的遥望角，AZBAC=2ZBEC,VZBFC=ZBAC,AZBFC=2ZBEC,*. NBFC= NBEC+NFCE,.ZBEC=ZFCE,VZFCE=ZFAD,A ZBEC=ZFAD,又.NFDE=NFDA, FD = FD,AAFDEAFDA (AAS),A DE=DA,AZAED=ZDAE,AC是。的直径，AZ ADC = 90,AZAED4-ZDAE=9

5、0,AZAED=ZDAE=45,如图3,过点A作AG_LBE于点G,过点F作FMLCE于点M,图3AC是。的直径,AZ ABC = 90,BE 平分NABC,，ZFAC= ZEBC= g ZABC=45,VZAED=45,AZAED=ZFAC,VZFED=ZFAD, ZAED - ZFED=ZFAC - ZFAD,A ZAEG=ZCAD,VZEGA=ZADC=90,AAEGAAADC,.AE AG 一 ，AC CD在 RSABG 中，AG=AB = 4a/2 ,2在 RS ADE 中，AE=V2 AD,.AD 4.，AC 5在 RtA ADC 中，AD2+DC2=AC2,设 AD=4x, AC

6、 = 5x,那么有(4x) 2+52= (5x) 25 .x=3.ED=AD/,35CE=CD+DE= 3ZBEC=ZFCE,.FC = FE,FMCE,.EM= t-CE=26.DM=DE-EM=-, 6NFDM=45。,.FM = DM=-, 625 Sadef= y DEeFM = /9【点睛】 此题是圆的综合题，考查了角平分线的定义，圆周角定理，圆内接四边形的性质，相似 三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与 试卷第102页，共103页 性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键.由勾股定理，得：AB = V62 + 82 =10*, Sab

7、c = 5x6x8 = 24； S JBC = AAOB + Saaoc + SBOC，.-ABr + -ACr + -BCr = 24,222.x(10 + 6 + 8)r= 24,r=2,MC的内切圆半径是2；故答案为：2；【点睛】此题考查了求三角形内切圆的半径，角平分线的性质，勾股定理，以及三角形的面积公 式，解题的关键是作出图形，利用所学的知识正确求出三角形内切圆的半径.7.如图，方格纸中每个小正方形的边长为1,线段AB和线段CD的端点均在小正方形 的顶点上.(1)在图中画出以AB为边的正方形AREF,点E和点F均在小正方形的顶点上；(2)在图中画出以CD为边的等腰三角形CQG,点G在

8、小正方形的顶点上，且ACQG的周长为10 +JQ,连接EG,请直接写出线段EG的长.【分析】(1)根据正方形的判定作图可得；(2)根据等腰三角形与勾股定理可得答案.【详解】解：(1)如下图，正方形ABEF即为所求;（2）如下图，ZkCDG即为所求，由勾股定理，得EG=正百=行.【点睛】此题考查作图-应用与设计、等腰三角形的性质、勾股定理、正方形的判定和性质等知 识，解题的关键是学会利用思想结合的思想解决问题，属于中考常考题型.8.如图，点A, B, C是半径为2的。上三个点，AB为直径，NBAC的平分线交圆 于点D,过点D作AC的垂线交AC得延长线于点E,延长线ED交AB得延长线于点F.（1）

9、判断直线EF与。0的位置关系，并证明.(2)假设 DF=4a,求 tanNEAD 的值.V22【答案】（1）直线即与圆。相切，证明详见解析；（2） tanZEAD =（1）连接 QD,由 04 =。知NO4Z）=N0D4,由 AO 平分NE4/知ND4E= ND40,据此可得ND4E=NA。，继而知根据尸即可得证；根据勾股定理得到OF二河 + df? = 6，根据平行线分线段成比例定理和三角函数的定义即可得到结论.【详解】解：（1）直线所与圆。相切 理由如下：连接。丁 平分/孙。 ZEAD = ZOAD 9： OA = OD：.ZODA = ZOAD = ZEAD试卷第12页，共103页ODU

10、AE由 AE_LEF,得 OD EF丁点。在圆。上，方是圆。的切线(2)由(1)可得，在用AOQ/中，OD = 2, DF = 4O,由勾股定理得OF二4OD2 + DF2 = 6*/ ODUAE.OP OF DF99aefef即 2 = 9= 4 血得 = ED =晅AE 8 ED+ 4垃33在心AAD 中，tan ZEAD = = AE 2在心AAD 中，tan ZEAD = = AE 2【点睛】此题考查了直线与圆的位置关系，角平分线的定义，圆周角定理，解直角三角形，正确 的识别图形是解题的关键.9.问题1：如图，在四边形A5CD中，ZB = ZC=90,尸是5c上一点，PA = PD,Z

11、APD = 90.ZAPD = 90.图问题2：如图，在四边形A3CO中，N8 = NC = 45。，P是BC上一点,PA = PD,ZAPD = 9Q.求空坐的值.BC【答案】问题1：见解析；问题2：立2【分析】问题1：先根据A AS证明AB/注 PCD,可得AB = PC, BP = CD,由此即可证得结论；问题2：分别过点A、。作3C的垂线，垂足为E、F ,由（1）可知AE+Db = F,利用45。的三角函数值可得43 =二=后4石，CD = - = 42DF 9由此即可计算 sin 45sin 45得到答案.【详解】问题1：证明：v ZB = 90 ,二 ZAPB+ ZBAP = 90

12、 .VZAPD = 90, ZAPBZCPD = 90.：.ZBAP = ZCPD.在AABP和PCD中，NB = /C/2 F 三 PQ.三PQPQ24在 RP0Q 中，PQ2 = 0产 + OQ2 =(87)2 + ,2四边形OPCQ的面积S = SP0Q + SfCQ1 1 9= OPOQ + -PQ11 1 r9 7=z(8 ?) h (8 7) + 广2 4l= 4t-r +-r2 +16-4z22四边形OPCQ的面积为16cm2.试卷第16页，共103页N【点睛】 此题考查了相似三角形的判定及性质，直径的判定及性质，二次函数的最值问题等相关 知识，熟练掌握相关知识是解决此题的关键.

13、H.筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，唐代陈廷章在水轮赋中写道：“水能利物，轮乃曲成”.如图，半径为3m的筒车OO按逆时针方向每分钟转。圈，筒车与 6水面分别交于点A、B,筒车的轴心。距离水面的高度。长为2.2m,简车上均匀分 布着假设干个盛水筒.假设以某个盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间.(1)经过多长时间，盛水筒P首次到达最高点？(2)浮出水面3.4秒后，盛水筒。距离水面多高？(3)假设接水槽MN所在直线是O。的切线，且与直线A3交于点MO = 8m.求盛 水筒P从最高点开始，至少经过多长时间恰好在直线上.(参考数据：cos 43 = sin 47 , sin 16 = cos 74

14、, sin 220 = cos 68 )15408【答案】(1) 27.4 秒;(2) 0.7m； (3) 7.6 秒【分析】(1)先根据筒车筒车每分钟旋转的速度计算出筒车每秒旋转的速度，再利用三角函数 确定乙4OC = 43,最后再计算出所求时间即可；(2)先根据时间和速度计算出NAOP,进而得出NPOC,最后利用三角函数计算出。, 从而得到盛水筒尸距离水面的高度；(3)先确定当P在直线上时，此时。是切点，再利用三角函数得到NPOM=68, /COM =74”,从而计算出NPO = 38,最后再计算出时间即可.【详解】(1)如图1,由题意得，筒车每秒旋转360 x3 + 60 = 5.6OC

15、 2 2 11连接 OA,在 RmACO 中，cos AAOC =,所以 NAOC = 43 .OA 315180-43所以y = 27.4 (秒). J所以 ZPOC = ZAOC + ZAOP = 43+17 = 60 .过点 P作 PO_LOC,垂足为O,在心POD中，OQ = OPcos60=3x = 1.5.一2 22-1.5 = 0.7.答：此时盛水筒。距离水面的高度0.7m.(3)如图3,因为点。在上，且A/N与。O相切，所以当P在直线N上时，此时。是切点.连接。P,所以OP 3在心。尸M中，cosZPOM = 二一，所以NPOM=68.OM 8OC 2 2 11在RtOCM 中

16、，cosZCOM=- = = 9 所以NCOM=74.OM 840所以 ZPOH = 1800- ZPOM - /COM = 180- 68c _= 38c.QQ所以需要的时间为m= 7.6 (秒).答：从最高点开始运动，7.6秒后盛水筒夕恰好在直线MN上.【点睛】此题考查了切线的性质、锐角三角函数、旋转等知识，灵活运用题目所给数量关系以及 特殊角的三角函数值是解题的关键.12.如图，在四边形A5CQ中，AD/BC,对角线BD的垂直平分线与边AO、3C分别 相交于“、N .试卷第18页，共103页B(1)求证：四边形3ND”是菱形；(2)假设&) = 24, MN = O,求菱形3NDA1的周

17、长.【答案】(1)见解析；(2) 52【分析】(1)先证明BON四OOM,得到四边形及VDW为平行四边形，再根据菱形定义证 明即可；(2)先根据菱形性质求出OB、0M、再根据勾股定理求出BM,问题的得解.【详解】(1) AD/BC,CBD = ZADB. / MN是对角线BD的垂直平分线，：OB = OD, MB = MD.ZCBD = ZADB在3QN 和中，OB = 0D , /BON = /DOM，&BON DOM(ASA),； MD = NB, 西边形BNDM为平行四边形.又,： MB = MD,四边形BNDM为菱形.(2) 四边形为菱形，瓦=24, MN = TO./. ZBOM =

18、 90, OB = -BD = 129 OM =-MN = 5 . 22在RtABOM 中，BM = yIOM2 + BO2 = 752 +122 =13-二菱形BN。”的周长= 4BM = 4xl3 = 52.【点睛】此题考查了菱形判定与性质定理，熟知菱形判定方法和性质定理是解题关键.13.：如图，在。48中，。4=08,。与相切与点C求证：AC=BC.DTAB是。的直径，ZACB=90.VAD1CD,，NADL90。.二NADONACB.由（1）知 NDAONCAB,:ADC ACB.AD ACAC - AB,e.e = 2, AC = 2/,那么可设 AD=2x,AB=3x,x0,AB

19、3.2x _ 2a/6,证二k 解得x=2.，AD=4.在RS ADC中，由勾股定理，得CD=Jac2_a02 =2也.【点睛】 此题主要考查了切线的性质和应用，以及平行线的性质和应用，要熟练掌握，解答此题 的关键是要明确：假设出现圆的切线，必连过切点的半径，得出垂直关系.2.如图，四边形ABCO是正方形，点。为对角线4C的中点.(1)问题解决：如图，连接B。，分别取C3, B。的中点P, Q,连接R2,那么PQ与试卷第2页，共103页小明同学的证明过程如下框:证此遂能。口:哂二匹二名又、:0C ; oC,“MC 3 A胭，0、46 二 小明的证法是否正确？假设正确，请在框内打“卡；假设错误，

20、请写出你的证明过程.【答案】证法错误.证明见解析【分析】小明同学通过两边及一边的对角对应相等证明两个三角形全等是错误的，没有这样的判 定定理.连接OC,根据切线的性质和等腰三角形三线合一的性质得出结论即可.【详解】解：证法错误.证明：连结A C B。与A3相切于点C,OCA.AB.；OA=OB,：.AC=BC.【点睛】此题考查切线的性质和等腰三角形的性质，熟练掌握切线的性质和等腰三角形三线合一 的性质是解题的关键.14.如图，在平面直角坐标系中，抛物线 = /+法+。与直线AB相交于A, B两点，其中3(0,1).(1)求该抛物线的函数表达式；(2)点P为直线AB下方抛物线上的任意一点，连接P

21、A, PB,求PA8面积的最大值；(3)将该抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线y =。0),平移后的抛物线与原抛物线相交于点C,点。为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中试卷第20页，共103页是否存在点使以点S C, D, E为顶点的四边形为菱形，假设存在，请直接写出点E 的坐标；假设不存在，请说明理由.【答案】(1) y = /+4x 1； (2)27B4J5面积最大值为胃；（3）存在,OEy(1,2), E,2(-3, 44-/6),63(_3,_4-，石4(I，-3)【分析】（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式，即可求解;（2）设以4=+。，求得解析式，过点P作x轴得垂线与直

22、线AB交于点F,设点2川上/+4-1）,那么产（gm 1）, sAPAB=PFxH-xA=-a ,即可求解; 2212）8（3）分BC为菱形的边、菱形的的对角线两种情况，分别求解即可.【详解】解：;抛物线过4一3,-4）,解0,-1）9 - 3b + c = -4 Sc = -l/. y = x2 + 4x -1（2）设以5=h+人，将点A（3,T）8（0,l）代入力8过点P作X轴得垂线与直线AB交于点F设点网a,/+4- 1),那么尸3m-1)由铅垂定理可得3(3 丫 27= + H2(2)827二 PA8面积最大值为p O(3) (3)抛物线的表达式为:y=x2+4x-l= (x+2) 2

23、-5,那么平移后的抛物线表达式为：y=x2-5,联立上述两式并解得：户一：，故点C (-1, -4)；产一4设点D (-2, m)、点E (s, t),而点B、C的坐标分别为(0, 1)、(-1, -4)；当BC为菱形的边时，点C向右平移1个单位向上平移3个单位得到B,同样D (E)向右平移1个单位向上平移3个单位得到E (D),即一2+l=s 且 m+3 = t或一2T=s 且 m3=t，试卷第22页，共103页 当点D在E的下方时，那么BE=BC,即s?+ (t+1)占/+32， 当点D在E的上方时，那么BD=BC,即22+ (m+1) 2=12+32, 联立并解得：s=-1, t=2或-

24、4 (舍去-4),故点E (-1, 2)；联立并解得：s=-3, t=-4V6,故点E (-3, -4+V6 )或(3 -4-6)；当BC为菱形的的对角线时，那么由中点公式得：T =s-2且-4-1 =m+t，此时，BD = BE,即 22+ (m+1) 2 = s2+ (t+1) 2,联立并解得：s=l, t=-3,故点 E (1, -3),综上，点E的坐标为:(-1, 2)或(-3,-4 +与，或(-3,-4-必或(1, -3). 存在，(1,2),(3, 4 +(3, 4 a/6), (1, 3)【点睛】此题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、菱形的性质、图形的平移、 面积的

25、计算等，其中(3),要注意分类求解，防止遗漏.15.如图，在平行四边形ABC。中,对角线相交于点。，分别过点作CF工BD,垂足分别为, F. AC平分ND4E.(1)假设 ZAOE = 50。，求 ZAC3 的度数；(2)求证：AE = CF.【答案】(1) /4CB = 40。； (2)见解析【分析】(1)利用三角形内角和定理求出/E4。，利用角平分线的定义求出ND4C,再利用平 行线的性质解决问题即可.(2)证明DAEODbO(A4S)可得结论.【详解】(1)解：AE上BD, ZAEO = 90,Q2AOE 50?, ? EAO 40?, CA平分ND4E, ? DAC ? EAO 40?

26、,四边形ABC。是平行四边形，.AD/BC, ZACB = ZDAC = 4Q09(2)证明：,四边形A8CD是平行四边形，OA = OC , /AEA.BD, CFBD, 7AEO 2 CFO 90?, vZAOE = ZCOF, DAEODCFO(A4S), . .AE = CF. 【点睛】此题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握 相关的知识点.16.如图，在孜ABC中，ZBAC = 90 9 A5 = AC ,点。是8C边上一动点，连接A。， 把绕点A逆时针旋转90。，得到AE,连接CE DE.点/是。石的中点，连接CK(1)求证：CF = AD； 2

27、(2)如图2所示，在点。运动的过程中，当BO = 2CO时，分别延长CR BA,相交于 点G,猜测AG与BC存在的数量关系，并证明你猜测的结论；(3)在点。运动的过程中，在线段上存在一点P,使尸A+P3+PC的值最小.当 PA+总+尸。的值取得最小值时，AP的长为机，请直接用含根的式子表示CE的长.【答案】证明见解析；BC = 342AG;(3) CE = m【分析】(1)先证4BAD也ACAE,可得NABD=NACE=45。，可求NBCE=90。，由直角三试卷第24页，共103页 角形的性质和等腰直角三角形的性质可得结论；（2）连接 AF,由（1）得 AAB。二 AAC, CE=BD, ZA

28、CE = ZABD = 45 ,推出 /DCE = /BCA+ZACE = 45 + 45 = 90,然后根据现有条件说明在 RSDCE 中,de = yCD2 + CE2 = VCD2 + BD2 = 45CD，点 A, D, C, E 四点共圆，F 为圆心，那么CT = A/，在放入4GC中，推出AG = Jcg2十=15CD?曳C=CD ,即 V 42可得出答案；（3）在 ABC内取一点P,连接AP、BP、CP,将三角形ABP绕点B逆时针旋转60。 得到AEBD,证明点P位于线段CE上，同理得到点P位于线段BF上，证明NBPL120。， 进而得到 NABB = ZBPC = NCP4 =

29、 120。，设 PD 为。，得出BD = 6a, AD = BD = Ca,得出。+加= #，解出a,根据83 = CE即可得出答案.【详解】解：（1）证明如下：V ZBAC = ZZME = 90,J ZBAD = ZCAE,V AB = AC, AD=AE,/BAD = /CAE在姒）和47石中（ AB = AC ,AD = AEA AABD = AAC ,J ZAB。= ZACE = 45。，ZDCE = ZACB+ZACE = 90 ,在 RfAADE 中,F 为 DE 中点(同时 AO = AE), ZADE = ZAED = 45 9AFIDE,即心尸为等腰直角三角形， V2 AF

30、 = DF = AD,2,: CF = DF , V2.CF = AD； 2(2)连接 AF,由(1)得 AAHD 二 AACE, CE = BD, ZACE = ZABD = 45 ,：.ZDCE = ZBCA+ZACE = 45+45 = 90,在 RtDCE 中，DE = VcD2+CE2 = yCD2 + BD2 =非CD，F为DE中点， DF = EF = -DE = CD 922在四边形 AOCE 中，有/ZM = /DCE = 90。，ZZME+ZZ)CE = 180,点A, D, C, E四点共圆， F为DE中点，F为圆心,那么CF = AF,在RSAGC中，9： cf = a

31、f9二F 为 CG 中点，即 CG = 2CF = ZD,I AG = ycG2-AC2 = AI5CD2- CD2 = CD , V 42即 BC = 3叵AG ;G EBD(3)如图1,在 ABC内取一点P,连接AP、BP、CP,将三角形ABP绕点B逆时针旋转60。得到EBD,得到 BPD为等边三角形，所以PD=BP, AP+BP+CP=DE+DP+CP,当B4+尸3+ PC的值取得最小值时，点P位于线段CE上；如图2,将三角形ACP绕点C顺时针旋转60。得到FCG,得到aPCG为等边三角形,所以POGP,，AP+BP+CP=GF+GP+BP,当PA+ PB+PC的值取得最小值时，点P位于

32、线段BF上；试卷第26页，共103页综上所述：如图3,以AB、AC为边向外做等边三角形ABE和等边三角形ACF,连接CE、BF,那么交点P为求作的点，/.AECAABF,/AEON ABF,/. ZEPB=EAB=60,AZBPC=120o,A：./BPD = 60。,设PD为cj BD = /a,又 AD = BD = &i, a + m = 6a，m 二 (V3 一 1)。m又 BD = CE【点睛】此题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，旋 转的性质，锐角三角函数等知识，灵活运用所学知识是解此题的关键.17.如图1,在平面直角坐标系中，点A的坐标是(0,

33、-2),在x轴上任取一点连接 AM,分别以点A和点M为圆心，大于;AM的长为半径作弧，两弧相交于G, ”两点， 作直线GH,过点M作x轴的垂线/交直线G”于点P.根据以上操作，完成以下问题. 探究：(1)线段必与的数量关系为，其理由为：.(2)在x轴上屡次改变点M的位置，按上述作图方法得到相应点P的坐标，并完成下 列表格：M的坐标 (-2,0)(0,0)(2,0)(4,0) P的坐标 (0,-1)(2,-2) 猜测：(3)请根据上述表格中P点的坐标，把这些点用平滑的曲线在图2中连接起来；观察画出的曲线3猜测曲线L的形状是.验证：(4)设点尸的坐标是y),根据图1中线段必与PM的关系，求出y关于

34、的函数解 析式.应用：(5)如图3,点3(1,追)，点Q为曲线L上任意一点，且N3DCV30。，求点D的纵坐标的取值范围.试卷第28页，共103页图1图2图3【答案】（1） PA = PM ,线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；（2） 图见解析，抛物线；（3）见解析；（4） y = x2-l； （5）切2-2g【分析】（1）由尺规作图的步骤可知，HG是AM的中垂线，结合中垂线的性质，即可得到答 案；（2）根据第（1）的作图方法，得到相应点P的位置，即可求解；（3）用平滑的曲线作出图象，即可；（4）过点P作尸EJLy轴于点E,用含x, y的代数式表示Q4, AE, PE,结合勾股定

35、 理，即可得到答案；（5）连接03,0。，由题意得当N8DC = 30。时，在BDC的外接圆上，弧所对的圆 心角为60。，3DC的外接圆圆心为坐标原点0,设求出b的值，进而即可求 解.【详解】解：（1） PA = PM线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等（2）M的坐标 (-2,0)(0,0)(2,0)(4,0) P的坐标 (-2,-2)(0,-1)(2,-2)(4,-5) （3）草图见图2：形状：抛物线B。的数量关系是，位置关系是一；问题探究：如图，A4O石是将图中的AAO8绕点A按顺时针方向旋转45。得到 的三角形，连接CE,点P, Q分别为CE, 30,的中点，连接尸。，PB.

36、判断APQB的 形状，并证明你的结论；拓展延伸：如图，AAO缶是将图中的AAO8绕点A按逆时针方向旋转45。得到 的三角形，连接BOL点P, Q分别为CE, 80,的中点，连接PQ, PB.假设正方形ABCZ) 的边长为1,求APQB的面积.【答案】(1) PQ = -BO9 PQLBO. (2) QB的形状是等腰直角三角形，理由见解 乙一 3析；(3)7716【分析】(1)根据题意可得PQ为BOC的中位线，再根据中位线的性质即可求解；(2)连接O/并延长交于点尸，根据题意证出OTE0AFPC, AOM为等腰直 角三角形，ABPO也为等腰直角三角形，由且PQ = BQ可得APQB是等腰直 角三

37、角形；(3)延长OZ交BC边于点G,连接PG, 0P 证出四边形O2LBG是矩形，AGC为 等腰直角三角形，()GP经曲CP,再证出AO/5为等腰直角三角形，根据图形的性 质和勾股定理求出OA, 0B和BQ的长度，即可计算出APQ3的面积.【详解】解：(1):点P和点Q分别为CB, B。的中点，下(3为4 BOC的中位线，丁四边形ABCQ是正方形，AAC1B0,A PQ = -BO9 PQ-LBO；故答案为：PQ = ；BO, PQ-LBO.(2) APQ3的形状是等腰直角三角形.理由如下:连接OP并延长交BC于点尸，(4)如图1,过点P作轴于点E,(4)如图1,过点P作轴于点E,PA= PM

38、 =y9 AE = OE-OA=y-2, PE =x在放 aPAE 中，PA2 = AE? + PE?即 ly|2=|xF+|y + 2y关于x的函数解析式为丁 =(5)连接。氏 OC,易得 OB = OC = 2,又 BC = 2: aOBC为等边三角形，ZBOC = 60当/8。= 30。时，在8DC的外接圆上，弧8C所对的圆心角为60。其圆心在3C的垂直平分线y轴上，5QC的外接圆圆心为坐标原点O,设。(。力)，那么。0 = 2,即=22又点D在该抛物线上/. b = a1 14由联立解得：么=2-26也=2 + 26 (舍去)试卷第30页，共103页数形结合可得, 当/BQCV30。时

39、，点D的纵坐标力的取值范围为 2 - 2G【点睛】此题主要考查尺规作作中垂线，二次函数的图象和性质，圆周角定理，解题关键是：熟 练掌握垂直平分线的性质定理，构造三角形的外接圆.18.如图，点。在以AB为直径的O。上，点。是半圆A3的中点，连接AC, BC, AD, BD,过点。作钻交CB的延长线于点从(1)求证：直线。”是O。的切线；(2)假设AB = 10, BC = 6,求AO, 3”的长.25【答案】(1)见解析；(2) AD = 5叵,EH1【分析】(1)连接。，先根据AB是O。的直径，D是半圆AB的中点，得出ZAOD = yZAOB = 90 再根据 OH/AB,得出 NODH =

40、90。，即可证明；(2)连接CO,先证明”是等腰直角三角形，求出AD的长，再根据AB, BC的长求出AC,根据四边形AC3O是圆内接四边形，推出NC4O = /DBH,证明Ar AF)ACDABDH ,得出的二弁7，即可求出答案.DU Drl【详解】证明：(1)连接。TAB是OO的直径，D是半圆A3的中点,NAOONAOB = 90, 2丁 DH/AB.：.ZODH = 90 ,ODA.DH ,1Z)H是的切线；(2)连接8,: A3是OO的直径，ZADB = 90, ZACB = 90,又D是半圆43的中点， AD = DB，AD = DB, ABD是等腰直角三角形,试卷第32页，共103页 .* AB = 10, AD = 10 sin A ABD = 10 sin 4