一函数极限连续知识分享.doc

《一函数极限连续知识分享.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《一函数极限连续知识分享.doc（14页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、Good is good, but better carries it.精益求精，善益求善。一函数。极限。连续-一.填空题1设,则a=_.解.可得=,所以a=2.2.=_.解.所以0,b0解.=4.求下列函数的间断点并判别类型(1)解.,所以x=0为第一类间断点.(2)解.显然,所以x=1为第一类间断点;,所以x=1为第一类间断点.(3)解.f(+0)=sin1,f(0)=0.所以x=0为第一类跳跃间断点;不存在.所以x=1为第二类间断点;不存在,而,所以x=0为第一类可去间断点;,(k=1,2,)所以x=为第二类无穷间断点.5.设,且x=0是f(x)的可去间断点.求a,b.解.x=0是f(x

2、)的可去间断点,要求存在.所以.所以0=所以a=1.=上式极限存在,必须.6.设,b0,求a,b的值.解.上式极限存在,必须a=(否则极限一定为无穷).所以=.所以.7.讨论函数在x=0处的连续性.解.当时不存在,所以x=0为第二类间断点;当时,所以时,在x=0连续,时,x=0为第一类跳跃间断点.8.设f(x)在a,b上连续,且ax1x2xnb,ci(i=1,2,3,n)为任意正数,则在(a,b)内至少存在一个x,使.证明:令M=,m=.不妨假定所以mM所以存在x(ax1xxnb),使得9.设f(x)在a,b上连续,且f(a)b,试证在(a,b)内至少存在一个x,使f(x)=x.证明:假设F(

3、x)=f(x)x,则F(a)=f(a)a0于是由介值定理在(a,b)内至少存在一个x,使f(x)=x.10.设f(x)在0,1上连续,且0f(x)1,试证在0,1内至少存在一个x,使f(x)=x.证明:(反证法)反设.所以恒大于0或恒小于0.不妨设.令,则.因此.于是,矛盾.所以在0,1内至少存在一个x,使f(x)=x.11.设f(x),g(x)在a,b上连续,且f(a)g(b),试证在(a,b)内至少存在一个x,使f(x)=g(x).证明:假设F(x)=f(x)g(x),则F(a)=f(a)g(a)0于是由介值定理在(a,b)内至少存在一个x,使f(x)=x.12.证明方程x53x2=0在(1,2)内至少有一个实根.证明:令F(x)=x53x2,则F(1)=40所以在(1,2)内至少有一个x,满足F(x)=0.13.设f(x)在x=0的某领域内二阶可导,且,求及.解.所以.f(x)在x=0的某领域内二阶可导,所以在x=0连续.所以f(0)=3.因为,所以,所以=由,将f(x)泰勒展开,得,所以,于是.(本题为2005年教材中的习题,2006年教材中没有选入.笔者认为该题很好,故在题解中加入此题)-