《高等数学Ⅰ》课程教学大纲演示教学.doc

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1、Good is good, but better carries it.精益求精，善益求善。高等数学课程教学大纲-高等数学课程教学大纲课程名称：高等数学总学时数：184学分：11.5实验或上机学时：暂无后续课：概率论与数理统计、复变函数与积分变换等一、课程性质本课程是工科类本科各专业的学科专业基础课，授课对象是大学一年级学生。二、 教学目标及意义通过本课程的学习，使学生熟悉和掌握高等数学研究问题的基本方法，弄清具体与抽象，特殊与一般，有限与无限等辩证关系，学习科学的思想方法，以利于辩证唯物主义世界观的培养与形成。使学生掌握高等数学的基本知识，基本理论与基本技能，提高抽象思维，逻辑推理与运算的能

2、力，综合运用所学的知识分析问题和解决问题的能力以及较强的自主学习能力。三、 教学内容及教学要求教学内容：函数、极限、连续的概念与性质，一元函数微积分学，向量代数与空间解析几何学，多元函数微积分学，无穷级数与常微分方程等。教学要求：1）掌握微积分学的基础理论、基本方法；充分理解微积分学的数学思想。2）初步掌握向量代数与空间解析几何的基本知识；3）掌握常数项级数、幂级数的基本知识；了解傅立叶级数。4）会解简单的常微分方程。四、教学重点、难点（一）函数、极限与连续重点：函数概念；极限的运算；函数的连续性难点：极限的定义（二）一元函数微分学重点：导数、微分概念；导数与微分的几何意义；复合函数导数的求法

3、（一阶及二阶）；罗尔定理；拉格朗日定理；洛必塔法则；导数的应用难点：复合函数、隐函数、参数方程求导；泰勒定理；（三）一元函数积分学重点：不定积分、定积分概念；基本积分公式；积分换元法；分部积分法；变上限函数及其求导定理；牛顿莱不尼茨公式难点：定积分概念；变上限函数及其导函数；微元法（四）常微分方程重点：可分离变量及一阶线性微分方程解法；二阶常系数齐次线性微分方程解法难点：建立微分方程；二阶常系数非齐次线性微分方程解法（五）空间解析几何与向量代数重点：向量代数；空间直线方程；平面的方程；难点：曲面方程概念（六）多元函数微分学重点：偏导数与全微分的概念；偏导数的计算；多元函数无条件极值；难点：多元

4、复合函数、隐函数的一、二阶偏导数求解；（七）多元函数积分学重点：第二类曲线积分和曲面积分的计算；二重积分的计算；格林公式；高斯公式难点：第二类曲线、曲面积分；三重积分的计算；高斯公式（八）无穷级数重点：无穷级数收敛、发散的概念；正项级数的审敛法；幂级数的收敛区间；傅里叶级数；难点：泰勒级数；函数幂级数展开；五、教学方法与手段本课程的特点是理论性强，思想性强，与相关基础课及专业课联系较多。教学中应坚持启发式教学原则，注重数学思想的渗透，加强各教学环节（理论教学、习题课、作业、辅导参考）的有机联系,要使学生加深对课堂教学内容的理解，提高分析解决问题的能力和运算能力。课堂教学中可以以教师讲授为主，并

5、适当穿插课堂讨论、提问等多种教学方法，但要避免满堂灌。提倡应用多媒体进行教学，给学生更多的时间和空间进行思考和探索；课外教学可以以高等数学实验为主线，在每一章内容学习结束后，可以安排一到两个相关的数学实验，在教师的指导下，由学生独立自主地完成。六、 教材及主要参考书1同济大学应用数学系高等数学第五版，上册，下册，高等教育出版社，2002年2陈克东主编高等数学复习指导，科学出版社，1999年3同济大学应用数学系高等数学习题集高等教育出版社1998年6月第三版4盛祥耀，葛严麟，胡金德，张元德高等数学辅导（上，下）清华大学出版社2004年2月第3版七、高等数学-1学时数：88学分：5.5第一部分函数

6、、极限与连续（一）、教学要求了解：极限概念；间断点及其分类；掌握：函数概念；求极限的一些基本方法；函数连续的概念及其运算性质；闭区间上连续函数的性质；（二）、教学内容第一节映射与函数知识要点：区间与邻域、函数及相关概念（函数、分段函数、复合函数、反函数、初等函数）、函数的几种特性、基本初等函数第二节数列、函数的极限知识要点：数列极限的定义与性质；函数极限的定义与性质；无穷小与无穷大的概念与性质第三节极限的运算知识要点：极限运算法则、能化为用四则运算求极限的形式；极限存在准则、两个重要极限；无穷小的阶、等价无穷小的性质第四节函数的连续性及其性质知识要点：连续函数的定义与性质、函数的间断点及其类型

7、；连续函数的和、差、积、商的连续性、反函数与复合函数的连续性、初等函数的连续性；闭区间上连续函数的性质（三）、本部分学时数课堂讲课课时：16习题课时：2第二部分一元函数微分学（一）、教学要求了解：高阶导数，隐函数的求导法，对数求导法，由参数方程给出的函数的求导法；微分形式不变性；微分在近似计算及误差估计中的应用；柯西定理；泰勒公式；弧微分，曲率定义及其计算公式；掌握：导数的定义；微分的定义；导数与微分的几何意义；可导与连续之间关系；求导的基本方法；反函数、复合函数的求导；罗尔定理，拉格朗日定理，罗必塔法则；应用导数:判别函数的增减性与凹凸性、求函数极值与最大值最小值、函数作图；（二）、教学内容

8、第一节导数概念及求导法则知识要点：导数的定义、导数的几何意义、函数可导性与连续性的关系；函数的和、差、积、商的求导法则、反函数的求导法则、复合函数的求导法则、基本求导法则与导数公式；高阶导数的概念、常用高阶导数基本公式；隐函数、幂指函数、参数方程确定的函数求导法则、相关变化率第二节函数的微分知识要点：微分的定义、微分的几何意义、基本初等函数的微分公式与微分运算法则、微分在近似计算中的应用第三节微分中值定理知识要点：罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理；泰勒中值定理、常用函数的麦克劳林公式第四节导数的应用知识要点：洛必达法则；函数单调性的判定法、曲线的凹凸性与拐点；函数的极值及其求法、最大值

9、最小值问题；函数图形的描绘；弧微分、曲率及计算公式、曲率圆与曲率半径；用二分法、切线法求方程的近似解（三）、本部分学时数课堂讲课课时：22习题课时：4第三部分一元函数积分学（一）、教学要求了解：有理函数、三角函数的有理式、简单无理函数的积分方法；广义积分概念；定积分在物理学上的应用；掌握：原函数与不定积分的定义与性质，基本积分公式；换元积分法，分部积分法；定积分概念与性质；微积分基本公式；求定积分的方法；定积分的元素法思想；定积分在几何学上的应用；（二）、教学内容第一节不定积分知识要点：原函数与不定积分的概念、基本积分表、不定积分的性质；不定积分的求法：换元积分法、分部积分法、有理函数的积分第

10、二节定积分知识要点：定积分的定义、定积分的性质；微积分基本公式；定积分的换元法和分部积分法；无穷限的反常积分、无界函数的反常积分第三节定积分的应用知识要点：元素法的定义、写出某一实际问题中的所求量的积分表达式的步骤；平面图形的面积、体积、平面曲线的弧长；变力沿直线所作的功、水压力、引力（三）、本部分学时数课堂讲课课时：26习题课时：6第四部分微分方程（一）、教学要求了解：微分方程的基本概念；几类可降阶的高阶微分方程的解法；高阶线性微分方程的解的结构；几类常系数非齐线性微分方程的解法；掌握：可分离变量的微分方程、齐次方程、一阶线性微分方程、全微分方程的解法；常系数齐线性微分方程的解法；（二）、教

11、学内容第一节微分方程的基本概念、几类特殊微分方程的解法知识要点：微分方程的基本概念、可分离变量的微分方程的定义与解法、齐次方程、可化为齐次的方程的解法、一阶线性微分方程、伯努利方程的解法、全微分方程的定义与解法第二节可降阶的高阶微分方程知识要点：型、型、型的微分方程的解法第三节高阶线性微分方程知识要点：线性微分方程的解的结构、常数变易法第四节常系数线性微分方程知识要点：常系数齐线性微分方程的定义与解法、常系数非齐线性微分方程：型、型的解法（三）、本部分学时数课堂讲课课时：10习题课时：2八、高等数学-2学时数：96学分：6第一部分空间解析几何与向量代数（一）、教学要求了解：曲面方程概念；旋转面

12、、柱面、二次曲面的方程，空间曲线在坐标面上的投影；掌握：空间直角坐标系，向量的概念及其运算；空间平面方程（点法式、一般式、截距式）；空间直线方程（对称式、参数式、一般式）；（二）、教学内容第一节向量代数知识要点：向量概念、向量的线性运算、空间直角坐标系、利用坐标作向量的线性运算、向量的模、方向角、投影；两向量的数量积、两向量的向量积、向量的混合积第二节曲面、曲线及其方程知识要点：曲面方程的概念、旋转曲面、柱面、二次曲面；空间曲线的一般方程、空间曲线的参数方程、空间曲线在坐标面上的投影第三节平面及其方程知识要点：平面的点法式方程、平面的一般方程、两平面的夹角第四节空间直线及其方程知识要点：空间直

13、线的一般方程、空间直线的对称式方程与参数方程、两直线的夹角、直线与平面的夹角（三）、本部分学时数课堂讲课课时：习题课时：2第二部分多元函数微分学（一）、教学要求了解：多元函数概念；高阶偏导数；全微分形式不变性；隐函数求导公式（方程组情形）；方向导数与梯度；多元函数极值与最大值最小值，条件极值；掌握：二元函数的极限与连续性；偏导数的定义；二元函数偏导数的几何意义；全增量与全微分的定义；多元函数微分的几何应用；多元函数求导法；隐函数求导公式（一个方程情形）；（二）、教学内容第一节多元函数的基本概念知识要点：多元函数概念、多元函数的极限、多元函数的连续性第二节偏导数与全微分知识要点：偏导数的定义及其

14、计算法、高阶偏导数；全微分的定义、全微分在近似计算中的应用；第三节多元函数的求导法则知识要点：复合函数的求导法则、全微分形式不变形；隐函数的求导公式第四节多元函数微分学的应用知识要点：空间曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线；方向导数与梯度；多元函数的极值及其最大值与最小值、条件极值与拉格朗日乘数法；二元函数的泰勒公式、极值充分条件的证明；最小二乘法（三）、本部分学时数课堂讲课课时：习题课时：4第三部分多元函数的积分学一、教学要求了解：二重积分概念；三重积分概念；三重积分的计算方法（直角坐标、柱面坐标，球面坐标）；重积分应用；两类曲线积分的概念；两类曲面积分的概念；斯托克斯（Stokes）公

15、式；掌握：二重积分的性质；二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标）；两类曲线积分的性质、关系及计算；两类曲面积分的性质、关系及计算；格林公式；平面上曲线积分与路径无关的条件；高斯（Gauss）公式；二、教学内容第一节重积分知识要点：二重积分的概念、二重积分的性质；二重积分的计算法：利用直角坐标计算二重积分、利用极坐标计算二重积分、二重积分的换元法；三重积分的概念、三重积分的计算第二节重积分的应用知识要点：曲面的面积、质心、转动惯量、引力第三节含参变量的积分知识要点：含参变量积分的概念与性质第四节曲线积分知识要点：对弧长的曲线积分的概念与性质、对弧长的曲线积分的计算法；：对坐标的曲线积分的概念与性

16、质、对坐标的曲线积分的计算法、两类曲线积分之间的联系；格林公式、平面上曲线积分与路径无关的条件、二元函数的全微分求积第五节曲面积分知识要点：对面积的曲面积分的概念与性质、对面积的曲面积分的计算法；对坐标的曲面积分的概念与性质、对坐标的曲面积分的计算法、两类曲面积分之间的联系；高斯公式；斯托克斯公式（三）、本部分学时数课堂讲课课时：习题课时：第四部分无穷级数（一）、教学要求了解：函数项级数的概念；幂级数的运算及其和函数的性质；幂级数在近似计算中的应用；傅里叶（Fourier）级数的概念；函数展开成傅里叶级数；掌握：常数项级数的概念；常数项级数审敛法；幂级数及其收敛性；函数展开为幂级数；（二）、教学内容第一节常数项级数知识要点：常数项级数的概念、收敛级数的基本性质、柯西审敛原理；常数项级数的审敛法：正项级数及其审敛法、交错级数及其审敛法、绝对收敛与条件收敛第二节幂级数知识要点：函数项级数的概念、幂级数及其收敛性、幂级数的运算；泰勒级数、函数展开成幂级数；函数的幂级数展开式的应用：近似计算、欧拉公式第三节傅里叶级数知识要点：三角级数与三角函数系的正交性、函数展开成傅里叶级数、正弦级数和余弦级数；周期为的周期函数的傅里叶级数、傅里叶级数的复数形式（三）、本部分学时数课堂讲课课时：16习题课时：4-