第1课时　圆锥曲线的最值、范围、证明问题.docx

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1、限时规范训练-巩固提升科学设题拿下高分A组基础练921.（2021 西安模拟）已知椭圆，+方=l（aQO）的右焦点为尸2（3,0）,离心率为e.若e=与，求椭圆的方程;设直线），=依与椭圆相交于A, B两点，M, N分别为线段AF2, 8F2的中点.若坐标原点。在以MN为直径的圆上，且原点。在以MN为直径的圆上，且,求实数%的取值范围.81/ 18次因为坐V乙所以公法即实数人的取值范围是（一8,一叫 U 惇,+8)2=3,解析：（1）由题意得, c得a=23,所以2 = 12.a= 2 92结合a2=+c2,解得 =3,则椭圆的方程为台+,= 1.（2）由彳/ b2 得J=息，设 A(xi,

2、yi), 8(X2, )2),“crb1所以Xl+12 = 0,人/2=庐工9.因为。在以MN为直径的圆上，所以OM_LON, 则四边形OMF2N为矩形，所以A&_LBF2.因为F2A =(为一3, yi),尸28=(123,竺),所以&A/28=(羽3)(X2 3) +,2 = (1 + lc)XX2 + 9 = 0,G /(2 9)(1+M)即 2(3) +9 =。，Mme ，/ 8/+81整理得F=-8屋=7,c=3,所以 25Wa=徐+2上运动，点。满足疚=既P,记点。的轨迹为曲线C A（1）求曲线。的方程;(2)设。(0,3), (0, -3),过点。的直线交曲线C于A, 3两个不同

3、的点，求证：ZAEB = 2ZAED.解析：(1)设 Q(x, y), P(x0, yo),由何可得(x, y+2)=；(xo, yo+2),2八,fx0=2x,所以, 即“. ? yo+2b()=2y+2.U十 2 - 2 ,因为点P在曲线y=3+2上，所以乂)=专需+2,即2y+2=(2x+2,整理得f=8y.所以曲线。的方程为f=8y.(2)证明：易知直线AB的斜率存在，所以设直线AB的方程为)=辰+3, A(xi, yi), 3(X2, ”).y=kx+3,由彳)消去 y 得 28一24=0, / = 649+960,/ = 8y贝| Xi+x2 = 8攵，XX2= - 24.直线AE

4、, BE的斜率之和为心万+%即=江乜+.=+=竺3土如及X1%212XX2一48攵+48224=0,故直线AE, 8月的倾斜角互补，所以 NAED= NBED,所以 NA8=2NAZ).B组创新练1.已知椭圆 C:=1(QO)过点(8, 3)与(一6,4).(1)求椭圆C的方程；(2)设过椭圆。的右焦点R且倾斜角为45。的直线/和椭圆。交于A, 8两点，对于椭圆。上任一点M,若血=2万1+为，求川的最大值.36 16示十京=1|a2=100, 6=25,解析：(1)椭圆过点(8, 3)与(-6,4),o 2椭圆C的方程为斋+=1. 1 1/1/乙。(2)由知方(53，0),则由题意可知直线A8

5、的方程为y=x5小, 代入椭圆的方程得5-4()73%+200=0.设 A(xi, yi), 3(x2, ”)，则有即+%2=8小，即应=40.设 M(x, y),由OM=2OA+O3得(x, y)=z(xi, yi)+/z(x2, 2)=(忒1+炉2, 2/+4y2).X = /LXj+/4X2,AiM(/Lri+/X2, 2yi+y2).又点 M在椭圆上，ly=抄1+做2,/. x2+4y2=(Zr i + /X2)2+4(勿】+ fiyi=)?x +优君+2A/4Y1X2+4(22j?+/货+22/zy i yi)=/(x?+4y?)+2(岔+4货)+ 2%(XX2+4yiy2)= 10

6、0.又A, B在椭圆上，故有才+4才=100,送+4货=100,而 xiX2+4yiy2=xiX2+4(xi 5/3)(X2 5,73) = 5xiX22(h/3(xi+%2)+300= 5X40-2073X83 + 300=20,将代入可得/+/+冬=1,: 1 =A2+/z2+72/l/z+1=-2/, JJ J1 4当且仅当2=时取“=”，则的最大值为 L42. (2021南昌一中模拟)已知椭圆C +W=l(ab0)的离心率为坐，短轴长为2.求椭圆C的标准方程；(2)设直线/： y=辰+2与椭圆。交于M, N两点，。为坐标原点，若koM.koN=，求原点。到直线/的距离的取值范围.解析：(1)由题意知6=2=半，2b = 2,又/ =。2 + 02, a所以 b= 1, a=2,%2所以椭圆。的标准方程为+y2=i.(2)设 M(xi, y), Ng ”),y=kx+m,得(4乒 + l)x2+8Z7x+4=0.则 / = (8bn)24(4炉+1)(4加24)0,化简得m2又1所以0W2v* 解得 4 171,/所以原点。到直线/的距离的取值范围为0,