5.基本不等式教案.docx

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1、1 .重要不等式：如果g R那么/ +b2 2(当且仅当a =匕时取一号)证明：a2 +b2 -2ab = (a-h)2当 q w。时,(a 。尸 0,当a = /?时,(a 。)2 = 0,所以，(a 了之。即(a2 +b2)2ab.由上面的结论，我们又可得到2 .定理：如果a, b是正数，那么巴心之点(当且仅当a = b时取士号).证明：v (V)2+(V)2 2V,：.a+ b 2yab即生史 4ah2显然，当且仅当。=b时,幺心=屈2说明：i)我们称幺心为。力的算术平均数，称而为。/的几何平均数，因而，此 2定理又可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.n) a2 +b2

2、 和3士2 ，石成立的条件是不同的：前者只要求a, b都是实数,2而后者要求a, b都是正数.iii) “当且仅当”的含义是充要条件.3.均值定理的几何意义是“半径不小于半弦”.以长为a+b的线段为直径作圆，在直径48上取点C,使AC=af CB=b,过点。作垂直于直径四的弦DD,那么CD2=c4cb即 CD = 4ab这个圆的半径为巴心，显然，它不小于CD,即以心 J石，其中当且仅当点C与圆心重合；即3%时，等号成立. 在定理证明之后，我们来看一下它的具体应用.例1已知为y都是正数，求证：(1)如果积灯是定值匕那么当时，和广y有最小值2万；1 9(2)如果和Ky是定值5；那么当尸y时，积灯有最大值一片. 4证明：因为 y都是正数，所以(i)积灯为定值户时，有叶2、诉2/. X + J 2yP上式当x = y时，取“二”号，因此，当x=y时，和x+y有最小值2行. （2）和X0为定值S时，有历小：.xy 240000 + 720 x 2x-= 240000 + 720 x 2 x 40 = 297600当x =3四，即工=400寸，/有最小值297600Q因此，当水池的底面是边长为40m的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600 元.