专题26 概率与统计相结合问题(讲)(解析版).docx

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1、专题26概率与统计相结合问题饼布考概率与统计是高考考查的核心内容之一，在高考中一般有12个选择或者填空题，一个解答题.选 择或者填空题有针对性地考查概率或统计知识，主要是对基本概念和基本抽样方法的考查，试题的难度一 般不大；解答题考查多在概率与统计、算法框图等知识交汇处命题，重点考查抽样方法，频率分布直方图 和回归分析或独立性检验，注意加强抽样后绘制频率分布直方图，然后作统计分析或求概率的综合练习. 统计与正态分布、二项分布结合例612019届山东省荷泽市高三上学期期末】2019年是某市大力推进居民生活垃圾分类的关键一年，有关 部门为宣传垃圾分类知识，面向该市市民进行了一次“垃圾分类知识”的网

2、络问卷调查，每位市民仅有一次参 与机会，通过抽样，得到参与问卷调查中的1000人的得分数据，其频率分布直方图如图所示：(1)估计该组数据的中位数、众数；(2)由频率分布直方图可以认为，此次问卷调查的得分Z服从正态分布N(4,210), 4近似为这1000人得分的平均值(同一组数据用该区间的中点值作代表)，利用该正态分布，求P(50.5 6.635）=0.010, P（K27.879） = 0.005可知，有99%的把握认为该校高中学生“性别与在购买食物时看 营养说明”有关.古典概型与统计图表结合【例】某公司为了解用户对其产品的满意度，从A, B两地区分别随机调查了 20个用户，得到用户对产品

3、的满意度评分如下：根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)；A地区B地区456789(2)根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级:满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满意泗忌非常满意记事件C “A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级力 假设两地区用户的评价结果相互独 立.根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求。的概率.【解析】(1)两地区用户满意度评分的茎叶图如下B地区B地区A地区3 2 3 124 4 5 56 6 6 58 8 78

4、26 93 2 3 124 4 5 56 6 6 58 8 78 26 945678994 5 66 5 4 18 3 4 3 2 36 12 3 3 1通过茎叶图可以看出，A地区用户满意度评分的平均值高于B地区用户满意度评分的平均值；A地区用户 满意度评分比较集中，B地区用户满意度评分比较分散.(2)记或表示事件：“A地区用户的满意度等级为满意或非常满意“；C42表示事件：“A地区用户的满意度等 级为非常满意”；C例表示事件：“B地区用户的满意度等级为不满意”；金2表示事件：“B地区用户的满意度 等级为满意“，则Cai与一独立，仁2与 金独立，品与互斥，C=CbCA U CG2.P(C) =

5、 P(CbiGi UC82cA2)= P(CbCai)+P(Cb2c42)=尸(Cbi)P(Cai) + P(Cb2)P(Ca2).由所给数据得 Ca” Ca2，Cbi. C及 发生的频4 10 8率分别为西，2(y 2(r 2(r故P(Cai尸1620P(CA2 尸20pg尸10P(CB2)=12 16 , J_ 4(C)-2ox2O+2OX2O0.48.古典概型与独立性检验相结合：【例】某高校为调查学生喜欢“应用统计”课程是否与性别有关，随机抽取了选修课程的55名学生，得到数据如下表：喜欢“应用统计”课程不喜欢“应用统计”课程总计男生20525女生102030总计302555判断是否有99

6、.5%的把握认为喜欢“应用统计”课程与性别有关？用分层抽样的方法从喜欢统计课程的学生中抽取6名学生做进一步调查，将这6名学生作为一个样本, 从中任选2人，求恰有1个男生和1个女生的概率.下面的临界值表供参考：尸(烂次0)0.150.100.050.250.0100.0050.001ko2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828(参考公式：吃十q + M+d，其其中=a+b+c+J) q八j d 55x20x20-10x52【解析】由公式 K2= 30x25x25x30 TL9787.879,所以有99.5%的把握认为喜欢“应用统计”课程与性别有关.(2)设所抽样本

7、中有加个男生，则条=养，得m=4,所以样本中有4个男生，2个女生，分别记作 Bi，&, B3, B49 Gi，G2.从中任选 2 人的基本事件有(囱，B*, (Bi，&), (Bi，&), 回 Gi), (Bi，G2), (&, B3), (&, &)，(B2, Gi), (&, G2), (B3, B4), (83, Gi), (B3, G2), (&, Gi), (&, G2), (Gi，G2),共15个,其中恰有1个男生和1个女生的事件有(囱，Gi), (Bi，62), (&, Gi), (4, Gi),(氏，Gi),Gi), (&, Gi), (&, G2),共8个.所以恰有1个男生和

8、1个女生的概 率为卷回归方程与二项分布结合【例】(2019,山东日照一中高三期中)红铃虫是棉花的主要害虫之一，能对农作物造成严重伤害.每只红铃虫的平均产卵数y和平均温度X有关.现收集了以往某地的7组数据，得到下面的散点图及一些统计量的值.平均温度/21232527293235平均产卵数y/个711212466115325XyZ力卜,-城Z-Z) /=1为2 i=27.42981.2863.61240.182147.714表中 Zj =lny,表中 Zj =lny,350300250200 150 -100 -50 -. 0 L j-_l_j_I20 22 24 26 28 30 32 34 3

9、6 温(1)根据散点图判断，y = +与y = ce公(其中e = 2.718为自然对数的底数)哪一个更适宜作为平均产卵数V关于平均温度工的回归方程类型？(给出判断即可不必说明理由)并由判断结果及表中数据， 求出丁关于x的回归方程.(计算结果精确到小数点后第三位)(2)根据以往统计，该地每年平均温度达到28c以上时红铃虫会造成严重伤害，需要人工防治，其他情况均不需要人工防治，记该地每年平均温度达到28以上的概率为(i )记该地今后5年中，恰好需要3次人工防治的概率为7(p),求7(p)的最大值，并求出相应的概率(ii)当/(p)取最大值时，记该地今后5年中，需要人工防治的次数为X，求X的数学期

10、望和方差.附：对于一组数据其回归直线=。+暮的斜率和截距的最小二乘法估计分【答案】(1) y = c*更适宜;E(X)=3, D(X)=-.【答案】(1) y = c*更适宜;E(X)=3, D(X)=-.2166253此时相应的概率为= (ii)【解析】(1)根据散点图可以判断y = 拄更适宜作为平均产卵数 关于平均温度x的回归方程类型.对=两边取自然对数得 Iny = lnc +公，令 z = lny, a = lnc , b = d , z = a+bx.因为方二)40.182147.714x 0.2720 ,所以 =I= 3.612 0.272 x 27.429 工3.849i=l所以

11、Z关于X的线性回归方程为z = 0,272%-3.849，所以 关于工的回归方程为G = 272x-1849.(2) ( i )由/(p) = C；p3(l_p)2,得r(p) = c；p2(l_p)(3_5p),因为0vvl,33令/()。得3 5p。，解得令得3 5p。，解得(3所以/(P)在，上单调递增，在上单调递减，所以/(P)有唯一极大值外?，也为最大值.所以当=:时,/()恤=崇,此时响应的概率Po=1 UN/(ii )由(i )知，当/(2)取最大值时,3/3、p =,所以5,-,5I 5)所以石(X)= 5x? = 3, D(X)= 5x-x- = -.【反思提升】1.对古典概

12、型必须明确判断两点：对于每个随机试验来说，所有可能出现的试验结果数必 须是有限个；出现的各个不同的试验结果数加其可能性大小必须是相同的.只有在同时满足、的条 件下，运用的古典概型计算公式P(A) =生得出的结果才是正确的.n.对于几何概型的概率公式中的“测度”要有正确的认识，它只与大小有关，而与形状和位置无关，在解题时, 要掌握“测度为长度、面积、体积、角度等常见的几何概型的求解方法.2 .样本的数字特征常见的命题角度有：(1)样本的数字特征与直方图交汇；(2)样本的数字特征与茎叶图交汇;样本的数字特征与优化决策问题.3 . (1)用样本估计总体是统计的基本思想，而利用频率分布表和频率分布直方

13、图来估计总体则是用样本的频率分布去估计总体分布的两种主要方法.分布表在数量表示上比较准确，直方图比较直观.(2)频率分布表中的频数之和等于样本容量，各组中的频率之和等于1；在频率分布直方图中，各小长方 形的面积表示相应各组的频率，所以，所有小长方形的面积的和等于1.4 .随机变量的分布列问题：(1)求随机变量的分布列的主要步骤：一是明确随机变量的取值，并确定随机变量服从何种概率分布；二 是求每一个随机变量取值的概率，三是列成表格；(2)求出分布列后注意运用分布列的两条性质检验所求 的分布列是否正确；(3)求解离散随机变量分布列和方差，首先要理解问题的关键，其次要准确无误的找出随机变量的所有可能

14、值，计算出相对应的概率，写成随机变量的分布列，正确运用 均值、方差公式进行计算.和数学期望.附：7210=14.5, 若Z N(4,b2),则 P(/-crZ4+cr) =0.6826, P(一2crZ /+2cr) =0.9544.75【答案】(1)中位数为65,众数为65. (2) 0.8185 (3) EX= ,分布列见解析4【解析】(1)(0.0025+0.0050+0.0100+ 0.0150+0.0225 +0.0250)x10 = 1,得a = 0.0200,设中位数为x,(0.0025+0.0150+0.0200)x10+ (x60)x0.0250 = 0.5000,解得工=6

15、5,由频率分布直方图可知众数为65.(2)从这1000人问卷调查得到的平均值从为二35 x 0.025+45 x0. 15 +55x0.20+65x0.25+ 75 x 0.225+85 x 0.1+95x0.050.6826+0.9544 _noioc U.o 1 o5.=0.875+6.75+11+16.25+16.875+8.5+4.75=65,因为由于得分 Z 服从正态分布 7V(65,210),所以尸(50.5vZv94)= P(60-14.5 Z 60+14.5x2)=1 1 3 3 13X + X X=4 2 4 4 32（3）设得分不低于分的概率为p,则P（ZN） = ,，X的

16、取值为10, 20, 30, 40,P(x=io)=；P(x=io)=；x3 = 3, P(X=20)P(X=30)= 1xC； 5)0.100.050.0250.0100.0050.001K。2.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】(1) a = 0.025 (2) 74 (3)见解析，没有99.9%的把握认为“比赛成绩是否优秀与性别有关【解析】(1)由题可得(0.005 + 0.010+0.020+0.030 + 4+0.010)x10 = 1 ,解得a = 0.025.(2)平均成绩为:45 x 0.05 +55 x 0.1+65 x 0.2 + 75 x

17、0.3 + 85 x 0.25 + 95 x 0.1 =74(3)由(2)知，在抽取的100名学生中，比赛成绩优秀的有100x0.35 = 35人，由此可得完整的2x2列联表:优秀非优秀合计男生104050女生252550合计3565100=型2 六 9.890 2.706 3.333 2.70640x40x32x48依题意得 K2 = 4x(12x20 -28x2y有90%以上的把握认为“数学成绩优秀与教学改革有关二(2)从乙班70,80),80,90),90,100,乙班70,80),80,90),90,100频率分别为0.2,0.3,0.2,分数段中抽人数分别为2, 3, 2,依题意随机

18、变量X的所有可能取值为0, 1, 2, 3,，P（X=1） =*H，*X=2）=姿=!|，P（x=3）%，35X0123P43518351235135X的分布列为:厂/s 118cl2-459 _E(X)= lx F 2 xF 3 x =v 7353535 35 7r6 4 。=。）=百=万统计与古典概型、抽样、独立性检验结合【例】（2020广东中山纪念中学高三月考（文）某学校高三年级有学生500人，其中男生300人，女生200人，为了研究学生的数学成绩是否与性别有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了 100名学生，先统计了他们期中考试的数学分数，然后按性别分为男、女两组，再将两组学生的分数分

19、成5组：100, 110), 110,120), 120,120), 120,得到如图所示的频率分布直方图.(1)从样本中分数小于110分的学生中随机抽取2人，求两人恰好为一男一女的概率；(2)若规定分数不小于13。分的学生为“数学尖子生”，请你根据已知条件完成2义2列联表，并判断是否有90%的把握认为“数学尖子生与性别有关”附：P(K2ko)0.1000.0500.0100.001ko2.7063.8416.63510.828六 _ n(ad-bc)2(q + b)(c + d)(a + c)(b + d)3【答案】(1) 士；(2)有90%的把握认为“数学尖子生与性别有关”.5【解析】(1

20、)解：由已知得，抽取的100名学生中，男生60名，女生40名，分数小于等于110分的学生中, 有60x0.05 = 3(人)，记为Ai, A2, A3；女生有40x0.05W2(人)，记为Bi, B2从中随机抽取2名学生,所 有的可能结果共有 10 种,它们是：(Ai, A2), (Ai, A3), (Az, A3), (Ai, Bi), (Ai, B2), (A2, Bi), (A2, B2), (A3, Bi), (A3, B2), (Bi, B2),其中，两名学生恰好为一男一女的可能结果共有6种,它们是：(Ai,6 3Bi), (Ai, B2), (A2, Bi), (A2, B2),

21、(A3, Bi), (A3, B2),故所求的概率尸= 10 5(2)解:由频率分布直方图可知，在抽取的100名学生中,男生60x0.25= 15(人)，女生40由.375 = 15(人)据此可得2x2列联表如下：数学尖子生非数学尖子生合计男生154560女生152540合计3070100 小n(ad be)?100(15x25-15x45)2 25 1 ”一 i所以得 K- = L = pL79 因为 1.79 10.828,所以有99.9%的把握认为优质树苗与地区有关.25x75x55x45容量为100的样本中有25颗优质树苗,故可以认为从总体中随机抽1颗树苗为优质树苗的概率为（所以X3

22、(4,所以X3 (4,-)(X=Z) = C； 44*=0,1,2,34所以X的分布列为:X01234P8125627642712836412561EX=np=4x = 1.古典概型与抽样方法结合古典概型与抽样方法结合问题的考查往往主要是考查统计中的几种抽样方法.特别注意辨别系统抽样、 简单随机抽样和分层抽样的适用范围和操作步骤.【例】【2019届福建省漳州市高三调研】2017年是内蒙古自治区成立70周年.某市旅游文化局为了庆祝内蒙 古自治区成立70周年，举办了第十三届成吉思汗旅游文化周,为了 了解该市关注“旅游文化周”居民的年龄段 分布，随机抽取了 600名年龄在10, 60且关注“旅游文化

23、周”的居民进行调查，所得结果统计为如图所示的频率分布直方图.年龄10, 20)20, 50)50, 60单人促销价格(单位：元)150240180根据频率分布直方图，估计该市被抽取市民的年龄的平均数；某旅行社针对“旅游文化周”开展不同年龄段的旅游促销活动，各年龄段的促销价位如表所示,已知该旅行 社的运营成本为每人200元，以频率分布直方图中各年龄段的频率分布作为参团旅客的年龄频率分布，试 通过计算确定该旅行社的这一活动是否盈利；若按照分层抽样的方法从年龄在10, 20), 50, 60的居民中抽取6人进行旅游知识推广，并在知识推广 后再抽取2人进行反馈，求进行反馈的居民中至少有1人的年龄在50

24、, 60的概率.3【答案】(1) 32； (2)盈利；(3)- 5【解析】(1)年龄在30, 40)的频率为1(0.020+0.025+0.015+0.010)xl0=0.3,故估计该市被抽取市民的年龄的平均数x=15x0.2 + 25x0.25 + 35x0.3+45x(M5+55x0.l=32.平均每个旅客为旅行社带来的利润为150x0.2 + 240x0.7+180x0.1200= 160,故旅行社的这一活动是盈 利的.(3)由题意得被抽取的6人中，有4人年龄在10, 20),分别记为a, b, c, d；有2人年龄在50, 60,分别 记为E, F.“抽取2人进行反馈”包含的基本事件为

25、a, b, a, c, a, d, a, E, a, F, b, c, b, d, b, E, b, F, c, d, c, E, c, F, d, E, d, F, E, F,共 15 种，其中事件“至少有 1 人的年龄在50, 60包含的基本事件为a, E, a, F, b, E, b, F, c, E, c, F, d, E, d,2 3F, E, F,共9种，故该事件发生的概率为P=T5=工古典概型与独立性检验、回归方程相结合古典概型与独立性检验、回归方程相结合问题的考查往往主要是考查独立性检验、回归方程的求法和步骤,特别注意回归方程求解过程中公式的灵活应用和独立性检验求解过程中的解题步骤.