02概率初步．知识精讲（教师版）.docx

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1、02概率初步.知识精讲。)高考大纲内容明细内容要求层次了解理解掌握概率概率初步古典概型V几何概型(讲义概述本讲义共分为3个知识板块：1、随机事件的概率；2、古典概型；3、几何概型；每个知识板块都配套了难度为A 或B类的思考题和例题，例题集和学案主要以A类B类难度的题型为主.本讲义的知识一般很少出C类难度的题 型.对于程度在A类的学生，需要构建完整的知识体系，具备初步的数据处理能力，提升逻辑推理能力和计算能力，相 应的讲解应侧重于梳理基础知识和掌握常规题型，重点题型是考查对立事件思想的、古典概型以及几何概型的基础 题，例题以A类题为主，适当加入少量B类题型，帮助学生培养正确的学习方法和习惯；对于

2、程度在B类的学生，需要在知识体系上查漏补缺，锻炼数据处理能力，提升逻辑推理能力和计算能力，相应的 讲解应侧重于常规题型及其延伸，重点题型是与古典概型以及几何概型相关的章节间综合题型以及从细节上考查对 立事件的习题，总结在解题中出现的问题，并寻找适当的解决办法.知识梳理一、随机事件的概率1 .随机现象(1)必然现象：在一定条件下必然发生某种结果的现象叫做必然现象；(2)随机现象：在相同条件下，很难预料哪一种结果会出现的现象叫做随机现象；(3)试验：我们把观察随机现象或为了某种目的而进行的实验统称为试验；把观察结果或实验的结果称为试验的 结果.一次试验是指事件的条件实现一次.2 .事件与基本事件空

3、间(1)事件：不可能事件：在同样的条件下重复进行试验时，始终不会发生的结果，称为不可能事件； 必然事件：在每次试验中一定会发生的结果，称为必然事件；【例11（）已知|x|,2, |y|,2,点2的坐标为（x,y）,求当时，满足（x- 2）2+ （j- 2）2, 4的概【答案】V【解析】如图，点P所在的区域为正方形ABCD的内部（含边界），满足2）2+（广2）2, 4的点的区域为以（2,2）为圆心，2为半径的圆面（含边界）.【例12（）从某小组的2名女生和3名男生中任选2人去参加一项公益活动.（1）求所选2人中恰有一名男生的概率；（2）求所选2人中至少有一名女生的概率.【解析】从2名女生，3名男

4、生中任选2人有C；= 10种，即共有10个基本事件.（1）设“所选2人中恰有一名男生”为事件A,则A包含C；C；= 6个基本事件.P（A）=即所选2人中恰有一名男生的概率为.（2）设“所选2人中至少有一名女生”为事件8则夕包含C；+C；C；= 7个基本事件.77P（3）=而，即所选2人中至少有一名女生的概率为正.【例13（）某学校有两个参加国际中学生交流活动的代表名额，为此该校高中部推荐了 2男1女三名候选人，初中部也推荐了 1男2女三名候选人.（I）若从初高中各选1名同学做代表，求选出的2名同学性别相同的概率；（II）若从6名同学中任选2人做代表，求选出的2名同学都来自高中部或都来自初中部的

5、概率.【解析】设高中部三名候选人为4，A2, B.初中部三名候选人为。，4，b2（I）由题意，从初高中各选1名同学的基本事件有（A,。），（ a ,乙），（a ,以），（&，）， （ 4, 4 ） , （ a2,优），QB,瓦），（B , 打），共 9 种设“2名同学性别相同”为事件E,则事件E包含4个基本事件,4 概率P()=-94所以，选出的2名同学性别相同的概率是1.（II）由题意，从6名同学中任选2人的基本事件有（A， a）, （4，B）, （4， 4）, （4，4），（4，小），（A2, B） , （4，。），（A2, Z?J ） , （A2, /?2） , （5,。），（B, /?

6、,） , （B, b2）,（。，4），（。，打），（4，打）共 15 种 设“2名同学来自同一学部”为事件尸，则事件尸包含6个基本事件， 概率P（/）=巳=：2所以，选出的2名同学都来自高中部或都来自初中部的概率是一.5随机事件：在试验中可能发生，也可能不发生的结果称为随机事件.通常用大写英文字母A,3,C,.来表示随 机事件，简称为事件.(2)基本事件：在一次试验中，可以用来描绘其它事件的，不能再分的最简单的随机事件，称为基本事件；它包 含所有可能发生的基本结果.(3)基本事件空间：所有基本事件构成的集合称为基本事件空间，常用。表示.3 .频率与概率(1)频率：在相同的条件下重复次试验，观察

7、，某一事件/是否出现，称次试验中事件力出现的次数机为事m件A出现的频数，称事件A出现的比例一为事件A出现的频率.n(2)概率的统计定义：一般地，在次重复进行的试验中，事件A发生的频率当很大时，总是在某个常数 n附近摆动，随着的增加，摆动幅度越来越小，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记为P(A).(3)性质：从概率的定义中，我们可以看出随机事件的概率RA)满足：OWP(A)W1.当A是必然事件时，P(A) = 1,当A是不可能事件时，P(A) = O.(4)频率与概率的区别： 频率随着试验次数的变化而变化，概率却是一个常数，它是频率的科学抽象.当试验次数越来越多时频率向概率靠近，只要次数足够多

8、，所得频率就近似地当作随机事件的概率.4 .概率的加法公式(1)互斥事件与事件的并： 互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件，或称互不相容事件. 事件的并：由事件A和事件3至少有一个发生(即A发生，或3发生，或4 3都发生)所构成的事件C,称 为事件A与3的并(或和)，记作C = 4UB.(2)互斥事件的概率加法公式若A、3是互斥事件，有P(AU3) = P(A) + P(3) 若事件4,4,，4两两互斥,尸(AU&UU4)= p(A)+ p(4)+ +p(4)事件“4U&UU4”发生是指事件A , &，4中至少有一个发生(3)对立事件：不能同时发生且必有一个发生的两个事件叫做互为对立

9、事件.事件a的对立事件记作有P(A) = 1 -P(A),对立事件是特殊的互斥事件.【教师备案】L考点：不直接考查，是概率题型的理论基础.意图与目的：学生需要能够明辨各个知识点的准确定义以及联系，通过知识点形成概率板块的理论基础，并通过 理论基础来解决概率的基础问题以及综合问题2 .重难点与易混点：(1)对立事件与互斥事件的关系(2)利用对立事件求概率的思想（3）对立事件与逻辑语言的关系，例如“一个都没有”的对立事件为“至少有一个”.知识层面：属于A难度的基础知识【思考题1】（）下列事件：同学甲竞选班长成功；两队球赛，强队胜利了；一所学校共有998名学生，至少有三名学生的生日相同；若集合A，8

10、，C,满足A =则AqC；古代有一个国王想处死一位画师，背地里在2张签上都写上“死”字，再让画师抽“生死签”，画师抽到死签； 从1,3,5,9中任选两数相加，其和为偶数； 其中属于随机事件的有（）A. 2个B. 3个 C. 4个D. 5个【答案】B【解析】对于，由于生日的可能性至多有366种，相当于研究998个数字，完全由1到366这些正整数组成，显 然至少一个数字是会出现三次的，此为必然事件；对于此为集合关系的传递性，是绝对成立的；对于，由于两 张都是死签，因此画师必死无疑（大家可以为画师想想办法免于一死，答案是抽出一签之后吃掉）；对于，任意 两个奇数相加，其和必为偶数，因此也为必然事件.【

11、意图】理解概念【思考题2】（）从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）A.至少有1个白球，都是白球B.至少有1个白球，至少有1个红球C.恰有1个白球，恰有2个白球D.至少有1个白球，都是红球【答案】C【解析】结合互斥事件和对立事件的定义知，对于C中恰有1个白球，即1白1红，与恰有2个白球是互斥事件， 但不是对立事件，因为还有2个都是红球的情况.【意图】理解概念，提升能力二、古典概型1 .概念：如果一次实验中所有可能出现的基本事件只有有限个，且每个事件出现的可能性相等，则这样的 概率模型称为古典概型.2 .特征：（1）有限性，即在一次试验中，可能出现的结果只有

12、有限个，即只有有限个不同的基本事件；（2）等可能性，每个基本事件发生的可能性是均等的；称这样的试验为古典概型.判断一个试验是否是古典概型，在于该试验是否具有上述两个特征：有限性和等可能性.3 .计算公式及步骤：(1)如果一次试验中可能出现的结果有个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是L n(2)如果某个事件/包括的结果有力个，那么事件4的概率P(A)n(3)古典概型的计算步骤： 阅读题目，收集信息，理解题意：判断是否为古典概型，并用字母表示所求事件： 计算基本事件的个数和所求事件中包含的基本事件个数： 计算所求事件的概率p=.n【教师备案】L考点：理科很少考查，文科考

13、查的频率的较高，通常以解答题的形式考查.意图与目的：学生需要能够通过古典概型的概念来判断一个概率题型是否为古典概型，并能够快速解答2 .重难点与易混点：(1)古典概型的判定方法(2)古典概型解答题的书写格式.知识层面：属于A难度的基础方法【思考题1】() PM2.5指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物.PM2.5日均值在 35微克/立方米以下空气质量为一级：在35微克/立方米75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/ 立方米以上空气质量为超标.石景山古城地区2013年2月6日至15日每天的PM2. 5监测数据如茎叶图所示.(I )计算这10天PM2.5数据的平均值

14、并判断其是否超标：(II)小陈在此期间的某天曾经来此地旅游，求当天PM2.5日均监测数据未超标的概率:(III)小王在此期间也有两天经过此地，这两天此地PM2.5监测数据均未超标.请计算出这两天空气质量恰好有 一天为一级的概率.PM2.5 口均值(微克/立方米)179 0542356810 21+ 26+ 37+ 59+ 60+ 63+ 85+ 86+ 104+ 107 【解析】(1) X =【解析】(1) X =10二 64.8(2)记“他恰好赶上PM2.5日均监测数据未超标”为时间APG4) 二PG4) 二2+ 4_ 3105(3)由茎叶图知PM2.5数据在。35之间的有21, 26,PM

15、2.5 在 35 75 之间的有 37, 59, 60, 63从这六个数据中，任取2个数据的结果有:（21,37）, （21,59）, （21,60）, （21,63）（26,37） , （26,59）, （26,60） , （26,63）（21,26）, （37,59） , （37,60） , （37,63）（59,60） , （59,63）, （60,63）记“他这两次此地PM2.5检测数据均未超标且空气质量恰好有一天为一级”为事件8,QP（B）=15【意图】理解概念，掌握方法【思考题2】（）在一次抽奖活动中，有a、b、成&共6人获得抽奖的机会。抽奖规则如下：主办方 先从6人中随机抽取两人

16、均获一等奖，再从余下的4人中随机抽取1人获二等奖，最后还从这4人中随机抽取1人 获三等奖。（I）求。能获一等奖的概率；（II）若。、b已获一等奖，求c能获奖的概率。【解析】（I ）设“a能获一等奖”为事件A,事件A等价于事件“从6人中随机取抽两人，能抽到a” .从6人中随机抽取两人的基本事件有（4,。）、（。，。）、（q，d）、（Q,e）、Qa,于）、Qb,c）、（ b，d ）、Qb，e）、（/?,/）、（c,d ）、（c，e）、（c，/）、（d，e）、（d,/）、（e,/）15 个， 包含a的有5个，所以，P（A）= - =15 3答：能获一等奖的概率为. 3（II）设“若，已获一等奖，c能

17、获奖”为事件B,，已获一等奖，余下的四个人中，获奖的基本事件有（C）、（c,d）、（c，e）、Qc，f）、（d,c）、（d,d）、（d,e）、（d,/）、（e，c）、（e,d）、（e，e）、（e,/）、（/,c）、（/）、（/，e ）、（ 了,/ ） 16 个，7其中含有c的有7种，所以，P（B）=,167答：若a、b已获一等奖，c能获奖的概率为16【意图】掌握方法，提升能力三、几何概型1 .概念：事件A理解为区域。的某一子区域A, A的概率只与子区域A的几何度量（长度、面积或体积） 成正比，而与A的位置和形状无关，满足此条件的试验称为几何概型.2 .特征：（1）无限性，即每次试验的结果（基本

18、事件）有无限多个，且全体结果可用一个有度量的几何区域来表示;（2）等可能性，即每次试验的各种结果（基本事件）发生的概率都相等.3 .计算公式及步骤：（1）几何概型中，事件A的概率定义为。（4）=9，其中4c表示区域Q的几何度量，4表示区域A的几何度量.（2）几何概型的计算步骤把样本空间和所求概率的事件用关系式表示出来，可分两类样本空间具有明显的几何意义，样本点所在的几 何区域题目中已给出；样本空间所求事件所对应的几何区域没直接给出，课根据题设引入适当变量，把题设的条 件转换成变量所满足的代数条件； 在坐标系中把相应的几何图形画出来；把样本空间和所求事件的概率所在的几何图形度量，然后代入公式尸（

19、为=丛，其中4c表示区域。的几何度量，4表示区域A的几何度量.4 .几何概型中概率为0和1的理解如果随机事件所在区域是一个单点，由于单点的长度、面积、体积均为0,则它的概率为0,但它不是不可能事件，即概率为0的事件不一定是不可能事件；如果一个随机事件所在区域是全部区域扣除一个单点，则它的概率为 1,但它不是必然事件，即概率为1的事件不一定为必然事件.【教师备案】L考点：通常以小题形式考查，偶尔考查解答题，模拟题中出现频率较高，高考很少出现.意图与目的：学生需要能够通过几何概型的概念来判断一个概率题型是否为几何概型，并能利用几何概型的解答 原理来解决基础问题和综合问题2 .重难点与易混点：（1）

20、几何概型解答题的书写格式（2）几何概型与线性规划的综合题型.知识层面：属于A难度的基础方法【思考题1（）如图，矩形长为6,宽为4,在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆数为96颗，以此实验数据为依据可以估计出椭圆的面积约为（）A. 7.68B. 8.68C. 16.32D. 17.32【答案】C【意图】理解概念了, 工【思考题2（）若不等式组卜- x 表示的平面区域为M,黄门所表示的平面区域为n,现随机向?2x y- 3, 0区域M内抛一粒豆子，则豆子落在区域N内的概率为 【答案】 【解析】如图，AAOB为区域M,扇形COD为区域M内的区域N, A（3,3）, 5(1,- 1),

21、SAOB=- x V2 x 3V2 =3 , SCOD= , 所以豆子落在区域N内的概率为P=号皿吟.【意图】掌握方法，提升能力【例1】（）甲：4、4是互斥事件；乙：4、4是对立事件.那么（）A.甲是乙的充分不必要条件B.甲是乙的必要不充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件【答案】B【解析】由互斥事件、对立事件的定义可知互斥不一定对立，对立一定互斥，即甲是乙的必要条件但不是充分条 件.【例2】（）从1, 2, 3, ,9这9个数中任取两数，其中：恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；至少有一个是奇数和两个都是奇数；至少有一个是奇数和两个都是偶数；至少有一个是奇数和至

22、少有一个是偶数.上述事件中，是对立事件的是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】中“至少有一个是奇数”即“两个奇数或一奇一偶”，而从19中任取两数共有三个事件：“两个奇 数”、“一奇一偶”、“两个偶数”，故“至少有一个是奇数”与“两个都是偶数”是对立事件.【例3】（）在第3、6、16路公共汽车的一个停靠站（假定这个车站只能停靠一辆公共汽车），有一位乘客需在5分钟之内乘上公共汽车赶到厂里，他可乘3路或6路公共汽车到厂里，已知3路车，6路车在5分钟之 内到此车站的概率分别为0.20和0. 60,则该乘客在5分钟内能乘上所需要的车的概率为（）A. 0. 20 B. 0. 60 C. 0. 80 D.

23、 0. 12【答案】C【解析】该乘客在5分钟内能乘上所需要的车的概率为0.20+ 0.60= 0.80.【例4】（）同时抛掷三枚均匀的硬币，出现一枚正面，两枚反面的概率等于（）1131A. a B岳 C. g D 1【答案】c【解析】出现一枚正面，两枚反面的情况为：正反反；反正反；反反正3种可能，所以其概率p=：.8【例5】（）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（）【答案】A【解析】记三个兴趣小组分别为1、2、3,甲参加1组记为“甲1”，则基本事件为“甲1,乙1；甲1,乙2；甲1, 乙3；甲2,乙1；甲2

24、,乙2；甲2,乙3；甲3,乙1；甲3,乙2；甲3,乙3”，共9个.记事件力为“甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组”，其中事件/有“甲1,乙1;甲2,乙2；甲3,乙3”，共3TT 7TI【例6】（）在区间-工，个上随机取一个1, sinx的值介于-7与；之间的概率为（）2 222A. -B. -C. -D.-323【答案】A【例7】（） 一只蚂蚁在边长分别为5, 12, 13的三角形边上随机爬行，则其恰在离三个顶点的距离都大于1的地方概率为（）A. 3 B. 3C.二D.工55603【答案】A【拓1】（）仍然是这只蚂蚁和这个三角形，现在让蚂蚁在三角形区域内部（包括边界）随机爬行，那么问题 的答案是

25、多少呢？【解析】满足蚂蚁离三角形三个顶点的距离小于等于1的区域为三个半径为1的扇形，因此用三角形面积减去三个1厂万x5x 12“扇形面积后所得的区域即为离三个顶点距离都大于1的区域扇形面积后所得的区域即为离三个顶点距离都大于1的区域其对应的概率p=22_60乃1 一。一 60x5x 122【拓2】（）还是那只不知疲倦的蚂蚁在那个熟悉的三角形上随机爬行，则其在离三条边距离都大于1 的地方的概率又是多少呢？【解析】在直角三角形内部做出三条与直角三角形三条边平行且距离为1的直线，则这三条直线内部围成的小直角三角形即为满足条件的区域，根据相似原理容易算出小三角形的面积是大三角形面积的!，故对应概率为!

26、. 44【例8】（）在一次“知识竞赛”活动中，有A，4,8,C四道题，其中4*2为难度相同的容易题，B为中档题，C为较难题.现甲、乙两位同学均需从四道题目中随机抽取一题作答.（I）求甲、乙两位同学所选的题目难度相同的概率；（II）求甲所选题目的难度大于乙所选题目的难度的概率.【解析】由题意可知，甲、乙两位同学分别从四道题中随机抽取一题，所有可能的结果有16个，它们是：（A，A），（44），（A，8）, （AC）,3小），（4,4），（4，为，（4,0,（民A）,（氏4）, （b,b）,（b,c）, （c，a）, （c4）, （c,b）,（c,c）.（I）用表示事件“甲、乙两位同学所选的题目难度

27、相同，则加包含的基本事件有：（&4）, （A）, （&4）,（4出）,（b,b）,（c,c）.所以 p（m）= ?二也16 8（II）用N表示事件“甲所选题目的难度大于乙所选题目的难度”，则N包含的基本事件有：（氏A）,（氏劣）， c A）, （C,A）, （GB）,所以 P（N） = .16【例9】（）甲乙二人玩猜数字游戏，先由甲任想一数字，记为“，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜出的数字记为6,且Q,bil,2,3,若|-口,1,则称甲乙“心有灵犀”，现任意找两个人玩这个游戏，则他们 “心有灵犀”的概率为（）.1 - 3A.2 - 3C.5 - 9民【答案】D【解析】甲想一数字有3种结果，乙猜一种数字有3种结果，基本事件总数3义3 = 9.设“甲、乙心有灵犀”为事件4则力的对立事件8为“I。- b| 1，即|。-加=2,包含2个基本事件，7 - 9-2 - 9b- 2 - 9-B)/V7 - 9-2 - 9b- 2 - 9-B)/V【例10（）平面上画了一些彼此相距2,的平行线，把一枚半径的硬币任意掷在这个平面上，求硬币不与任何一条平等线相碰的概率是（）A.与B.C.生D.山a2a2a2a【答案】A【解析】:硬币的半径为一，当硬币的中心到直线的距离时，硬币与直线不相碰.2aa