第四章随机变量的数字特征分析优秀PPT.ppt

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1、第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征 我们知道,随机变量的分布列或概率密度,全面地描述了随机变量的统计规律.但在很多实际问题中,这样的全面描述并不使人感到便利.已知一只母鸡的年产蛋量是一个随机变量,假如要比较两个品种的母鸡的年产蛋量,通常只要比较这两个品种的母鸡的年产蛋量的平均值就可以了.平均值大就意味着这个品种的母鸡的产蛋量高.假如不去比较它们的平均值,而只看它们的分布列,虽然全面,却使人不得要领,既难以驾驭,又难以快速地作出推断.1 随机变量的数学期望随机变量的数学期望1.1 离散型随机变量的数学期望离散型随机变量的数学期望 例：有例：有A，B两射手，他们的射击技术如表所两射

2、手，他们的射击技术如表所示，试问哪一个射手本事较好？示，试问哪一个射手本事较好？0.30.50.20.60.10.3概率10981098击中环数BA射手名称5416212817103只数Nk3210-1-2日走时误差xk则抽查到的100只手表的平均日走时误差为即 例例:某手表厂在出厂产品中,抽查了N=100只手表的日走时误差,其数据如表:假如另外再抽验100只手表,每作一次这样的检验,就得到一组不同的频率,也就有不同的日走时误差的平均值.由关于频率和概率关系的探讨知,理论上应当用概率去代替上述和式的频率,这时得到的平均值才是理论上(也是真正)的平均值.这样我们就引出了随机变量的数学期望的概念.

3、定义定义:设离散型随机变量X的概率分布为如若则称为随机变量X的数学期望数学期望,记为E(X).假如则称随机变量X的数学期望不存在数学期望不存在.所以A的射击技术较B的好.0.30.50.20.60.10.3概率10981098击中环数BA射手名称 例例:有有A，B两射手，他们的射击技术如表所示，两射手，他们的射击技术如表所示，试问哪一个射手本事较好？试问哪一个射手本事较好？解解 A射击平均击中环数为B射击平均击中环数为 解解 分布律为：X0123P0.30.40.20.1 平均废品数为：例例:设随机变量X具有如下的分布，求E(X).解解 虽然有收敛,但发散,因此E(X)不存在.（0-1）分布数

4、学期望）分布数学期望 设X的分布列为：X01Pqp则 其中1.1.2 二项分布数学期望二项分布数学期望 定理定理:设随机变量设随机变量X听从二项分布听从二项分布,即即则随机变量X的数学期望E(X)=np.证明证明1.1.3 泊松分布数学期望泊松分布数学期望 证明:定理定理:设随机变量设随机变量X听从泊松分布听从泊松分布,即即则随机变量X的数学期望E(X)=.1.2 连续型随机变量的数学期望连续型随机变量的数学期望 我们已知离散型随机变量X的数学期望为E(X)=自然要问连续型随机变量的数学期望是什么?设p(x)是连续型随机变量X的密度函数,取分点x0 x1xn+1则随机变量X落在xi=(xi,x

5、i+1)中的概率为与X近似的随机变量Y的数学期望为由微积分学问自然想到X的数学期望为为连续型随机变量为连续型随机变量X的的数学期望,记为记为E(X).定义定义:设连续型随机变量X的密度函数为p(x),若 则称 假如则称连续型随机变量X的数学期望不存在数学期望不存在.例例:设随机变量X的概率密度函数为试求X的数学期望解解 例例:若随机变量X的概率密度函数为问随机变量X的数学期望E(X)是否存在.解解所以E(X)不存在.但1.2.1 匀整分布的数学期望匀整分布的数学期望 定理定理:设连续型随机变量X的密度函数为则E(X)=(a+b)/2.证明证明:1.2.2 指数分布的数学期望指数分布的数学期望

6、定理定理:设连续型随机变量X的密度函数为则随机变量X的数学期望为E(X)=1/.证明证明1.2.3 正态分布的数学期望正态分布的数学期望 定理定理:设连续型随机变量XN(,2),则 E(X)=.证明证明2 随机变量函数的数学期望随机变量函数的数学期望定理定理:设Y是随机变量X的函数:Y=f(X)(f是连续函数).(1)设离散型随机变量X的概率分布为PX=xk=pk,k=1,2,.(2)设连续型随机变量X的密度函数为p(x),若 若则则有2.1 随机变量函数的数学期望随机变量函数的数学期望 定理定理:设Z是随机变量X,Y的函数Z=f(X,Y)(f是连续函数).(1)设二维随机向量(X,Y)的分布

7、律为 (2)设二维随机向量(X,Y)的分布密度为p(x,y),若若则则 例例:已知随机变量XN(0,1),求E(X2).解法解法1 先求Y=X2 的概率密度函数:若y0,则所以Y=X2 的概率密度函数为解法解法2再求例例:设（X,Y）的联合分布律如下，Z=XY，求E(Z).解解 例例:设风速设风速V在在(0,a)上听从匀整分布上听从匀整分布,又设飞机机又设飞机机翼受到的正压力翼受到的正压力W是是V的函数的函数:W=kV2(k0,常数常数),求求W的数学期望的数学期望.解解 因为随机变量V的密度函数为所以 例例:设二维随机变量(X,Y)的概率密度为试求XY的数学期望.解解 例例:按季节出售的某种

8、应时商品按季节出售的某种应时商品,每售出一公斤获每售出一公斤获利润利润b元元.如到季末尚有剩余商品如到季末尚有剩余商品,则每公斤净亏损则每公斤净亏损a元元.设某商品在季节内这种商品的销售量设某商品在季节内这种商品的销售量X(以公斤以公斤计计)是一随机变量是一随机变量,X在区间在区间(s1,s2)上听从匀整分布上听从匀整分布.为使商店所获得利润的数学期望最大为使商店所获得利润的数学期望最大,问商店应进问商店应进多少货多少货?解解以s(公斤)表示进货数,进货s所得利润记为Ys(X),则X的概率密度为由得于是2.2 数学期望的性质数学期望的性质 1.若aXb,则E(X)存在,且有aE(X)b.特殊,

9、若C是常数,则E(C)=C.2.设X,Y是两个随机变量,若E(X),E(Y)存在,则对随意的实数a、b,E(aX+bY)存在,且有 E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)此性质可推广到有限个随机变量的线性组合的状况.3.设X,Y是相互独立的随机变量,则有 E(XY)=E(X)E(Y)此性质可推广到有限个相互独立的随机变量之积的状况.定理：若定理：若aXb,则则E(X)存在存在,且有且有aE(X)b.特殊特殊,若若C是常数是常数,则则E(C)=C.证明证明(1)设离散型随机向量X分布列为X=xi=pi,i=1,2,则(2)设连续型随机变量X的概率密度为p(x),则(3)因为PX=C=1,故E(

10、C)=E(X)=C1=C 定理定理:设设X,Y是两个随机变量是两个随机变量,若若E(X),E(Y)存在存在,则对随意的实数则对随意的实数a、b,E(aX+bY)存在存在,且有且有 E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)证明证明(1)设离散型随机向量(X,Y)的联合分布列和边际分布列分别为PX=xi,Y=yj=pij,i,j=1,2,PX=xi=pi.,i=1,2,PY=yj=p.j,j=1,2,则(2)设连续型随机向量(X,Y)的联合概率密度和边际概率密度分别为p(x,y)和pX(x),pY(y)则 定理定理:设设X,Y是相互独立的随机变量是相互独立的随机变量,则有则有 E(XY)=E(X)

11、E(Y)证明证明(1)设离散型随机向量(X,Y)的联合分布列和边际分布列分别为PX=xi,Y=yj=pij,i,j=1,2,PX=xi=pi.,i=1,2,PY=yj=p.j,j=1,2,则(2)设连续型随机向量(X,Y)的联合概率密度和边际概率密度分别为p(x,y)和pX(x),pY(y)则 例例:一民航送客车载有20位旅客自机场开出,旅客有10个车站可以下车.如到达一个车站没有旅客下车就不停车.以X表示停车的次数,求E(X).解解:引入随机变量易知X=X1+X2+X10任一旅客在第i站不下车的概率为9/10.因此20位旅客都不在第i站下车的概率为(9/10)20,在第i站有人下车的概率为1

12、-(9/10)20.即PXi=0=(9/10)20,PXi=1=1-(9/10)20所以E(Xi)=1-(9/10)20,i=1,2,10进而E(X)=E(X1+X2+X10)=E(X1)+E(X2)+E(X10)=101-(9/10)20=8.784 注注:本题的特点是将X分解为数个随机变量的和,再求数学期望.此种方法具有普遍意义.解解 例例:设一电路中电流I(安)与电阻R(欧)是两个相互理独立的随机变量,其概率密度分别为求电压V=IR的数学期望.解解 因此，有 又当-1x1时，故得 同理可得 由于 所以X与Y不相互独立 例例:抛掷6颗骰子，X表示出现的点数之和，求E(X).从而由期望的性质

13、可得 3 随机变量的随机变量的方差方差 例：例：A，B两种手表的日走时误差分别具有如下的分布律：易知E(XA)=E(XB)=0.由数学期望无法判别两种手表的优劣.但直觉告知我们A优于B,怎么样用数学的方法把这种直觉表达出来呢?3.1 方差的概念方差的概念 分析缘由：分析缘由：A手表之所以优于B手表,是因为A手表的日走时较B手表稳定.其日走时与其日平均误差的偏离程度小.探讨随机变量与其均值的偏离程度是有必要的.怎么样去度量这个偏离程度呢?(1)xk-E(X)表示xk与E(X)之间的偏差;(2)EX-E(X)不能反映X与E(X)之间的整体偏差;(3)E|X-E(X)|可以度量X与E(X)之间的整体

14、偏差,但运算不便利;(4)EX-E(X)2可以度量X与E(X)之间的整体偏差,且运算也较便利.定义：定义：设X是一个随机变量,若EX-E(X)2存在,则称EX-E(X)2为X的方差方差.记为D(X)或Var(X),即D(X)=Var(X)=EX-E(X)2称为X的标准差标准差或均方差均方差.定理定理:证明证明 D(X)=EX-E(X)2 =EX2-2XE(X)+E(X)2 =E(X2)-2E(X)E(X)+E(X)2 =E(X2)-E(X)2 方差事实上是随机变量X的函数f(X)=X-E(X)2的数学期望.于是 (1)对于离散型随机变量X,若PX=xk=pk,k=1,2,则 (2)对于连续型随

15、机变量X,若其概率密度为p(x),则 例：例：A，B两种手表的日走时误差分别具有如下表的分布律.问哪种手表质量好些?解解 易知E(XA)=E(XB)=0.所以由于D(XA)D(XB),因此A手表较B手表的质量好.例例:设随机变量X概率密度为p(x),求D(X).解解于是,D(X)=E(X2)-E(X)2=1/63.2 常见分布的方差常见分布的方差 3.2.1（0-1）分布的方差）分布的方差 定理：定理：若PX=0=q,PX=1=p,则D(X)=pq.证明证明3.2.2 二项分布的方差二项分布的方差 定理定理:若随机变量若随机变量X听从二项分布听从二项分布XB(n,p),则则 D(X)=npq.

16、证明证明3.2.3 泊松分布的方差泊松分布的方差 定理：设随机变量定理：设随机变量X听从泊松分布听从泊松分布X(),则则D(X)=.证明证明3.2.4 匀整分布的方差匀整分布的方差 定理定理:设随机变量设随机变量X听从匀整分布听从匀整分布XU(a,b),则则D(X)=(b-a)2/12.证明证明3.2.5 指数分布的方差指数分布的方差 定理定理:设随机变量设随机变量X听从参数为听从参数为 的指数分布的指数分布,则则证明证明3.2.6 正态分布的方差正态分布的方差 定理定理:设随机变量设随机变量X听从正态分布听从正态分布XN(,2),则则D(X)=2.证明证明常见分布的期望和方差表常见分布的期望

17、和方差表 解法解法1 1 X的边缘密度函数是 故 解法解法2 于是 解解 由于 所以 3.3 随机变量方差的性质随机变量方差的性质 (1)设C是常数,则D(C)=0 (2)设C是常数,X是随机变量,则有 D(CX)=C2D(X)(3)设X,Y是两个相互独立的随机变量,则有 D(X+Y)=D(X)+D(Y)(5)D(X)=0的充要条件是X以概率1取常数C,即 PX=C=1 (4)对于随意常数CE(X),有 D(X)E(X-C)2 定理定理:D(aX+b)=a2D(X)证明证明 D(aX+b)=E(aX+b)-E(aX+b)2 =E(aX+b)-E(aX)-b2 =EaX-E(aX)2 =Ea(X

18、-E(X)2 =a2EX-E(X)2 =a2D(X)定理定理:设X,Y是两个相互独立的随机变量,则有D(X+Y)=D(X)+D(Y)证明证明 D(X+Y)=E(X+Y)-E(X+Y)2 =E(X-E(X)+(Y-E(Y)2 =E X-E(X)2+PY-E(Y)2 +2EX-E(X)Y-E(Y)由于X,Y相互独立,知X-E(X)与Y-E(Y)也相互独立,从而有2EX-E(X)Y-E(Y)=2EX-E(X)E Y-E(Y)=0.于是得 D(X+Y)=D(X)+D(Y)定理定理:对于随意常数对于随意常数CE(X),有有 D(X)0从而有D(X)0,D(Y)0,协方差Cov(X,Y)均存在,则称为随机

19、变量X与Y的相关系数相关系数或标准协方差标准协方差.4.2 相关系数相关系数 引理引理:对于二维随机向量(X,Y),若E(X2),E(Y2)存在,则有|E(XY)|2E(X2)E(Y2)证明证明:考虑实变量t的二次函数h(t)=E(tX-Y)2=t2 E(X2)-2tE(XY)+E(Y2)因为对一切t,有(tX-Y)20,所以h(t)0.从而二次方程h(t)=0或者没有实根,或者只有重根,因而，由二次方程根的判别式学问得|E(XY)|2E(X2)E(Y2)4.2.1 相关系数的性质相关系数的性质 性质性质1:随机变量随机变量X和和Y的相关系数满足的相关系数满足|XY|1.性质性质2:|XY|=

20、1 的充要条件是,存在常数a,b使得PY=a+bX=1.性质性质3:若X与Y相互独立,则XY=0.性质性质1:随机变量随机变量X和和Y的相关系数满足的相关系数满足|XY|1.证明证明 令则从而|XY|1.性质2:|XY|=1 的充要条件是的充要条件是,存在常数存在常数a,b使得使得PY=aX+b=1证明证明 令由XY2=E(X*Y*)2E(X*)E(Y*)=1 知|XY|=1等价于E(X*Y*)2-E(X*)E(Y*)=0 它又等价于h(t)=E(tX*-Y*)2=0有重根t0.又因为E(t0X*-Y*)=t0E(X*)-E(Y*)=0所以D(t0X*-Y*)=0,由方差的性质知它等价于 Pt

21、0X*-Y*=0=1,即PY=aX+b=1其中a=t0(Y)/(X),b=E(Y)-t0 E(X)(Y)/(X).性质性质3:若X与Y相互独立,则XY=0.证明证明 若X与Y相互独立,则E(XY)=E(X)E(Y),又 Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y),所以4.2.2 相关系数的含义相关系数的含义 考虑以X的线性函数a+bX来近似表示Y.以均方误差e=EY-(a+bX)2 =E(Y2)+b2E(X2)+a2-2bE(XY)+2abE(X)-2aE(Y)来衡量以a+bX近似表达Y的好坏程度.e的值越小表示a+bX与Y的近似程度越好.为此令从而得解得 相关系数只是随机变量间线性关系强

22、弱的一个度量.当|XY|=1 时,说明X与Y间存在着线性关系(除去一个零概率事务以外).当|XY|1 时,这种线性相关程度随着XY的减小而减弱.定义定义:(1)当XY=1 时,称X与Y正线性相关;(2)当XY=-1 时,称X与Y负线性相关;(3)当XY=0时,称X与Y不相关.注注:(1)X与与Y不相关不相关,只是意味着只是意味着X与与Y不线性相不线性相关关,但可能存在着别的函数关系但可能存在着别的函数关系;(2)若若XY存在存在,则当则当X与与Y独立时独立时,X与与Y确定不相确定不相关关;但但X与与Y不相关时不相关时,X与与Y不确定独立不确定独立.oXYoooXXXYYY01-10=1=-1相

23、关状况示意图证证 由协方差的定义及数学期望的性质，得 定理定理:4.3 协方差的协方差的关系式关系式证证 由方差公式及协方差的定义，得 定理定理:Y X-10100.070.180.1510.080.320.20解解 X与Y的分布律分别为 X-101P0.150.50.35Y01P0.40.6于是 解解 则 于是 解解 所以因此 例例:设随机变量设随机变量在在-,上听从匀整分布上听从匀整分布,又又X=sin,Y=cos试求试求X与与Y的相关系数的相关系数.解解 这时有这时有Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0,即=0.从而X与Y不相关,没有线性关系;但是X与Y存在另一个函数关X2

24、+Y2=1,从而X与Y是不独立的.性质性质1:随机变量随机变量X和和Y的相关系数满足的相关系数满足|XY|1.证明证明 由可知 性质2:|XY|=1 的充要条件是的充要条件是,存在常数存在常数a,b使得使得PY=a+bX=1 证明证明:(1)若|XY|=1,则由 (2)若存在常数a*,b*使得PY=a*+b*X=1,则有PY-(a*+b*X)2=0=1.即得E Y-(a*+b*X)2=0,又由即得|XY|=1 5 独立性与不相关性、矩独立性与不相关性、矩 5.1 独立性与不相关性独立性与不相关性 定理定理:随机变量随机变量X与与Y不相关与下列结论之一等价不相关与下列结论之一等价.1.2.3.解

25、解 同理可得 E(Y)=0 于是 即X与Y相关，从而X与Y不独立.Y X-101-11/61/31/611/601/6解解 X与Y的分布律分别为 X-101P1/31/31/3Y-11P2/31/3则有 于是 即 亦即X与Y相关.而 故X与Y不相互独立.例例:设(X,Y)N(1,2,12,22,),求X和Y的相关系数，并分析X与Y的相关性和独立性.解解设(X,Y)的概率密度为f(x,y),则因此，X和Y的相关系数当=0时，X与Y不相关.二维正态分布的联合密度函数为：X与Y的边缘密度函数为：5.2 随机变量的矩随机变量的矩 定义定义:设设X和和Y是随机变量是随机变量,(1)若若E(Xk)(k=1

26、,2,)存在存在,则称它为则称它为X的的k阶原阶原点矩点矩,简称简称k阶矩阶矩.(2)若若EX-E(X)k(k=1,2,)存在存在,则称它为则称它为X的的k阶中心矩阶中心矩.更一般地更一般地,若若a是一常数是一常数,p是一正数是一正数,假如假如E(X-a)p存在存在,则称它是关于则称它是关于a点的点的p阶矩阶矩.(3)若若E(XkYl)(k,l=1,2,)存在存在,则称它为则称它为X和和Y的的k+l阶混合矩阶混合矩.(4)若若EX-E(X)kY-E(Y)l(k,l=1,2,)存在存在,则称它为则称它为X和和Y的的k+l阶混合中心矩阶混合中心矩.随机变量X与Y的二阶中心矩共有四个，分别记为：定义

27、定义:设n维随机变量(X1,X2,Xn)的二阶混合中心矩cij=Cov(Xi,Xj)=EXi-E(Xi)Xj-E(Xj),i,j=1,2,n,都存在,则称矩阵为n维随机变量(X1,X2,Xn)的协方差矩阵协方差矩阵.例例:设X,Y的联合分布列如表所示试求X和Y的协方差矩阵.解解 因为E(X)=0(1-p)+00+10+1p=p,同样E(Y)=p.所以,c11=D(X)=(0-p)2(1-p)+(1-p)2p=p(1-p),同样c22=p(1-p)c12=c21=EX-E(X)Y-E(Y)=(0-p)(0-p)(1-p)+(0-p)(1-p)0+(1-p)(0-p)0+(1-p)(1-p)p=p(1-p)故协方差矩阵为 例例:设设(X,Y)在矩形区域在矩形区域G=(x,y)|axb,cyd上听从上听从匀整分布匀整分布,试求试求X和和Y的协方差矩阵的协方差矩阵.解解同样得所以X和Y的协方差矩阵为 例例:设(X,Y)N(1,2,12,22,),求X和Y的协方差矩阵.解解 因为