第六章习题6.1答案.docx

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1、jr 57r1.验证罗尔定理对函数y = lnsinx在区间 一,一6 6hT,i .4 乃解：y = lnsinX在一，一 6 6上连续，在工16 6上的正确性。 r兀、 57r上可导，Insm= lnsin，y = cotx ,66-0.2.验证拉格朗日中值定理对函数 =4丁一5/+% 2在区间0,1上的正确性。解： = 4d5/+工一2在0上连续，在(0,1)上可导，y =121lOx + l ,y -y(0)= 0 .而 y=0.3.对函数= sinx及 /(x) = x + cosx在区间 0,71上验证柯西中值定理的正确性。解：x) = sinx 及 F(x) =7171JTx+c

2、osx在区间0, 上连续，在0, 上可导，2一b(x) = l-sinx 在f (x) _ COSXF (x) 1-sinxji、0,一 上恒不为零。2 )/(X)呢卜。)(九、F - -F(0)121-0 _ 271 -22，lim ,，=1, lim，=+oo ,所以在0,工 中必有一点使得一一2)D1 F(X)2 尸冗-2。4.试证明：对函数 =工2+厂应用拉格朗日中值定理时，所求得的点J总是位于区间的正中间。证明：pb1 - pc +qb-qa = pb + pa + q)(b-a),而 y=2px + q,恰=pb+ pa + q.5.不用求出函数x) = (xl)(x2)(x3)(

3、x4)的导数，说明方程/(x) = 0有几个实根，并指出它们所在的区间。解:/=/（2）= /（3）= /（4）= 0,分别在区间1,2,2,3,3,4上应用罗尔定理得/（力=0在（1,2）,（2,3）,（3,4）上都有根,而/（%）为三次多项式,所以恰有三个实根。6.证明 恒等式arcsin x + arccos x1 1证明：在(一 1,1)上，(arcsin x + arccos x) = /, ,三 0,所以 arcsin 尤+arccos %Ji _ f 1 %2为常数，令 x = 0 得此常数为一。又显然 arcsin （-1） + arccos （-1）二 arcsin 1 +

4、arccos 1 二一， 2所以结论成立。7 .若方程axn + axn1 + + afl_x = 0有一个正根x = x0。证明：方程aQnxnx +4 （几-I）%* -an_1 =0 必有一个小于 今 的正根。证明：aQxn + q/i +.+ an_xx在x = 0和x = x0处取值都为零，其导数为 +4（ 一 1）%-2 +. % ,在区间0, % 上应用罗尔定理即得结论。8 .若函数/（%）在内具有二阶导数，且与）=工2）= /（不），其中 a x x2 x3 0, 1,证明证明：对x在。,可上用拉格朗日中值定理得=喈i（a3，其中所 以原式成立。10 .设。0,证明证明：对In

5、x在也可上用拉格朗日中值定理得Ino lnZ? =，（Q 力），其中所以原式成立。11 .证明下列不等式:a-b(1) | arctan a - arctan b证明:证明:由拉格朗日中值定理,arctan a - arctan b = 1 时，eA ex.证明：由拉格朗日中值定理，产 =*（x1）,所以.证明：方程父+工1 =。只有一个正根。证明：设方程父+工_1=。有两个根% w/，由罗尔定理存在J使得5? + 1 = 0,矛盾。所以方程V+x 1 = 0至多有一个实根。又工5+%1在 = o取值一1,在工=1取值1,所以在（0,1）中有一根。12 .设可心口）在m可上连续,在（涉）内可导

6、,证明在（,内存在一点q,使得证明：对函数证明：对函数g(。)/Wg(x)在0可上应用拉格朗日中值定理即可。13 .证明：若函数/（可在（ro,4w）内满足关系式/（X）= X）,且/（0）= 1,则/（X）=，。/（X），一/（x）e/（x） f/（0）证明：J ）/）三0 ,所以勺2为常数，而人导=1,所以（e ）eee三i,14 .设函数y = /（x）在x = 0的某邻域内具有阶导数，且 / （。） = / （。）=（0）=0,试用柯西中值定理证明证明：在以。和x为端点的区间上对fx）和/应用柯西中值定理得f(x)_/(x)-/(O)/()% xn-0H 底1其中。严格位于。和x之间。

7、再在以。和。为端点的区间上对/1 （x）和nxn-应用柯西中值定理得/1低）.八力八。）_ ，喝一喈e_0Tn(n-l)-2其中星严格位于0和。之间。如此进行次即得结论。15 .设 lim f (x) = %，求 lim /(% + ) 一 / (x).解:lim(x+ )-4%) = lim / (4) = ka.16 .证明：多项式x) = x33X + 在0上不可能有两个零点。证明：设多项式/(同=丁3%在0,1上有两个零点玉,马，则由罗尔定理必有4严格位于阳和马之间满足/(劣=3$3 = 3(J?i) = o,由于这是不可能的。18.设 % +-y H+个零点。71+1=0,证明多项式

8、fx) = a+axx-F在(0,1)内至少有一证明：设/(x) = 4x + ?2 + . +丁+】，则尸=尸(1)=。，由罗尔定理，存在 4(0,1)使得尸(3 = /信)=%+4& + +。蒲=。19 .设可在0,可上连续，在(0,)内可导，且) = 0。证明：存在一点自(0,)，使得3 +少隹) = 0.证明：作辅助函数g(x) = 4(x),它在0,可上满足罗尔定理的条件，运用罗尔定理即得 结论。20 .设0.儿 函数/(x)在上可上连续，在(。力)内可导。试利用柯西中值定理证明：f-f/)In Z? - In 4?存在一点4 (/)，使得证明：/(力和Inx在上满足柯西中值定理的条

9、件，所以 中右(。/)，整理即得结论。21 .设/(x),g(x)都是可导函数，且(X)。证明：当X4时，证明：令M%) = g(x) x),根据拉格朗日中值定理,/z(x) 力(。)=(4)(4。)，即(g(%)-g(a)-(%) -/(4) = (管)-/)(%-。)。, 所 以 g(x)-g(a)f(x)-f(a).令/z(x) = g(x) + /(x),根据拉格朗日中值定理，= ()(%-)，即 (g(%)-g(a) + (%)-a) = (g + / )(%-。)。, 所 以g(%) g(。) 一(%)-/)。总之得Y g(X)一 g.22 .证明：若/(%)为常数,则/(%)是线

10、性函数。证明：设/(%)三a,则(/(%)-公)=/(%)-1三0,所以/(%) ar为常数，设为/?, 则 fx) = ax+b.23 .证明下列不等式：(1) sin x-sin y xy。证明：sinx-siny = cosj(x-y) x-j|o证明： arcsinx-arcsiny = /(x-y) x-y 。24 .求证：Aojc3 +3bx2 +2cx-b-c = 0在(0,1)间至少有一个根。证明：设/(x) = o/+区3+c%2-(a + + c)x,则/(o) = /(i) = o,利用罗尔定理可得 结论。25 .求证：ex = ax2 +bx+c的根不超过三个。证明：假

11、设有四个根玉 尤3 4+X+8证明:方法一：设 lim )= lim/(%) = A ,令g(，)= +8 x /A, 1 = arctan a“tan”,arctanq 0 /%) g(x)f(x) g(x)%) g(x)f(x) g(x)30.设函数3(x),g(x)在(,力)上可微,对任意的X(a,5),g(x)w0,且在(上 =0 o求证：存在常数C,使得尤)=(尤),工(4,人).证明:三0,所以结论成立。UWJ/(X” _ / (1)g(x) - x)g(X)31 .证明达布定理：设/(x)在,可上可微，则若().(Z?)v0,求证存在c(a,Z?),使得/(c) = 0；(2)若

12、f(a)wfS)水属于以(),(6)为端点的开区间，则存在使得于3=匕证明：(1)不失一般性，设f ()0J3)/()。同理在人的左侧附近/(X)/()，故X)在凡可上 的最大值在区间(。,内取到，其点C处必有f (c) = 0。(2)考虑辅助函数g() = /(x)-履,则g；()() = (.(。)一女)(。)一女)。, 应用(1)的结论，存在。(。力)，使得g (c) = /(c)左=0 ,即/ (c) = Z.32 .若尤)在区间/上可导,且/(x)w0,则/(%)在区间/上同号。证明：根据达布定理，若/(X)在区间/上异号，中间必有点导数为零，矛盾。33 .设 X)在邻域(4-九4 +人)上可导,在。一九4 +川上连续。求证:(1)存在夕(0,1),使得(2)存在。(0,1),使得证明：对函数g(x) = /M + x) x)在区间0,可上运用拉格朗日中值定理即可。(2)对函数g(x) = /(a + x) + /(ax)在区间0,可上运用拉格朗日中值定理即可。