第十二章教案.docx

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1、教案2009 2010学年 第2学期二S学院（部、中心） 理学院课 授 授 职 教学科（专业）公共数学基础部程名称 高等数学课对象 09测控L 2, 3, 4课教师丁 胜称职务讲师材名称高等数学2010年2月28日高等数学课程教案教学目标或要求：授课题目（教学章节或主题）：授课类型理论课第十二章第一节 常数项级数的概念和性质授课时间2010-5-27理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件。又 2 = / 一(2 _3)_(4 _5)(2-2 一 U2si)一 U2n 3 2n Ulim 52z? =S00lim 邑用=lim (邑 + u2n+i)

2、= S (条件(访)H0Cf 8故 lim Sn = S co例7 证明交错级数111+ (1) I收敛2 3 4n证明 un = 0 u =，=(几= lim = 0nn n + 1-00,7-0 n001由莱氏判别法，知Z(T)e收敛，且其和S也收敛 =i=i10证明令乙=(叫+ )，则匕0,即乙是正项级数, 2n=0000,匕,而收敛，从而2匕,收敛，又2匕7-同=，由基本性质，知n=n=收敛。n=必须指出，此定理的逆定理不成立。0080000定义 若|收敛，则称Z是绝对收敛的；如果收敛而|发散，贝麻 n=n=n=ln=oo是条件收敛的。n=81如级数(-1)M是条件收敛的。例8判定级数

3、H HF (1)+11是绝对收敛还是条件收敛2 2 22 3 23 2还是发散?1解 V= lim n+= - l (发散) 时1 (收敛) n=产、13 3) Z(T尸收敛/?=1”4 .正项级数的审敛法是：比较法，比较法的极限形式，比值法，根值法5.交错级数有莱氏判别法；任意项级数有绝对值判别法教学手段与方法：采用启发式教学，以板书教学为主 思考题、讨论题、作业：习题12-21(1) (4) (5), 2(1) (2) (3), 3(1) (3) (4)参考资料(含参考书、文献等)：1、高等数学(上、下)朱士信主编，中国电力出版社2、微积分(上、下) 李辉来主编 清华大学出版社3、微积分习

4、题课教程(上、下) 李勇主编 清华大学出版社4、高等数学习题全解指南 朱士信主编，中国电力出版社高等数学课程教案教学目标或要求:授课题目(教学章节或主题)：授课类型理论课第十二章第三节基级数授课时间2010-6-8了解幕级数的收敛域的构造及求法，如何将函数展开成幕级数，函数的幕 级数展开式的应用。教学重点：基级数收敛域的求法，函数展开成幕级数的充要条件。教学难点：基级数收敛半径的求法，函数展开成基级数的间接方法，近似计算中 的误差估计。教学内容：一、函数项级数的概念如果级数(x) + u2 (%) H 卜 (X) + (1)的各项都是定义在区间/上的函数，则称级数(1)为定义在区间/上的(函数

5、项)无 穷级数，简称函数项级数.(%)称为一般项或通项.当在区间/中取某个确定值%。时，级数(1)就是一个常数项级数%(尤0)+ ”2(尤0)h Un (Xo ) H -这个级数可能收敛，也可能发散.如果级数(2)收敛，则称点/是函数项级数(1) 的收敛点；如果级数(2)发散，则称点/是函数项级数(1)的发散点.函数项级数 的所有收敛点的全体称为它的收敛域.对于收敛域内的任意一个数%,函数项级数成为一个收敛的常数项级数，因 而有一个确定的和s.这样，在收敛域上函数项级数的和是的函数s(%),通常称5(%)为函数项级数的和函数，和函数的定义域就是级数的收敛域，并写成5(X)= % (%) + U

6、2(X)HF Un(X)H .(3)把函数项级数的前项部分和记为%(%),则在收敛域上有= s(x).(4)一8 我们仍称今(x) = s(x)-s(x)(5)为函数项级数的余项(当然只有X在收敛域上由X)才有意义)，在收敛域上有二、幕级数及其收敛性00形如=。0 +。1%+。2工2 + Qx +，的级数称为塞级数，其中常数 =0。0,即2,访叫做幕级数的系数.例如1 + X + X2 + HX，J + ，2!n00从简单的一个基级数Z xl = 1 + X + / + x +公比为X的等比级数，当N 1 /!=（）时收敛；当xNl时发散出发，因为它的收敛域是以0为中心，半径为1的对称区间，引

7、入8到收敛域构造的阿贝尔定理: 二0coco定理1若有与 W0使。刘收敛，则当闪k时，幕级数Z/X发散。=（）=000证明先设X0是幕级数X的收敛点，根据级数收敛的必要条件，有lim喘=0, =0-于是存在一个常数M,使得|。片区 （=0,2,.）这样级数的一般项的绝对值 =0YflXXI 4MH %片 j 1=1 Xl-I- M-X。xo犬000Yx8因为当i*koi时，等比级数z“ir收敛（公比ii82H + 1；- X 2向2 2一2一人2X22X2可知当8 Q-8 + 22 (-W1在端点4-1处，察级数成为匚，是收敛的交错级数;旬 + 181在端点X=1，是发散的.因此收敛域为六1

8、1.处，察级数成为77=() + 188 + 1设和函数为 s(x),即 s(x) = y,xe -1J).于是 xs(x) = y=o +1=o n + 1- 1 9利用性质3,逐项求导，并由-1 + x + x + , , , + xn + , , ,(1 x 1)1-x8 丫 + 1001得xs(x) = Z (-7) = Z一 (|x| 1)=o + 1=。1 xrx 1对上式从 0 到积分，得xs(x)= = -ln(l-x),(-lxl).Jo 1-x于是，当xwO时，有s(x) =-幻.x而s(O)可由5(0)=俏=1得出， 故四、小结累级数是函数项级数中最基本的一类。它的特点是

9、在其收敛区间绝对收敛， 且累级数在收敛区间内可逐项微分和积分。由此第一次得到了一种函数的无限形 式的表达式(即幕级数展开式)，将函数展为幕级数无论在理论研究方面还是在 应用方面都有着重大的意义。一个函数的基级数展开式只依赖函数在展开点。出的各阶导数，这是Taylor 级数的优点。但从另一方面看，这又是它的缺点，因为求任意阶导数并不容易， 而且许多函数难以满足这样强的条件。还应看到，若想取级数的前项和作为函数 的近似值，则在离开展开点稍远一点的地方，取非常大才能使误差在所要求的限 度内。教学手段与方法：采用启发式教学，以板书教学为主思考题、讨论题、作业：习题12-42(2) (4) (5) (6

10、), 5, 6参考资料(含参考书、文献等)：1、高等数学(上、下) 朱土信主编，中国电力出版社2、微积分(上、下) 李辉来主编 清华大学出版社3、微积分习题课教程(上、下) 李勇主编 清华大学出版社4、高等数学习题全解指南 朱士信主编，中国电力出版社高等数学课程教案授课题目(教学章节或主题)：第十二章第四节函数展开成幕级数授课类型理论课授课时间2010-6-10教学目标或要求：函数展开成哥级数的直接方法、间接方法。教学重点：泰勒级数与麦克劳林级数。教学难点：直接法、间接法。教学内容：一、泰勒级数与麦克劳林级数定义1设函数f(x)在X。的某邻城内具有任意阶导数，则级数称为f(x)在X = X。点

11、的泰勒级数；特别当x0=0,贝IJ级数(X()n1(XT。)(X()n1(XT。)称为f(x)的麦克劳林级数。定理1函数f(x)能展开成泰勒级数：f(X)=an(x_X)non=0n=0n=0o lim Rn(x) = o, nr 8Xn+1 C在X。，X之间二、基级数展开式的求法1 .直接法：计算aJ nf6(x。)证吼 limRn(x) = 0n!即 f(x) = f(x0)+f,(x0Xx-x0)+i(x-x0)，, f(x) = - -77= (-l)nX + 1 X + 2 n=o+.-2 .间接法：利用已知的哥级数展开式，通过变量代换四则运算，逐项求导逐项积分待定 系数等方法及到函

12、数的展开式。例将下例函数展开成(x-x0)的幕函数 f(x) = ln3x f(x) = ln3xf(x)=熹解(l)f(x) = In 3x = ln(3x - 6 + 6)= In 6解f(x) =1+321解f(x) =2x + 3 2(x-1) + 5 5l + |(xT)11(x + l)(x + 2)1其中 m_2+(x_i)1 x 1一 1 1 ， -1 x 1 + X72= ln(l + x3)-ln(l + x)= E（-l）n-1-（x3n -Xn） （-1，1） n=ln三、小结本节学习了常见函数的幕级数的展开方法，记住5个常用展开。教学手段与方法：采用启发式教学，以板书

13、教学为主思考题、讨论题、作业：习题12-42（2） （4） （5） （6）, 5, 6参考资料（含参考书、文献等）：1、高等数学（上、下） 朱士信主编，中国电力出版社2、微积分（上、下） 李辉来主编 清华大学出版社3、微积分习题课教程（上、下）李勇主编清华大学出版社4、高等数学习题全解指南 朱士信主编，中国电力出版社高等数学课程教案授课题目（教学章节或主题）：第十二章第七节傅立叶级数授课类型理论课授课时间2010-6-15教学目标或要求：什么是函数/（X）的傅立叶级数，给出函数%）展为傅立叶级数的充分条件，求函数/（X）的傅立叶级数展开式的方法。教学重点：级数收敛与发散概念。教学难点：用级数收

14、敛性及基本性质判别一些级数的收敛性问题。教学内容：一、常数项级数的概念设已给数列： /,2，3,，表达式 % +4 +U3或记为02，称为无穷级数，简称级数，其中“叫做级数的通项或一般项。 72=18 100j各项都是常数的级数叫做数项级数，如, y等。入 nl a+1）oo n81771y各项是函数的级数，称为函数项级数，如二等。 2作常数项级数的前项的和s =%+/+%+册，S称为级数的部分和。从而个新的序歹|J ： S =, S2 -Ux +u2 , S3 = / +2 +3，,Sn = % + 的 + 3 + , , +, * * *000000定义如果级数的部分和数列s有极限S,即l

15、imS = s,则称级数收 n=f8n=co敛，这时极限S叫做这级数的和，记为Z=S n=00如果s没有极限，则称级数发散。二1此时称 5=S-S 为级数第项以后的余项。例1证明等比级数（几何级数）。+。9 + 92+。/1+.（wo）当|同1时收敛，当q 21时发散。i _ ”证明 当 q wl 时其前项和 S = a + aq + aq2 +- + aq,l = al q若 g 1,则 lim qn = 0 ,于是 lim S = lim a一8一8一8即当Id 1时等比级数1-q-q1 1教学重点：了解傅立叶级数的概念和狄立克莱收敛定理。教学难点：如何将-/,/上的函数展开为傅立叶级数。

16、教学内容：一、三角级数及三角函数系的正交性正弦函数是一种常见的而简单的函数，例如描述简谐振动的函数27ry=Asin(t+0)就是一个以 为周期的正弦函数。其中y表示动点的位置，t表示时CD间，A为振幅，G为角频率，0为初相。在实际问题中，除了正弦函数外，还回遇到非正弦函数，它们反映了叫复杂的周期运动。 例如电子技术中常用的周期为的矩形波。具体的说将周期为T的周期函数用一系列以T为周期的正弦函数I)A? sin(加加+ %)组成的级数来表示，记为(1)(1)8+sin(na)t +)n=其中4,4，%( = 1，2,3,.)都是常数。将周期函数按上述方式展开，它的物理意义是很明显的，这就是把一

17、个比较复杂的周期 运动看成许多不同运动的叠加，为了以后讨论方便起见，我们将正弦函数按三角公式变形 得并令& = 4，a=Asin%/=Acos0,诩 = xM 式右端的级数就可以写成(2)(2)00cos nx + bfl sin zix)n=一般的，型如(2)的式的级数叫三角级数，其中%,%，2( = 1，2,3,)都是常数。如同讨论事级数是一样，我们必须讨论三角级数(2)的收敛问题，以及给定周期为2 的周期函数如何把 它展开成三角级数(2)为此，我们首先介绍三角函数系的正交性。所谓三角函数系1, cos x, sin x, cos 2x, sin 2x,，cos nx. sin nx.-(

18、3)在区间-肛司上正交，就是指在三角函数系(3)中任何不同的两个函数的乘积在区间 -耳句上的积分等于零，即以上等式，都可以通过计算定积分来验证，现将第四式验证如下 利用三角学中积化合差的公式当k W n时，有其余不证。在三角函数系（3）中，两个相同函数的乘积在区间上的积分不等于零，即 二、函数展开成傅立叶级数1.若以2万为周期的函数/（x）可展为三角函数，即f(x) =f(x) =00Z(% coskx+bk sin kx), k=(4)我们假设上式可以逐项积分。先求，对上式从兀到71逐项积分:根据三角函数（3）的正交性，等式右除第一项，其余都为零，所以：/（可公=&-2 42于是得其次求。用

19、C0SZ2X乘（4）式两端，再从-万到逐项积分，我们得到根据三角函数系（3）的正交性等式右端除k=n的一项处，其余各项均为零，所以于是得如果（5）式的积分都存在，这时它们的系数叫函数的傅立叶系数，将这些系数代入（4）式右，所得的三角级数& +cosnx + bn sin依）叫做傅立叶级数。2 n=2. （Diriclilet收敛定理）设/（x）是周期为2万的周期函数，如果它满足： 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点在一个周期内至多只有有限个极值点，则/（X）的傅立叶级数收敛,且当x是/（X）的连续点时，级数收敛于/（X）；当X是/（X） 的间断点时，级数收敛于，/（x 0） + /（x

20、+ 0）例 1 已知 Jx） = X2（0X 7T）,求（1）设/（x）的周期为2,将/（x）展开为傅立叶级数；co 1_ 2 co / i n-_ 2证明*二尢0空一二看400 1从而有一万2 +cosnx3400 1从而有一万2 +cosnx38 1一4乃 siX2 ,Q xsin广，其中 n=I当/(x)为偶函数时，/(x) = & + 4 cos。，其中2 n= I6.当/(x)定义在0,/上时要先对/(X)进行奇偶延拓，再周期延拓可将了(X)展开成正弦级数或余弦级数。四、小结函数展为傅立叶级数的问题本来是由分解周期函数为谐波引出的，对非周期 函数，甚至只是定义在-肛句上的函数/(%)

21、,当它在-肛乃上满足狄氏条件时,它的傅立叶级数+之(4 cosnx + bn sin九%)在-肛上收敛，而且由于其各项 2 n=都有周期2不，故在(-8,+00)上都收敛，其和函数S(%)是(-8,+00)上的以2为周期的函数。在-，之外S(x)与f(x) 一般是不同的。但是，如果把定义在-肛/(x-0) + /(x + 0)2/(x-0) + /(x + 0)2_。0-T上的函数/(%)按周期2%延拓到数轴所有点%上去，得到一个以2为周期的新的 函数，并且仍用/(幻表示这个新的函数，那么在整个数轴上就应有展开式：00+ Z(。 cosnx + bn sin nx)n=若X是/(x)的连续点，

22、上式左边即是7(X)。傅立叶级数，作为一种函数的解析表达式，消除了初等函数和用几个式子联 合分段表达的函数之间的界限一一他们都融合成为一类无穷多项表达式了。这 里，第一次用一个正交函数系中的函数作为函数项级数的项去表达一个函数，把 函数在一个完备的正交函数系中进行分解是近代数学中一项很有意义的发展。 教学手段与方法：采用启发式教学，以板书教学为主思考题、讨论题、作业：习题12-71（1）, 2（2）参考资料（含参考书、文献等）：1、高等数学（上、下） 朱士信主编，中国电力出版社2、微积分（上、下） 李辉来主编 清华大学出版社3、微积分习题课教程（上、下） 李勇主编 清华大学出版社4、高等数学习

23、题全解指南 朱士信主编，中国电力出版社收敛，且其和为一9二。当则lim/=oo。 -8时，S是无穷大量，级数发 q一散。若4 = 1,则级数成为。+。+，于是s =a/imS =00,级数发散。 co若9 = 1,则级数成为a 1 + Q + ，当为奇数时，sn=a,而当为偶数时,S=0。当-s时，S无极限，所以级数也发散。81证明级数= 1M几+1)证明SS1 111-2 2-3+ +in(n +1)1I 2J工、GF+n_y、 +1,=1-81当8时，s1。所以级数二 1。台小+1）二、收敛级数的基本性质由级数收敛性定义，可得下面性质:000000co性质1若级数收敛，其和为S,又左为常数

24、，则也收敛，且n=n=n=n=n=（级数的每一项同乘一个不为零的常数后，它的收敛性不回改变。）0000性质2若已知二收敛n=5，2乙=。，则土乙）=sb（两个收敛级数可以逐项相加与逐项相减）性质3改变级数的有限项的值不改变级数的敛散性性质4收敛级数中的各项（按其原来的次序）任意合并（即加上括号）以后所成的新级 数仍然收敛，而且其和不变。推论一个级数如果添加括号后所成的新级数发散，那么原级数一定发散。注：例如（1 1）是收敛的，但级数11+11+1 1+发散。二i8性质5 （级数收敛的必要条件）若级数收敛，则lim“ =0 一8n=oo证明 设 Z=S，即 limS=S,则 limST=S,所以

25、 co8n=00推论 若级数E的通项乙，当 -8时不趋于零，则此级数必发散。 n=注意：级数的一般项趋于零并不是级数收敛的充分条件，比如调和级数它的一般项-0（ 8）,但是它是发散的。n三、小结本节主要是依据级数的定义及其性质判别级数的敛散性。如级数发散小、( 1 n(2) I +(2 3；(1 1 J7、,11 123 33 J1 1 112n 3)8，11、8811级数为Z分别为等比级数且/：=1 IZ 3 J n- 乙 =1 J乙 3原级数收敛1H1-f= HV3，原级数发散. =-= - 0 ( f oo) V3教学手段与方法：采用启发式教学，以板书教学为主思考题、讨论题、作业：习题1

26、2-13,4参考资料（含参考书、文献等）：1、高等数学（上、下） 朱士信主编，中国电力出版社2、微积分（上、下） 李辉来主编 清华大学出版社3、微积分习题课教程（上、下） 李勇主编 清华大学出版社4、高等数学习题全解指南 朱十信主编，中国电力出版社高等数学课程教案授课题目（教学章节或主题）：授课类型理论课第十二章第二节 常数项级数的审敛法授课时间2010-6-1教学目标或要求：掌握数项级数收敛性的判别方法。教学重点：正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，交错级数的莱布尼兹判 别法，绝对收敛与条件收敛的概念。教学难点：任意项级数收敛性的判别方法。教学内容：一、正项级数及其审敛法每项均为非负的级

27、数称为正项级数设级数% + 2 + / + + +是一个正项级数（许之0）,它的部分和数列sn显然是一个单调增加数列：52 53 -00在 21时“ 8 n=i800（2）用反证法，若乙收敛，则因已设（乙，由推知孙收敛，与题设矛盾， 72=1n=8故XL发散。n=000000推论设W和Z匕，都是正项级数，如果级数2匕，收敛，且存在自然数M使得点N 71=1n=n=0000时有0）成立，则级数收敛；如果级数发散，且当应N时有=1/2=100uNkvn(k0)成立,贝UZ发散。/7 = 1例1证明调和级数1H1F ,I1 是发散的2 3 n图 1L2-1证明由微分学可证得一个不等式xln（l +

28、x）,当x0时，（如图示）由 S“=l + + ! + +!2 3 n由 S“=l + + ! + +!2 3 nln(l +1) + In 1H+ ln 1 + - + + ln 1 + nJ34= ln2 + ln + ln + - + ln2334= ln2 + ln + ln + - + ln233=ln 2 I 2=ln(l + ) +oo( oo)8 1即=内，所以调和级数发散。 =i几的收敛性，其中常数p0例 2 讨论一级数1 H1F HF 2P 3P np解设pWl,则 np-,但调和级数发散，由定理2可知，当时级数 n设 1,当 一 1 x4时，有 np xp所以， npn

29、1dx 1( f 0C5 + 1尸81故级数（*）收敛，由定理2知，级数 X匕当 P1时收敛，综上，得n=几当p-级数，当P1时收敛，当时发散co00定理3 （比较法的极限形式）设和E 匕,都是正项级数，如果n=n=(1)Ulim，= /,()/ 00 u n0000+8）,且级数2口收敛，则级数Z收敛。n=n=(2)U、 Ulim = Z 0或lim - = +N时，有也+ 即口00收敛。匕7,再由比较审敛法可得级数n=vG（2）按已知条件可知极限lim存在，如果级数收敛，则由结论必有级数%Mco00收敛，但已知级数2匕?发散，因此级数E不可能收敛，即级数Z发散。 二1n=n=n=81判别级

30、数sin的收敛性=i.1sin lim -二 18 In由定理3知此级数发散。oc定理4 （比值审敛法）若正项级数的后项与前项之比值的极限等于0 ：n=lim%比=夕，则当夕1时，级数收敛；夕1 （或lim& = oo ）时级数发散；夕=1时 /级数可能收敛也可能发散。证明 当夕1,取一个适当正数,使夕+ = 71,依极限定义，三自然数加，使之机，有1k + = /,因此，这样，级数/向+/+2 + 什3 +各项小于收敛的等比级数oo机+/4?+/%?+（/1）的各对应项，所以它也收敛。由于只比它多了前n=00机项，因此z瓦也收敛。n=（2）当夕1,取一个适当正数,使夕1,依极限定义，当之根时

31、，有+1Un+1Un p-8 ,即 + ufl ,从而 lim w 0 ,00可知发散，类似可证，当11=U8.3 = 8，发散。3当夕=1时，由级数可知结论正确。oo q n t例4判别级数一%的收敛性、=2!二|力解J j半上=2.un 5 + 1）的2！ h22/. lim = lim= 1-8 U -8 / 丫 e“1 + -故级数收敛。8定理5 （根值审敛法）设E 为正项级数，如果它的一般项的次根的极限等于P： /1=1lim = p ,则当夕1时，级数收敛，p （或lim亚7 = +）时级数发散，夕=1fCO *一8 v时级数可能收敛也可能发散。证明与定理4相仿，这里从略。8， 例5判别级数 的收敛性解lim 疯 = lim = 0 (或 lim nu - +oo),则级数之发散;n=(2