人教A版选择性必修第三册第六章第8课时组合与组合数学案.docx

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1、第8课时 组合与组合数(二)课程要求素养要求1 .能利用计数原理推导组合数公式，并会应用 公式解决简单的组合问题.2 .能应用组合知识解决有关组合的简单实际 问题.3 .能解决有限制条件的组合问题.1 .数学抽象：能够在实际情境中抽象出有关组 合的问题，并加以解决.2 .数学运算：能够熟练地运用组合数公式及 性质进行计算.3 .数学建模：能阅读、理解问题情境，区分 排列问题和组合问题，合理选择排列数公式 或组合数公式，并根据分类加法计数原理或 分步乘法计数原理，建立实际问题的数学模 型并求解.1从n个不同元素中任取m(mWn)个元素的组合数CP= 右一 = m) ! m!，2.解答排列、组合综

2、合问题的一般思路和注意点(I)一般思路：“先选后排”，也就是把符合题意的元素都选出来，再对元素或位置进 行排列.(2)注意点：元素是否有序是区分排列与组合的基本方法，元素无序是组合问题，元素有序是排列 问题.对于有多个限制条件的复杂问题，应认真分析每个限制条件，然后考虑是分类还是分 步，这是处理排列、组合的综合问题的一般方法.1 .以=15,那么A3=(B)A. 20 B. 30C. 42 D. 72解析：因为C3=15,所以n = 6,那么AS=A2=3O,应选B.2.某校一年级有5个班，二年级有8个班，三年级有3个班，分年级举行班与班之间 的篮球单循环赛，总共需进行比赛的场数是(A)A.

3、CHCi+d B. CldCjc. AHAi+A？ d. c?63.假设从1, 2, 3, 4, 5, 6, 7这7个整数中同时取3个不同的数，其和为奇数，那么不 同的取法共有(C)A. 10 种 B. 15 种C. 16 种 D. 20 种解析：要求3个数的和为奇数，那么当3个数都为奇数时，有C?=4种取法，两个偶数一 个奇数时，有CgCl=12种取法，共有16种取法.应选C.4.以一个正三棱柱的顶点为顶点的四面体共有(B)A. 6 个 B. 12 个C. 18 个 D. 30 个解析：金一3=12个，应选B.5.有6名男学生，4名女学生，现要从中选出男、女学生各2名去参加一项活动，那么 共

4、有90种不同的选法.解析：第1步，选男生，有或种；第2步，选女生，有&种.故共有或X&=90种.探究点彳有限制条件的组合问题【例1】 男运发动6名，女运发动4名，其中男女队长各1名，选派5人外出比赛, 在以下情形中各有多少种选派方法？(1)男运发动3名，女运发动2名；(2)至少有1名女运发动；(3)既要有队长，又要有女运发动.分析：解答有限制条件的组合问题常见的方法是直接法和间接法，在用直接法求解时， 注意特殊元素要优先选取，优先安排，对于复杂问题由正难那么反的原那么可用间接法，注意在 解题过程中“至多” “至少”等词语确实切含义.解析：(1)第1步，选3名男运发动，有以种选法；第2步，选2名

5、女运发动，有C5种 选法，故共有 或义&=120种选法.(2)(方法一：直接法)“至少有1名女运发动”包括以下几种情况，1女4男，2女3男，3女2男，4女1男.由分类加法计数原理知共有cjxct+cixcHdxcHclxc=246种选法.(方法二：间接法)不考虑条件，从10人中任选5人，有Go种选法，其中全是男运发动 的选法有这种，故“至少有1名女运发动”的选法有&0&=246种.(3)当有女队长时，其他人选法任意，共有比种选法；不选女队长时，必选男队长，共 有俄种选法，其中不含女运发动的选法有废种，故不选女队长时共有金一程种选法.所以 既有队长又有女运发动的选法共有d+d-ci=i9i种.【

6、规律方法】有限制条件的抽(选)取问题，主要有两类.一是“含”与“不含”问题，其解法常用直接分步法，即“含”的先取出，“不含”的 可把所指元素去掉再取，分步计数.二是“至多”“至少”问题，其解法常有两种解决思路：一是直接分类法，但要注意分 类要不重不漏；二是间接法，注意找准对立面，确保不重不漏.【变式训练1 在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5 人参加市级培训.在以下条件下，有多少种不同的选法？(1)任意选5人；(2)甲、乙、丙三人必须参加；(3)甲、乙、丙三人不能参加；(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加.解析：(1)从中任取5人是组合问题，共有&2=792种不同的选法.

7、(2)甲、乙、丙三人必须参加，那么只需从另外9人中选2人，是组合问题，共有 6=36 种不同的选法.(3)甲、乙、丙三人不能参加，那么只需从另外的9人中选5人，共有&=126种不同的 选法.(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加，可分为两步：先从甲、乙、丙中选1人，有& = 3 种选法，再从另外9人中选4人，有种选法，共有&金=378种不同的选法.探究点。不同元素分组、分配问题【例2 按要求分配6本不同的书，各有多少种不同的分配方式?(1)分成三份，一份1本，一份2本，一份3本；(2)分给三人，一人得1本，一人得2本，一人得3本；平均分成三份，每份2本；(4)平均分配给三人，每人2本；(5)分成三

8、份，一份4本，另外两份每份1本；(6)分给三人，一人得4本，另外两人每人得1本.分析：搞清每次分书时是否与顺序有关，对应平均分组时应注意顺序，防止出现重复和 遗漏.对于分组问题包括平均分组与不平均分组两类，平均分组的题型注意除以平均组数的 阶乘.对于分配问题应先分组再分配.解析：(1)先选1本有&种，再从余下的5本中选2本有R种；最后余下3本全选有 G种，由分步乘法计数原理可知共有= 种.(2)由于分给不同的三个人，除分步完成选书外，还要进行分配，故应有= 360(种).(3)先分三步完成取书，应有CS&G种方法，但其中出现大量重复，假如记6本书为A, B, C, D, E, F.先取AB,再

9、取CD,最后为EF,还是先取CD或EF,都是相同的，但在 前面取法中被重复计数，因此应有笔乎=15种.(4)三人依次取书即可，共有点或G=90种.(5)先从6本书中任取4本，再把剩余的两本书分成两组，共有券4=15种.(6)在上问基础上分配给三个人有金余0 XA = 90种.【规律方法】分组、分配问题的求解策略(1)分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种.完全均匀分组，每组的元素个数均相等；局部均匀分组，应注意不要重复，假设有n组均匀，最后必须除以n!；完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象.(2)分配问题属于“排列”问题.分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配.【变式训练2】

10、 将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社 会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有12种.解析：将4名学生均分为两个小组，共有蜜 =3种分法；将两个小组的同学分给两名 教师，共有解=2种分法；最后将两个小组的人员分配到甲、乙两地，有星=2种分法，故 不同的安排方案共有3X2X2=12种.探究点用相同元素分配问题【例3】6个相同的小球放入4个编号为1, 2, 3, 4的盒子，求以下方法的种数.(1)每个盒子都不空；(2)恰有一个空盒子；(3)恰有两个空盒子.分析：相同元素分配问题常用“隔板法”解决.解析：(1)先把6个相同的小球排成一行，在首尾两球外

11、侧放置一块隔板，然后在小球 之间5个空隙中任选3个空隙各插一块隔板，有&=10种放法.(2)恰有一个空盒子，插板分两步进行.先在首尾两球外侧放置一块隔板，并在5个空 隙中任选2个空隙各插一块隔板，如|0|000|0()|,有2种插法，然后将剩下的一块隔板与前面 任意一块并放形成空盒，如|0|000|00|,有&种插法，故共有CgXCl=40种放法.(3)恰有两个空盒子，插板分两步进行.先在首尾两球外侧放置一块隔板，并在5个空隙中任选1个空隙各插一块隔板，有C!种 插法，如|00|0000|,然后将剩下的两块隔板插入形成空盒.这两块板与前面三块板形成不相邻的两个盒子，如|00|0000|,有C种

12、插法.将两块板与前面三块板之一并放，如|00|0000|,有CJ种插法.故共有dx(cHd)=3o种放法.【规律方法】相同元素分配问题的处理策略(1)隔板法：如果将放有小球的盒子紧挨着成一行放置，便可看作排成一行的小球的空 隙中插入了假设干隔板，相邻两块隔板形成一个“盒”.每一种插入隔板的方法对应着小球放 入盒子的一种方法，此法称之为隔板法.隔板法专门解决相同元素的分配问题.(2)将n个相同的元素分给m个不同的对象(n2m),有种方法.可描述为n-1个 空中插入m1块板.【变式训练3】 将4个编号为1, 2, 3, 4的小球放入4个编号为1, 2, 3, 4的盒子 中.(1)每盒至多一球，有多

13、少种放法？(2)每个盒内放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，有多少种放法？(3)把4个不同的小球换成4个相同的小球，恰有一个空盒，有多少种放法？(4)把4个不同的小球换成20个相同的小球，要求每个盒内球数不少于它的编号数，有 多少种放法？解析：(1)这是全排列问题，共有/=24种放法.(2)1个球的编号与盒子编号相同的选法有&种，当1个球与1个盒子的编号相同时， 用局部列举法可知其余3个球的投放方法有2种，故共有C1X2 = 8种放法.(3)先从四个盒子中选出三个盒子，再从三个盒子中选出一个盒子放入两个球，余下两 个盒子各放一个.由于球是相同的，即没有顺序，所以属于组合问题，故共有 dXCi=12 种放法.(4)(隔板法)先将编号为1, 2, 3, 4的4个盒子分别放入0, 1, 2, 3个球，再把剩下的 14个球分成四组，即在14个球中间的13个空中放入三块隔板，共有3 = 286种放法.1 .组合问题是与次序、顺序等无关的一类问题，组合的特殊性在于它只有元素的“互 异性”，而不需要考虑其顺序.2 .当对事件进行整体分类时，从集合的意义来讲，分类要做到各类的并集等于全集， 以保证分类的不遗漏；任意两类的交集等于空集，以保证分类的不重复.3 .有些计数问题从正面考虑情况太繁杂或直接法难以入手时，往往从问题的反面考虑 更易解决.