2.2 基本不等式 -(人教A版2019必修第一册) (学生版).docx

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1、基本不等式知识剖析1基本不等式若a 0 ,匕 0,则a + b 2yab （当且仅当a = b时，等号成立）. 等叫做正数a*的算术平均数，而叫做正数a ,b的几何平均数.基本不等式的几何证明6*（当点0、。重合，即a = b时，取到等号）运用基本不等式求解最值时，牢记：一正，二定，三等.一正指的是Q0 ,b0；二定指的是ab是个定值，三等指的是不等式中取到等号.2基本不等式及其变形2 0 + bI rj 2 _i_ A 2-jj Vab I- （当且仅当q = b时等号成立） a + b（调和均值式几何均值工算术均值3平方均值）以上不等式把常见的二元关系（倒数和，乘枳，和，平方和）联系起来，

2、我们要清楚它们在求最值中的作用.a + bN 2a石，积定求和；。力W （学）1和定求积：层+非3史学（联系了Q + b与平方和小+非）ab0）的函数.图像性质函数图像关于原点对称，在第一象限中，当OvxvG时，函数递减，当% 时，函数递增.与基本不等式的关系由图很明显得知当3 0时，x = v0时取到最小值%讯=2份，其与基本不等式 + 2 口| =。=伞时取到最小值)是一致的.经典例题【题型一】对基本不等式“一正，二定，三等”的理解情况 1 一正：a 0 ,b 0求函数y = x + (x 1)的最值.情况3三等：取到等号 求函数y二篇的最值.【题型二】基本不等式运用的常见方法方法1直接法

3、【典题 1】设% 0、y 0, z 0,则三个数 + 4y、- 4- 4z - 4- 4x ()xyz力.都大于4B.至少有一个大于4C.至少有一个不小于4D.至少有一个不大于4【典题2】设%0,y0,下列不等式中等号能成立的有(% +3 + 924；(x + y)( + ；)4；yy + y + W；A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【典题3已知实数a, b满足协。，则高一品的最大值为方法2凑项法【典题1】若% 1，则函数y = 4x 的最小值为.【典题2】若x 1,则2% H- H1的最小值是41【典题3】设匕。，则。/ +许的最小值是一方法3凑系数【典题1】若Ovav(则a(l-2

4、a)的最大值是【典题2】已知a4为正数，4a2+炉=7,则aJITP的最大值为方法4巧“1”法【典题1已知x 0, y 0, x + y = 2,则 +后的最大值是,【典题2已知x0, y 0,且:+ ； = 2,则x + 2y的最小值是【典题3】设a 2, b 0,若a + b = 3,则一1 十 ：的最小值为a-2 b方法5换元法【典题I】若% 1，则 =品的最大值为【典题1】若a,b Ea + b = 1,则Ja + + Jb + ：的最大值 1【典题2】设a、b是正实数，且a +2b = 2,则g +鉴的最小值是方法6不等式法【典题1】已知Q ,b G (0,+oo),且1+三=2，则

5、a+ b的取值范围是.、，/inn【典题2 已知2a + b + 2a/)= 3, a 0, b0,则2a + b的取值范围是巩固练习1 ()已知a + b + c = 2,则ab + be + ca与2的比较.2 ()已知x, y E R+f若x + y + xy = 8,贝by的最大值为.3 ()若, y e R+t 且：+ ； = 5,则3x + 4y的最小值是.4()函数丫 =片会0(%2)的最小值为.X-Z5(*)已知实数a、匕,ab0,则2-2：葭2的最大值为-6 () I多选题下列说法正确的是()儿x + Q0)的最小值是2 B. 瓷的最小值是企C.客言的最小值是2D. 2-3%

6、-的最大值是2-48Vx2+4X7 ()多选题设a 0, b0,且q +2b = 4,则下列结论正确的是()A.：的最小值为迎B. 2+ ：的最小值为2a ba bC.二+ ：的最小值为3D.=+后5恒成立a b4a+1b+17若实数m, n 0,满足2巾+几=1,以下选项中正确的有()A. 7H71的最小值为JB.工+工的最小值为4企8m nC. W +2的最小值为5D. 4m2 +n2的最小值为:m+1n+22加)已知正实数a, b满足a + b = l,则至出+空的最小值为.1()()若正数、y满足x + 4y-xy = 0,则表的最大值为.1()已知0q0, b -2,且满足2q + /j = 1,则空 + 鲁的最小值是 a b+2()已知% 0, y0,则瓷三的最大值是 . Jx2+8y2x2+2y215 ()设实数%,y满足一 V = i,则3/ 2xy的最小值是.挑战学霸方程(为2。18 + 1)(1 + / + / + %2。16) = 2018/。17的实数解的个数为