微积分公式与定积分计算练习.pdf

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1、微积分公式与定积分计算练习微积分公式与定积分计算练习（附加三角函（附加三角函数公式）数公式）一、基本导数公式一、基本导数公式1c 0sin x cosxx xcos x sin xtan x sec2xcot x csc2xsecx secxtan xcscx cscxcot xe exxa axlnaxln x1xlogxa111arccosx arcsin x1 x21 x2xlna1 1arccot xarctan x1 x21 x2二、导数的四则运算法则二、导数的四则运算法则x1x21xu uvuvu v uvuv uvuvvv2三、高阶导数的运算法则三、高阶导数的运算法则uxvx（1

2、）（3）n uxnnvxncux（2）uxvxnn cunxnuaxbnn a unaxb（4）axbknkcnuxv(k)xk0四、基本初等函数的四、基本初等函数的 n n 阶导数公式阶导数公式x（1）n n!e（2）n aneaxba(3)xn axlnna(4)sinaxbnnn ansinaxbncos axb a cos axbn2(5)2n(6)五、微分公式与微分运算法则五、微分公式与微分运算法则1axbn1ann!axbn1lnaxb(7)n1n1ann1!axbndc 0dxx1dxdsinxcosxdxdcosx sinxdxdtanxsec2xdxdcotx csc2xdx

3、dsecxsecxtanxdxdexxxxdcscx cscxcotxdxdln x1dxx e dxda axlnadx111d arcsin x dxd arccosx dxdlogadx221 x1 xxlnadarctanx11dxd arccot x dx221 x1 x六、微分运算法则六、微分运算法则duv dudvdcucduu vdu udvd2duv vduudvvv七、基本积分公式七、基本积分公式x1dxx dx c ln x ckdx kxc1xaxxxa dx ce dx e ccosxdx sin xclnax1dx sec2xdx tan xc2sin xdx co

4、sxccos x112csc xdx cot xcdx arctanxc22sin x1 x11 x2dx arcsin xc八、补充积分公式八、补充积分公式tan xdx ln cosx ccot xdx ln sin x csecxdx ln secxtan x ccscxdx ln cscxcot x c11xdx arctanca2 x2aa11xadx lncx2a22axa1a2 x2dx arcsinxca1x2a2dx ln xx2a2c换元公式九、下列常用凑微分公式九、下列常用凑微分公式积分型faxbdx fxx1dx 1faxbdaxbafxdx1u axbu x1fln

5、xdx fln xdln xxxxxxu ln xu exfee dx fedefaxaxdx 1faxdaxlnau axfsin xcosxdx fsin xdsin xfcosxsin xdx fcosxdcosxu sin xu cos xftan xsec2xdx ftan xdtan xfcot xcsc2xdx fcot xdcot xfarctanxfarcsin xu tanxu cotx1dx f arctan x d arctan x 1 x2u arctanx11 x2dx farcsin xdarcsin xu arcsinx十、分部积分法公式十、分部积分法公式x e

6、形如形如形如naxdxaxndv e dxu x，令，nxsin xdxnxcosxdxn令u x，dv sin xdx令u x，dv cosxdxnnx形如形如arctanxdxndv x dxu arctanx，令，nnxln xdx，令u lnx，dv x dx，axecosxdxaxu e,sin x,cos x均可。令形如axesin xdx十一、第二换元积分法中的三角换元公式十一、第二换元积分法中的三角换元公式(1)a xx asint(2)【特殊角的三角函数值特殊角的三角函数值】22a2 x2x atant(3)x2a2x asect（1）sin0 0（2）sin631sinsi

7、n132（4）2（3）2（5）sin 031coscos 02（3）32（4）2（5）cos 13tan3tan3（3）32不存在（5）tan 0（4）cot（3）（1）cos0 1（2）cos6（1）tan0 0（2）tan6（1）cot0不存在（2）十二、重要公式十二、重要公式cot6333cot 03（4）2（5）cot不存在1sin xn1x elima(a o)1lim 1 xx0nx0 x（1）（2）（3）lim（4）nlimn 1n（5）xlimarctan x 2（6）xlim arctan x 2（7）xlimarccot x 0lim ex（8）xlim arccot x

8、lim xx1（9）xlim ex 0（10）x（11）x0a0 xna1xn1limxb xmb xm101（12）a0b0an0bmn mn mn m（系数不为 0 的情况）十三、下列常用等价无穷小关系十三、下列常用等价无穷小关系（x 0）sin xxtanxxarcsinxxa 1xxarctanxxlna1 xx1cosx12x2e 1十四、三角函数公式十四、三角函数公式1.1.两角和公式两角和公式ln1 xxx1xsin(A B)sin AcosBcos Asin Bsin(A B)sin AcosBcos Asin Bcos(A B)cos AcosBsin Asin Bcos(A

9、 B)cos AcosBsin Asin Btan AtanBtan AtanBtan(A B)1tan AtanB1 tan AtanBcot AcotB1cot AcotB1cot(A B)cot(AB)cotBcot AcotBcot Atan(A B)2.2.二倍角公式二倍角公式sin2A 2sin AcosAcos2A cos2Asin2A 12sin2A 2cos2A1tan2A 2tan A1tan2A3.3.半角公式半角公式sinA1cos AA1cos Acos2222A1cos Asin AA1cos Asin Acot21cos A1cos A21cos A1cos At

10、an4.4.和差化积公式和差化积公式sinasinb 2sinababababcossinasinb 2cossin2222ababababcosacosb 2coscoscosacosb 2sinsin2222tana tanb sinabcosacosb5.5.积化和差公式积化和差公式11sinasinb cos ab cos abcosacosb cosabcosab2211sinacosb sin ab sin abcosasinb sinabsinab226.6.万能公式万能公式a1tan22sina cosa a1tan21tan222tan7.7.平方关系平方关系aa2tan22

11、tana aa1tan222sin2xcos2x 1sec2xtan2x 1csc2xcot2x 18.8.倒数关系倒数关系tan xcot x 1secxcosx 1cscxsin x 19.9.商数关系商数关系tan x sin xcosxcot x cosxsin x十五、几种常见的微分方程十五、几种常见的微分方程dy fxgyfxg1ydx f2xg2ydy 0dx1.1.可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程：，1dy y fx2.2.齐次微分方程齐次微分方程：dxpxdxdypxdxdxcy eQ x e pxy Qx3.3.一阶线性非齐次微分方程一阶线性非齐次微分方程：dx解为

12、：高考定积分应用常见题型大全高考定积分应用常见题型大全一选择题（共一选择题（共 2121 小题）小题）1（2012福建）如图所示，在边长为1 的正方形 OABC 中任取一点 P，则点 P 恰好取自阴影部分的概率为（）ABCD232（2010山东）由曲线 y=x，y=x 围成的封闭图形面积为（）ABCD3设 f（x）=A4定积分A5如图所示，曲线 y=x 和曲线 y=2，函数图象与 x 轴围成封闭区域的面积为（）BCD的值为（）B3+ln2C3ln2D6+ln2围成一个叶形图（阴影部分），其面积是（）A1BCD6=（）AB2CD47已知函数f（x）的定义域为2，4，且f（4）=f（2）=1，f（

13、x）为f（x）的导函数，函数 y=f（x）的图象如图所示，则平面区域f（2a+b）1（a0，b0）所围成的面积是（）A280e dx 与0e1x1xB4C5D8dx 相比有关系式（）dxdxB1x1x0e dx0eD1x1x0e dx=0edxdxA1x1x0e dx0eC1x21x（0e dx）=0e9若 a=Aab10A，b=Bab，则 a 与 b 的关系是（）Ca=bDa+b=0的值是（）BCD11若 f（x）=A+e e12已知 f（x）=2|x|，则2（e 为自然对数的底数），则B+eCe+e2=（）D2+e e（）D4.5A3B4C3.5213设 f（x）=3|x1|，则2f（x）

14、dx=（）A7B8C7.514积分AB=（）Ca2D6.5D2a215已知函数A1/2B1的图象与 x 轴所围成图形的面积为（）C2D3/216由函数y=cosx（0 x2）的图象与直线是（）A4BC及 y=1 所围成的一个封闭图形的面积D2317曲线 y=x 在点（1，1）处的切线与 x 轴及直线 x=1 所围成的三角形的面积为（）ABCD18图中，阴影部分的面积是（）A16B18C20D2219如图中阴影部分的面积是（）A20曲线A21如图，点 P（3a，a）是反比例函 y=（k0）与O 的一个交点，图中阴影部分的面积为 10，则反比例函数的解析式为（）与坐标轴围成的面积是（）CDBCDB

15、Ay=By=Cy=Dy=高考定积分应用常见题型大全（含答案）高考定积分应用常见题型大全（含答案）参考答案与试题解析参考答案与试题解析一选择题（共一选择题（共 2121 小题）小题）1（2012福建）如图所示，在边长为1 的正方形 OABC 中任取一点 P，则点 P 恰好取自阴影部分的概率为（）ABCD考点：定积分在求面积中的应用；几何概型501974专题：计算题分析：根据题意，易得正方形OABC 的面积，观察图形可得，阴影部分由函数y=x 与 y=围成，由定积分公式，计算可得阴影部分的面积，进而由几何概型公式计算可得答案解答：解：根据题意，正方形OABC 的面积为 11=1，而阴影部分由函数

16、y=x 与 y=围成，其面积为0（1x）dx=（）|0=，1则正方形 OABC 中任取一点 P，点 P 取自阴影部分的概率为=；故选 C点评：本题考查几何概型的计算，涉及定积分在求面积中的应用，关键是正确计算出阴影部分的面积232（2010山东）由曲线 y=x，y=x 围成的封闭图形面积为（）ABCD考点：定积分在求面积中的应用501974专题：计算题2312分析：要求曲线 y=x，y=x 围成的封闭图形面积，根据定积分的几何意义，只要求0（x3x）dx 即可解答：解：由题意得，两曲线的交点坐标是（1，1），（0，0）故积分区间是0，1所求封闭图形的面积为0（x x）dx，故选 A点评：本题考

17、查定积分的基础知识，由定积分求曲线围成封闭图形的面积1233设 f（x）=AB，函数图象与 x 轴围成封闭区域的面积为（）CD考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的图象；定积分在求面积中的应用501974专题：计算题；数形结合分析：利用坐标系中作出函数图象的形状，通过定积分的公式，分别对两部分用定积分求出其面积，再把它们相加，即可求出围成的封闭区域曲边图形的面积解答：解：根据题意作出函数的图象：根据定积分，得所围成的封闭区域的面积S=故选 C点评：本题考查分段函数的图象和定积分的运用，考查积分与曲边图形面积的关系，属于中档题解题关键是找出被积函数的原函数，注意运算的准确性4定积分A考

18、点：定积分；微积分基本定理；定积分的简单应用501974专题：计算题分析：由题设条件，求出被积函数的原函数，然后根据微积分基本定理求出定积分的值即可解答：2222解：=（x+lnx）|1=（2+ln2）（1+ln1）=3+ln2故选 B点评：本题考查求定积分，求解的关键是掌握住定积分的定义及相关函数的导数的求法，属于基础题5如图所示，曲线 y=x 和曲线 y=2的值为（）B3+ln2C3ln2D6+ln2围成一个叶形图（阴影部分），其面积是（）A1BCD考点：定积分；定积分的简单应用501974专题：计算题分析：2联立由曲线 y=x 和曲线 y=两个解析式求出交点坐标，然后在x（0，1）区间上

19、利用定积分的方法求出围成的面积即可解答：解：联立得，解得或，设曲线与直线围成的面积为S，则 S=0（x）dx=故选：C点评：考查学生求函数交点求法的能力，利用定积分求图形面积的能力126=（）AB2CD4考点：微积分基本定理；定积分的简单应用501974专题：计算题分析：2b由于 F（x）=x+sinx 为 f（x）=x+cosx 的一个原函数即 F（x）=f（x），根据af（x）bdx=F（x）|a公式即可求出值解答：2解：（x+sinx）=x+cosx，（x+cosx）dx=（x+sinx）2=2故答案为：2点评：此题考查学生掌握函数的求导法则，会求函数的定积分运算，是一道基础题7已知函数

20、f（x）的定义域为2，4，且f（4）=f（2）=1，f（x）为f（x）的导函数，函数 y=f（x）的图象如图所示，则平面区域f（2a+b）1（a0，b0）所围成的面积是（）A2C5D8考点：定积分的简单应用501974分析：根据导函数的图象，分析原函数的性质或作出原函数的草图，找出a、b 满足的条件，画出平面区域，即可求解解答：解：由图可知2，0）上 f（x）0，函数 f（x）在2，0）上单调递减，（0，4上 f（x）0，函数 f（x）在（0，4上单调递增，故在2，4上，f（x）的最大值为 f（4）=f（2）=1，B4f（2a+b）1（a0，b0）表示的平面区域如图所示：故选 B点评：本题考查

21、了导数与函数单调性的关系，以及线性规划问题的综合应用，属于高档题 解决时要注意数形结合思想应用80e dx 与0e1x1xdx 相比有关系式（）dxB1x1x0e dx0edxA1x1x0e dx0eC1x21x（0e dx）=0edxD1x1x0e dx=0edx考点：定积分的简单应用；定积分501974专题：计算题分析：xx根据积分所表示的几何意义是以直线x=0，x=1 及函数 y=e 或 y=e在图象第一象限内圆弧与坐标轴围成的面积，只需画出函数图象观察面积大小即可1xx解答：解：0e dx 表示的几何意义是以直线 x=0，x=1 及函数 y=e 在图象第一象限内圆弧与坐标轴围成的面积，

22、0e1xdx 表示的几何意义是以直线x=0，x=1 及函数 y=ex在图象第一象限内圆弧与坐标轴围成的面积，如图当 0 x1 时，e xe故选 Bxx，故有：0e dx0e1x1xdx点评：本题主要考查了定积分，定积分运算是求导的逆运算，解题的关键是求原函数，也可利用几何意义进行求解，属于基础题9若 a=，b=，则 a 与 b 的关系是（）Ca=bDa+b=0AabBab考点：定积分的简单应用501974专题：计算题分析：a=b=（cosx）=sinx=（cos2）（cos）=cos2sin24.6，=sin1sin0=sin1sin57.3解答：解：a=cos114.6=sin24.6，b=

23、sinx=sin1sin0=sin1sin57.3，=（cosx）=（cos2）（cos）=cos2ba故选 A点评：本题考查定积分的应用，是基础题解题时要认真审题，仔细解答10AB的值是（）CD考点：定积分的简单应用501974专题：计算题分析：根据积分所表示的几何意义是以（1，0）为圆心，1 为半径第一象限内圆弧与抛物线2y=x 在第一象限的部分坐标轴围成的面积，只需求出圆的面积乘以四分之一与抛物线在第一象限的部分与 x 轴和直线 x=1 围成的图形的面积即可解答：解；积分所表示的几何意义是以（1，0）为圆心，1 为半径第一象限内圆弧与抛物线2y=x 在第一象限的部分坐标轴围成的面积，故只

24、需求出圆的面积乘以四分之一与抛物线在第一象限的部分与x轴和直线x=1围成的图形的面积之差即=故答案选 A点评：本题主要考查了定积分，定积分运算是求导的逆运算，解题的关键是求原函数，也可利用几何意义进行求解，属于基础题11若 f（x）=A+e e2（e 为自然对数的底数），则B+eCe+e2=（）D2+e e考点：定积分的简单应用501974专题：计算题分析：由于函数为分段函数，故将积分区间分为两部分，进而分别求出相应的积分，即可得到结论解答：解：=故选 C=点评：本题重点考查定积分，解题的关键是将积分区间分为两部分，再分别求出相应的积分12已知 f（x）=2|x|，则A3B4考 定积分的简单应

25、用501974点：专 计算题题：分由题意，析：值解 解：答：（）C3.5D4.5，由此可求定积分的由题=意，+=2+42=3.5故选 C点 本题考查定积分的计算，解题的关键是利用定积分的性质化为两个定积分的和评：213设 f（x）=3|x1|，则2f（x）dx=（）A7B8C7.5D6.5考点：定积分的简单应用501974专题：计算题22212分析：2f（x）dx=2（3|x1|）dx，将2（3|x1|）dx 转化成2（2+x）dx+1（4x）dx，然后根据定积分的定义先求出被积函数的原函数，然后求解即可解答：22122解：2f（x）dx=2（3|x1|）dx=2（2+x）dx+1（4x）dx

26、=（2x+x）|2+（4x x）|1=7故选 A点评：本题主要考查了定积分，定积分运算是求导的逆运算，同时考查了转化与划归的思想，属于基础题14积分AB=（）Ca2122D2a2考点：定积分的简单应用；定积分501974专题：计算题分析：本题利用定积分的几何意义计算定积分，即求被积函数 y=图形的面积，围成的图象是半个圆解答：解：根据定积分的几何意义，则的上半圆的面积，与 x 轴所围成的表示圆心在原点，半径为 3 的圆故=故选 B点评：本小题主要考查定积分、定积分的几何意义、圆的面积等基础知识，考查考查数形结合思想属于基础题15已知函数的图象与 x 轴所围成图形的面积为（）A1/2B1C2D3

27、/2考点：定积分在求面积中的应用501974专题：计算题分析：根据几何图形用定积分表示出所围成的封闭图形的面积，求出函数f（x）的积分，求出所求即可解答：解：由题意图象与 x 轴所围成图形的面积为=（=+1=故选 D）|0+sinx1点评：本题考查定积分在求面积中的应用，求解的关键是正确利用定积分的运算规则求出定积分的值，本题易因为对两个知识点不熟悉公式用错而导致错误，牢固掌握好基础知识很重要16由函数y=cosx（0 x2）的图象与直线是（）A4BC及 y=1 所围成的一个封闭图形的面积D2考点：定积分在求面积中的应用501974专题：计算题分析：由题意可知函数 y=cosx（0 x2）的图

28、象与直线及 y=1 所围成的一个封闭图形可利用定积分进行计算，只要求0（1cosx）dx 即可然后根据积分的运算公式进行求解即可解答：解：由函数 y=cosx（0 x2）的图象与直线的面积，及 y=1 所围成的一个封闭图形就是：0（1cosx）dx=（xsinx）|0=故选 B点评：本题考查余弦函数的图象，定积分，考查计算能力，解题的关键是两块封闭图形的面积之和就是上部直接积分减去下部积分317曲线 y=x 在点（1，1）处的切线与 x 轴及直线 x=1 所围成的三角形的面积为（）ABCD考点：定积分在求面积中的应用501974专题：计算题分析：欲求所围成的三角形的面积，先求出在点（1，1）处

29、的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故要利用导数求出在x=1 处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率，从而问题解决3解答：解：y=x，2y=3x，当 x=1 时，y=3 得切线的斜率为 3，所以 k=3；所以曲线在点（1，1）处的切线方程为：y1=3（x1），即 3xy2=0令 y=o 得：x=，切线与 x 轴、直线 x=1 所围成的三角形的面积为：S=（1）1=故选 B点评：本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，属于基础题18图中，阴影部分的面积是（）A16B18C20D22考点：定积分在求面积中的应用501974专题：计算题分析：

30、从图象中知抛物线与直线的交点坐标分别为（2，2），（8，4）过（2，2）作 x轴的垂线把阴影部分分为S1，S2两部分，利用定积分的方法分别求出它们的面积并相加即可得到阴影部分的面积解答：解：从图象中知抛物线与直线的交点坐标分别为（2，2），（8，4）过（2，2）作 x 轴的垂线把阴影部分分为S1，S2两部分，分别求出它们的面积A1，A2：A1=0A2=282dx=2dx=dx=，所以阴影部分的面积 A=A1+A2=18故选 B点评：本题考查定积分在求面积中的应用，解题是要注意分割，关键是要注意在x 轴下方的部分积分为负（积分的几何意义强调代数和），属于基础题考查学生利用定积分求阴影面积的方法的

31、能力19如图中阴影部分的面积是（）ABCD考 定积分在求面积中的应用501974点：专 计算题题：分 求阴影部分的面积，先要对阴影部分进行分割到三个象限内，分别对三部分进行积分求析：和即可解 解：直线 y=2x 与抛物线 y=3x2解得交点为（3，6）和（1，2）答：抛物线 y=3x2与 x 轴负半轴交点（，0）设阴影部分面积为s，则=所以阴影部分的面积为，故选 C点 本题考查定积分在求面积中的应用，解题是要注意分割，关键是要注意在x 轴下方的部评：分积分为负（积分的几何意义强调代数和），属于基础题20曲线与坐标轴围成的面积是（）ABCD考点：定积分在求面积中的应用501974专题：计算题分析

32、：先根据题意画出区域，然后依据图形得到积分下限为 0，积分上限为，从而利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可解答：解：先根据题意画出图形，得到积分上限为，积分下限为 0曲线S=0（）dx+与坐标轴围成的面积是：dx=围成的面积是故选 D点评：本题主要考查了学生会求出原函数的能力，以及考查了数形结合的思想，同时会利用定积分求图形面积的能力，解题的关键就是求原函数21如图，点 P（3a，a）是反比例函 y=（k0）与O 的一个交点，图中阴影部分的面积为 10，则反比例函数的解析式为（）ABCDy=y=y=y=考点：定积分在求面积中的应用501974专题：计算题；数形结合分析

33、：根据圆的对称性以及反比例函数的对称性可得，阴影部分的面积等于圆的面积的，即可求得圆的半径，再根据 P 在反比例函数的图象上，以及在圆上，即可求得 k 的值解答：解：设圆的半径是 r，根据圆的对称性以及反比例函数的对称性可得：r=102解得：r=2点 P（3a，a）是反比例函 y=（k0）与O 的一个交点3a=k 且a=（2k=34=12，22=r）=42则反比例函数的解析式是：y=故选 C点评：本题主要考查反比例函数图象的对称性的知识点，解决本题的关键是利用反比例函数的对称性得到阴影部分与圆之间的关系那是心与心的交汇，是相视的莞尔一笑，是一杯饮了半盏的酒，沉香在喉，甜润在心。红尘中，我们会相

34、遇一些人，一些事，跌跌撞撞里，逐渐懂得了这世界，懂得如何经营自己的内心，使它柔韧，更适应这风雨征途，而不会在过往的错失里纠结懊悔一生。时光若水，趟过岁月的河，那些旧日情怀，或温暖或痛楚，总会在心中烙下深深浅浅的痕。生命是一座时光驿站，人们在那里来来去去。一些人若长亭古道边的萋萋芳草，沦为泛泛之交；一些人却像深山断崖边的幽兰，只一株，便会馨香满谷。人生，唯有品格心性相似的人，才可以在锦瑟华年里相遇相知，互为欣赏，互为懂得，并沉淀下来，做一生的朋友。试问，你的生命里，有无来过这样一个人呢？张爱玲说“因为懂得，所以慈悲”.于千万人群中，遇见你要遇见的人，没有早一步，也没有晚一步，四目相对，只淡淡的问候一句：哦！原来你也在这里，这便足够。世间最近与最遥远的距离，来自于心灵与心灵。相遇了，可以彼此陌生，人在咫尺心在天涯，也可初见如旧，眼光交汇的那一刻，抵得人间万般暖。