二次曲线的性质及其应用【5700字】.docx

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1、二次曲线的性质及其应用引言1L圆锥曲线的定义21.1 圆锥曲线的第一定义21.20 锥曲线的第二定义3.圆锥曲线的方程与基本性质32.10锥曲线的方程3椭园的方程32.1.1 抛物线的方程4双曲线的方程52.1.2 曲线的基本性质6221椭图的基本性质6222抛物线的基本性质7223双曲线的基本性质82 .二次曲线的应用82.1 利用圆锥曲线定义解决最值问题92.2 利用同锥曲线定义解决焦点问题102.3 利用同锥曲线定义解决轨迹问题122.4 利用同锥曲线定义解决方程问题13.总结14参考文献153.1利用圆锥曲线定义解决最值问题我们经常运用圆锥曲线的定义去解最值问题，解决这类问题需要有一个

2、强有 力的代数运算和数形结合能力，能综合这些能力，注重思维的严谨性，在操作过 程中要保证结果的完整性。在研究变量的最值问题时，通常先建立目标函数，然后求解函数或不等式， 或者用“数字组合”和“几何方法”来解决问题。下面以两个例题来展示椭圆的第二定义在求最值问题中的应用。22例1已知椭圆去 +、 = 1，直线l：4x-5y + 40 = 0。问椭圆上是否有一点到直线1的距离最小。解：我们设直线m平行于1,见|1可写成：4x-5y + Z = 0。由方程组4x-5y + k = 02 消去 y,得 25/+8丘+左2-225 = 0,由 A = 0,得+ = 125 964左2_4x25伏2225

3、) = 0,解得勺=25次？ =-25 ,由图可知k=25。所以直线m为4x-5y + 25 = 0,直线m与椭圆的交点到直线1的距离最近。目|40-25|742+52M -修。图42 2例2给出3 = 1的双曲线方程，双曲线的右焦点为F2, M是双曲线右 916a支上的一点，定点A (9,2),求b2|的最小值。MF2s贝U：根据定义可知：p- = e, (d为M到右准线的距离)，即即d = 所以3 M + -MFQ=M + d因此幽+北下=展专。3.2利用图锥曲线定义解决焦点问题以两个例题来展示如何运用圆锥曲线定义来解决焦点问题。例3已知双曲线方程为 一若=1,过左焦点大的直线与双曲线的左

4、支交 916于A、B两点，且同q=12,求A45F2的周长。22解：由双曲线方程j-9 = 1，可得=3。根据双曲线的定义有：916| A闾| A用=2 = 6 忸闾忸用=2. = 6 由+得|A阅+忸闾-（仙闻+忸制）=12,又因为|A6| +忸用=|4目=12所以|A闾+忸阅=24所以AABB的周长=,且+,闾+忸闾=12+24 = 36PF PF2,求八2片店的面积。图622解：由椭图方程1 + = 1可得2=7, b = 2a49 24因为 C = J49 24 =5所以PT + p居 ” =100由式中上面式子的平方减下面的式子得：21P胤卢闾=96所以有|尸|归周二48故：Sa=；

5、|P用用=243.3利用圆锥曲线定义解决轨迹问题以三个例题来展示如何运用厨锥曲线定义来解决轨迹问题。例5求经过点M (-1,2),以y轴为准线，离心率e=；的点P (x, y)的轨 迹方程。解：根据题意，所求的点P的轨迹是以y轴为)隹线的一个椭圆，设椭扇的右 焦点为/(%,%),根据椭圆的第二定义有2二五=(,即4=:,y = y,所以椭 x 33 + /=81内部相切，要求求该动圆圆心的轨迹方程。解：设动圆圆心为P,可以得出|PQ| + |P匈=12。2卜6根据椭圆的定义可知：点P在以。2为焦点的椭周上，目a=6, c=3,所以 b2=a2- c2 =27O22所以，该动圆的轨迹为：三+ =

6、屋 36 273.4利用图锥曲线定义解决方程问题下面用例题演示如何用圆锥曲线的定义解决方程问题。例8如图，直线h4相交于M,点NG/.以A, B为端点的曲线C上任一点到/2的距离与到点N的距离相等。若AAMN为锐角三角形， AM = 4V7, 例=3,且加却=6,求曲线C的方程。解：由曲线段c上任一点到4的距离与到N的距离相等，可知曲线C是以点N为焦点，以L为准线的抛物线的一段。因此，以4为x轴，MN的平分线为y轴，建立直角坐标系，使得ADl29 BF/2,则陷目=|ZM| = |AN| = 3|M同?近EN = J|A7V_a目2 二所以，阳鹏=眼| + |班=3+1=4即p=45iXA=O

7、N-El = 2-1 = lXb=BF-MC = 6-2 = 4所以，曲线段C的方程为：/ =8x(lx0)4.总结本文首先归纳了圆)锥曲线的定义,再在定义的基础上分析了圆锥曲线的方程 和基本性质，最后举例说明了巧用圆锥曲线定义在解题过程中的运用。根据文章 脉络我们可以清晰地看到理解圆锥曲线定义的重要作用。圆锥曲线的定义既是推 导同锥曲线方程的依据，又是解决解析几何题的一把钥匙，解析几何中凡是与周 段曲线的焦点、焦半径、准线有关的问题，常用定义求解.巧用圆锥曲线定义解 题，恰当地运用定义去挖掘参数间的数量关系，不仅能得到较简捷的解法，而且 能避免许多复杂的运算，提高解题的效率。参考文献1柏宗玲

8、.高中生圆锥曲线的理解困难及对策研究D.2016.2洪秀满，孔玉珍.浅谈圆锥曲线教学中思维深刻性的培养J.中学数学,1994(3):4-6.3苏明华.巧用图锥曲线的定义解题J.中学理科,2003(8):3-5.4马长胜.巧用圆锥曲线的定义解题几数理化学习(高中版),2003(8):10-13.5周玉英.巧用圆锥曲线的定义解题J.高中生,2003(11).6李冬明.巧用圆锥曲线的定义解题J.数理化解题研究,2017(13):7-8.7付海平，袁大明.巧用图锥曲线定义解题例说J.石油教育，1999(6):33-34.8雍玉华，刘大鸣.巧用圆锥曲线的定义解题J.中学生数理化(高二数学)，2014(1

9、1):11-12.9姚贵丰.巧用厨锥曲线的定义解题J.高中生,2013(21):23-25.10雷成国，王东生巧用圆锥曲线的定义解题J.中学生数理化：学研版,2012(1):25-25.11强荣兰.浅谈如何巧用圆锥曲线定义解题J.宿州教育学院学报,2007, 10(5):126-127.摘要:二次曲线又叫圆锥曲线，前一名称源于它的代数方程，后一名称源于 它的几何产生方法。二次曲线是高中数学解析几何的核心内容，其主要包括圆， 椭同，双曲线和抛物线。二次曲线的定义，方程和几何性质，在生产和科学技术 中有广泛的应用，并且，掌握好这些知识，也是今后进一步学习数学的基础。因 此，学好二次曲线，使学生进一

10、步掌握数形结合的思想，转化的思想，运动变化 的思想，理解坐标法，帮助学生树立辩证唯物主义的观点，从运动变化的角度, 从几何直观的角度思考和分析问题，进一步学习微积分，高等几何，为学习物理, 化学，微生物等自然科学提供数学工具，具有十分重要的意义。关键字：二次曲线；性质；应用引言二次曲线，也称之为圆锥曲线，主要包括圆，椭圆，双曲线，抛物线，其是 高中解析几何的核心内容，也是进一步学习解析几何所必备的基础知识。学好二 次曲线对进一步掌握解析几何的基础知识，领略解析几何的基本思想，培养数形 结合的思想，转化的思想，分类讨论的思想，运动变化的思想，掌握解析几何的 基本方法，坐标法，待定系数法，换元法，

11、从几何直观的角度思考和处理问题, 培养学生的应用意识和创新精神，都具有十分重要的意义。在平面解析几何的知识体系中，圆锥曲线占据着重要地位。它还是高考中检 验学生学习能力和学习成果的关键部分，是高中教学的重难点。而理解厨锥曲线 的定义是学习厨锥曲线的敲砖石和金宝典，熟识厨锥曲线的定义，可以更加高效 地解关于周锥曲线的各种问题。高中老师和学生以及国内外学者一直在探索和挖 掘如何巧用圆锥曲线的定义解题，不同的学者有不同的研究方向，然而还是缺乏 对如何巧用圆锥曲线定义解决问题的系统研究。用厨锥曲线定义解题是高中数学 考试内容中的常客，系统而详尽的文献或书籍可以给予高中生很好的帮助。然而 国内外相关文献

12、有时过于晦涩难懂，有时过于抽象，很难帮助真正的初学者。本 文对圆锥曲线总结出了简单清晰的定义、方程和性质，并举例说明了如何巧用厨 锥曲线定义解决各种问题，可以很好地帮助到学生解决圆锥曲线有关的问题。国内外学者关于圆锥曲线的研究主要包括以下内容：钱琪玲在数学思想方 法与中学数学一书中，在第七章第三节明确指出了在同锥曲线教学中蕴涵的数 学思想非常丰富，主要有以下几种：运动与变化、化归、参数等思想方法。在第 四节以椭圆的第二定义为例来进行教学案例设计，以此来说明在圆锥曲线教学中 如何来体现上述的思想方法。通过上述教学案例的设计,让学生通过对方程变形, 将动点的轨迹由“到两定点的距离和等于定长”转变成

13、“到定点和定直线距离的 比是一个常数”，学生经历从形f方程f形的变形，为圆锥曲线的教学起了很好 地指导作用，为教学案例的设计提供参考。任成竹在APOS理论下的圆锥曲线 教学探究一文中对圆锥曲线的概念教学、几何性质教学等作了系统的分析和实 践，指出了这部分教学中常见问题和原因分析，针对这些问题提出了一些建设性 的意见，对改善这一部分教学有很好的示范作用。洪秀满、孔玉珍在在圆锥曲 线教学中培养学生的思维品质中指出，深刻理解厨锥曲线的定义可以增强学生思 维的深刻性，围绕定义而形成的统一性有助于学生形成思维的广阔性，通过对概 念的应用，可以提升学生思维的敏捷性，通过对比分析能够提升学生思维的批判 性。

14、徐燕在高中生对圆锥曲线的理解中从高中生对圆锥曲线概念的理解水平、 高中生对同德曲线统一性的理解、高中生解决与圆锥曲线有关的综合问题的能力 与高中生年级对圆锥曲线的学习影响四个方面进行了研究，并对结论进行了分 析；柏宗玲在高中生周锥曲线的理解困难及对策研究一文中对学生在扇锥曲 线学习中存在的理解困难的地方，从定义、方程、性质以及运用四个角度进行分 析并找出原因，最后有针对性地提出了解决方案；刘亚慧在高中生解决圆锥曲 线问题审题环节的案例分析中通过进行案例分析，总结出学生在审题过程中的 易错点和原因，得出成功审题的必备条件，进而从教师和学生两个角度提出针对 性的建议；张卓炎在高中生桶圆理解水平的调

15、查研究中得出高中生对于椭圆 理解困难的主要原因是对定义不够重视、数形结合能力较差、对知识的理解太过 于表面化，建议教学时应注重定义的教学以及数学思维和方法的培养。到定点的距离与到定直线的距离的比是常数的点的轨迹叫做同锥曲线。圆锥 曲线包括椭圆、双曲线和抛物线。1.1 圆锥曲线的第一定义下面分别介绍椭圆、双曲线、抛物线这三种圆锥曲线的第一定义：椭圆的第 一定义是指在一个平面内到F1,F2两个定点的距离之和是常数2a的所有点的轨F1F2I迹，且要求这个常数2a。同理，双曲线的第一定义则是指满足同一个平面内到Fl、F2两个定点的距离之差的绝对值是常数2a的所有点的轨迹,且要求F1F2I2al时，轨迹

16、为双曲线；(3)当e=l时，轨迹为抛物线。2 .圆锥曲线的方程与基本性质圆锥曲线的方程2.1.1 椭圆的方程F1F2如图1,给定椭厨，F1是椭厨的左焦点、F2是椭厨的右焦点，广J2c(c0),AFI AP?|A(x,y)是椭圆上的一个动点，A点满足AM + ATL2a(ac)。将点Fl和点F2连接成一条直线，并将此直线作为x轴；在直线F1F2的中 点处作一条F1F2的垂线作为丫轴，建立如图所示的直角坐标系。此时，点F1 的坐标为( 0),点F2的坐标为(c,0)。再设点A(x, y)是椭周上的一个动点。Api a F9l则由椭圆的定义可知+l=2a,即有：J(X + J (x + .)2 +

17、y- = 2cl化简上式可得-片2 +/y2 = (/ _片)/，两边同除以(/ _ 得222,贝U有=十 七=1 (ab0) o a b22IH7 = 1,由 ac 得。2 - c:2 0,设 =a2 a a -c此式即为椭图的方程。22同样地，我们还可以推导出当焦点在y轴时的椭圆的标准方程为4 + 1 = 1 a b(ab0) o2.L2抛物线的方程根据抛物线上点的几何特征求抛物线的方程时，为了使得推导的过程尽可能 的简单，建立平面直角坐标系。以抛物线的定义为依据，建立如图所示的坐标系，其中L为准线，F为焦点,0为坐标原点。焦点到准线距离为p (p0),可知焦点F的坐标为(, 0)o设点M

18、(x, y)为抛物线上任点,那么/| =令点M到直线L的距离为d,则有+ .根据抛物线的定义可知=61,即业_夕+ y2 =将上式西边平方并且化简，可以得到V = 2Px(p 0)。V = 2PMp 0)就被称为抛物线的标准方程。此式描述的抛物线的开口朝向x轴的正方向,(p 焦点F的坐标为 V,0，准线L的方程为x(2 )l图2.抛物线根据抛物线方向的不同，抛物线共有四种形式，下表对四种抛物线进行了比较。表1.抛物线四种形式比较标准方程y2 = 2px(p 0)y2 = -2px(p 0)x2 =2py(p 0)x2 = -2 py( p 0)图像fJ4 JTL7上一/TVV1 /焦点坐标呜,

19、。)厂(-)F衅)准线方程丫_ P 2X-L2一 2yJ . 22.L3双曲线的方程如图3所示的双曲线，Fl、F2为双曲线的两个焦点，焦距|FlF2|=2c(c0), 双曲线上任一点均满足该点到Fl、F2两点的距离之差等于2a,其中0a0) 9 可得双22曲线的标准方程：- = l(a0,Z70)o cT b一y图3.双曲线当焦点在y轴时，同样运用焦点在x轴时的推导方法，我们可以得到焦点在y轴的标准22方程为二-3 = 1(4。力0),其中c2=/+，焦点坐标分别是Fl (0, -c) ,F2 cr b(0, c)o2.2圆锥曲线的基本性质2.2.1 椭圆的基本性质(1)范围22观察图1,我们

20、令y=。,并将其带入到方程， = 1中可得x = % 因此椭留上任一点的横坐标范围均在-a,a之间;令x=0,并将其带入到方程a+左=1中可得y = h,因此椭周上任一点的纵坐标范围均在-b,b之间。(2)对称性观察图1,可以看出椭圆既关于x轴、y轴轴对称，而且关于坐标原点中心对22称。在椭圆I +3=1(。0/0)中以-y代y,方程并不改变。这说明当点p (x,y) a b-在椭圆上时，它关于X轴的对称点p (x, -y)也在椭同上，所以椭圆关于x轴对称; 同理，以-x代x,方程也不改变，所以椭圆关于y轴对称；以-x代x,以-y代y, 方程也不改变，所以椭圆关于原点对称。(3)顶点研究曲线上

21、某些特殊点的位置，可以确定曲线的位置.要确定曲线在坐标系 中的位置，常常需要求出曲线与x轴、y轴的交点坐标.在椭圆的标准方程里,令x=0,得丫 =助,这说明Bl(0,-b), B2(0,b)是椭圆与y轴的两个交点洞理,令y=o,得 = a,这说明Al(a,0)、A2(a,0)是椭 圆与x轴的两个交点。因为x轴、y轴是椭圆的对称轴，所以椭圆与它的对称轴 有四个顶点。(4)离心率根据定义可知，椭图的离心率e=。根据ac0可得0。)为例)(1)范围由f = 2p%(p 0)可知 2 0,故这条抛物线在y轴的右侧。(2)对称性以方程y2=2px(p0)为例，用-Y代Y,仍然在抛物线上，所以这条抛物线

22、关于X轴对称。其他方向的抛物线与之类似。(3)顶点抛物线与坐标轴的交点被称作抛物线的顶点。在方程丁=2庶(0)中，当x=0时，y=0时，因此抛物线V = 2PMp 0)的顶点就是坐标原点。(4)离心率根据抛物线的定义可知，离心率e=l。223双曲线的基本性质(1)范围22由3= 1(。 0, Z? 0)可得: a b2 v2?-1 = 0,所有，双曲线上的点(x,y)丫2都满足二川，即/之，说明双曲线在不等式xKa与X，所表示的范围内。 CT(2)对称性22与椭圆3+2=1(。030)类似，双曲线关于X轴、y轴和原点都是对称的。原点是双曲线的对称中心，也被称为双曲线的中心。(3)顶点令y=0,得 = q,因此双曲线和z轴有两个交点Al(-a,0)、A2(a,0)o也即双曲线的顶点。(4)渐近线经过 Al(-a,0)、A2(a,0)作 y 轴的平行线a = a,经过 Bl (0, -b)、B2(0,b)作x轴的平行线y = 8,四条直线围成一个矩形，连接矩形的两条对角线，即222土; = 0。则双曲线二-弓=1上的各点与这两条直线永不相交，且点的横坐标 a ba b的绝对值越大，与这两条直线越接近，我们把这两条直线叫做双曲线的渐近线。3.二次曲线的应用