高中数学 第一章 导数及其应用 1.7 定积分的简单应用教案 新人教A版选修2-2-新人教A版高二选.docx

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1、教学目标：1、知识与技能：进一步让学生深刻体会“分割、以直代曲、求和、逼近求曲边梯形的思想方法；让学生 深刻理解定积分的几何意义以及微积分的基本定理；初步掌握利用定积分求曲边梯形的几种常见题型及方 法；体会定积分在物理中应用变速直线运动的路程、变力沿直线做功。2、过程与方法： 借助于几何直观定积分的基本思想，了解定积分在实际中的应用3、情感、态度与价值观： 通过定积分在几何和物理中的应用，进一步感受极限的思想教学重点：定积分在几何和物理中的应用教学难点：定积分在几何和物理中的应用教学过程：定积分的应用一利用定积分求平面图形的面积例 1计算由两条抛物线 y2 y =x= x 和 y = x2 所

2、围成的图形的面积.11解： x = 0及x = 1，所以两曲线的交点为0，0、1，1，面积 S= = xdx - x2dx ，所以 y = x20 0S = 1( x - x2 )dx = 2 x 3x3 11-=323300y = CxBODy = Ax 2例 2计算由直线 y = x - 4 ，曲线 y =2 x 以及 x 轴所围图形的面积S.解：作出直线 y = x - 4 ，曲线 y = y =2x ,解方程组 y = x - 42 x 的草图，所求面积为图阴影部分的面积得直线 y = x - 4 与曲线 y =2 x 的交点的坐标为8,4) .直线 y = x - 4 与 x 轴的交

3、点为4,0).因此，所求图形的面积为S=S +S12= 402xdx +842xdx - 8 (x - 4)dx41 / 5word223223140=x 2 |4 +x 2 |8(x - 4)2 |8 =.3034 2432p2p例 3. 求 曲 线 y = sin xx 0,3 与 直 线 x = 0, x =3 ,x轴 所 围 成 的 图 形 面 积 。2p2p3答案： S 30sin xdx = - cos x | 3 =o2二定积分在物理中应用(1)求变速直线运动的路程我们知道，作变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数 v=v (t) ( v(t) 0) 在时间区间a,b上

4、的定积分，即s = b v(t)dta例 4。一辆汽车的速度一时间曲线如图 1.7 一 3 所示求汽车在这 1 min 行驶的路程3t,0 t 10,30,10 t 40解：由速度一时间曲线可知： v(t) = -1.5t + 90, 40 t 60.因此汽车在这 1 min 行驶的路程是：s = 10 3tdt +40 30dt +60 (-1.5t + 90)dt0104033=t 2 |10 +30t |40 +(-t 2 + 90t) |60 = 1350(m)2010440答：汽车在这 1 min 行驶的路程是 1350m .2变力作功一物体在恒力 F单位：N的作用下做直线运动，如果

5、物体沿着与 F 相同的方向移单位：m)，那么力 F 所作的功为W=Fs .探究如果物体在变力 F(x的作用下做直线运动，并且物体沿着与 F (x) 相同的方向从x =a 移动到x=b (ab) ， 那么如何计算变力F(x所作的功W 呢？与求曲边梯形的面积和求变速直线运动的路程一样，可以用“四步曲解决变力作功问题可以得到W = b F (x)dxa2 / 5例 5如图17 一 4 ，在弹性限度内，将一弹簧从平衡位置拉到离平衡位置lm 处，求克服弹力所作的功1解：在弹性限度内，拉伸或压缩弹簧所需的力 F ( x 与弹簧拉伸或压缩的长度 x 成正比，即 F ( x = kx , 其中常数 k 是比例

6、系数由变力作功公式，得到W = l kxdx =1 x2 |l =kl 2 (J )1答：克服弹力所作的功为2练习：0kl2 J .2021、求直线 y = 2 x + 3 与抛物线 y = x 2 所围成的图形面积。答案： S 3（2 x3x 2 )dx=（x 2+ 3 x -x 332) |3 =-13-132、求由抛物线 y = - x 2 + 4 x - 3 及其在点M0，3和N3，0处的两条切线所围成的图形的面积。略解： y / = -2 x + 4 ，切线方程分别为 y = 4 x - 3 、 y = -2 x + 6 ，那么所求图形的面积为 339S 2 (4 x - 3) -

7、(- x 2 + 4 x - 3)dx +(-2 x + 6) - ( - x 2 + 4 x - 3)dx03423、如果 1N 能拉长弹簧 1cm，为了将弹簧拉长 6cm，需做功A略解：设 F = kx ，那么由题可得k = 0.01 ，所以做功就是求定积分60.01xdx = 0.180总结：1、定积分的几何意义是：在区间a, b上的曲线y = f ( x)与直线x = a 、 x = b以及x 轴所围成的图形的面积的代数和，即bf ( x)dx = SaSx轴上方.x轴下方2、求曲边梯形面积的方法与步骤：（1） 画图，并将图形分割为假设干个曲边梯形；（2） 对每个曲边梯形确定其存在的X

8、 围，从而确定积分的上、下限；3 / 5word（3） 确定被积函数；（4） 求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值的和。 3、几种常见的曲边梯形面积的计算方法：1 x 型区域：由一条曲线 y = f ( x)(其中f ( x) 0）与直线 x = a, x = b(a b) 以及 x 轴所围成的曲边梯形的面积： Sbf ( x)dx 如图1；a由一条曲线 y = f ( x)(其中f ( x) 0）与直线 x = a, x = b(a b) 以及 x 轴所围成的曲边梯形的面积：Sbf ( x)dxbf (x)dx 如图2 ；aa由两条曲线 y = f ( x)，y = g( x)(其中f

9、( x) g( x)）与直线 x = a, x = b(a b)ayy = f (x)yabyy = f (x)xabxy = f (x)y=g(x)bax所围成的曲边梯形的面积： S b| f ( x)g( x) | dx 如图3；图1图2图32 y 型区域：由一条曲线 y = f ( x)(其中x 0）与直线 y = a, y = b(a b) 以及 y 轴所围成的曲边梯形的面积,可由 y = f ( x) 得 x = h( y) ，然后利用 Sbh( y)dy 求出如图4；a由一条曲线 y = f ( x)(其中x 0）与直线 y = a, y = b(a b) 以及 y 轴所围成的曲边

10、梯形的面积，可由y = f ( x) 先求出 x = h( y) ，然后利用 S bh( y)dybh( y)dy 求出如图5 ；aa 由 两 条 曲 线 y = f ( x)，y = g( x) 与 直 线 y = a, y = b(a b) 所 围 成 的 曲 边 梯 形 的 面 积 ， 可 由y = f ( x)，y = g( x) 先分别求出 x = h ( y) ，x = h ( y) ，然后利用 Sb| h ( y)h( y) | dy 求出如图6；1212a4 / 5yby = f (x) xayy = f (x)bxayby = f (x)y=g(x) xa图4图5图6四：课堂小结1、利用定积分求一些曲边图形的面积与体积，即定积分在几何中应用，要掌握几种常见图形面积的求法， 并且要注意定积分的几何意义，不能等同于图形的面积，要注意微积分的基本思想的应用与理解。2、定积分在物理学中的应用，要掌握几种常见图形面积的求法，并且要注意定积分的几何意义，不能等同 于图形的面积，要注意微积分的基本思想的应用与理解。五、作业：5 / 5